Introdução-a-teoria-dos-Números-Completa-1-FAVENI

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO A TEORIA DOS NÚMEROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP
 
SUMÁRIO 
1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO .............................................................................. 4 
1.1 Sistema Decimal ................................................................................................. 4 
1.2 Sistema Binário ................................................................................................... 5 
2 OPERAÇÕES COM BINÁRIOS .......................................................................... 6 
2.1 Conversão de Decimal para Binário: .................................................................. 6 
2.2 Conversão de Binário para Decimal: .................................................................. 6 
2.3 Soma de Binários: ............................................................................................... 7 
2.4 Subtração de Binários: ........................................................................................ 8 
3 CÓDIGO ASCII ................................................................................................... 8 
4 SISTEMA HEXADECIMAL ............................................................................... 10 
4.1 Conversão direta entre Hexadecimal e Binário: ................................................ 10 
4.2 Conversão de Binário para Hexadecimal .......................................................... 10 
4.3 Conversão de Hexadecimal para Binário .......................................................... 11 
4.4 Conversão de Decimal para Hexadecimal ........................................................ 11 
4.5 Conversão de Hexadecimal para Decimal ........................................................ 12 
5 CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................................. 13 
5.1 Conjunto dos Números Naturais ..................................................................... 13 
5.2 Conjunto dos Números Inteiros ....................................................................... 13 
5.3 Módulo, ou valor absoluto de um número inteiro .............................................. 14 
5.4 Conjunto dos Números Racionais ................................................................... 14 
5.5 Conjunto dos Números Irracionais .................................................................. 14 
5.6 Conjunto dos Números Reais .......................................................................... 15 
6 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ...................................................................... 16 
6.1 Adição de Números Naturais ............................................................................ 16 
 
 
 
6.2 Propriedades da Adição .................................................................................... 16 
6.3 Subtração de Números Naturais ....................................................................... 17 
6.4 Multiplicação de Números Naturais .................................................................. 18 
6.5 Propriedades da Multiplicação .......................................................................... 18 
6.6 Divisão de Números Naturais ........................................................................... 20 
6.7 Relação essencial numa divisão de números naturais ..................................... 20 
7 DIVISIBILIDADE ............................................................................................... 21 
7.1 Critérios de Divisibilidade .................................................................................. 21 
7.2 Critério de divisibilidade por potências de 2 ...................................................... 21 
7.3 Critério de divisibilidade por 3 e por 9 ............................................................... 24 
7.4 Critério de divisibilidade por potências de 5 ...................................................... 25 
7.5 Critérios de divisibilidade por 7 e 11 ................................................................. 26 
8 O ALGORITMO DA DIVISÃO ........................................................................... 31 
8.1 Aplicando o algoritmo da divisão ...................................................................... 31 
9 DIVISÃO EUCLIDIANA ..................................................................................... 34 
9.1 Algoritmo de Euclides ....................................................................................... 35 
10 INTRODUÇÃO A ARITMÉTICA DOS NÚMEROS ............................................ 37 
10.1 NúmerosPrimos ................................................................................................ 37 
10.2 Reconhecendo números primos: Crivo de Erastóstenes................................. 37 
10.3 Decomposição em fatores primos...................................................................39 
10.4 Máximo divisor comum (m.d.c.).........................................................................40 
10.5 Mínimo múltiplo comum (m.m.c.).......................................................................41 
11 O ALGORITMO DA DIVISÃO ........................................................................... 43 
11.1 Equações de duas variáveis..............................................................................43 
11.2 Equações Diofantinas de três variáveis.............................................................45 
12 GENERALIZAÇÃO: EQUAÇÕES DIOFANTINAS DE N VARIÁVEIS ............... 52 
12.1 Solução Geral....................................................................................................52 
 
 
 
13 CONGRUÊNCIA NUMÉRICA ........................................................................... 57 
13.1 Significado de congruência e de congruência numérica...................................57 
13.2 Exemplos exploratórios e a notações ≡ mod q..................................................58 
13.3 Definição geral de congruência numérica..........................................................60 
13.4 Regras: somando e multiplicando congruências numéricas..............................61 
13.5 Regras: é possível simplificar ́ ac ≡ bc mod q para a ≡ b mod q?.......................62 
13.6 Aplicação: decidindo a divisibilidade de um número inteiro................................63 
13.7 Aplicação: decidindo a divisibilidade de uma soma...........................................64 
14 OS TEOREMAS DE EULER ............................................................................. 65 
14.1 Polígonos...........................................................................................................66 
14.2 Poliedros............................................................................................................70 
14.3 Relações entre Arestas, Faces e Vértices ........................................................ 71 
15 TEOREMAS DE FERMAT ................................................................................ 73 
15.1 O método de Fermat ........................................................................................ 73 
15.2 O pequeno teorema de Fermat ........................................................................ 76 
16 TEOREMA DE WILSON ................................................................................... 78 
17 TEOREMA CHINÊS DO RESTO ...................................................................... 79 
17.1 Origem .............................................................................................................. 79 
17.2 O Teorema ........................................................................................................ 79 
17.3 Exemplo de Aplicação do Teorema Chinês do Resto ....................................... 80 
17.4 Teorema Chinês do Resto Aplicado em Grupos ...............................................81 
18 A FUNÇÃO MAIOR INTEIRO ........................................................................... 82 
19 RESÍDUOS QUADRÁTICOS ............................................................................ 84 
19.1 Lei da Reciprocidade Quadrática ...................................................................... 87 
20 NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES ....................................... 100 
20.1 Algumas propriedades dos números algébricos e dos números 
transcendentes.........................................................................................................101 
 
 
 
20.2 Números De Liouville ...................................................................................... 102 
21 NÚMEROS DE LIOUVILLE ............................................................................ 102 
21.1 Teorema de Liouville e a demonstração da transcendência ........................... 102 
22 A TRANSCENDÊNCIA ................................................................................... 103 
22.1 A série ............................................................................................................ 103 
22.2 Prova da transcendência ................................................................................ 105 
22.3 A Constante E Não É Um Número De Liouville .............................................. 108 
23 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ................................................................................. 111 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um número em 
um determinado instante da evolução do homem. Tem-se que, numa determinada 
escrita ou época, os numerais diferenciaram-se dos números do mesmo modo que as 
palavras se diferenciaram das coisas a que se referem. Os símbolos "11", "onze" e 
"XI" (onze em latim) são numerais diferentes, representativos do mesmo número, 
apenas escrito em idiomas e épocas diferentes. Um sistema de numeração, (ou 
sistema numeral) é um sistema em que um conjunto de números são representados 
por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto como o contexto que permite 
ao numeral "11" ser interpretado como o numeral romano para dois, o numeral binário 
para três ou o numeral decimal para onze. 
 
 
Fonte: www.universiaenem.com.br 
1.1 Sistema Decimal 
O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. 
 Símbolos da base Decimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Baseia-se em uma 
numeração de posição, onde os dez algarismos indo-arábicos: 0 1 2 3 4 5 
6 7 8 9 servem a contar unidades, dezenas, centenas, etc. da direita para 
a esquerda. Contrariamente à numeração romana, o algarismo árabe tem 
 
5 
 
um valor diferente segundo sua posição no número: assim, em 111, o 
primeiro algarismo significa 100, o segundo algarismo 10 e o terceiro 1, 
enquanto que em VIII (oito em numeração romana) os três I significam 
todos 1. Assim: 
 
 
 
No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à esquerda do número escrito 
não altera seu valor representativo. Assim: 1; 01; 001 ou 0001 representam a mesma 
grandeza, neste caso a unidade. O símbolo zero posto à direita implica multiplicar a 
grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez). 
1.2 Sistema Binário 
O sistema binário ou base 2, é um sistema de numeração posicional em que todas 
as quantidades se representam com base em dois números. 
 Símbolos da base Binária: 0 1 Os computadores digitais trabalham 
internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de 
numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com efeito, num 
sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da 
lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de 
bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde 
a um byte (Binary Term). O sistema binário é base para a Álgebra booleana 
(de George Boole - matemático inglês), que permite fazer operações 
lógicas e aritméticas usando-se apenas dois dígitos ou dois estados (sim e 
não, falso e verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e desligado). Toda a 
eletrônica digital e computação está baseada nesse sistema binário e na 
lógica de Boole, que permite representar por circuitos eletrônicos digitais 
(portas lógicas) os números, caracteres, realizar operações lógicas e 
aritméticas. Os programas de computadores são codificados sob forma 
binária e armazenados nas mídias (memórias, discos, etc) sob esse 
formato. 
 
6 
 
2 OPERAÇÕES COM BINÁRIOS 
2.1 Conversão de Decimal para Binário: 
Divide-se sucessivamente por 2. Depois o número binário é formado pelo 
quociente da última divisão seguido dos restos de todas as divisões na sequência em 
que foram realizadas. Exemplo: 
 
 
2.2 Conversão de Binário para Decimal: 
Deve-se escrever cada número que o compõe (bit), multiplicado pela base do 
sistema (base=2), elevado à posição que ocupa. A soma de cada multiplicação de 
cada dígito binário pelo valor das potências resulta no número real representado. 
Exemplo: 
 
 
7 
 
2.3 Soma de Binários: 
 
 
Para somar dois números binários, o procedimento é o seguinte: 
Exemplo 1: 
 
 
Explicando: Na soma de 0 com 1 o total é 1. Quando se soma 1 com 1, o resultado 
é 2, mas como 2 em binário é 10, o resultado é 0 (zero) e passa-se o outro 1 para a 
"frente", ou seja, para ser somado com o próximo elemento, conforme assinalado pelo 
asterisco, como no exemplo acima. 
Exemplo 2: 
 
 
Explicando: Nesse caso acima, na quarta coluna da direita para a esquerda, nos 
deparamos com uma soma de 1 com 1 mais a soma do 1 ( * ) que veio da soma 
anterior. Quando temos esse caso (1 + 1 + 1), o resultado é 1 e passa-se o outro 1 
para frente. 
 
