Gabarito com Resolução da lista 5 Cálculo II

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GABARITO DA 5ª LISTA DE CÁLCULO II 
 
1. ( ) dx15dxx2dxx5dx15x2x5)a 33 ∫∫∫∫ −+=−+ .Cx15xx45dx15dxx2dxx5 243 +−+=−+= ∫∫∫ 
( )( ) ( )( ) ( )dxx2x3xdx2xxxdx2x1xx)b 232 ∫∫∫ +−=−−=−− .Cxxx41dxx2dxx3dxx 23423 ++−=+−=∫ ∫∫ 
.Cx
3
4C
1
4
1
xdxx
x
dx)c 4 3
1
4
1
4
1
4 +=+
+−
==
+−
−
∫∫ 
( ) ( ) dxxdxx32dx3dxxx323dxx3)d 212 ∫∫∫∫∫ ++=++=+ 
 .Cx
2
1
x
3
34
x3C
2
x
2/3
x32x3 23
22/3
+++=+++= 
.Cx
4
33C
3/4
x3dxx3dxx3dxx3)e 3 4
33
4
33
1
3333 +=+=== ∫∫∫ 
∫∫∫ +=
−
=
−
=
−
.Cxarcsen3
x1
dx3dx
x1
3dx
x1
9)f
222
 
.C|x|lnx
3
2
e
2
1dxxdxxdxe
2
1dx
x
1
x
2
e)g 3x12
1
x
x
+++=++=








++ ∫∫∫∫
−
 
( ) ( )( ) .C15ln
e5C
e5ln
e5dxe5dxe5)h
xxx
xxx +
+
=+== ∫∫ 
∫∫ +−+−=




−+−=
−+− C|x|ln2x
2
x3
3
xdx
x
21x3xdx
x
2xx3x)i
23
2
23
. 
2. Temos ( ).1xsenxxxsenxxcosxcosx
2
1
xcosxxsen
dx
d)x(f 2 −=−+−=





−−= 
Portanto, .1
2
2
4
1
4
sen
44
f








−
pi
=





−
pipi
=




 pi
 
3. Designando por )x(F uma antiderivada da função )x(f , temos .Cx
x
1dx1
x
1dx)x(f)x(F 2 ++−=




+== ∫∫ 
Por hipótese, 0)2(F = . Assim, .
2
3CC2
2
1)2(F0 −=⇒++−== Portanto, .
2
3
x
x
1)x(F −+−= 
4. ∫ + 6x5
dx)a 
,Logo.
5
dudxedx5du,Então.6x5uãosubstituiçaFaçamos ==+=
.C|6x5|ln
5
1C|u|ln
5
1
u
du
5
1
6x5
dx
++=+==
+ ∫∫ 
∫
−+
+ dx
1xx
1x3)b 3
2
 
Se ( ) ,Logo.dx1x3dwentão,1xxw 23 +=−+= .C|1xx|lnC|w|ln
w
dwdx
1xx
1x3 3
3
2
+−+=+==
−+
+
∫∫ 
 
 
2
∫
+
dx
x1
x5)c
2
 
,Logo.
2
dudxxedxx2du,Então.x1uãosubstituiçaFaçamos 2 ==+= 
.Cx15Cu5C
2/1
u
2
5duu
2
5
u
du
2
5dx
x1
x5 22/12/1
2
++=+=+===
+
∫∫∫
−
 
∫ + dx3x2x)d 2 
Se ,3x2v 2 += então ,Logo.
4
dvdxxedxx4dv == 
( ) .C3x2
6
1Cu
6
1C
2/3
u
4
1duu
4
1duu
4
1dx3x2x
323
2/3
2/12 ++=+=+===+ ∫∫∫ 
( ) ( )∫ +−+ dx1x23x2x2)e 102 
Se ,3x2x2u 2 −+= então ( ) ( )dx1x22dx2x4du +=+= e ( ) .
2
dudx1x2 =+ Logo, 
( ) ( ) ( ) .C3x2x2
22
1Cu
22
1duu
2
1dx1x23x2x2
1121110102 +−+=+==+−+ ∫∫ 
∫∫∫ +=
+
.dx
x
12dx
x
edx
x
2e)f 22
x
1
2
x
1
 
