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AD2-AI-2013-1-prova

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A´lgebra I
AD2 - Segunda Avaliac¸a˜o a Distaˆncia - Aulas 11 a 14
1a Questa˜o:
(a) (1, 0 ponto) Determine os elementos invert´ıveis de Z24 e mostre que cada um e´ o seu
pro´prio inverso.
(b) (0, 5 ponto) Calcule a soma de todos os elementos invert´ıveis de Z24.
(c) (0, 5 ponto) Calcule o produto de todos os elementos invert´ıveis de Z24.
2a Questa˜o:
(a) (1, 0 ponto) Mostre que nenhum nu´mero natural da forma 4n+ 3 pode ser escrito como
o quadrado ou a soma de dois quadrados de nu´meros naturais.
(b) (1, 0 ponto) Mostre que nenhum nu´mero a da forma 111...1 (n d´ıgitos iguais a 1, n > 1)
e´ quadrado ou soma de dois quadrados de nu´meros naturais.
3a Questa˜o: (2, 0 pontos) Seja n um natural. Mostre que 17 divide um, e apenas um, dos
seguintes nu´meros
n8 − 1, n8, n8 + 1.
4a Questa˜o: (2, 0 pontos) Mostre que, para todo n ∈ N, e´ inteiro o nu´mero
1
7
n7 +
1
5
n5 +
23
35
n.
5a Questa˜o: Sabemos que o Pequeno Teorema de Fermat afirma que se p e´ um nu´mero
primo que na˜o divide um inteiro a, enta˜o ap−1 ≡ 1(mod p). Euler observou que p − 1 e´
exatamente igual a φ (p), onde φ representa a func¸a˜o φ de Euler. Ale´m disso Euler obteve o
seguinte resultado, que e´ uma generalizac¸a˜o do Pequeno Teorema de Fermat: Sejam r e a
inteiros positivos e primos entre si. Enta˜o
aφ(r) ≡ 1 (mod r) .
1
(a) (1, 0 ponto) Seja dado um nu´mero natural m = pα11 ...p
αr
r decomposto em fatores irre-
dut´ıveis. Seja n um nu´mero natural tal que φ (pαii ) divide n, para todo i = 1, ..., r. Mostre
que m divide an − 1 para todo nu´mero natural a primo com m.
(b) (1, 0 ponto) Mostre que a12 − 1 e´ divis´ıvel por 4095 sempre que mdc(a, 1365) = 1.
2

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