8 
 
2.4 Subtração de Binários: 
 
 
Para subtrair dois números binários, o procedimento é o seguinte: 
 
 
Explicando: Quando temos 0 menos 1, precisamos "pedir emprestado" do 
elemento vizinho. Esse empréstimo vem valendo 2 (dois), pelo fato de ser um número 
binário. Então, no caso da coluna 0 - 1 = 1, porque na verdade a operação feita foi 2 - 
1 = 1. Esse processo se repete e o elemento que cedeu o "empréstimo" e valia 1 passa 
a valer 0. Os asteriscos marcam os elementos que "emprestaram" para seus vizinhos. 
Perceba, que, logicamente, quando o valor for zero, ele não pode "emprestar" para 
ninguém, então o "pedido" passa para o próximo elemento e esse zero recebe o valor 
de 1. 
 
3 CÓDIGO ASCII 
O "American Standard Code for Information Interchange" comumente referido 
como ASCII – também chamado ASCII completo, ou ASCII estendido –, é uma forma 
especial de código binário que é largamente utilizado em microprocessadores e 
equipamentos de comunicação de dados. Com 7 bits pode-se representar um total de 
27 = 128 caracteres diferentes. Estes caracteres compreendem números decimais de 
0 até 9, letras maiúsculas e minúsculas do alfabeto, mais alguns outros caracteres 
especiais usados para pontuação e controle de dados. 
 
9 
 
 
 
 
 
10 
 
4 SISTEMA HEXADECIMAL 
O sistema hexadecimal é um sistema de numeração posicional que representa os 
números em base 16, portanto empregando 16 símbolos. 
 Símbolos da base Hexadecimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F O sistema 
hexadecimal está vinculado à informática, pois os computadores costumam 
utilizar o byte como unidade básica da memória. 1 byte = 8 bits e então um 
byte pode ser representado por 8 algarismos do sistema binário ou por 2 
algarismos do sistema hexadecimal. Ex: Bin = 10011100, Hexa= 9C. 
Exemplo de equivalência das 3 bases vistas até agora: 
 
 
4.1 Conversão direta entre Hexadecimal e Binário: 
 
4.2 Conversão de Binário para Hexadecimal 
Separe o número binário em grupos de 4 dígitos da direita para a esquerda e 
então faça a conversão de cada grupo de acordo com a tabela de conversão direta 
 
11 
 
acima. Caso aquantidade de dígitos a ser convertida não for um número múltiplo de 
4, complete com 0´s a esquerda até torná-lo múltiplo de 4 
 
Ex: (1010111001010) B para hexadecimal: 
 
 
 
Note que os 3 primeiros zeros foram preenchidos apenas para formar um grupo. 
Desta forma o número correspondente em hexadecimal é 15CA. 
4.3 Conversão de Hexadecimal para Binário 
Execute o processo inverso ao da conversão de binário para hexadecimal, 
convertendo cada dígito hexadecimal em um grupo de 4 dígitos binários. Ex: (1F7)H 
para binário: 
 
 
Podemos excluir os zeros à esquerda que sobraram no grupo mais a esquerda, 
assim o resultado em binário será: 111110111. 
4.4 Conversão de Decimal para Hexadecimal 
Para esta conversão, dividiremos o número decimal por 16 sucessivas vezes, 
separando sempre o seu resto e continuando a dividir o seu quociente até que ele seja 
menor que 16. Por fim, a sequência inversa dos restos (começando pelo quociente da 
última divisão) formará o resultado. 
 
 
12 
 
 
4.5 Conversão de Hexadecimal para Decimal 
Para realizarmos essa conversão, primeiro transformamos cada dígito 
hexadecimal em decimal. Assim o C, por exemplo, será convertido para 12. Agora 
multiplicamos cada número decimal convertido por 16n, onde n é casa decimal onde 
ele se encontra, sendo que o dígito mais a direita é 0. No final somamos todas as 
multiplicações obtidas.1 
 
 
 
1 Texto extraído: SCOTTI, Haline S. FERREIRA, Rodrigo F. Sistemas de Numeração Disponível em 
http://www.inf.ufsc.br/~bosco.sobral/extensao/sistemas-de-numeracao.pdf. Acesso em: 27/12/2018 às 
12:48h. 
 
http://www.inf.ufsc.br/~bosco.sobral/extensao/sistemas-de-numeracao.pdf
 
13 
 
5 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
5.1 Conjunto dos Números Naturais 
Os números naturais são usados para indicar uma contagem, uma ordem ou um 
código. A sequência dos números naturais é: 0, 1, 2, 3, ..., e o conjunto que representa 
esta sequência de números é denotado por: 
 
 
5.2 Conjunto dos Números Inteiros 
Com o passar dos tempos os números naturais tornaram-se insuficientes para a 
resolução de todos os problemas matemáticos e, na busca de suprir essas 
necessidades, foi criado o conjunto dos números inteiros, que é composto pelos 
números naturais (inteiros positivos e o zero) e os números inteiros negativos. O 
conjunto dos números naturais é denotado por: 
 
 
 
Podemos representar os números inteiros em uma reta numérica. Veja: 
 
 
 
14 
 
5.3 Módulo, ou valor absoluto de um número inteiro 
Podemos determinar na reta numérica, a distância de qualquer ponto em relação 
à origem (representada pelo zero). Assim, a distância entre qualquer ponto e a origem 
da reta numérica é chamada de valor absoluto ou módulo de um número associado a 
esse ponto. 
 Por exemplo: o valor absoluto do número +4 é 4 (a distância do ponto 4 à origem 
é 4). 
Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a distância do ponto -3 à origem é 3) 
Notação de módulo: |-a| = a 
5.4 Conjunto dos Números Racionais 
Os números racionais são todos os números que podem ser colocados na forma 
de fração, com o numerador e denominador ou seja, o conjunto dos números 
racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e 
negativas. 
Pode ser representado por: 
 
 
5.5 Conjunto dos Números Irracionais 
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, são 
números que não podem ser escritos na forma de fração. Exemplos: Os números 
abaixo têm uma representação decimal não periódica com infinitas ordens decimais. 
 
 
15 
 
 
5.6 Conjunto dos Números Reais 
O conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais. Pode ser representado por: 
 
 
 
Diagrama geral 
 
 
De onde temos: 
 
 
 
16 
 
6 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
6.1 Adição de Números Naturais 
A primeira operação fundamental na matemática é a adição. Onde esta operação 
está ligada a ideia de juntar, acrescentar algo. 
 
 
6.2 Propriedades da Adição 
Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma 
de dois números naturais resulta em um número natural. 
 
 
 
Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na 
adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer, é possível associar 
de quaisquer modos, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
17 
 
Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro 
que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento 
neutro (zero), o resultado será o próprio número natural. Assim: a + 0 = a 
 
Exemplo: 5 + 0 = 5 
 
Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a 
ordem das parcelas não altera a soma. Assim: a + b = b + a 
 
Exemplo: 6 + 10 = 16 = 10 + 6 
6.3 Subtração de Números Naturais 
A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo, ou seja, tirar ou diminuir alguma 
coisa. O resultado obtido através dessa operação e denominado diferença. Exemplo: 
 
 
 
Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades. 
 
18 
 
 
6.4 Multiplicação de Números Naturais 
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado 
multiplicador ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número 
denominado multiplicador. 
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 
 
 
 
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que 
geram o produto, são chamados fatores. Usamos x ou •, para representar a 
multiplicação. 
6.5 Propriedades da Multiplicação 
Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto dos números naturais 
pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em 
 
 
19 
 
 
Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos 
diferentes. Assim: 
 
 
Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro 
para a multiplicação que é 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 
 
 
 
Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos 
fatores não altera o produto, Assim, 
 
 
 
Distributiva: Multiplicando um número natural pela soma de dois números 
naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir 
adicionar os resultados obtidos. Assim, 
 
 
20 
 
6.6 Divisão de Números Naturais 
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o 
segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado 
dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado 
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. 
 
 
 
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é 
possível obter um número natural como resultado na divisão de outros dois números 
naturais. 
 
 
6.7 Relação essencial numa divisão de números naturais 
1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor 
que o dividendo. Por exemplo: 35: 7 = 5. 
2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é produto do 
divisor pelo quociente. Por exemplo: 35 = 5 x 7 
3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se 
admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n : 
0 = q, e isso significaria que: n = 0 x q = 02 
 
 
2 Texto extraído: ASSIS, Luciana M. Elias. Conjunto dos Números Naturais. Disponível em: 
http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_9327apostila_matematica_basica_pdf.pd
f-Acesso em 27/12/2018 às 13:37h. 
http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_9327apostila_matematica_basica_pdf.pdf-Acesso%20em%2027/12/2018
http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_9327apostila_matematica_basica_pdf.pdf-Acesso%20em%2027/12/201821 
 
7 DIVISIBILIDADE 
7.1 Critérios de Divisibilidade 
Um critério de divisibilidade é uma regra que permite avaliarmos se um dado 
número natural é ou não divisível por outro número natural, sem que seja necessário 
efetuarmos a divisão. Nesta aula exibiremos os principais critérios de divisibilidade e 
explicaremos porque esses critérios funcionam. 
 