Na primeira integral, façamos a substituição .
x
1
u = Então, .du
x
dx
edx
x
1du 22 −=−= 
Assim, .C
x
2
eC
1
x2edxx2duedx
x
2e x
11
u2u
2
x
1
+−−=+
−
+−=+−=
+ −
−
∫∫∫ 
∫
+
dx
1x
x)g
3 3
2
 
Façamos a substituição ,Logo.
3
dudxxedxx3du,Então.1xu 223 ==+= 
( ) .C1x
2
1C
3/2
u
3
1duu
3
1
u
du
3
1dx
1x
x 3 23
3/2
3/1
33 3
2
++=+===
+
∫∫∫
−
 
∫
+ dx
x
x1)h 
Se ,x1u += então .du2
x
dx
e
x2
dxdu == Logo, 
( )∫ ∫∫ ++=+===+ .Cx134C2/3u2duu2duu2dxx x1 3
2/3
2/1
 
∫
+ dx
x
xln2)i 
Façamos a substituição xln2u += . Então, .
x
dxdu = 
 
3
Logo, ( ) .C
2
xln2C
2
uduudx
x
xln2 22
+
+
=+==
+
∫∫ 
∫ dxx
xln)j
2
 
Se xlnu= , então .
x
dxdu = Logo, ( ) .Cxln
3
1C
3
uduudx
x
xln 3322 +=+== ∫∫ 
∫ ∫
−
= .dxe
e
dx)l x
x
 
Façamos a substituição .eu x−= Então, .dudxeedxedu xx −=−= −− Logo, .CeCudu
e
dx x
x
+−=+−=−= −∫∫ 
( )∫ +− 92x
dx)m 2 
Se 2xu −= , então du = dx e, assim, ( ) .C3
2x
arctg
3
1C
3
u
arctg
3
1
9u
dx
92x
dx
22 +
−
=+=
+
=
+−
∫∫ 
∫ dx2
x
sen)n 
Façamos a substituição 
2
x
u= . Então, du2dxe
2
dxdu == . 
Logo, C
2
x
cos2Cucos2duusen2dx
2
x
sen +−=+−== ∫∫ . 
( )∫ + dx2xcosx)o 43 
Se 2xu 4 += , então 
4
dudxxedxx4du 33 == . 
Logo, ( ) ( ) C2xsen
4
1Cusen
4
1duucos
4
1dx2xcosx 443 ++=+==+ ∫∫ . 
∫ dxxsenxcos)p 4 
Façamos a substituição xcosu= . Então, dudxxsenedxxsendu −=−= . 
Logo, C
5
xcosC
5
uduudxxsenxcos
55
44 +−=+−=−= ∫∫ . 
5. Na integral dx
x
xln13
∫
+
, façamos a substituição 
x
dxduxln1u =⇒+= . 
Então, ( ) Cxln12Cu2C
2
3
u3duu3duu3dx
x
xln13 332
3
2
1
++=+=+===
+
∫∫∫ . 
Assim, temos ( ) ( ) Cxln12xF 3 ++= . Como 3)1(F = , temos ( ) 1CC1ln123 3 =⇒++= , ou seja, 
( ) ( ) 1xln12xF 3 ++= . Portanto, ( ) ( ) 1241eln12eF 3 +=++= . 
6. ∫ dxxln)a 
Vamos resolver por partes. Temos 
.
xvdxdv
x
dxduxlnu




=⇒=
=⇒=
 
 
4
Logo, ( ) C1xlnxCxxlnxdxxlnxdxxln +−=+−=−= ∫∫ . 
dxxln)b 2∫ 
Vamos resolver por partes. Temos 
( ) .)anteriora.exercver(1xlnxvdxxlndv x
dxduxlnu




−=⇒=
=⇒=
 
Logo, ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫∫ +−−=−−−= dxdxxln1xlnxlnxx
dx1xlnx1xlnxlnxdxxln2 
 ( ) ( ) .Cx1xlnx1xlnxlnx ++−−−= 
∫ dxxlnx)c 
Vamos resolver por partes. Temos 
.
2
x
vdxxdv
x
dxduxlnu
2






=⇒=
=⇒=
 
Logo, .C
2
1
xln
2
xC
4
x
xln
2
xdxx
2
1
xln
2
xdxxlnx
2222
+





−=+−=−= ∫∫ 
∫ dxxlnx)d 2 
Vamos resolver por partes. Temos 
.
3
x
vdxxdv
x
dxduxlnu
3
2






