Resumo_p2 Prof Ducati

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Resumo P2 - IEDO
Gisele Ducati
26/abr/2012
Gisele Ducati () Resumo P2 - IEDO 26/abr/2012 1 / 19
EDO’s com coeficientes constantes (ordem 2)
ax ′′ + bx ′ + cx = g(t) , a, b, c ∈ R
1) Resolver a equação homogênea associada (g(t) = 0):
ax ′′ + bx ′ + cx = 0
cuja solução é
xh(t) = c1x1(t) + c2x2(t)
onde {x1, x2} é linearmente independente (isto é, W 6= 0).
2) Encontrar uma solução da equação não-homogênea: xp(t)
3) Escrever solução geral da equação dada
x(t) = xh(t) + xp(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + xp(t)
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EDO’s com coeficientes constantes (ordem 2)
ax ′′ + bx ′ + cx = g(t) , a, b, c ∈ R
1) Resolver a equação homogênea associada (g(t) = 0):
ax ′′ + bx ′ + cx = 0
cuja solução é
xh(t) = c1x1(t) + c2x2(t)
onde {x1, x2} é linearmente independente (isto é, W 6= 0).
2) Encontrar uma solução da equação não-homogênea: xp(t)
3) Escrever solução geral da equação dada
x(t) = xh(t) + xp(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + xp(t)
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EDO’s com coeficientes constantes (ordem 2)
ax ′′ + bx ′ + cx = g(t) , a, b, c ∈ R
1) Resolver a equação homogênea associada (g(t) = 0):
ax ′′ + bx ′ + cx = 0
cuja solução é
xh(t) = c1x1(t) + c2x2(t)
onde {x1, x2} é linearmente independente (isto é, W 6= 0).
2) Encontrar uma solução da equação não-homogênea: xp(t)
3) Escrever solução geral da equação dada
x(t) = xh(t) + xp(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + xp(t)
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Equações Diferenciais Homogêneas
ax ′′ + bx ′ + cx = 0
Solução: ert ⇒ Equação característica: ar2 + br + c = 0.
Três casos possíveis:
1 ∆ > 0: r1 6= r2 , r1,2 ∈ R
x(t) = c1er1t + c2er2t
2 ∆ = 0 : r1 = r2 = r , r ∈ R
REDUÇÃO DA ORDEM
x(t) = c1ert + c2tert = (c1 + c2t)ert
3 ∆ < 0: r1 = λ+ iµ , r2 = r∗1 = λ− iµ, r1,2 ∈ C
x(t) = eλt [c1 cos(µt) + c2 sin(µt)]
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Equações Diferenciais Homogêneas
ax ′′ + bx ′ + cx = 0
Solução: ert ⇒ Equação característica: ar2 + br + c = 0.
Três casos possíveis:
1 ∆ > 0: r1 6= r2 , r1,2 ∈ R
x(t) = c1er1t + c2er2t
2 ∆ = 0 : r1 = r2 = r , r ∈ R REDUÇÃO DA ORDEM
x(t) = c1ert + c2tert = (c1 + c2t)ert
3 ∆ < 0: r1 = λ+ iµ , r2 = r∗1 = λ− iµ, r1,2 ∈ C
x(t) = eλt [c1 cos(µt) + c2 sin(µt)]
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Redução da ordem
Dada uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea:
a(t)x ′′ + b(t)x ′ + c(t)x = 0 , (1)
tal que x1(t) seja uma solução conhecida da equação dada. A segunda
solução x2(t) é obtida através do método de redução da ordem que
consiste em supor que
x2(t) = x1(t)v(t)
que, introduzida em (1) resulta em uma EDO de primeira ordem em v(t).
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Equações Diferenciais Não-Homogêneas
• Variação dos parâmetros:
a(t)·
x ′′ + b(t)x ′ + c(t)x = g(t)
Sabemos que a solução da equação homogênea é
xh(t) = c1x1(t) + c2x2(t)
O método da variação dos parâmetros consiste em supor que a solução
particular é dada por:
xp(t) = c1(t)x1(t) + c2(t)x2(t)
A fim de encontrar c1 e c2 resolvemos o sistema:{
c ′1x1 + c
′
2x2 = 0
c ′1x
′
1 + c
′
2x
′
2 = g(t)
/a(t)
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Equações Diferenciais Não-Homogêneas
• Variação dos parâmetros:
a(t)·x ′′ + b(t)x ′ + c(t)x = g(t)
Sabemos que a solução da equação homogênea é
xh(t) = c1x1(t) + c2x2(t)
O método da variação dos parâmetros consiste em supor que a solução
particular é dada por:
xp(t) = c1(t)x1(t) + c2(t)x2(t)
A fim de encontrar c1 e c2 resolvemos o sistema:{
c ′1x1 + c
′
2x2 = 0
c ′1x
′
1 + c
′
2x
′
2 = g(t)/a(t)
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• Coeficientes Indeterminados: método utilizado para equações
não-homogêneas mas com coeficientes constantes!
ax ′′ + bx ′ + cx = f (t)
A função f (t) deve ser do tipo:
eα
t
,Pn(t), cosβt , sinβt
e somas ou multiplicações entre elas.