 
Fonte:www.lomeutec.com.br 
7.2 Critério de divisibilidade por potências de 2 
O primeiro critério de divisibilidade a ser estudado é muito simples: 
 
 
 
Para identificar um número par, basta observarmos o algarismo da unidade desse 
número: números pares têm algarismo da unidade igual a 0, 2, 4, 6 ou 8. Dessa forma, 
podemos afirmar que um número é divisível por 2 quando seu algarismo das unidades 
é divisível por 2. 
 
 
22 
 
 
 
Vamos ao próximo critério: 
 
 
Exemplo 2. Os números 1316, 2208, 145728 e 74648 são divisíveis por 4, pois 
seus dois últimos algarismos, respectivamente 16, 08, 28 e 48, formam números 
divisíveis por 4. Os números 4443, 1817, 2015 e 63663 não são divisíveis por 4, pois 
seus dois últimos algarismos, respectivamente 43, 17, 15 e 63, formam números que 
não são divisíveis por 4. 
 
 
 
Exemplo 3. Os números 14136, 13184, 2088 e 111112 são divisíveis por 8, pois 
os números formados por seus três últimos algarismos, respectivamente 136 = 8 · 17, 
184 = 8 · 23, 088 = 8 · 11 e 112 = 8 · 14, são múltiplos de 8. Os números 1881, 321123, 
777778 e 91919292, pois os números formados por seus três últimos algarismos, 
respectivamente 881, 123, 778 e 292, não são divisíveis por 8. 
Comparando esses três critérios de divisibilidade, vemos que surge um padrão, 
ou seja, uma propriedade similar que se repete nos três casos: 
 
23 
 
• Um número natural N é divisível por 21 se o n´umero formado 
pelo último algarismo de N for divisível por 2 1. 
• Um número natural N é divisível por 22 se o número formado 
pelos 2 últimos algarismos de N for divisível por 22. 
• Um número natural N é divisível por 23 se o n´umero formado 
pelos 3 últimos algarismos de N for divisível por 23. Observando 
esse padrão, podemos supor que ele se repete para potências de 
2 com expoente maior. Dessa forma, é possível formular a 
seguinte 
 
 
Observe que essa generalização precisa ser justificada. Uma vez provada a sua 
validade, estarão também demonstrados os critérios que exibimos antes. Veremos 
mais adiante como justificar essa generalização. Por enquanto, vamos checar a 
validade do critério no caso p = 4. 
Exemplo 4. Considere o número natural N = 234828432. Vamos verificar se N é 
divisível por 16. Os 4 últimos algarismos de N formam o número 8432 = 16 · 527, 
divisível por 16. Assim, confiando na validade do critério, afirmamos que N é divisível 
por 16. Claro que podemos verificar esse fato diretamente, dividindo N por 16 e 
obtendo N = 16 · 14676777. A vantagem do critério é que reduzimos o cálculo a uma 
divisão onde o dividendo tem, no máximo, 4 algarismos. Para números muito grandes 
isso pode fazer uma diferença significativa no esforço a ser despendido nesse cálculo. 
Observação 5. Vale ressaltar que os critérios exibidos acima não só apontam 
quando um número é divisível por uma potência de 2, como também determinam o 
resto da divisão por essa potência de 2. Por exemplo, o número 222222 não é divisível 
por 4 pois 22 não é divisível por 4. Além disso, como 22 deixa resto 2 quando dividido 
por 4, 222222 também deixa resto 2 quando dividido por 4. Da mesma forma, 222222 
 
24 
 
deixa resto 6 quando dividido por 8, pois esse ́ e o resto que 222 deixa quando dividido 
por 8. 
7.3 Critério de divisibilidade por 3 e por 9 
Critério de divisibilidade por 3 e por 9 
 
 
Note que o critério de divisibilidade por 3 não leva em consideração apenas os 
algarismos finais do número N, e sim todos os algarismos do número. Exemplos 6. O 
número 123 é divisível por 3, pois 1 + 2 + 3 = 6 é divisível por 3. O número 423712 
não é divisível por 3, pois 4 + 2 + 3 + 7 + 1 + 2 = 19 não é divisível por 3. 
Observação 7. Assim como ressaltamos na observação 5, o critério de 
divisibilidade por 3 também determina o resto da divisão de um número por 3. Assim, 
no exemplo 6 o número 423712 não é divisível por 3 e o resto da divisão desse número 
por 3 coincide com o resto da divisão de 19 por 3, que ´e 1. Note que 1+9 = 10, que 
também deixa resto 1 quando dividido por 3. Em geral, podemos afirmar que um 
número deixa o mesmo resto que a soma de seus algarismos quando dividido por 3. 
Análogo ao critério de divisibilidade por 3 é o critério de divisibilidade por 9: 
 
 
 
De um modo mais geral, podemos afirmar que um número deixa o mesmo resto 
que a soma de seus algarismos quando dividido por 9. Exemplo 8. O número 18135 
é divisível por 9, pois 1+ 8+ 1 + 3 + 5 = 18 é divisível por 9. Exemplo 9. Vamos testar 
a divisibilidade por 9 de um número grande: 
 
 
 
 
25 
 
A soma dos algarismos desse número é 4 + 5 + 5 + 7 + 2 + 1 + 6 + 0 + 5 + 0 + 6 
+ 7 + 6 = 54. e 54 é um m´múltiplo de 9, logo N é múltiplo de 9. Veja que poderíamos 
ter repetido o primeiro passo para o resultado da soma, obtendo 5 + 4 = 9. 
Observação 10. Quando estudamos os critérios de divisibilidade por 2, 4 e 8, 
vimos que é possível generalizar os critérios, obtendo-se um critério para potências 
de 2. Isso não funciona no caso das potências de 3. Um aspecto importante dos 
números 3 e 9 é que as potências de 10 deixam resto 1 quando divididas por 3 ou por 
9. Como veremos mais adiante, isso é fundamental para o funcionamento do critério 
e não ocorre no caso da divisão de uma potência de 10 por 27. 
7.4 Critério de divisibilidade por potências de 5 
O critério de divisibilidade por 5 é muito simples: 
 
 
 
Exemplos 11. O número 2015 é divisível por 5 pois termina em 5. O número 
314570 é divisível por 5 pois termina em 0. Para a divisibilidade por 25 devemos 
verificar os dois últimos algarismos do número. 
 
 
 
Exemplo 12. Os números 2025, 117175, 14650 e 80100 são todos divisíveis por 
25, pelo critério acima. Os números 121314, 25026, 10001 e 23461 não são divisíveis 
por 25. 
 
 
26 
 
 
 
Exemplo 13. Os números 20000, 10125, 122250, 200375, 118500, 1437625, 
1444750 e 23875 são todos divisíveis por 125, pois os números formados pelos seus 
três últimos algarismos são, respectivamente, 0, 125, 250, 375, 500, 625, 750 e 875, 
todos divisíveis por 125. Assim como no caso das potências de 2, há aqui um padrão 
que pode ser generalizado: 
 
 
 
Observação 14. O critério generalizado acima é similar ao critério que obtivemos 
para potências de 2. Isso não é coincidência. Explicaremos, mas adiante que isso é 
consequência da igualdade 10 = 2 · 5. 
7.5 Critérios de divisibilidade por 7 e 11 
Para a divisibilidade por 7 temos dois critérios. O primeiro requer algumas 
explicações preliminares A posição de cada algarismo de um número, contada a partir 
da direita, é chamada ordem do algarismo. Assim, em um número, o algarismo das 
unidades é de primeira ordem, o das dezenas ´e de segunda ordem, o das centenas 
é de terceira ordem, assim por diante. Por exemplo, no número N = 23437 as ordens 
são as seguintes: 
 
 
27 
 
 
O algarismo 3 ocupa no número N duas ordens diferentes: 2 a e 4a. Cada grupo 
de três ordens de um número, contadas a partir da direita, forma uma classe. A 
primeira classe é formada pelas três primeiras ordens: unidades, dezenas e centenas. 
A segunda classe é formada pelas três ordens seguintes: unidades de milhar, dezenas 
de milhar e centenas de milhar. A terceira classe é formada pelas ordens, da sétima 
a nona: unidades de milhão, dezenas de milhão e centenas de milhão, e assim 
sucessivamente. Dessa forma, cada classe possui três ordens. Vejamos, por exemplo, 
o número N = 214356728913. 
 