=⇒=
=⇒=
 
Logo, .C
3
1
xln
3
xC
9
x
xln
3
xdxx
3
1
xln
3
xdxxlnx
333
2
3
2 +





−=+−=−= ∫∫ 
∫ dxxsenx)e 
Vamos resolver por partes. Temos 



−=⇒=
=⇒=
xcosvdxxsendv
dxduxu
 
Logo, .Cxsenxcosxdxxcosxcosxdxxsenx ++−=+−= ∫∫ 
dxxsecx)f 2∫ 
Vamos resolver por partes. Temos 



=⇒=
=⇒=
xtgvdxxsecdv
dxduxu
2 
Logo, .Cxcoslnxtgxdxxsecxtgxdxxsecx 22 ++=−= ∫∫ 
dxex)g x∫ 
Vamos resolver por partes. Temos 
.
evdxedv
dxduxu
xx



=⇒=
=⇒=
 
 
5
Logo, ( ) .C1xeCeexdxeexdxex xxxxxx +−=+−=−= ∫∫ 
dxex)h x2∫ 
Vamos resolver por partes. Temos 
.
evdxedv
dxx2duxu
xx
2




=⇒=
=⇒=
 
Logo, ( ) ( ) C2x2xeC1xe2exdxex2exdxex 2xxx2xx2x2 ++−=+−−=−= ∫∫ (na penúltima desigualdade 
utilizou-se o resultado do exercício h anterior. 
7. ∫
−+
+ dx
x2xx
3x2)a 23 
As raízes do denominador são 2xe1x,0x −=== . Conseqüentemente, 
2x
C
1x
B
x
A
x2xx
3x2
23 +
+
−
+=
−+
+
 
e, assim, ).1x(xC)2x(xB)2x()1x(A3x2 −++++−=+ 
Se x = 0, então ,
2
3A −= se x = 1, então 
3
5B = e se x = - 2, então .
6
1C −= A decomposição do integrando em 
frações parciais é, pois, 
.
2x
6
1
1x
3
5
x
2
3
x2xx
3x2
23 +
−
+
−
+
−
=
−+
+
 
Portanto, ∫∫∫∫ +−−+−=
−+
+
2x
dx
6
1
1x
dx
3
5
x
dx
2
3dx
x2xx
3x2
23 
 
.C
|2x||x|
|1x|lnC2xln
6
11xln
3
5
xln
2
3
6
1
2
3
3
5
+
+
−
=++−−+−=
 
∫ ++
++− dx
2x3x
3x2xx)b 2
23
 
A função racional do integrando é imprópria, pois o grau do numerador é maior que o grau do denominador. Por 
divisão, obtemos ,Logo).11x12()2x3x()4x(3x2xx 223 ++++−=++− 
( )∫ ∫∫ ++
+
+−=
++
++− dx
2x3x
11x12dx4xdx
2x3x
3x2xx
22
23
.dx
2x3x
11x12
x4
2
x
2
2
∫ ++
+
+−=
 
Calculemos a integral à direita: 
As raízes do denominador são 2xe1x −=−= . Conseqüentemente, 
2x
B
1x
A
2x3x
11x12
2 +
+
+
=
++
+
 
e, assim, ( ) ( )1xB2xA11x12 +++=+ . Se 13Bentão,2xsee1Aentão,1x =−=−=−= . A decomposição do 
integrando em frações parciais é, pois, 
.
2x
13
1x
1
2x3x
11x12
2 +
+
+
−=
++
+
 
 
6
Logo, .C|2x|ln13|1x|ln
2x
dx13
1x
dxdx
2x3x
11x12
2 ++++−=+
+
+
−=
++
+
∫∫∫
 
Portanto, ∫ ++
++− dx
2x3x3x2xx
2
23
.C|1x|
|2x|lnx4
2
x 132
+
+
+
+−=
 
∫ ++ )3x()2x(x
dx)c 
As raízes do denominador são x = 0, x = - 2 e x = - 3. Conseqüentemente, 
3x
C
2x
B
x
A
)3x()2x(x
1
+
+
+
+=
++ 
e, assim, ).2x(xC)3x(xB)3x()2x(A1 ++++++= 
Se 
3
1Centão,3xsee
2
1Bentão,2xse,
6
1Aentão,0x =−=−=−=== . A decomposição do integrando em 
frações parciais é, pois, 
.
3x
31
2x
21
x
61
)3x()2x(x
1
+
+
+
−=
++ 
Logo, ∫∫∫∫ +++−=++ 3x
dx
3
1
2x
dx
2
1
x
dx
6
1
)3x()2x(x
dx
 