A idéia do método é supor que a solução particular da equação diferencial
dada é do mesmo tipo que função f (t) presente na equação original.
Assim, se f (t) é uma função exponencial: eαt , supomos que a solução
particular é xp(t) = Aeαt e determinamos qual o valor de A a fim de que
xp seja de fato uma solução particular da equação.
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f (x) xp(t)
2
A
2x − 1
Ax + B
x4 − 3x + 5
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
cos 3x
A cos 3x + B sin 3x
sin x
A cos x + B sin x
e3x
Ae3x
ex cos 4x
ex(A cos 4x + B sin 4x)
x2e−x
(Ax2 + Bx + C )e−x
xex cos x
ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ]
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f (x) xp(t)
2 A
2x − 1
Ax + B
x4 − 3x + 5
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
cos 3x
A cos 3x + B sin 3x
sin x
A cos x + B sin x
e3x
Ae3x
ex cos 4x
ex(A cos 4x + B sin 4x)
x2e−x
(Ax2 + Bx + C )e−x
xex cos x
ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ]
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f (x) xp(t)
2 A
2x − 1 Ax + B
x4 − 3x + 5
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
cos 3x
A cos 3x + B sin 3x
sin x
A cos x + B sin x
e3x
Ae3x
ex cos 4x
ex(A cos 4x + B sin 4x)
x2e−x
(Ax2 + Bx + C )e−x
xex cos x
ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ]
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f (x) xp(t)
2 A
2x − 1 Ax + B
x4 − 3x + 5 Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
cos 3x
A cos 3x + B sin 3x
sin x
A cos x + B sin x
e3x
Ae3x
ex cos 4x
ex(A cos 4x + B sin 4x)
x2e−x
(Ax2 + Bx + C )e−x
xex cos x
ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ]
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f (x) xp(t)
2 A
2x − 1 Ax + B
x4 − 3x + 5 Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
cos 3x A cos 3x + B sin 3x
sin x
A cos x + B sin x
e3x
Ae3x
ex cos 4x
ex(A cos 4x + B sin 4x)
x2e−x
(Ax2 + Bx + C )e−x
xex cos x
ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ]
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f (x) xp(t)
2 A
2x − 1 Ax + B
x4 − 3x + 5 Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
cos 3x A cos 3x + B sin 3x
sin x A cos x + B sin x
e3x
Ae3x
ex cos 4x
ex(A cos 4x + B sin 4x)
x2e−x
(Ax2 + Bx + C )e−x
xex cos x
ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ]
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f (x) xp(t)
2 A
2x − 1 Ax + B
x4 − 3x + 5 Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
cos 3x A cos 3x + B sin 3x
sin x A cos x + B sin x
e3x Ae3x
ex cos 4x
ex(A cos 4x + B sin 4x)
x2e−x
(Ax2 + Bx + C )e−x
xex cos x
ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ]
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f (x) xp(t)
2 A
2x − 1 Ax + B
x4 − 3x + 5 Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
cos 3x A cos 3x + B sin 3x
sin x A cos x + B sin x
e3x Ae3x
ex cos 4x ex(A cos 4x + B sin 4x)
x2e−x
(Ax2 + Bx + C )e−x
xex cos x
ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ]
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f (x) xp(t)
2 A
2x − 1 Ax + B
x4 − 3x + 5 Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
cos 3x A cos 3x + B sin 3x
sin x A cos x + B sin x
e3x Ae3x
ex cos 4x ex(A cos 4x + B sin 4x)
x2e−x (Ax2 + Bx + C )e−x
xex cos x
ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ]
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f (x) xp(t)
2 A
2x − 1 Ax + B
x4 − 3x + 5 Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
cos 3x A cos 3x + B sin 3x
sin x A cos x + B sin x
e3x Ae3x
ex cos 4x ex(A cos 4x + B sin 4x)
x2e−x (Ax2 + Bx + C )e−x
xex cos x ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ]
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Atenção: No caso de algum dos termos da solução proposta (segunda
coluna da tabela anterior) for também solução da equação homogênea
associada, tal solução deveráser multiplicada por x ou x2 até que nenhum
termo da solução proposta seja solução da equação homogênea associada.
Exemplo:
y ′′ − 2y ′ + y = 3ex
Solução complementar: yh(x) = c1ex + c2xex
Solução particular: yp(x) = A
x
ex
Ainda é solução da homogênea!
yp(x) = Ax2ex ⇒ A = 3/2
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Atenção: No caso de algum dos termos da solução proposta (segunda
coluna da tabela anterior) for também solução da equação homogênea
associada, tal solução deverá ser multiplicada por x ou x2 até que nenhum
termo da solução proposta seja solução da equação homogênea associada.
