Gabarito com Resolução da lista 2 Cálculo II

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GABARITO DA 2ª LISTA - CÁLCULO II 
 
1. a) ( ) 8x3xf += 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
x
8x38xx3lim
x
xfxxflimx'f
0x0x ∆
+−+∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
 
.33lim
x
x3lim
x
8x38x3x3lim
0x0x0x
==
∆
∆
=
∆
−−+∆+
=
→∆→∆→∆
 
b) ( ) 2xxf += 
( ) ( ) ( ) ( )
x
2x2xxlim
x
xfxxflimx'f
0x0x ∆
+−+∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
 
( ) ( )
( ) 2x2xx
2x2xx
x
2x2xxlim
0x +++∆+
+++∆+
∆
+−+∆+
=
→∆
 
( ) ( )
( )( ) ( )( )2x2xxx xlim2x2xxx 2x2xxlim 0x0x +++∆+∆ ∆=+++∆+∆ +−+∆+= →∆→∆ 
( ) 2x2
1
2x2xx
1lim
0x +
=
+++∆+
=
→∆
 
c) ( ) 8x2x3xf 2 +−= 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
x
8x2x38xx2xx3lim
x
xfxxflimx'f
22
0x0x ∆
+−−+∆+−∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
 
( )[ ]
x
8x2x38x2x2xxx2x3lim
222
0x ∆
−+−+∆−−∆+∆+
=
→∆
 
( ) ( ) ( )2x3x6lim
x
2x3x6xlim
x
x2x3xx6lim
0x0x
2
0x
−∆+=
∆
−∆+∆
=
∆
∆−∆+∆
=
→∆→∆→∆
 
2x6 −= . 
2. a) 10x6x3y 2 −+= 6x6'y +=⇒ 
b) 3x2x4xy 35 −+−= 2x12x5'y 24 +−=⇒ 
c) 32/53/23
53 2 xx2x3
x
1
x2x3y −+−=+−= 
Portanto, 4
3
3
42/33/1
x
3
x5
x
2
x3x
2
52x
3
23'y −−=−⋅−⋅= −− . 
d) 3/83/223 22 xxxxxy =⋅== . Portanto, 
3
x8
x
3
8
'y
3 5
3/5
== . 
e) y = ( )( )x x x x2 33 9+ − 
Temos )'x9x()x3x()x9x()'x3x('y 3232 −++−+= )9x3()x3x()x9x()3x2( 223 −++−+= . 
 
2 
f) ( )( )45 x21x3y −−= 
Temos ( ) ( ) ( )( ) '454'5 x21x3x21x3'y −−+−−= 
( )( ) ( )( ) 3483544 x4x30x27x41x3x2x15 ++−=−−+−= . 
g) 
1x3
4x2y
−
−
= 
Temos .
)1x3(
10
)1x3(
3)4x2()1x3(2
)1x3(
)'1x3()4x2()1x3()'4x2(
'y 222
−
=
−
⋅−−−⋅
=
−
−−−−−
= 
h) 
5x5x
3x2y 2 +−
+
= 
Temos 22
22
)5x5x(
)'5x5x()3x2()5x5x()'3x2(
'y
+−
+−+−+−+
= 
.
)5x5x(
25x6x2
)5x5x(
)5x2()3x2()5x5x(2
22
2
22
2
+−
+−−
=
+−
−+−+−
= 
i) y = ( )x x3 32 6+ − 
Se 6x2xu 3 −+= , então 3uy = . 
 