No número N acima, o algarismo 7 é de sexta ordem e segunda classe. Vamos 
chamar de número da classeo número formado pelos três algarismos de uma mesma 
classe. Para o número N acima, os números da 1a, 2 a, 3 a e 4a classes são, 
respectivamente, 913, 728, 356 e 214. Finalmente, vamos denotar por a soma 
dos números das classes ímpares e por a soma nos números das classes pares 
de um dado número. Por exemplo, para o número 
 e Com essa 
preparação, podemos escrever nosso primeiro critério de divisibilidade por 7: 
 
 
 
28 
 
 
 
Para esclarecer o que significa a expressão “diferença não negativa”, vamos 
examinar o seguinte 
 
 
 
 
29 
 
Há um segundo critério para a divisibilidade por 7 
 
 
 
 
 
Observação 19. Note que N = 10b + a pode ser divisível por 7 sem que b − a seja 
divisível por 7. Por exemplo, se N = 21 = 7·3, então b = 2, a = 1 e b−a = 1 não é 
divisível por 7. Isso indica que o critério acima não pode ser usado para encontrar o 
resto da divisão de um número por 7. Finalmente, vamos estabelecer um critério para 
a divisibilidade por 11. 
 
 
30 
 
 
 
Observação 20. De modo mais geral, podemos dizer que N deixa o mesmo resto 
que Soi − Sop quando dividido por 11. Exemplo 21. Considere o número N = 3767632. 
Temos 
 
 
 
Aqui, o significado de “diferença não negativa” ´e semelhante ao que aparece no 
primeiro critério de divisibilidade por 7, como esclarece o próximo exemplo 
 
 
 
31 
 
8 O ALGORITMO DA DIVISÃO3 
O algoritmo utilizado no Brasil para realizar a divisão é conhecido como “método 
da chave”. Para realizar a divisão por meio desse algoritmo, devemos dispor os 
elementos da seguinte maneira: 
Dividendo | divisor 
 Resto Quociente 
 
O quociente será um número que, multiplicado pelo divisor, terá como resultado o 
dividendo, isto é, 
q·d = D 
 
Caso essa divisão tenha resto, escreve-se: 
r + q·d = D 
 
Portanto, para realizar uma divisão pelo método da chave, temos como pré-
requisito saber toda a tabuada de multiplicação. 
8.1 Aplicando o algoritmo da divisão 
Exemplo 1 - Observe a divisão de 9 por 3: 
9 | 3 
-9 3 
0 
 
Nesse caso, observamos: Dividendo = 9, divisor = 3, quociente = 3 e resto = 0. 
 
 
3 Texto extraído: NETO, Ângelo P.N. Critérios de Divisibilidade. Disponível: 
https://portaldosaber.obmep.org.br/uploads/material_teorico/5obdvodxmnk8c.pdf. Acesso em: 
27/12/2018 às 15:02h. 
 
https://portaldosaber.obmep.org.br/uploads/material_teorico/5obdvodxmnk8c.pdf
 
32 
 
Podemos escrever a seguinte expressão: 
r + q·d = D 
0 + 3·3 = 9 
 
Nesse caso, não houve resto. 
 
Exemplo 2 - Observe agora a divisão de 92 por 2. Nesse caso, em um primeiro 
momento, dívida 9 por 2 e coloque o resto 1. Observe que 4·2 +1 = 9, logo, 
colocamos 4 no quociente, o resultado de 4·2 abaixo do 9 (que é o número que 
estamos dividindo nesse primeiro momento) e diminuímos 9 por esse resultado. O 
resto é 1. 
92 | 2 
-8 4 
1 
 
Ao lado do resto 1, “desça” o próximo algarismo do dividendo: 
92 | 2 
-8 4 
12 
 
Agora repita o processo para o número 12, formado pelo resto e pelo próximo 
número do dividendo inicial: 
92 | 2 
-8 46 
12 
-12 
0 
 
O resultado dessa divisão é 46. Podemos escrever, portanto, a seguinte 
expressão: 
r+ q·d = D 
 
33 
 
0 + 46·2 = 92 
Exemplo 3 - Observe agora a divisão de 486 por 2. Dividimos 4 por 2, depois 
dividimos 8 por 2 e depois dividimos 6 por 2, seguindo os passos detalhados no 
exemplo anterior. 
486 | 2 
-4 243 
08 
-8 
06 
-6 
0 
 
Se o primeiro algarismo do dividendo for menor que o divisor, considere os dois 
primeiros. Se mesmo assim continuar menor, considere os três primeiros e assim 
sucessivamente. Observe a divisão de 361 por 30: 3 é menor que 30 e, por esse 
motivo, consideramos 36 para a primeira divisão: 
361 | 30 
-30 12 
61 
-60 
1 
 
Desse modo, podemos escrever 361 = 1 + 30·12.4 
 
 
4 Texto extraído: Algoritmo da divisão. Mundo Educação. Disponível em: 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/algoritmo-divisao.htm. Acesso em: 
27/12/2018 às 15:21h. 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/algoritmo-divisao.htm
 
34 
 
9 DIVISÃO EUCLIDIANA 
Euclides enunciou, porém não demonstrou, uma das regras mais importantes 
dentro da Matemática, a divisão euclidiana, conhecida também como divisão com 
resto. 
Esse resultado é visto por todos desde o Ensino Fundamental e aplicado, não 
somente no interstício escolar, mas em diversas situações do dia a dia. Dados a b ∈ 
Z, com , existem unicamente determinados tais que 
 
 
 
Demonstração. Para a prova desse resultado consideremos dois casos: 
 
 
 
Provaremos inicialmente a existência. Como a ∈ Z e b > 0, temos que a deve ser 
um múltiplo de b ou estar entre dois múltiplos consecutivos de b. Assim, existe q ∈ Z 
tal que 
 
Aplicando a distributividade na segunda desigualdade e subtraindo q.b. na 
inequação, obtemos 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
Para verificarmos o teorema quando 
. 
A demonstração é análoga ao caso anterior. Na divisão euclidiana, o número q é 
chamado quociente da divisão de a por b e r o resto dessa divisão. É importante 
observar que o teorema enunciado acima considera números inteiros. Contudo, 
Euclides quando enunciou essa regra, considerava medidas representadas por 
números naturais. Segundo [9], a noção de números inteiros veio séculos depois, com 
Brahmagupta (628 d.C.) interpretando noções de dívidas, entretanto, vários séculos 
se passaram desde sua aparição até sua aceitação, uma vez que haviam dúvidas 
quanto a sua veracidade. No século XVI, Stiffel denominava-os de números absurdos 
e Cardano, de soluções falsas de uma equação. Na divisão euclidiana de 257 por 13 
temos o quociente 19 e resto 10, ou seja, 256 = 13(19) + 10. 
9.1 Algoritmo de Euclides 
Sejam números inteiros não negativos com . Se 
o algoritmo da divisão for aplicado sucessivamente para se obter. 
 
 
 
36 
 
 
 
Demonstração. pode ser 
facilmente determinado. Suponhamos que Assim temos que 
 
 
 
Realizando a segunda iteração, obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
10 INTRODUÇÃO A ARITMÉTICA DOS NÚMEROS 
 
Fonte:www.revistazunai.com.br 
10.1 Números Primos 
Chamamos de número primo qualquer número natural n>1 que tenha apenas dois 
divisores diferentes: 1 e ele próprio. Os números que têm mais de dois divisores são 
chamados de números compostos. 
Exemplos: 
a) 23 é um número primo. Seus únicos divisores são: 1 e 23. 
b) 42 é um número composto. Além de ser divisível por 1 e 42, é também divisível 
por 2, 3, 6, 7, 14 e 21. 
10.2 Reconhecendo números primos: Crivo de Erastóstenes 
O Crivo de Erastóstenes foi um dos primeiros métodos conhecidos para se 
encontrar números primos, que consiste em organizar os números inteiros positivos a 
partir do número 2, em ordem crescente, numa tabela composta por números de 2 a 
n, e remover os múltiplos de cada primo determinado. Logo, aparecerão nessa 
sequência números que não serão múltiplos dos anteriores e, portanto, não serão 
removidos da tabela. Estes números serão os números primos procurados. 
Inicialmente, colocamos na tabela, uma sequência de inteiros positivos numerados de 
2 a 100 conforme segue: 
 
38 
 
 
 
Aplica-se o conceito de número primo para o inteiro positivo 2. Sabendo-se que o 
número 2 é um número primo, marca-se na tabela todos os números que sejam 
múltiplos de 2; O primeiro número da sequência que aparecer sem estar marcado será 
um número primo, que neste caso, é o número 3. Em seguida, marca-se todos os 
números que sejam múltiplos de 3; O próximo número que aparecer sem estar 
marcado, que neste caso, é o número 5, será o nosso terceiro número primo da 
sequêncianumérica da tabela. Seguindo este raciocínio um número finito de vezes, é 
possível ao final determinar todos os números primos p compreendidos entre 2 e 100 
da tabela acima. 
Obs.: é possível ainda, criar uma sequência de números primos acima de 100 a 
partir do crivo de Erastóstenes. Além disso, para saber se um número é primo, 
podemos utilizar o seguinte algoritmo: 
1. Dado um número natural n, calcule. Se a raiz for exata, significa que 
temos um número quadrado perfeito e, portanto, composto. Se a raiz 
quadrada não for exata, pegue somente a parte inteira do número obtido. 
2. Divida n por todos os naturais maiores do que 1 até chegar ao número 
obtido a partir do cálculo da raiz quadrada de n. 
 
39 
 
3. Se n não for divisível por nenhum dos números da sequência iniciada 
em 2 e terminada no maior número inteiro menor do que dizemos 
que este número n é primo. Caso exista algum divisor nessa sequência, 
então n será composto. 
 