 
.C|2x|
|3x||x|ln
6
1C|3x|ln
3
1|2x|ln
2
1|x|ln
6
1
3
2
+
+
+
=++++−=
 
.C|2x|ln3|2x|ln5|x|ln2x4
2
x
3
xdx
x4x
8xx)d
23
3
45
++−−++++=
−
−+
∫ 
∫
−+
− dx
)2x()1x(
3x)e 2 
As raízes do denominador são x = 2 e x = - 1 (multiplicidade 2). Conseqüentemente, 
2x
C
1x
B
)1x(
A
)2x()1x(
3x
22
−
+
+
+
+
=
−+
−
 
e, assim, .)1x(C)2x()1x(B)2x(A3x 2++−++−=− 
Se 
9
1Centão,2xsee
3
4Aentão,1x −===−= . Se 
9
1B,assim,eCB2A23então,0x =+−−=−= . A decompo-
sição do integrando em frações parciais é, pois, 
.
2x
9/1
1x
9/1
)1x(
3/4
)2x()1x(
3x
22
−
−
+
+
+
=
−+
−
 
Logo, ∫∫∫∫
−
−
+
+
+
=
−+
−
2x
dx
9
1
1x
dx
9
1
)1x(
dx
3
4dx
)2x()1x(
3x
22 
 C2xln
9
11xln
9
1
1x
1
3
4
+−−++
+
−= .C
2x
1xln
9
1
1x
1
3
4
+
−
+
+
+
−= 
dx
)1x(x
1x)f 3
3
∫
−
+
 
As raízes do denominador são x = 0 e x = 1 (multiplicidade 3). Conseqüentemente, 
 
7
1x
D
)1x(
C
)1x(
B
x
A
)1x(x
1x
233
3
−
+
−
+
−
+=
−
+
 
e, assim, .)1x(xD)1x(xCxB)1x(A1x 233 −+−++−=+ 
Se x = 0, então A = - 1; se x = 1, então B = 2; se ,1x −= então ,0D4C2BA8 =−+−− ou seja, 3D2C −=− e se 
,2x = então ,9D2C2B2A =+++ ou seja, .3DC =+ Podemos formar, então, o sistema 



=+
−=−
3DC
3D2C
 
cuja solução é dada por 2De1C == . A decomposição do integrando em frações parciais é, pois, 
.
1x
2
)1x(
1
)1x(
2
x
1
)1x(x
1x
233
3
−
+
−
+
−
+−=
−
+
 
Logo, ∫∫∫∫∫
−
+
−
+
−
+−=
−
+
1x
dx2
)1x(
dx
)1x(
dx2
x
dxdx
)1x(x
1x
233
3
 
 C|1x|ln2
1x
1
)1x(
1|x|ln 2 +−+
−
−
−
−−= .C
x
)1x(ln
)1x(
x 2
2 +
−
+
−
−= 
8. ( ) .1444
2
3
4
120
2
75
4
625
x4x
2
3
4
xdx4x3x)a
5
1
2
45
1
3
=++−+−=








+−=+−
−
−
∫ 
( ) .
3
64123x
3
8
x
4
33dxx4x3dxx4x3)b 3
4
0
2
3
3
434
0
2
1
3
1
3
4
0
3 +=








+=










+=+ ∫∫ 
[ ] .
4
0arctg1arctgxarctg
x1
dx)c 10
1
0
2
pi
=−==
+∫
 
[ ] .0
2
2ln
2
2ln
4
cosln
4
cosln|xcos|lndxxtg)d 4/ 4/
4/
4/
=+−=




 pi
−+
pi
−=−=
pi
pi−
pi
pi−
∫ 
e) Façamos a substituição 2x1u += . Então .dxx2du = Também, .
10u3x
5u2x



=⇒=
=⇒=
 
Portanto, [ ] .2ln
5
10ln5ln10ln|u|ln
u
dudx
x1
x2 10
5
10
5
3
2
2 ==−===+ ∫∫
 
f) Façamos a substituição .xlnt = Então, .
x
dxdt = Também, .
2elntex
1elntex
22



==⇒=
==⇒=
 
Portanto, [ ] .2ln1ln2ln|t|ln
t
dt
xlnx
dx 2
1
2
1
e
e
2
=−=== ∫∫ 
g) Façamos a substituição 5x7u += . Então, .
5
dudxxdxx5du 44 =⇒= Também, .
8u1x
7u0x



=⇒=
=⇒=
 
Portanto, ( )33
8
7
3
2
8
7
3
18
7
3
1
0
3 5
4
4964
10
3
3
2
u
5
1duu
5
1
u
du
5
1
x7
dxx
−=












===
+
∫∫∫
−
. 
 