 
 
 
 
 
Portanto, pela regra da cadeia, .)2x3()6x2x(3)2x3(u3
dx
du
du
dy
dx
dy
'y 22322 +−+=+=⋅== 
j) y = x x14 2 3+ + 
Se 3xxu 214 ++= , então uy = . Portanto, pela regra da cadeia, 
.
3xx
xx7)x2x14(
u2
1
dx
du
du
dy
dx
dy
'y
214
13
13
++
+
=+=⋅== 
k) 
3
2 3x2
1x7y








+
+
= 
Se ,
3x2
1x7
u 2 +
+
= então .uy 3= Portanto, pela regra da cadeia, 
22
22
2
)3x2(
')3x2()1x7()3x2(')1x7(
u3
dx
du
du
dy
dx
dy
'y
+
++−++
=⋅== 
x u 
y 
 
3 
.
)3x2(
)21x4x14()1x7(3
)3x2(
)x4()1x7()3x2(7
3x2
1x73 42
22
22
22
2 +
+−−+
=
+
+−+⋅








+
+
= 
l) 2x4xy −= 
Vamos, inicialmente, derivar a função 2x4t −= , usando a regra da cadeia. 
Se 2x4u −= , então ut = . Logo, ( ) .
x4
x
x2
u2
1
dx
du
du
dt
dx
dt
2
−
−=−⋅=⋅= 
Derivemos, agora, a função dada, utilizando a regra do produto: 
2
2
2
2
222
x4
x24
x4
x
x4')x4(xx4')x('y
−
−
=
−
−−=−⋅+−= . 
m) x5cosy = 
1º modo: Se x5u= , então y = cos u. Portanto, pela regra da cadeia, 
( ) x5sen55usen
dx
du
du
dy
dx
dy
'y −=⋅−=⋅== . 
2º modo: É só utilizarmos a fórmula ( ) 'uusen'ucos ⋅−= , onde u é uma função. No caso, 
x5u= , e, portanto, ( ) ( ) .x5sen5'x5x5sen'x5cos −=⋅−= 
n) xcosxseny 3= 
Pela regra da derivada do produto, temos y' = (sen )'cos sen (cos )'.3 3x x x x+ 
Consideremos a função y x1 3= sen . Se u = sen x, então y u1 3= . Logo, pela regra da cadeia, 
.xcosxsen3xcosu3
dx
du
.
du
dy
dx
dy
'y 22111 ==== 
Portanto, y' = 3 2 2 4sen cos sen .x x x− 
o) ( )xsenseny = 
1º modo: Se u = sen x, então y = sen u. Portanto, pela regra da cadeia, 
y dydx
dy
du
du
dx u x x x' cos cos cos(sen )cos .= = ⋅ = = 
2º modo: É só utilizarmos a fórmula ( ) 'uucos'usen ⋅= , onde u é uma função. No caso, 
xsenu= , e, portanto, ( )[ ] ( ) ( ) ( ) .xcosxsencos'xsenxsencos'xsensen =⋅= 
p) xtgy 2= 
1º modo: Se u = tg x, então 2uy = . Portanto, pela regra da cadeia, 
.xsecxtg2xsecu2
dx
du
du
dy
dx
dy
'y 22 ==⋅== 
 
4 
2º modo: É só utilizarmos a fórmula ( ) 'uu2'u2 ⋅= , onde u é uma função. No caso, xtgu= , e, 
portanto, [ ] .xsecxtg2'xtg 22 ⋅= 
q) 7xtgy = 
1º modo: Se 7xu= , então utgy = . Portanto, pela regra da cadeia, 
.xsecx7x7usec
dx
du
du
dy
dx
dy
'y 72662 ⋅=⋅=⋅== 
2º modo: É só utilizarmos a fórmula ( ) 'uusec'utg 2 ⋅= , onde u é uma função. No caso, 7xu = , 
e, portanto, [ ] .x7xsec'xtg 6727 ⋅= 
r) xarccosy = 
Resposta: ( )
x1x2
1
'xarccos'y
−
−== . 
s) 





