Gabarito com Resolução da Lista 2 Cálculo I

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GABARITO DA 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS - CÁLCULO I 
 
1. Os esquemas dos exercícios c e d definem uma função (com conjuntos imagens 
{ } { }1Ime3,1,1,2Im =−−= , respectivamente), pois todo elemento do domínio A possui uma 
única imagem em B. O esquema do item a não define uma função pois o elemento 2− de A 
não está associado a nenhum elemento de B e o esquema do item b não define uma função 
pois o elemento 1 de A está associado a dois elementos de B. 
2. O gráfico do exercício a é de uma função. Além disso, { }4,3,2,1,0,1,2ImD −−== . 
O gráfico do exercício b também é de uma função. Temos ] [ { }3x2|Rx3,2D <<−∈=−= e 
[ ] { }3y1|Ry3,1Im ≤≤∈== . 
O gráfico do exercício c também é de uma função. Temos [ ] { }2x2|Rx2,2D ≤≤−∈=−= e 
[ ] { }4y0|Ry4,0Im ≤≤∈== . 
O gráfico do exercício d também é de uma função. Temos [ ] { }4x0|Rx4,0D ≤≤∈== e 
[ ] { }2y0|Ry2,0Im ≤≤∈== . 
O gráfico do exercício e também é de uma função. Temos [ ] { }5x0|Rx5,0ImD ≤≤∈=== . 
O gráfico do exercício f não é de uma função, pois uma mesma abscissa x entre 0 e 4 está 
associada a duas ordenadas (basta traçar uma vertical e verificar que esta corta a 
circunferência em dois pontos). 
3. Como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2311fe88f,1322f,26410310f 22 =+−=−=−−=+−−=−=−⋅= temos 
( ) ( ) ( ) ( ) .19281261f8f2f10f =+−−=+−+−+ 
 
4. a) Temos ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 221111f,022122f,423133f −=+−−−=−=+−−−=−=+−−−=− e 
( ) ( )( ) 220100f −=+−= . Logo, { }4,0,2Im −= . 
b) A função f não é injetora, pois dois pontos distintos do domínio ( )0e1− possuem imagens 
iguais. 
c) A função f não é sobrejetora, pois o contradomínio (conjunto R dos reais) é diferente do 
conjunto imagem (item a). 
5. a) ( ) 3
3
3
3
3
3
33f =
⋅
⋅
== . 
b) ( ) .
2
1
x6
x
36xf =⇔=⇔= 
6. Como Q2∉ , temos ( ) 2222f =⋅= . Como Q
2
1
∈ , temos 2
2
1
1
2
1f ==





. 
Portanto, ( ) 422
2
1f2f =+=





+ 
 
 
2 
7. a) { }6,5,4,3AD == . 
b) { }7,3,1Im= . 
c) Temos ( ) 3xfquetal6x == . 
d) ( ) 75f = . 
8. a) [ ]5,5Df −= 
[ ]3,2Im)b f −= 
( ) 3xou2x,2x,3x,4x0xf)c ==−=−=−=⇔= . 
( ) 30f)d = . 
( ) .4xou0x3xf)e ==⇔= 
( ) [ ] [ ] [ ]5,3xou2,2xou3,4x0xf)f ∈−∈−−∈⇔≥ . 
9. Pelo gráfico apresentado, temos { } [ ]7,17x1|RxD −=≤≤−∈= e 
{ } [ ]4,14y1|RyIm =≤≤∈= . 
10. { } { }.4x|Rx04x|RxD)a ≠∈=≠−∈= 
{ } { }.2x0x|Rx0x2x|RxD)b 2 ≠∧≠∈=≠−∈= 
{ }





 ≥∈=≥−∈=
2
3
x|Rx03x2|RxD)c . 
{ } { }4x1x|Rx01x04x|RxD)d ≠∧≥∈=≥−∧≠−∈= . 
{ } { } { } [ [∞+=≥∈=≥∧≥∈=≥−∧≥∈= ,22x|Rx2x0x|Rx02x0x|RxD)e 
11. As funções receita e custo são, respectivamente, ( ) ( ) x30,040xCex80,0xR ⋅+=⋅= , em que 
x é a quantidade de produto vendida/produzida. 
a) Para que o fabricante não ter lucro nem prejuízo, a receita deve ser igual ao custo, ou seja, 
( ) ( ) 80x40x50,0x30,040x80,0xCxR =⇔=⋅⇔⋅+=⋅⇔= . Logo, o fabricante deve vender 80 
unidades do produto para que não haja nem lucro e nem prejuízo. 
b) Temos ( ) ( ) 10020030,040200Ce16020080,0200R =⋅+==⋅= . Logo, se vender 200 
unidades desse produto, o comerciante terá lucro. 
12. Se x é o total de vendas que o vendedor fez durante o mês, a função S que representa seu 
salário mensal é dada por ( ) .x08,0900xS += Se durante um certo mês ele vendeu R$ 
100.000,00, então seu salário será de ( ) 900.8000.8900000.10008,0900000.100S =+=⋅+= . 
13. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ;5x57x527x5fxgfxgf)a 222 −−=+−=+==o 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) .27x20x57x25x2gxfgxfg 22 +−=+−=−==o 
( )( ) ( )( ) ( ) ;20545fxgfxgf)b =⋅===o ( )( ) ( )( ) ( ) .5x4gxfgxfg ===o 
 
3 
( )( ) ( )( ) ( ) ;1x1xfxgfxgf)c 22 −=−==o ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) .1x1xxgxfgxfg 2 −=−===o 
( )( ) ( )( ) ( ) ;
9
5x5
5x
3
5
5x
3fxgfxgf)d
2
2
−
=






−
=





−
==o ( )( ) ( )( ) .
x55
x3
5
x
5
3
x
5gxfgxfg 2
2
2
2
−
=
−
=





==o 
14. Injetoras: .xye
x
1y,x3y 3
1
3
==−= 
Não injetoras: .xintye|x|2y,xxy 24 ==−= 
15. a) Temos { } [ ]6,46x4|RxD −=≤≤−∈= e { } [ ]4,24y2|RyIm −=≤≤−∈= . 
b) A função não é injetora, pois é possível perceber dois pontos distintos (por exemplo, as 
raízes) com imagens iguais (0, no caso). 
16. a) Temos .
5
2y
x2x5y +=⇒−= Trocando-se y por x, temos ( ) .
5
2x
xf 1 +=− 
b) Temos ( ) ( ) .
2y
1y4
x1y42yx1y4x2xy1x24xy
4x
1x2y
−
+
=⇒+=−⇒+=−⇒+=−⇒
−
+
= 
Trocando-se y por x, temos ( ) .
2x
1x4
xf 1
−
+
=
−
 
c) Temos .yxxy 33 =⇒= Trocando-se y por x, temos ( ) .xxf 31 =− 
17. Temos .2y2x1
2
xy −=⇒+= Trocando-se y por x, temos ( ) 2x2xf 1 −=− . Portanto, 
( ) 62424f 1 =−⋅=− .