8
h) Façamos a substituição 
x
11u += . Então, .du
x
dxdx
x
1du
22
−=⇒−= Também, .
2
3
u2x
2u1x




=⇒=
=⇒=
 
Portanto, 
160
781
5
uduu
x
dx
x
11
2
3
2
52
3
2
4
2
1
2
4
=








−=−=





+ ∫∫ . 
i) Façamos a substituição x5u = . Então, .
5
dudxdx5du =⇒= Também, .
u
5
x
0u0x




pi=⇒
pi
=
=⇒=
 
Portanto, [ ]
5
2
ucos
5
1duusen
5
1dxx5sen 0
0
5
0
=−==
pi
pipi
∫∫ . 
j) Façamos a substituição 
2
x
senw = . Então, .dx
2
x
cos
2
1dw = Também, 




=
pi
=⇒pi=
==⇒=
.1
2
senwx
00senw0x
 
Portanto, [ ] .
3
2
w
3
2dww2dx
2
x
cos
2
x
sen
1
0
3
1
0
2
0
2
=== ∫∫
pi
 
k) Se ,x23u −= então .dx2du −= Também, 



=⇒=
=⇒=
.
1u1x
3u0x
 
Logo, .13uduu
2
1
u
du
2
1
x23
dx
1
3
2
11
3
2
11
3
1
0
−=








−=−=−=
−
∫∫∫
−
 
l) Se ,xtgu= então dxxsecdu 2= . Também, .1
4
tgu
4
x
00tgu0x




=
pi
=⇒
pi
=
==⇒=
 
Logo, .
4
1
4
uduudxxsecxtg
1
0
41
0
3
4
0
23
=








==∫∫
pi
 
m) Vamos resolver por partes. Temos .
evdxedv
dxduxu
xx



=⇒=
=⇒=
 
Portanto, [ ] [ ] ( ) .11eeeedxeexdxex 10x1
0
x1
0
x
1
0
x
=−−=−=−= ∫∫ 
n) Vamos resolver por partes. Temos 



=⇒=
=⇒=
xsenvdxxcosdv
dxduxu
 
Portanto, [ ] [ ] 1
2
xcos
2
dxxsenxsenxdxxcosx 2/0
2/
0
2/
0
2/
0
−
pi
=+
pi
=−=
pi
pi
pi
pi
∫∫ . 
o) Vamos resolver por partes. Temos .
xvdxdv
x
dxduxlnu




=⇒=
=⇒= Logo, [ ] [ ] .11eexedxxlnxdxxln e1
e
1
e
1
e
1
=+−=−=−= ∫∫ 
dx
2x3x
x)p
1
0
2∫ ++
 
As raízes do denominador são .2xe1x −=−= Conseqüentemente, 
 
9
2x
B
1x
A
2x3x
x
2 +
+
+
=
++
 
e, assim, ( ) ( ).1xB2xAx +++= Se ,1x −= então 1A −= e se ,2x −= então .2B = A decomposição do integrando 
em frações parciais é, pois, 
.
2x
2
1x
1
2x3x
x
2 +
+
+
−
=
++
 
Portanto, [ ]10
1
0
1
0
1
0
2 |1x|ln2|1x|ln2x
dx2
1x
dxdx
2x3x
x
+++−=
+
+
+
−=
++ ∫∫∫
 
 
( ) .
8
9ln2ln3ln2ln33ln22ln21ln3ln22ln 32 =−=−=+−−+−= 
( )( )( ) dx3x2x1x
x7x3)q
1
0
2
∫ +++
+
 
Seja ( )( )( ) .dx3x2x1x
x7x3I
2
1 ∫ +++
+
= 
As raízes do denominador são 1x −= , 2x −= e 3x −= . Conseqüentemente, 
( )( )( ) 3x
C
2x
B
1x
A
3x2x1x
x7x3 2
+
+
+
+
+
=
+++
+
 
e, assim, ( )( ) ( )( ) ( )( ).2x1xC3x1xB3x2xAx7x3 2 ++++++++=+ 
Se 1x −= , então ,2A −= se ,2x −= então 2B = e se ,3x −= então .3C= A decomposição do integrando em 
frações parciais é, pois, 
( )( )( ) .3x
3
2x
2
1x
2
3x2x1x
x7x3 2
+
+
+
+
+
−=
+++
+
 