−= 4x
2
1
arctgy 2 
Se u x= −12 4
2
, então y = arctg u. Também, se v x= −2 4 , então u v= 12 . Portanto, pela 
regra da cadeia, 
y' = dydx
dy
du
du
dv
dv
dx u v
x
x
x x
= ⋅ ⋅ =
+
=
+ − −
1
1
1
2
1
2
2
2 1
1
4 4 4
2 2 2[ ( )]
 = 
2
42x x −
 . 
t) ( )xsenxlogy 33 −= 
Se u = x x3 − sen , então y u= log3 . Portanto, pela regra da cadeia, 
y' = dydx
dy
du
du
dx u x x
x x
x x
= = − =
−
−
. ln ( cos )
cos
( sen ) ln .
1 1
3 3
3
3
2
2
3 
u) 4xlny = 
Se u = x4 , então y u= ln . Portanto, pela regra da cadeia, y' = dydx
dy
du
du
dx u x
x
x x
= = = =. .
1
4
4 43
3
4 
v) 
2
xtglny = 
Se u tg x= 2 , então ulny = . Também, se v
x
= 2 , então vtgu= . Portanto, pela regra da cadeia, 
y dydx
dy
du
du
dv
dv
dx u v
x
tg x x x x
x' sec
sec
sen cos
sen
cos sec .= = ⋅ ⋅ = = = = =
1 1
2
1
2
2
2
1
2 2 2
12
2
 
w) x2x25y += 
 
5 
Se u = x x2 2+ , então y u= 5 . Portanto, pela regra da cadeia, 
y dydx
dy
du
du
dx x x
u x x
' ln ( ) ( ) ln .= = ⋅ = + = + +5 5 2 2 2 1 5 52 2 
2xey)x = 
É só utilizarmos a fórmula ( ) 'ue'e uu ⋅= , onde u é uma função. No caso, 2xu= , e, portanto, 
.x2e'e
22 xx
⋅=




 
x
x
e1
elny)z
+
= 
Seja u = e
e
x
x1+
. Pela regra do quociente, temos dudx u
e e e e
e
e
e
x x x x
x
x
x
= =
+ − +
+
=
+
'
( )'( ) ( )'
( ) ( ) .
1 1
1 12 2
 
Temos y = ln u. Portanto, pela regra da cadeia, 
y dydx
dy
du
du
dx u
e
e
e
e
e
e e
x
x
x
x
x
x x
' ( ) ( ) .= = ⋅ = + =
+
+
=
+
1
1
1
1
1
12 2
 
x
xlny) =α 
Pela regra do quociente, ( ) ( ) 222 x
xln1
x
1xlnx
x
1
x
'xxlnx'xln
'y −=
⋅−⋅
=
⋅−⋅
= . 
3. ( ) 1xsenxfy 2 +== 
Se 1xu 2 += , então useny = . Também, se 1xv 2 += , então vu= . Portanto, pela regra da 
cadeia, 
1xcos
1x
x
x2
v2
1
ucos
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
'y 2
2
+
+
==⋅⋅== . 
4. Se ( )
x21
x
xf
+
= , então ( ) ( ) ( )( ) ( ) x21x21
x1
x21
x21
x
x21
x21
'x21xx21'x
x'f 2 ++
+
=
+
+
−+
=
+
+−+
= . 
Portanto, ( )
33
21'f = . 
5. Se ( ) ( ) 8xxfxfx 332 =+− , então, derivando ambos os membros, 
( ) ( ) ( ) ( ) 0x3x'fxf3x'fxxfx2 222 =+−+ . 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) 0232'f2f32'f22f22 222 =⋅+−+⋅⋅ . Como ( ) 22f −= , temos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
12'f0122'f122'f480232'f232'f2222 222 =⇒=+−+−⇒=⋅+−−+−⋅⋅ . 
 
