Álgebra Vetorial - Componente e Projeção, Vetores no R3

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Projeto Álgebra Vetorial – Prof. Hugo Mesquita 
Vetores – Lista 02 
 
1) O vetor projeção de 2 3u i j k= + − sobre 2 3v i j k= − + é: 
a) 2 2i j k− + 
b) 
2 2
3 3 3
i j k
− + 
c) 2 2i j k− + − 
d) 
2 2
3 3 3
i j k−
+ − 
e) 6 6 3i j k− + − 
2) A componente do vetor ( )5,6,5u = na direção do vetor ( )2,2,1v = é o vetor: 
a) 
5 5 5
, ,
86 86 2 86
 
 
 
 
b) ( )6,6,3 
c) ( )10,10,5 
d) 
2 2 1
, ,
3 3 3
 
 
 
 
e) 
5 5 5
, ,
2 2 4
 
 
 
 
 
3) ABC é um triângulo equilátero de lado L. O produto escalar AB BC vale: 
a) 
2 3
2
L
− 
b) 
2
2
L
− 
c) 
2
2
L
 
d) 2L 
e) 
2 3
2
L
 
4) u e v são vetores unitários tais que 2u v u v+ = − . O ângulo entre eles mede: 
a) 30 
b) 45 
c) 60 
d) 90 
e) 120 
 
5) Sejam , ,a b c vetores unitários. Sabendo que ( ) ( ), ,
3
ang a b ang a c

= = e 
( ),
6
ang b c

= , determine o comprimento do vetor 2 3a b c− + . 
 
6) Se 0u v w+ + = , 2, 3, 5u v w= = = , a soma dos produtos escalares 
u v u w v w +  +  é igual a: 
a) 6 b) -6 c) 5 d) -5 e) 0 
 
7) Considere o triângulo dado pelos vértices ( )1,1,1A , ( )1,2,4B , ( )0, 2,3C − . Calcule 
as coordenadas do pé H da altura relativa ao lado BC . 
 
8) Determine x para que os triângulos de vértices ( ) ( ) ( )1,1 , 2 ,1 , , 2A x B x x C x x+ + − + 
seja retângulo em B. 
 
9) Sejam , ,r s t três retas paralelas não coplanares. São marcados sobre r dois pontos 
A e 'A sobre s os pontos B e 'B e sobre t os pontos C e 'C de modo que os 
segmentos ' , ' , 'AA a BB b CC c= = = tenham o mesmo sentido. Determine 'GG em 
função de , ,a b c . 
 
10) Seja W um vetor unitário do 3 , normal aos vetores ( )1,1,1U = − e ( )0, 1, 1V = − − 
e com segunda coordenada positiva. Se  é o ângulo entre os vetores ( )2W U+ e V−
, 0
2

  , então ( )cossec 2 vale: 
a) 
2 6
5
 b) 
5 6
12
 c) 
15
3
 d) 
10
2
 e) 
3 6
2
 
 
11) Dados 4u = , 3v = e w um vetor unitário com: u ortogonal a v , o ângulo entre 
u e w é 
3

 e o ângulo entre v e w é 
2
3

. Calcule u v w− + . 
12) Os módulos dos vetores a e b são, respectivamente, 4 e 2. O ângulo entre eles é 
60°. Calcule o ângulo entre os vetores a b+ e a b− . 
 
13) Sabendo que 2 3u i j k= + − , u v w= + , onde v é paralelo a 3p i j= − e w é 
perpendicular a p , podemos afirmar que v w− é: 
a) 
19
2
 b) 14 c) 
27
4
 d) 20 e) 
53
2
 
 
14) O baricentro de um triângulo ABC é o ponto ( )4,1,9 e o ponto médio do lado BC é 
o ponto ( )1,5,6 . Quais são as coordenadas do ponto A? 
 
15) Determine as coordenadas dos pontos 1P e 2P que dividem o segmento de 
extremidades ( )3, 1A − e ( )0,8B na razão 2:3 . 
 
16) No triângulo ABC, são dados os pontos ( )4,10A − e ( )8, 1B − . Sabendo que o 
baricentro e o vértice C estão sobre os eixos y e x, respectivamente, encontre as 
coordenadas desses pontos. 
17) Em um paralelogramo, são dados: ( )3,1A , ( )5,6B e ( )1, 4C − . Quais são as 
coordenadas do ponto D? 
18) Dados os pontos ( ) ( ) ( )2,5 , 1,1 , 1, 1A B C− − − , o valor da altura do triângulo ABC 
em relação à base AC é igual a: 
a) 37 b) 5 c) 2 2 d) 
14 37
37
 e) 7 
19) A figura a seguir apresenta um plano que intercepta os eixos cartesianos x, y e z nas 
posições indicadas na figura. 
 
O módulo do cosseno do ângulo formado pela normal a esse plano com a direção 
vertical z é igual a: 
a) 
6
3
 b) 
2
2
 c) 
3
3
 d) 
1
2
 e) 
1
3
 
 
20) Nas proposições abaixo, coloque (V) nos parênteses à esquerda quando a 
proposição for verdadeira e (F) quando for falsa. 
( ) Se u e v são vetores do 3 , então 
2 2 2 2
u v u v u v+ + − = + . 
( ) Se u , v e w são vetores do 3 e u v u w =  , então v w= . 
( ) Se u e v são vetores do 3 , então eles são paralelos  0u v = 
( ) Se ( )3,0,4u = e ( )2, 2 2, 2v = , então 5u = , 4v = e 51
7
tg = , onde  
representa o ângulo formado pelos vetores u e v . 
( ) u v u v+  + para todos os vetores u e v do 3 . 
Lendo-se a coluna de parênteses da esquerda, de cima para baixo, encontra-se: 
a) F-F-F-V-V 
b) F-V-F-F-V 
c) V-F-V-V-F 
d) F-F-F-V-F 
e) V-V-V-F-F