Por exemplo: Verifique se n=1167 é primo 
 
 
10.3 Decomposição em fatores primos 
Um número composto pode ser decomposto em fatores primos. Sendo utilizado o 
método das divisões sucessivas. Exemplo: 
 
 
40 
 
630 = 2 x x 5 x 7 
Números primos entre si Dois números são denominados primos entre si, quando 
o único divisor comum entre os dois é o número 1. 
 
Exemplo: Determine os divisores comuns de 15 e 16 
D (15) = {1, 3, 5, 15} 
D (16) = {1, 2, 4, 8, 16} 
 
Portanto o único divisor comum de 15 e 16 é 1. 
10.4 Máximo divisor comum (m.d.c.) 
O máximo divisor comum de dois ou mais números, na forma fatorada, é o maior 
divisor comum entre eles. Cálculo do m.d.c. 
 Um dos modos de calcular o m.d.c. de dois ou mais números consiste em 
utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 
1. Decompor os números em fatores primos; 
2. Realizar o produto dos fatores primos comuns (os fatores primos comuns 
são considerados com o menor expoente). 
 
Exemplo: Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 84 e 90: 
 
 
 
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns com menor expoente (neste caso, 
os expoentes são iguais nos dois números, então, basta pegar o fator primo de 
qualquer um dos números). Portanto, m.d.c. (84,90) = 2 x 3 = 6 
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores 
comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. 
 
41 
 
 Cálculo do m.d.c. pelo processo das divisões sucessivas. 
 
Neste processo efetuamos sucessivas divisões utilizando o algoritmo da divisão, 
até chegar a uma divisão exata. O último resto não nulo das sucessivas divisões será 
o m.d.c. procurado. 
 
 Exemplo: Calcule m.d.c. (48,30) 
1. Dividimos o número maior pelo número menor; 48 30 = 1 (com resto 18) 
2. Realize uma nova divisão entre o divisor 30 com o resto 18 obtido. 
Repita este processo até que o resto seja zero. Assim: 
 
 
 
3. O último resto não nulo obtido a partir das sucessivas divisões feitas acima 
corresponde ao número 6. Portanto, m.d.c. (48,30) = 6 
10.5 Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor dos 
múltiplos comuns a eles, diferentes de zero. Ou ainda: O mínimo múltiplo comum de 
dois ou mais números escritos na forma fatorada, é o produto dos fatores comuns e 
não comuns desses números. Os fatores comuns são considerados com o maior 
expoente. 
Cálculo do m.m.c. 
 
Para calcular o m.m.c. de dois ou mais números podemos usar: 
 Decomposição simultânea em fatores primos. 
 
 
42 
 
Exemplo: Calcular o m.m.c. entre 18,25 e 30. 
 
 
 
 Decompondo cada número separadamente. 
1. Decompor em fatores primos cada número; 
2. Multiplicar os fatores primos comuns e não comuns e, entre os fatores 
comuns, escolher aquele que apresenta maior expoente. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
43 
 
11 O ALGORITMO DA DIVISÃO5 
11.1 Equações de duas variáveis 
Uma equação diofantina de duas variáveis é dita linear se ela é da forma ax+by = 
c, onde a, b e c ∈ Z, com a e b não nulos. Uma solução inteira desse tipo de equação 
é o par de inteiros x0, y0 que satisfaz a igualdade: 
 
 
Vejamos aqui um exemplo simples de equação diofantina: 
 
 
Podemos exprimir facilmente uma solução inteira da equação dada. 
Consideremos o par (15, 10). Se o substituir na equação, obtemos: 
 
 
O que mostra que esse par é uma solução. Mas sempre as equações diofantinas 
vão ter soluções inteiras? Pretendemos responder essa pergunta logo abaixo. Porém, 
antes disso vamos observar a seguinte equação: 
 
 
 
 
5 Texto extraído: ASSIS, Luciana M. Elias. Conjunto dos Números Naturais. Disponível em: 
http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_9327apostila_matematica_basica_pdf.pd
f-Acesso em 27/12/2018 às 15:47h. 
http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_9327apostila_matematica_basica_pdf.pdf-Acesso%20em%2027/12/2018
http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_9327apostila_matematica_basica_pdf.pdf-Acesso%20em%2027/12/2018
 
44 
 
Analisando a equação dada é possível verificar que esta não admite soluções 
inteiras. A justificativa é simples. Suponhamos que x0, y0, números inteiros, é uma 
solução da equação. 
 
Assim . 
 
Contudo, pelo lado esquerdo da igualdade temos que 
 
 
Por outro lado, 1023 é ímpar. Daí segue que essa equação não admite solução 
inteira. Uma das condições para que a equação diofantina da forma ax + by = c admita. 
Solução inteira é que m.d.c. (a b) | c. Vamos mostrar esse resultado na seguinte 
proposição. 
 
 
Por outro lado, seja d = m.d.c. (a b). Então d | a e d | b, ou seja, a e b podem ser 
reescritos como a = k1d e b = k2d, com k1, k2 ∈ Z. Substituindo os valores de a e b 
na equação acima segue que, 
 
 
 
Portanto, d | c. 
(⇐) Considere d = m.d.c. (a, b). Pela relação de Bachet-Bézout, existem inteiros 
x0 e y0 tais que: 
 
 
45 
 
Por hipótese temos que d | c, ou seja, existe t ∈ Z tal que c = dt. Segue então que: 
 
 
11.2 Equações Diofantinas de três variáveis 
Dizemos que uma equação diofantina é linear de três variáveis se ela é escrita da 
forma: 
ax + by + cz = s, 
 
Em que a, b, c, z ∈ Z, no qual os coeficientes a, b e c não são nulos. 
Vimos na proposição 3.1.1 que uma equação diofantina linear de duas variáveis 
ax + by = c possui solução se, se somente se, mdc(a, b) | c. De forma similar, as 
equações diofantinas de três variáveis admitem solução se, e somente se, o termo a 
direita da igualdade é divisível pelo máximo divisor comum dos coecientes a b e c. 
Enunciamos esse resultado na seguinte proposição. 
 
 
 
 
46 
 
 
 
Contudo, é mais interessante conhecermos uma forma geral para todas as 
soluções do que apenas casos particulares. Nesse sentido, na proposição a seguir 
determinaremos o conjunto dessas soluções a partir de soluções particulares. Para 
isto, reduziremos a equação diofantina de três variáveis a uma de duas variáveis, que 
sabemos resolver utilizando a teoria desenvolvida até aqui. 
 
 
 
47 
 
 
 
 
48 
 
Apesar da demonstração anterior não seguir este viés, é importante ressaltar que 
em uma equação do formato ax + by + cz = k, poderíamos considerar p = ax + by e 
resolver a equação de duas variáveis p + cz = k. A partir desta, determinamos a 
solução geral, ou seja, o valor de z e o valor de p (p = p0 + ct e z = z0 − t). Na sequência 
basta resolvermos ax + by = p0 + ct que obteremos os respectivos valores das 
incógnitas x e y. Na próxima seção apresentamos três exemplos mostrando o 
processo para a determinação da solução geral de equações diofantinas de três 
variáveis. 
 
Exemplos: 
Determine a solução de 56x + 72y + 21z = 317. 
 
Solução: Reescrevendo a equação acima de tal forma que em um lado da 
igualdade permaneça apenas as variáveis x e y, obtemos 56x + 72y = 317 − 21z. Essa 
equação admite solução somente se mdc(56,72) | 317−21z. No entanto, como 
mdc(56, 72) = 8, para que a equação tenha solução devemos ter 8 | 317−21z. Pela 
divisão euclidiana, consideremos z = 8k + r, de forma que r é o número entre 0 e 7 
que satisfaça 8 | 317 − 21(8q + r). 
Observemos que: 
 
 
 
Como r assume valores de 0 a 7, o único valor possível de r tal que 8|5 − 21r é 1. 
Assim z = 8q + 1 e, portanto, 56x + 72y = 296 − 168q. Determinaremos agora as 
soluções particulares dessa equação de duas variáveis. 
Pelo algoritmo de Euclides: 
 
49 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
51 
 
 
 
 
52 
 
12 GENERALIZAÇÃO: EQUAÇÕES DIOFANTINAS DE N VARIÁVEIS 
 
12.1 Solução Geral 
O método para determinar a solução geral de uma equação diofantina 
solucionável de n variáveis consiste basicamente em reduzir a equação em uma outra 
equação composta de duas variáveis, que já sabemos resolver. Com esse 
procedimento determinaremos o valor da n-ésima incógnita. Após, devemos 
solucionar uma equação de n − 1 incógnitas, e, procedendo de forma análoga, 
obteremos o valor da incógnita de índice n−1. Repetindo esse processo 
consecutivamente, paramos apenas no momento em que nos depararmos com uma 
 
53 
 
equação de duas variáveis do formato a1x1 + a2x2 = k, cuja solução é conhecida. 
Vamos ilustrar esse método com o seguinte exemplo referente a uma equação 
diofantina composta por 5 variáveis: Exemplo 3.4.1. Determine a solução da equação 
30x + 42y + 70z + 105u + 26v = 41. Solução. Para resolver esse exemplo, 
primeiramente devemos verificar se a equação possui solução. Como mdc (30, 42, 
70, 105, 26) = 1, a solução pode ser determinada. Seja: 
 
