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A´lgebra I AD2 - Segunda Avaliac¸a˜o a Distaˆncia - Aulas 11 a 14 1a Questa˜o: (a) (1, 0 ponto) Determine os elementos invert´ıveis de Z24 e mostre que cada um e´ o seu pro´prio inverso. (b) (0, 5 ponto) Calcule a soma de todos os elementos invert´ıveis de Z24. (c) (0, 5 ponto) Calcule o produto de todos os elementos invert´ıveis de Z24. 2a Questa˜o: (a) (1, 0 ponto) Mostre que nenhum nu´mero natural da forma 4n+ 3 pode ser escrito como o quadrado ou a soma de dois quadrados de nu´meros naturais. (b) (1, 0 ponto) Mostre que nenhum nu´mero a da forma 111...1 (n d´ıgitos iguais a 1, n > 1) e´ quadrado ou soma de dois quadrados de nu´meros naturais. 3a Questa˜o: (2, 0 pontos) Seja n um natural. Mostre que 17 divide um, e apenas um, dos seguintes nu´meros n8 − 1, n8, n8 + 1. 4a Questa˜o: (2, 0 pontos) Mostre que, para todo n ∈ N, e´ inteiro o nu´mero 1 7 n7 + 1 5 n5 + 23 35 n. 5a Questa˜o: Sabemos que o Pequeno Teorema de Fermat afirma que se p e´ um nu´mero primo que na˜o divide um inteiro a, enta˜o ap−1 ≡ 1(mod p). Euler observou que p − 1 e´ exatamente igual a φ (p), onde φ representa a func¸a˜o φ de Euler. Ale´m disso Euler obteve o seguinte resultado, que e´ uma generalizac¸a˜o do Pequeno Teorema de Fermat: Sejam r e a inteiros positivos e primos entre si. Enta˜o aφ(r) ≡ 1 (mod r) . 1 (a) (1, 0 ponto) Seja dado um nu´mero natural m = pα11 ...p αr r decomposto em fatores irre- dut´ıveis. Seja n um nu´mero natural tal que φ (pαii ) divide n, para todo i = 1, ..., r. Mostre que m divide an − 1 para todo nu´mero natural a primo com m. (b) (1, 0 ponto) Mostre que a12 − 1 e´ divis´ıvel por 4095 sempre que mdc(a, 1365) = 1. 2
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