6 
6. Temos ( ) ( ) ( ) t6,124t'stvt8,0t24ts 2 −==⇒−= . 
a) No ponto mais alto, a velocidade é zero. Logo, ( ) 15t0t6,1240tv =⇔=−⇔= , ou seja a 
pedra leva 15 s para atingir o ponto mais alto. 
b) A altura máxima atingida pela pedra é ( ) 180158,0152415s 2 =⋅−⋅= m. 
7. Temos .
t
28)t(v)t('d 2−== Portanto, 
a) .seg/m
2
15
4
28)2(v =−= 
b) ).0t(seg
2
1t
4
1t0
t
280)t(v 22 >=⇔=⇔=−⇔= 
8. Temos ( ) ( ) .cm3259183secm105321s
=++==++= Logo, 
.seg/cm11
2
1032
13
)1(s)3(s
t
s
vm =
−
=
−
−
=
∆
∆
= 
De igual modo, temos ( ) ( ) .cm195682secm105321s =++==++= Logo, 
.seg/cm9
1
1019
12
)1(s)2(s
t
s
vm =
−
=
−
−
=
∆
∆
= 
Também, ( ) ( ) .cm72,1053,342,21,1secm105321s =++==++= Logo, 
.seg/cm2,7
1,0
1072,10
11,1
)1(s)1,1(s
t
s
vm =
−
=
−
−
=
∆
∆
= 
Temos .3t4)t('s)t(v +== Portanto, .seg/cm734)1(v =+= 
9. a) f x x x P( ) , ( , )= − − −3 24 1 4 1 
Temos .16)4('fm,Logo.x8x3)x('f t2 ==−= Portanto, a equação da reta tangente será 
.65x16y)4x(161y −=⇔−=+ 
Veja abaixo os gráficos das funções 65x16ye1x4xy 23 −=−−= : 
 
b) f x
x
P( ) , ( , / )=
−
3
4 2 4 3 14 
 
7 
Temos 2)2x4(
12)x('f
−
−= (usando-se a regra da cadeia). Logo, 
49
3)4('fm t −== . Portanto, a 
equação da reta tangente será .
98
45
x
49
3y)4x(
49
3
14
3y +−=⇒−−=− 
c) ( ) ( )7/1,1P,
4x3
1x2
xf −
−
+
= 
Temos .
)4x3(
11
)4x3(
3)1x2()4x3(2
)4x3(
)'4x3()1x2()4x3()'1x2()x('f 222
−
−=
−
⋅+−−⋅
=
−
−+−−+
= 
Logo, 
49
11)1('fm t −=−= . Portanto, a equação da reta tangente será 
.
49
4
x
49
11y)1x(
49
11
7
1y −−=⇒+−=− 
Veja abaixo os gráficos das funções 
49
4
x
49
11ye
4x3
1x2y −−=
−
+
= : 
 
d) ( ) ( ) ( )16,2P,x4x3xf 22 −= 
 
Temos ( )( ) x32x72x364x6x4x32)x('f 232 +−=−−= (usando-se a regra da cadeia). Logo, 
64)2('fm t == . Portanto, a equação da reta tangente será 
.112x64y)2x(6416y −=⇒−=− 
Veja abaixo os gráficos das funções ( ) 112x64yex4x3y 22 −=−= : 
 
 
8 
e) 




 pi
=
2
1
,
12
P,x3sen)x(f 2 
Temos x3cosx3sen63x3cosx3sen2)x('f ⋅⋅=⋅⋅= . Logo, o coeficiente angular da reta 
tangente à curva no ponto P dado é .3
4
cos
4
sen6
12
'fm =pi⋅pi⋅=




 pi
= Portanto, a reta tangente 
procurada tem equação .
12
x3
2
1y 




 pi
−=− 
 
f) 




 pi
+= 1,
6
P,x2cosxsen)x(f 
Temos x2sen2xcos)x('f ⋅−= . Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P 
dado é .
2
3
3
sen2
6
cos
6
'fm −=pi⋅−pi=




 pi
= Portanto, a reta tangente procurada tem equação 
.
6
x
2
31y 




 pi
−−=− 
g) ( ) ( )10,1P,10xf x= 
Temos 10ln10)x('f x ⋅= . Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P dado 
é ( ) .10ln101'fm ⋅== Portanto, a reta tangente procurada tem equação ( ).1x10ln1010y −⋅=− 
 
h) ( ) ( ) ( )2ln,1P,1xlnxf 2 += 
 
9 
Temos 
1x
x2)x('f 2 +
= . Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P dado é 
( ) .11'fm == Portanto, a reta tangente procurada tem equação .1x2lny −=− 
 
i) ( ) ( )1,0P,exf x2−= . 
Temos x2e2)x('f −−= . Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P dado é 
( ) 20'fm −== . Portanto, a reta tangente procurada tem equação 1x2youx21y +−=−=− . 
 
j) ( ) ( )0,1P,eexxf xx −= . 
Temos xxxx exeexe)x('f =−+= . Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva no 
ponto P dado é ( ) e1'fm t == . Portanto, a reta tangente procurada tem equação ( )1xey −= . 
 