 
 
54 
 
 
 
55 
 
 
 
56 
 
 
 
57 
 
 
 
13 CONGRUENCIA NUMERICA6 
13.1 Significado de congruência e de congruência numérica 
Em Matemática, ocasionalmente trabalhamos com igualdades que não são 
identidades. Ou seja: pode ser vantajoso ou conveniente tratarmos dois objetos 
matemáticos (dois números, duas figuras, duas funções, etc.) como sendo iguais. 
Para evitar confusão, se usa a palavra congruência para denotar esse tipo de 
igualdade. O leitor certamente já encontrou esse tipo de situação quando estudou 
congruência de figuras (como congruência de triângulos). Coube a um dos maiores 
matemáticos de todos os tempos, Karl F. Gauss, aplicar a ideia de congruência aos 
números inteiros. Isso ele fez em seu livro Disquisitiones Arithmeticæ (= Estudos de 
Aritmética) c. 1800, o qual revolucionou a Teoria dos Números. A exploração da 
paridade serve como exemplo bem simples da essência da ideia de congruência de 
números. Seja decidir se 345 678 + 1 111 111 é número par ou ímpar. Em vez de 
 
6 Texto extraído: LIMA, Ricardo V. Equações Diofantinas. Disponível em: 
https://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/comat/tcc_Ricardo.pdf. Acesso em: 27/12/2018 às 
19:28h. 
https://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/comat/tcc_Ricardo.pdf
 
58 
 
efetuarmos a soma desses números e depois ver se ela é par ou ímpar, meramente 
observamos que se trata de uma soma do tipo par + ímpar, logo podemos afirmar que 
o resultado é ímpar, sem nem ter calculado seu valor! Na terminologia que 
desenvolveremos adiante, dizemos que decidimos a paridade da soma usando 
“congruência módulo 2” 
13.2 Exemplos exploratórios e a notações ≡ mod q 
Exemplo 1 
Mostrar que as sucessivas potências de 10 são números múltiplos de 6 
aumentados de 4. Obviamente, 10 = 4 + 6. O caso 100 se reduz a esse: 100 = 10x10 
= (4+6) x10 = 40 + 10x6 = 36 + 4 + 10x6 = 6x6 + 4 + 10x6 = 4 + 16x6. 
Semelhantemente, o caso 1000 se reduz ao de 100. Contudo, vejamos uma maneira 
ainda mais inteligente de raciocinarmos. Introduzindo a notação M6, para indicar 
qualquer múltiplo de 6, refaçamos os cálculos acima: 100 = 10x10 = (4+6) x10 = 40 + 
M6 = 4 + 36 + M6 = 4 + M6. A vantagem dessa notação fica ainda mais evidente no 
caso 1000. Vejamos: 1000 = 10x100 = 10x (4 + M6) = 40 + M6 = 4 + 36 + M6 = 4 + 
M6. Também fica evidente que o padrão continua: 10 000 = 10x1000 = 10x (4 + M6) 
= etc. Bem, a ideia de Gauss permite abreviar ainda mais esses cálculos. 
 
 
Com isso, podemos refazer os cálculos acima: 100 = 10 × 10 ≡ 10 × 4 ≡ 40 ≡ 4. O 
caso 1000 fica: 1000 = 10×100 ≡ 10×4 ≡ 40 ≡ 4. Para 10 000: 10000 = 10×1000 ≡ 
10×4 ≡ 40 ≡ 4, etc. É imediato generalizar para 
 
 
 
 
 
59 
 
Exemplo 2 
Todo número natural é igual a um múltiplo de 6 somado com seu algarismo das 
unidades e mais “o produto de 4 pela soma dos demais algarismos”. Exemplificando, 
7452 = M6+2+4× (7+4+5). Provemos isso, iniciando com 7 452 = 7000 + 400 + 50 + 2 
e usando o exercício anterior, o que dá: 
 
 
E, novamente, somando: 7452 ≡ 2+4×(7+4+5) , ou seja: a menos de um múltiplo 
de 6, 7 452 é igual a 2+4×(7+4+5) . 
 
Exemplo 3 
Se um número natural for tal que “a soma do seu algarismo das unidades com o 
produto de 4 pela soma dos demais algarismos” resultar num número divisível por 6 , 
então o número dado também é divisível por 6. 
 
 
60 
 
 
 
13.3 Definição geral de congruência numérica 
 
 
Cuidado, observe que : 
• eventualmente, precisaremos admitir inteiros k negativos; por 
exemplo, assim como 19 ≡ 5 mod 7 (pois 19 = 5+2×7), também 
temos 5 ≡ 19 mod 7, (pois 5 = 19+(−2) ×7); 
• não é permitido tomar o módulo q = 1; V. consegue perceber o 
porquê disto? 
 
61 
 
 
13.4 Regras: somando e multiplicando congruências numéricas 
 
 
Prova: Usando a notação Mq, podemos ver facilmente a veracidade desses 
resultados. Mostremos apenas o caso mais difícil, o da multiplicação. Assim, a partir 
de a ≡ b mod q e c ≡ d mod q (ou seja: a = b + M q e c = d + M q), temos ac = (b + M 
q) (d + M q) = bd +dM q +bM q + M qM q = bd + M q + M q + M q = bd + M q , de modo 
que ac ≡ bd mod q. 
 
 
62 
 
 
13.5 Regras: é possível simplificar ´ ac ≡ bc mod q para a ≡ b mod q? 
Em geral, não! Exemplificando: vale 44 ≡ 8 mod 6, mas não podemos simplificar 
por 4 e afirmar que 11 ≡ 2 mod 6. Com efeito, 11 ≡ 5 mod 6. Tentemos entender por 
que a simplificação não funcionou nesse caso. Certamente, 44 - 8 ≡ 0 ou 4× (11-2) ≡ 
0, ou ainda: 4 × 9 ≡ 0, e gostaríamos de concluir que 9 ≡ 0 (pois é o mesmo que 11-2 
≡ 0, ou 11 ≡ 2). Ora, examinando todas as possibilidades de resultado mod 6 para o 
produto 9n, obtemos o quadro abaixo, o qual mostra que 9n ≡ 0 ocorre mais de uma 
vez, para n não nulo. Ou seja, somente sabendo que 9n ≡ 0, não podemos garantir 
que 9 ≡ 0. 
 
 
 
Isso nos leva a investigar quando mn ≡ 0 mod q nos permite concluir que ao menos 
um dentre m e n ≡ 0 mod q. Revertendo para a aritmética de inteiros, isso equivale a 
perguntar quando q dividindo o produto mn nos permite concluir que q divide ao menos 
 
63 
 
um dentre m e n. Ora, já sabemos pelo Lema de Euclides que isso ocorre quando q 
for primo. Conclusão: 
 
 
 
13.6 Aplicação: decidindo a divisibilidade de um número inteiro 
Uma técnica para decidir a divisibilidade de um inteiro a consiste em trabalhamos, 
usando alguma engenhosidade, de modo a chegar a um ponto onde podemos usar a 
muito simples observação: 
 
 
Exemplo: 
O número 74 315 é divisível por 9? Já sabemos que 10n ≡ 1 mod 9 , de modo 
que, como 74315 = 70000+4000+300+10+5 = 7×10000+4× 1000+3×100+10+5 , 
obtemos em mod 9: 74315 ≡ 7×1+4×1+3×1+1×1+5 ≡ 7+4+3+1+5 ≡ 20 ≡ 2. Logo, não 
podemos chegar a zero mod 9, e assim 74 315 não é divisível por 9. 
 
 
64 
 
 
 
 
Com raciocínios semelhantes, podemos achar regras para divisibilidade para 2, 3, 
4, 5, ..., 9. O quadro abaixo resume algumas delas. 
 
13.7 Aplicação: decidindo a divisibilidade de uma soma 
Temos duas técnicas, conforme se mostra nos exemplos a seguir. 
 
 
 
 
65 
 
 
14 OS TEOREMAS DE EULER7 
Leonhard Euler nasceu em 15 de abril de 1707 na cidade Basileia, Suíça, filho de 
pastor calvinista que tinha desejo de fazer seu filho seguir seuscaminhos. Faleceu 
em 18 de setembro de 1783, com 76 anos. Conta-se que de manhã brincou com os 
netos, tratou de questões matemáticas sobre voo de balões e realizou alguns cálculos 
sobre a ´orbita do planeta Urano, descoberto recentemente. À tarde, foi acometido de 
um forte AVC e não resistiu. Do conhecimento matemático e criando outros novos. 
Euler escreveu cerca de 900 tratados, livros e estudos. Jornais e editores da época 
não conseguiam acompanhar a velocidade de sua produção. Isto é notório, pois em 
1909, 126 anos após sua morte, a Academia de Ciências da Suíça decidiu editar o 
conjunto completo de sua obra, começando os trabalhos em 1911, com o título de 
Opera Omnia, e isto permitiu-se que vislumbrássemos o gigantesco material fornecido 
por Euler. O projeto desenvolveu-se praticamente por todo o século XX e ainda não 
foi completado. Há 73 grandes volumes da Opera Omnia com cerca de 25.000 páginas 
em Latim, francês e Alemão, cobrindo variados temas da Matemática pura e aplicada. 
Euler escreveu sobre Álgebra, Geometria, Teoria dos Números, Topologia, Cálculo, 
Equações Diferenciais, Geometria Diferencial, Cálculo das Variações, Musica, 
Astronomia, Mecânica, Engenharia, Acústica, Mecânica Celeste, etc. Suas 
contribuições na Geometria, compiladas em cerca de 1.600 páginas na Opera Omnia, 
apresenta uma descoberta no triângulo no plano euclidiano, que nem os gregos, com 
tantos séculos de estudos e análises neste polígono conseguiram identificar. Euler 
provou que em qualquer triângulo o ortocentro, que ´e o ponto de encontro das alturas 
relativas aos vértices, o baricentro, que ´e o ponto de encontro das medianas relativas 
 
