Integrais Triplas em coord. cilindricas e esféricas

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Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas
Prof. Ronaldo Portela
Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no espaço tridimensional é representado pela tripla ordenada (r, θ, z), onde:
r e θ são as coordenadas 
	polares da projeção de P 
	no plano xy;
z é a distância orientada 
	do plano xy a P.
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Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
Desta forma, as relações entre coordenadas retangulares e cilíndricas são as seguintes:
x = r cos θ		y = r sen θ		z = z
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Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
Suponha que E seja uma região do tipo 1, cuja projeção D no plano xy tenha uma representação conveniente em coordenadas polares.
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Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
Utilizando as relações entre coordenadas retangulares e cilíndricas, podemos a integral tripla da seguinte maneira:
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Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
É recomendável a utilização dessa fórmula: 
quando E for uma região sólida cuja descrição é mais simples em coordenadas cilíndricas;
e, especialmente, quando a função f (x, y, z) envolver a expressão x2 + y2.
Exemplo: Calcule
onde E é a região abaixo:
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Integrais Triplas em coordenadas esféricas
As coordenadas esféricas (ρ, θ, Φ) de um ponto P no espaço são mostradas na figura ao lado.
ρ = |OP| é a distância da origem a P.
θ é o mesmo ângulo que 
nas coordenadas cilíndricas.
Φ é o ângulo entre o eixo z 
positivo e o segmento de 
reta OP.
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Integrais Triplas em coordenadas esféricas
A relação entre coordenadas esféricas e retangulares pode ser vista nesta figura.
Dos triângulos OPQ e OPP’:
	z = ρ cos Φ	 r = ρ sen Φ
Mas, x = r cos θ e y = r sen θ.
Então:
	x = ρ sen Φ cos θ 
y = ρ sen Φ sen θ 
z = ρ cos Φ
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Integrais Triplas em coordenadas esféricas
Desta forma, temos a seguinte fórmula:
onde E é uma cunha esférica dada por:
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Integrais Triplas em coordenadas esféricas
Em geral, as coordenadas esféricas são utilizadas nas integrais triplas quando superfícies como cones e esferas formam a fronteira da região de integração.
Exemplo: Calcule 
onde B é a bola unitária:
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Integrais Triplas em coordenadas esféricas
Exemplo: Determine o volume do sólido delimitado:
pelo cone
pela esfera x2 + y2 + z2 = z
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Referências Bibliográficas
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2. 3ª edição. São Paulo, Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Volume 2. 5ª edição. São Paulo, Thomsom Learning. 2006.
Prof. Ronaldo Portela
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