Exemplo:
y ′′ − 2y ′ + y = 3ex
Solução complementar: yh(x) = c1ex + c2xex
Solução particular: yp(x) = Axex
Ainda é solução da homogênea!
yp(x) = Ax2ex ⇒ A = 3/2
Gisele Ducati () Resumo P2 - IEDO 26/abr/2012 8 / 19
Atenção: No caso de algum dos termos da solução proposta (segunda
coluna da tabela anterior) for também solução da equação homogênea
associada, tal solução deverá ser multiplicada por x ou x2 até que nenhum
termo da solução proposta seja solução da equação homogênea associada.
Exemplo:
y ′′ − 2y ′ + y = 3ex
Solução complementar: yh(x) = c1ex + c2xex
Solução particular: yp(x) = Axex Ainda é solução da homogênea!
yp(x) = Ax2ex ⇒ A = 3/2
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Atenção: No caso de algum dos termos da solução proposta (segunda
coluna da tabela anterior) for também solução da equação homogênea
associada, tal solução deverá ser multiplicada por x ou x2 até que nenhum
termo da solução proposta seja solução da equação homogênea associada.
Exemplo:
y ′′ − 2y ′ + y = 3ex
Solução complementar: yh(x) = c1ex + c2xex
Solução particular: yp(x) = Axex Ainda é solução da homogênea!
yp(x) = Ax2ex ⇒ A = 3/2
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Oscilador harmônico
mx¨ + γx˙ + kx = F (t)
• Oscilador harmônico simples: γ = 0 e F (t) = 0
mx¨ + kx = 0⇒ x¨ + ω20x = 0 , ω20 = k/m
x(t) = Acosω0t + B sinω0t = R cos(ω0t − δ)
onde R2 = A2 + B2 e tan δ = B/A.
R - amplitude δ - fase ω0 - frequência T = 2pi/ω0 - período
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Figura: Movimento harmônico simples (http://openlearn.open.ac.uk)
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• Oscilador harmônico amortecido:
mx¨ + γx˙ + kx = 0
1 Movimento superamortecido: ∆ = γ2 − 4mk > 0
x(t) = Aer1t + Ber2t
2 Movimento criticamente amortecido : ∆ = γ2 − 4mk = 0
x(t) = Aert + Btert = (A + Bt)ert
3 Movimento subamortecido: ∆ = γ2 − 4mk < 0
x(t) = eαt [A cosβt + B sinβt]
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Figura: Movimento harmônico simples (http://openlearn.open.ac.uk)
(a) Subamortecido - movimento no ar
(b) Superamortecido - movimento no óleo
(c) Criticamente amortecido - movimento na água
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• Oscilador harmônico forçado (sem amortecimento):
mx¨ + kx = F0 cosωt
Batimento: |ω0 − ω| << 1 e γ = 0
Figura: Movimento harmônico forçado - batimentos
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Batimento: ω0 = ω e γ = 0
Figura: Movimento harmônico forçado - ressonância
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• Vibrações forçadas amortecidas:
mx¨ + γx˙ + kx = F0 cosωt
γ 6= 0 ⇒ lim
t→∞ xh(t) = 0
Assim, quando t →∞, x(t)→ xp(t) e, por esta razão xh(t) é chamada
solução transiente e xp(t) é chamada solução de estado estácionário.
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Sistemas lineares
x′(t) = Ax =
(
a11 a12
a21 a22
)
x(t) , x =
(
x1(t)
x2(t)
)
Autovalores:
P(λ) = det
(
a11 a12
a21 a22
)
= λ2 − (a11 + a22)λ+ a11a22 − a12a21
= λ2 − trAλ+ detA = 0
Autovetores:
Av = λv
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Três casos possíveis:
(i) λ1 6= λ2, λ1,2 ∈ R
x(t) = c1v1eλ1t + c2v2eλ2t
(ii) λ1 = λ2 = λ, λ ∈ R
x(t) = c1v1eλt + c2 (tv + w) eλt
onde (A− λ)w = v.
(iii) λ1 = λ∗2 = α± iβ, λ1,2 ∈ C
x(t) = c1v1eλ1t + c2v∗1eλ
∗
1t
Neste ponto, é conveniente escrevermos a solução do caso (iii) em termos
de funções reais.
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v1eλ1t =
(
v (1)1
v (2)1
)
eλ1t =
[(
a(1)
a(2)
)
+ i
(
b(1)
b(2)
)]
eλ1t = a + ib
x(t) = c1u(t) + c2w(t)
onde
u(t) = eαt [a cosβt − b sinβt]
v(t) = eαt [a cosβt + b sinβt]
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• Análise qualitativa:
Encontrar o ponto crítico: p tal que Ap = 0 e avaliar o comportamento da
solução quando t →∞.
Classificação:
Autovalores Tipo de ponto crítico Estabilidade
λ2 > λ1 > 0 Fonte Instável
λ2 < λ1 < 0 Atrator ou sorvedouro Assint. estável
λ2 < 0 < λ1 Ponto de sela Instável
λ1 = λ2 > 0 Nó impróprio Instável
λ1 = λ2 < 0 Nó impróprio Assint. estável
λ1,2 = α± iβ
α > 0 Fonte espiral Instável
α < 0 Sorvedouro espiral Assint. estável
α = 0 Centro Estável
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