7 Texto extraído: Congruência Numérica. Disponível em: http://mat.ufrgs.br/~portosil/aula-5.pdf. 
Acesso em: 28/12/2018 às 12:33h. 
 
http://mat.ufrgs.br/~portosil/aula-5.pdf
 
66 
 
aos lados e o circuncentro, que ´e o ponto de encontro das mediatrizes relativas aos 
lados, estes três pontos notáveis são colineares, isto é, há uma reta que os contém. 
Hoje essa reta é conhecida como Reta de Euler. Ainda há o teorema sobre as 
faces, vértices e arestas de poliedros simples, onde afirma que o número de vértices 
somado ao número de faces e subtraindo do número de arestas é sempre igual a dois: 
V − A + F = 2 
 
Esta relação será demonstrada no Capítulo 2. Antes de Euler, Descartes 
percebera tal relação, mas Euler demonstrou-a e publicou-a, sendo conhecida hoje 
como Teorema de Euler dos Poliedros. 
14.1 Polígonos 
 
Fonte:www.estudokids.com.br 
Daremos aqui um tratamento adequado para a definição de polígono, permitindo-
nos alcançar o principal objetivo deste trabalho que é a demonstração do Teorema de 
Euler para poliedros. Imaginamos que o leitor já tenha conhecimento de noções 
geométricas primitivas como ponto, reta e plano conheça também propriedades 
elementares de figuras geométricas simples como o triângulo, sabendo que a soma 
 
67 
 
de seus ângulos internos equivale a 180◦, ou π radianos, e que um triângulo equilátero 
possui os três lados congruentes e os três ângulos internos congruentes. De modo 
geral, os polígonos podem ser identificados como figuras planas fechadas, formadas 
por finitos segmentos de retas unidos por suas extremidades. 
Esta informação nos dá uma ideia básica do que seja polígono agora, com mais 
detalhes, iniciemos considerando três pontos A B e C no plano. Se o ponto C pertencer 
a reta diremos então que A, B e C são colineares. Caso contrário, diremos 
que A, B e C são não colineares 
 
 
 
 
68 
 
 
 
 
 
69 
 
Cada vértice do polígono determina um ângulo interno e um ˆangulo externo 
formado pelas aberturas dos lados concorrentes a este vértice. Neste trabalho, fica 
entendido que quando referirmos ao ângulo interno do polígono, chamaremos apenas 
de ângulo. 
 
 
 
 
70 
 
 
14.2 Poliedros 
De modo geral, Poliedros podem ser imaginados como sólidos formados por 
faces. Definição Poliedro: é uma reunião de um número finito de polígonos 
denominados faces, de modo que: 
1. Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, 
outro polígono. 
2. A interseção de duas faces quaisquer, ou é um lado comum, ou é um vértice 
ou é vazia. 
3. E sempre possível ir de um ponto de uma face a um ponto de qualquer 
outra, sem passar por nenhum vértice. Chama-se aresta do poliedro o lado 
comum a exatamente duas faces. Chama-se vértice do poliedro a cada 
vértice da face. 
 
Qualquer poliedro, atendendo a definição acima, limita o espaço em duas regiões: 
interior ao poliedro e exterior a ele. Pode-se dizer que um poliedro é convexo se a 
região do espaço interior a ele for convexa. Podemos definir região convexa da 
seguinte forma: Um conjunto A de pontos no espaço é convexo quando qualquer 
segmento de reta que liga dois pontos distintos de A está inteiramente contido em A. 
Para os poliedros, podemos adequar a definição acima por uma equivalente, na forma: 
Um poliedro é convexo se qualquer reta, não contida no plano de alguma de suas 
faces, o intersecta em no máximo dois pontos distintos. 
 
71 
 
 
14.3 Relações entre Arestas, Faces e Vértices 
Dado um poliedro vamos verificar as relações entre faces, vértices e arestas. 
Assim, sejam A o número de arestas, F o número de faces e V o número de vértices. 
Como os polígonos que formam as faces podem ser de gêneros diferentes, 
representaremos por conforme, ao número de faces que possuem n 
lados. Do mesmo modo, os vértices podem ser de gêneros diferentes, então podemos 
representá-los por ao número de vértices nos quais concorrem n 
arestas. Assim, podemos escrever os números F e V como: 
 
 
 
 
72 
 
Agora relacionaremos as arestas do poliedro com suas faces. Para isto, imagine 
desmontando o poliedro face por face e dispondo estes polígonos sobre uma mesa. 
Assim, podemos contar o número de arestas A, somando o número de lados de 
polígonos formados por triângulos, isto é, de gênero F3, também dos quadriláteros, 
de gênero F4 e assim por diante. Mas cada aresta do poliedro ´e lado de exatamente 
duas faces e ao proceder nesta soma, contamos o número de arestas em dobro. 
Assim, 
 
 
 
Relacionemos, por fim, o número de arestas com o número de vértices do 
poliedro. Para tanto, basta multiplicar por três o número de vértices do gênero V3, 
multiplicar por quatro o número de vértices do gênero V4 e assim por diante, somando 
estes resultados. Neste proceder, contamos o número de arestas em dobro. Assim, 
 
 
 
Duas desigualdades que ocorrem entre arestas e faces e também entre arestas e 
vértices são descritas pela seguinte propriedade: 
 
 
 
73 
 
 
 
15 TEOREMAS DE FERMAT8 
15.1 O método de Fermat 
Nesta seção vamos descrever um método para achar um fator de determinado 
número ou saber se ele primo. Para começar supomos que n é ímpar, pois se fosse 
par, então 2 seria um de seus fatores. A ideia do algoritmo é tentar achar números 
inteiros positivos x e y tais que n = x 2 − y 2. Supondo que encontramos estes números, 
temos que 
 
 
 
 
 
8 Texto extraído: Parreira, José Roberto Penachia. P258p poliedros e o Teorema de Euler [manuscrito] 
/ José Roberto Penachia Parreira. – 2014. 80 f.: il., figs. Disponível em: 
https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tde/2970/5/Poliedros_E_Teorema_de_Euler.pdf. Acesso 
em: 28/12/2018 as 13:28h. 
https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tde/2970/5/Poliedros_E_Teorema_de_Euler.pdf
 
74 
 
 
 
75 
 
 
 
76 
 
 
15.2 O pequeno teorema de Fermat 
O Pequeno Teorema de Fermat afirma que se p é um número primo e é um inteiro 
qualquer então p divide a p −a. Antes de demonstrá-lo precisamos de um resultado 
auxiliar. 
 
 
77 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 
 
16 TEOREMA DE WILSON9 
Uma aplicação do inverso multiplicativo é o famoso teoremade Wilson. 
Primeiramente precisamos de um lema. 
 
 
 
9 Texto extraído: BARBOSA, Henrique F. Teoria dos Números e Criptografia. Disponível em: 
https://www.dm.ufscar.br/~ptlini/TCC_Henrique_Favarom_Barbosa.pdf.Acesso em : 28/12/2018 às 
14:00h. 
https://www.dm.ufscar.br/~ptlini/TCC_Henrique_Favarom_Barbosa.pdf.Acesso
 
79 
 
 
 
17 TEOREMA CHINÊS DO RESTO 
17.1 Origem 
Problemas antigos da astronomia, ligados aos movimentos periódicos dos corpos 
celestes, deram origem ao hoje conhecido como Teorema Chinês de Restos. O nome 
veio do fato dos problemas terem sido originários dos antigos matemáticos chineses. 
Há registros de problemas relacionados ao tema propostos no século terceiro depois 
de Cristo. 
17.2 O Teorema 
 
 
80 
 
 
17.3 Exemplo de Aplicação do Teorema Chinês do Resto 
 
 
81 
 
17.4 Teorema Chinês do Resto Aplicado em Grupos 
 
 
 