Logo, ( )( )( ) ∫∫∫∫ +++++−=+++
+
=
3x
dx3
2x
dx2
1x
dx2dx
3x2x1x
x7x3I
2
1 .C|3x|ln3|2x|ln2|1x|ln2 ++++−+−= 
Portanto, ( )( )( ) [ ] .3
4ln|3x|ln3|2x|ln2|1x|ln2dx
3x2x1x
x7x3 1
0
1
0
2
=+++−+−=
+++
+
∫ 
( )( ) dx1x2x
3x)r
5
0
2
2
∫
++
−
 
Seja ( )( ) .dx1x2x
3xI 2
2
1 ∫
++
−
= 
As raízes do denominador são 1xe2x −=−= (multiplicidade 2). Conseqüentemente, 
( )( ) ( ) 1x
C
1x
B
2x
A
1x2x
3x
22
2
+
+
+
+
+
=
++
−
 
e, assim, ( ) ( ) ( )( ).2x1xC2xB1xA3x 22 ++++++=− 
Se ,1x −= então 2B −= ; se ,2x −= então 1A = e se ,0x = então C2B2A3 ++=− e, assim, .0C = A 
decomposição do integrando em frações parciais é, pois, 
( )( ) ( ) .1x
2
2x
1
1x2x
3x
22
2
+
−
+
=
++
−10
Logo, ( )( ) ( ) .C1x
2|2x|ln
1x
dx2
2x
dxdx
1x2x
3xI 22
2
1 ++
++=
+
−
+
=
++
−
= ∫∫∫ 
Portanto, ( )( ) ( ) .3
5
2
7ln22ln
6
27ln
1x
2|2x|lndx
1x2x
3x 5
0
5
0
2
2
−=+−+=





+
++=
++
−
∫ 
9. a) ( ) dx1x
x2
1
0
42∫ +
 
Façamos a substituição 1xu 2 += . Então .dxx2du = Também, .
2u1x
1u0x



=⇒=
=⇒=
 
Portanto, .
24
71
8
1
3
1
3
u
u
dudx
x1
x2
2
1
32
1
4
1
0
2 =




−−=








−
==
+
−
∫∫ 
b) ( ) dxx2cosx2sen1
4
0
2
∫
pi
+ 
Façamos a substituição x2sen1v += . Então, .dxx2cos2dv = Também, 




=
pi
+=⇒
pi
=
=+=⇒=
.2
2
sen1v
4
x
10sen1v0x
 
Portanto, ( ) [ ] .
6
7
v
6
1dvv
2
1dxx2cosx2sen1
2
1
3
2
1
2
4
0
2
===+ ∫∫
pi
 
c) ( ) dxx2cosx
2
0
∫ − 
Vamos resolver por partes: ( ) ( ) ( )



−−=−=⇒−=
=⇒=
∫ x2sendxx2cosvdxx2cosdv
dxduxu
 
Na integral acima, é necessário fazer uma substituição do tipo x2w −= . 
Logo, ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 2cos1x2cosdxx2senx2senxdxx2cosx 20
2
0
2
0
2
0
−=−=−+−−=− ∫∫ . 
10. 1xe2x,0y,2x3y)a 2 =−==+= 
Temos ( ) [ ] ( ) .154821x2xdx2x3A 1231
2
2
=−−−+=+=+=
−
−
∫ 
 
 
11
.0xe8y,xy)b 3 === 
Temos ( ) .12416
4
x
x8dxx8A
2
0
42
0
3
=−=








−=−= ∫ 
 
x2yexx6y)c 2 =−= 
Intersecções: .4xou0x0x4xx2xx6 22 ==⇒=+−⇒=− 
 
Portanto, ( ) ( )[ ] ( )dxx4xdxx2xx6A 4
0
2
4
0
2 ∫∫ +−=−−= .3
3232
3
64
x2
3
x
4
0
2
3
=+−=