10 
 
10. Se ( )
x2
1xx4
xf
2
−
++
= , então ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )2
2
2
22
x2
3x16x4
x2
'x21xx4x2'1xx4
x'f
−
++−
=
−
−++−−++
= . 
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é dado por ( ) ( ) 1512
31641'fm 2t =
−
++−
== . 
11. Temos .2x3x)x('f'y 2 +−== Como 2x3x)x('f'y 2 +−== é o coeficiente angular da reta 
tangente à curva e a reta horizontal tem coeficiente angular nulo, temos 
.2xou1x02x3x0m 2 ==⇒=+−⇔= Na função dada, se x = 1, então y = 5/6 e se ,2x = 
então y = 2/3. Portanto, os pontos procurados têm coordenadas (1,5/6) e (2,2/3). 
 
12. Temos ( ) .x2x'f −= Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva de f no ponto P 
dado é 4)2('fm t −== . A reta normal procurada (de coeficiente angular nm ) é perpendicular à 
reta tangente cujo coeficiente angular tm calculamos acima. Assim, como 1mm tn −=⋅ , temos 
4
1
mn = . Portanto, a equação da reta normal é dada por ( ) .2
7
x
4
1y2x
4
13y −=⇒−=+ 
 
11 
Veja a seguir os gráficos das funções envolvidas: 
 
13. Temos ( ) ( ) ( ) ( )3232 1xx8x21x4x'f −=−= (usando a regra da cadeia). Logo, o coeficiente 
angular da reta tangente à curva de f no ponto P dado é 432)2('fm t == . A reta normal 
procurada (de coeficiente angular nm ) é perpendicular à reta tangente cujo coeficiente angular 
tm calculamos acima. Assim, como 1mm tn −=⋅ , temos 432
1
mn −= . 
Portanto, a equação da reta normal é dada por ( ) .
216
17497
x
432
1y2x
432
181y +−=⇒−−=− 
Veja a seguir os gráficos das funções envolvidas: 
 
As retas não estão perpendiculares pois as escalas usadas nos eixos são diferentes. 
14. Temos ( ) 2x
21x'f −= . Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva de f no ponto 
dado é 1)1('fm t −== . Portanto, a equação da reta tangente à curva é dada por 
( ) 4xy1x13y +−=⇒−−=− . Veja, a seguir, os gráficos das funções envolvidas: 
 
12 
 
15. Temos ( ) ( )22 4x
x16
x'f
+
−= . Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva de f no 
ponto dado é 
2
1)2('fm t −== . Portanto, a equação da reta tangente é dada por 
( ) .2x
2
1y2x
2
11y +−=⇒−−=− Veja, a seguir, os gráficos das funções envolvidas: 
 
16. Temos ( ) ( )22
2
x1
x1
x'f
+
−
= (usando a regra do quociente). Logo, o coeficiente angular da reta 
tangente à curva de f no ponto dado é 
25
2)3('fm t −== . Portanto, a equação da reta tangente 
é dada por ( ) .
50
27
x
25
2y3x
25
2
10
3y +−=⇒−−=− 
 
13 
A reta normal procurada (de coeficiente angular nm ) é perpendicular à reta tangente cujo 
coeficiente angular tm calculamos acima. Assim, como 1mm tn −=⋅ , temos 2
25
mn = . Portanto, 
a equação da reta normal é dada por ( ) .
5
186
x
2
25y3x
2
25
10
3y −=⇒−=− 
Veja a seguir os gráficos das funções envolvidas: 
 
As retas não estão perpendiculares pois as escalas usadas nos eixos são diferentes.