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AP1-AI-2013-1-gabarito

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A´lgebra I
AP1 - Primeira Avaliac¸a˜o Presencial - Aulas 1 a 10
Questa˜o 1: (2,0 pontos) Os pitago´ricos, tendo uma forte ligac¸a˜o mı´stica com os nu´meros,
os classificaram em va´rios tipos: nu´meros pares, ı´mpares, perfeitos, amigos, poligonais, etc.
Os nu´meros poligonais surgem da contagem de certos pontos harmonicamente dispostos nas
arestas e ve´rtices de pol´ıgonos. Utilizando o princ´ıpio de Induc¸a˜o, mostre a validade da
expressa˜o abaixo, que fornece a soma dos n primeiros nu´meros pentagonais:
1 + 4 + 7 + ... + (3n− 2) = n (3n− 1)
2
.
Soluc¸a˜o: Nota-se que, para n = 1 vale a igualdade.
Vamos admitir, por hipo´tese de induc¸a˜o, que a iqualdade e´ va´lida para n = k, isto e´
1 + 4 + 7 + ... + (3k − 2) = k (3k − 1)
2
.
Mostremos a validade para n = k + 1. De fato,
1 + 4 + 7 + ... + (3k − 2) + 3 (k + 1)− 2 = k (3k − 1)
2
+ 3k + 1 =
3k2 + 5k + 2
2
,
que e´ o resultado correspondente para n = k + 1.
Questa˜o 2: (2,0 pontos) Dois amigos passeiam de bicicleta, na mesma direc¸a˜o, em torno
de uma pista circular. Para dar uma volta completa um deles demora 15 minutos e o outro
demora 18 minutos. Eles partem juntos e combinam interromper o passeio quando os dois
se encontrarem pela primeira vez no ponto de partida. Quantas voltas deu cada um?
Soluc¸a˜o: Perceba que os amigos ira˜o se encontrar pela primeira vez no mmc (15, 18) =
15 · 18
mdc (15, 18)
= 270
3
= 90. Assim teremos, sendo N1 o nu´mero de voltas do primeiro e N2 o
nu´mero de voltas do segundo, que
N115 = N218 = 90,
donde vem que
N1 = 6 e N2 = 5.
1
Questa˜o 3: Determine se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou falsa. Prove as
que julgar verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas:
(a) (1,0 ponto) Dado um nu´mero inteiro d, a relac¸a˜o definida em Z por
xRy ⇐⇒ existe um inteiro q tal que y − x = dq
e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(b) (1,0 ponto) O subconjunto I de Z dado por I = {m ∈ Z : mdc (9,m) = 1} e´ um
ideal de Z.
(c) (1,0 ponto) Se n e´ um inteiro ı´mpar, enta˜o, n2 − 1 e´ mu´ltiplo de 8..
Soluc¸a˜o:
(a) Verdadeira.
• xRx pois x− x = 0 = d · 0.
• Se xRy, enta˜o existe um inteiro q tal que y − x = dq. Logo, x − y = −dq = d(−q) e,
portanto, yRx.
• Se xRy e yRz, enta˜o existem inteiros q1 e q2 tal que y − x = dq1 e z − y = dq2. Dessa
forma, z − x = (z − y) + (y − x) = dq2 + dq1 = d(q2 + q1) e, portanto, xRz.
(b) Falso.
E´ suficiente notar que x = 10 e y = 8 pertencem a I, no entanto x + y = 18 /∈ I visto
que mdc (9, 18) = 9 6= 1.
(c) Verdadeira.
De fato, se n e´ ı´mpar enta˜o n = 2k + 1 para algum k ∈ Z e sendo assim n2 − 1 =
(2k + 1)2− 1 = 4k2 + 4k+ 1− 1 = 4k (k + 1). Como k (k + 1) e´ divis´ıvel por 2, enta˜o n2− 1
sera´ divis´ıvel por 8.
Questa˜o 4:
(a) (1,5 pontos) Determine o resto da divisa˜o de 476 por 17.
(b) (1,5 pontos) Sejam A e B conjuntos quaisquer, prove que A ⊂ B ⇐⇒ A ∩B = A.
2
Soluc¸a˜o:
(a) Basta notar que
42 ≡ −1 (mod 17) ,
e como 76 = 2 · 38 enta˜o
476 =
(
42
)38 ≡ (−1)38 (mod 17) ,
ou seja,
476 ≡ 1 (mod 17) ,
mostrando que o resto procurado e´ 1.
(b) Mostremos primeiro que se A ⊂ B enta˜o A ∩B = A.
De fato, se x ∈ A ∩ B enta˜o x ∈ A, logo A ∩ B ⊂ A. Por outro lado, para todo x ∈ A,
como por hipo´tese A ⊂ B, enta˜o x ∈ B donde concluimos que x ∈ A∩B, isto e´, A ⊂ A∩B.
Conclusa˜o: A ∩B = A.
Provemos agora a implicac¸a˜o contra´ria, ou seja, se A ∩B = A enta˜o A ⊂ B.
De fato, se x ∈ A, como por hipo´tese A = A ∩B, enta˜o x ∈ B, isto e´, A ⊂ B.
3

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