+−= 
2xye8x6xy)d 2 +=+−= 
Intersecções: .6xou1x06x7x2x8x6x 22 ==⇒=+−⇒+=+− 
Portanto, ( ) ( )[ ] ( )dx6x7xdx8x6x2xA 6
1
2
6
1
2 ∫∫ −+−=+−−+= .6
1256
2
7
3
13612672x6
2
x7
3
x
6
1
23
=+−+−+−=








−+−= 
 
 
12
 
x2ye
2
xy,xy)e
2
2
=== 
 
Temos as intersecções 
.0x0xxx2
2
x
x 222
2
2
=⇒=⇒=⇒=• 
( ) .2xou0x02xxx2x2 ==⇒=−⇒=• 
( ) .4xou0x04xxx4xx2
2
x 2
2
==⇒=−⇒=⇒=• 
Portanto, [ ] .4
3
44
3
3216
3
4
6
x
xx
6
1dx
2
x
x2dx
2
x
xA
4
2
3
22
0
3
4
2
22
0
2
2
=+−−+=








−+=








−+








−= ∫∫ 
.2xe2y,2y)f xx === − 
 
 
13
Temos ( ) .
2ln4
9
2ln
2
2ln
2dx22A
2
0
xx2
0
xx
=








+=−=
−
−∫ 
x4xyexy)g 22 +−== - Resposta: .
3
8A = 
x4xyex8x6xy)h 223 −=+−= 
Vamos, inicialmente, achar os pontos de intersecção das curvas: 
( ) ⇒=+−⇒=+−⇒−=+− 012x7xx0x12x7xx4xx8x6x 223223 .4xou3xou0x === 
 
Portanto, ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]dxx8x6xx4xdxx4xx8x6xA 4
3
232
3
0
223 ∫∫ +−−−+−−+−= 
 ( ) ( )dxx12x7xdxx12x7x 4
3
23
3
0
23 ∫∫ −+−++−= .6
71
x6
3
x7
4
x
x6
3
x7
4
x
4
3
2
343
0
2
34
=








−+−+








+−= 
[ ]pi∈== ,0x,xsenyex2seny)i 
 
Intersecções: ( ) ⇒=−⇒=−⇒= 01xcos2xsen0xsenxcosxsen2xsenx2sen 
 .
3
xouxou0x
2
1
xcosou0xsen pi=pi==⇒==⇒ 
Portanto, [ ] [ ]dxx2senxsendxxsenx2senA
3
3
0
∫∫
pi
pi
pi
−+−= .
2
5
x2cos
2
1
xcosxcosx2cos
2
1
3
3
0
=





+−+





+−=
pi
pi
pi
 
( ) ( ) [ ]2,0x,xxgexxf)j 32 ∈== 
 
14
 
Temos ( ) ( )
2
3
3
x
4
x
4
x
3
xdxxxdxxxA
2
1
341
0
432
1
23
1
0
32
=








−+








−=−+−= ∫∫ . 
11. a) Temos dxx4xdxx4xA
2
0
2
0
2
2
∫∫ −+−−=
−
. 
A integral dxx4x 2∫ − é resolvida pela substituição 2
dudxxdxx2dux4u 2 −=⇒−=⇒−= : 
( ) Cx4
3
1Cu
3
1
2
3
u
2
1duu
2
1dxx4x
3232
3
2 +−−=+−=−=−=− ∫∫ . 
Portanto, ( ) ( )
3
16
x4
3
1
x4
3
1A
2
0
32
0
2
32
=








−−








−=
−
. 
b) Vamos, inicialmente, achar os pontos de intersecção das curvas: 
1xou2x02xx04x2x2x2x4x 2222 =−=⇒=−+⇒=−+⇒−−=− . 
Portanto, ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]dx4xx2xdxx2x4xA 1
2
22
2
3
22
∫∫
−
−
−
−−−−+−−−−= ( ) ( )dx4x2x2dx4x2x2 1
2
2
2
3
2
∫∫
−
−
−
+−−+−+= 
 
3
38
x4xx
3
2
x4xx
3
2 1
2
23
2
3
23
=





+−−+





−+=
−
−
−
. 
c) Temos ( ) ( )[ ] ( )
3
4y
3
y10y3dyy2y10y12dyy2y2y12y12A
1
0
2
3
4
1
0
23
1
0
232
=








++−=++−=−−−= ∫∫ 
d) Temos 
6
5
12
x
x
12
x
2
xdx
4
x1dx
4
x
xA
2
1
31
0
322
1
21
0
2
=








−+








−=








−+








−= ∫∫ .