 
82 
 
18 A FUNÇÃO MAIOR INTEIRO10 
Dado um número real x, sempre é possível dizer que ou ele será um número 
inteiro n, ou estará entre um inteiro n e o seu sucessor n+1. Por exemplo, o número 
real 2,7 está entre os inteiros 2 e 3; o número real -2 está entre os inteiros -2 e -1, o 
número real está entre 3 e 4 e o número real 5 é o próprio número inteiro 5. Usando a 
linguagem matemática, acabamos de dizer que, para todo número real x, existe um 
único inteiro n tal que n menor ou igual que x menor que n+1. Esse número inteiro n 
é chamado de "parte inteira de x", cuja notação é [x]. Em relação aos exemplos, segue 
que: [2,7] = 2, [- 2] = -2; [3,5] = 3 e [5] = 5. 
Vamos ver agora uma aplicação da função parte inteira. Se eu corro x quilômetros 
em t minutos, como posso saber o tempo médio por quilômetro? Se corri 5 km em 30 
minutos, faço a divisão de 30 por 5 e concluo que o tempo médio é de 6 minutos/ km, 
mas, se tivesse corrido os mesmos 5 km em 31 minutos, qual seria o significado de 
31/5 que me conduziria ao número 6,2? A parte inteira indica 6 minutos e a parte 
decimal 1/5 de minuto ou, de outra forma, 20% de 60 segundos. Usando o conceito e 
o símbolo da função parte inteira, concluímos que o tempo médio por quilômetro 
corrido será dado por: [x/t] minutos e {(x/ t) -[x/ t]}.60 segundos. 
A função parte inteira, que à primeira vista pode parecer uma simples brincadeira 
matemática, constitui importante ferramenta para a programação de computadores. 
Convido agora você a construir o gráfico da função parte inteira no plano cartesiano. 
Definimos função parte inteira de x à função f: R → R definida por f(x)=[x] onde [x] é o 
maior inteiro menor que x Gráfico de f(x)=[x] 
 
 
10 Texto extraído: TORRES, F. Teorema Chinês do Resto. Disponível em: 
https://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/Yana1_EA2016.pdf. Acesso em 
28/12/2018 às 14:27h. 
https://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/Yana1_EA2016.pdf
 
83 
 
 
 
84 
 
19 RESÍDUOS QUADRÁTICOS11 
 
 
11 Texto extraído: Tipos importantes de funções. Disponível em: 
https://miltonborba.org/CD2/MaisFuncoes.pdf. Acesso em: 28/12/2018 às 14:34h. 
https://miltonborba.org/CD2/MaisFuncoes.pdf
 
85 
 
 
 
86 
 
12 
 
12 Texto extraído: Resíduos Quadráticos. Disponível em : 
http://www.mat.uc.pt/~mat0615/FolhasDelfos/ResiduosQuadraticos.pdf. Acesso em 28/12/2018 às 
14:53h. 
http://www.mat.uc.pt/~mat0615/FolhasDelfos/ResiduosQuadraticos.pdf
 
87 
 
19.1 Lei da Reciprocidade Quadrática 
A primeira demonstração deste teorema foi dada por Gauss e encontra-se no seu 
livro Disquisitiones Aritmética onde se menciona que Euler conhecia o resultado em 
1775 e que Legendre publicou uma demonstração deficiente em 1785. Contam que 
Gauss encontrou oito demonstrações. Uma lista com 221 demonstrações, os autores 
e os métodos utilizados são apresentados no final deste trabalho. Uma demonstração 
utilizando argumentos geométricos foi proposta por Einstein (1823 - 1852). 
Inicialmente, é necessário fazer algumas considerações para tentar compreender a 
Lei da Reciprocidade Quadrática. Para dois primos ímpares distintos p e q ambos os 
símbolos de Lagrange e estão definidos. A questão que surge é, o que 
acontece se trocarmos neles os papéis de p e q, ou seja: O que tem a ver a questão 
se q é um resto quadrático mod p com a questão se p é um resto quadrático mod q? 
 
Para um número ímpar m temos que é par se m ≡1(mod 4) , enquanto 
ímpar se m ≡ 3 (mod 4) . Assim, o produto é ímpar (par) ⇔, ambos 
p e q são ≡ 3 (mod 4) (pelo menos um de p ou q é ≡1(mod 4)). Logo, a lei da 
reciprocidade diz que podemos simplesmente trocar p e q se pelo menos um de p ou 
q é ≡1 (mod 4). Porém, se p ≡ q ≡ 3 (mod 4), o símbolo invertido troca o sinal. A lei de 
Gauss de reciprocidade quadrática fornece um rápido algoritmo para determinar se a 
é quadrado módulo p onde a é um inteiro e p um número primo. Lembramos que a é 
quadrado módulo n se existe x ∈ Z com 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
 
 
89 
 
 
 
 
90 
 
 
 
A demonstração apresentada a seguir pode ser encontrada em [2]. Teorema: (Lei 
de reciprocidade quadrática). Sejam p e q primos ímpares. 
 
 
 
Demonstração: Na notação acima, com a = q, para cada j ∈ P, onde P ={1,2,...,( p 
−1)/ 2}, temos que ε j = −1 se e só se existe y ∈ Z tal que − ( p −1)/ 2 ≤ qj − py < 0. Tal 
y deve pertencer a Q, onde Q = {1, 2..., (q −1) / 2}. 
 
 
 
 
91 
 
 
 
 
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100 
 
 
 
20 NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES13 
Um número complexo α é chamado algébrico se é raiz de algum polinômio não 
nulo com coeficientes inteiros. O polinômio minimal de α é o polinômio primitivo1 de 
menor grau que tem α como raiz. Nesse caso, o grau de α é definido como o grau do 
seu polinômio minimal. Denotamos: Q = Conjunto dos números algébricos. Um 
número complexo α é chamado transcendente, se ele não é algébrico. A definição de 
números transcendentes é uma definição do século XV III e, segundo Euler, esses 
números são chamados transcendentes porque transcendem o poder das operações 
algébricas. Contudo, apenas um século depois verificou-se a existência desses 
 
13 Texto extraído: Introdução `a Teoria dos Números: Funções Aritméticas disponível em: 
http://www.uel.br/eventos/colmatsul/livros/Funcoes_Aritmeticas.pdf. Acesso em 28/12/2018 às 15:27 
http://www.uel.br/eventos/colmatsul/livros/Funcoes_Aritmeticas.pdf
 
101 
 
números, quando, em 1844, Liouville exibiu os primeiros exemplos. Números racionais 
são exemplos de números algébricos: 
 
 
20.1 Algumas propriedades dos números algébricos e dos números 
transcendentes 
Na proposição a seguir, vemos algumas propriedades do conjunto dos números 
algébricos. 
 
 
 
Usando a proposição anterior, verifica-se que o conjunto dos números algébricos 
forma um corpo. Ao longo deste livro, veremos alguns exemplos de números 
transcendentes. Entretanto, é possível verificar a existência desses números sem 
apresentar exemplos explícitos, através da seguinte proposição. Proposição 1.5. O 
conjunto dos números algébricos é enumerável. Um resultado conhecido é que R, o 
conjunto dos números reais, é não-enumerável. Observe que, com a proposição 
anterior, conseguimos concluir que existem números reais que são transcendentes e 
que existe uma quantidade não enumerável desses números, caso contrário, o 
conjunto dos números reais seria enumerável. 
 
102 
 
20.2 Números De Liouville 
É interessante observar que, quando Liouville exibiu os primeiros exemplos de 
números transcendentes, em 1844, ainda não existia esse conceito de 
enumerabilidade, uma vez que esse conceito se deve a Cantor que nasceu em 1845, 
um ano depoisque Liouville exibiu esses números. A seguir, relembramos a definição 
de conjuntos de medida (de Lebesgue) nula em R. 
 
 
 
Dizemos que uma condição é satisfeita por quase todos os números reais, se o 
subconjunto de R dos elementos que não satisfazem tal condição tem medida nula. 
Proposição 1.8. Quase todo número real é transcendente. Demonstração. Pela 
Proposição 1.5, segue que o conjunto dos números algébricos é enumerável, em 
particular, Q ∩ R é enumerável. Segue, da Proposição 1.7, que Q ∩ R tem medida 
nula. Com isso concluímos que quase todo número real é transcendente. 
 
21 NÚMEROS DE LIOUVILLE 
21.1 Teorema de Liouville e a demonstração da transcendência 
 
 
103 
 
22 A TRANSCENDÊNCIA DE 
As primeiras referências à constante e foram publicadas em 1618 em um trabalho 
sobre logaritmos de John Napier. Entretanto, esse trabalho não continha a constante 
especificamente, mas simplesmente uma lista de logaritmos calculados a partir de e. 
A primeira indicação da constante, propriamente dita, é creditada a Jacob Bernoulli, 
quando buscava encontrar um valor para o seguinte limite: 
 
que é a própria constante 
22.1 A série 
 
 
 
 
 
104 
 
 
 
105 
 
22.2 Prova da transcendência 
Para provar a transcendência de , precisaremos de alguns resultados 
auxiliares. Incialmente, considere a função 
 
 
 
Onde P(x) é um polinômio de grau r. 
 
 
 
 
106 
 
 
 
 
107 
 
 
 
108 
 
22.3 A Constante E Não É Um Número De Liouville 
 
 
Para provar que e não é um número de Liouville, faremos uso de frações 
contínuas e algumas ferramentas analíticas. Seja a/b uma fração irredutível. Podemos 
utilizar o algoritmo de Euclides para obter as seguintes equações: 
 
 
 
 
109 
 
 
 
110 
 
 
 
111 
 
23 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
HEFEZ, A. Elementos de Aritmética. IMPA. Rio de Janeiro, 2006 
RIBENBOIM, Paulo. Números Primos: mistérios e recordes. IMPA. Rio de 
Janeiro, 2001. 
SANTOS, José Plínio de Oliveira. Introdução à Teoria dos Números. IMPA. Rio 
de Janeiro, 2000 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
BURTON, David M. Elementary Number Theory. Allyn and Bacon, Inc. Boston, 
1976 
JONES, Burton W. Teoria de los Números. Editorial F. Trillos S. A. México, 1969.