Gabarito com Resolução da lista 3 Cálculo II

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GABARITO DA 3ª LISTA - CÁLCULO II - ENGENHARIAS CIVIL E MECATRÔNICA 
1. .x30x72''ye8x15x9'y7x8x5xy)a 72839 +−=++−=⇒+++−= 
3x5y)b −= 
Temos ( ) ( )
( )
.
3x5
1
4
253x5
4
25
''ye3x5
2
5
3x52
5
'y
3
2
3
2
1
−
−=−−=−=
−
=
−−
 
( ) ( )32 1x1xy)c +−= 
Temos ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )2233232 1x31x1x1x2'1x1x1x'1x'y +−++−=+−++−= 
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )1x51x1x1x31x21x1x 22 −+−=−+++−= . 
Também, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )'1x51x1x1x5'1x1x1x51x'1x''y 222 −+−+−+−+−+−= 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 51x1x1x51x21x1x51x 22 +−+−+−+−+= 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]1x1x51x51x21x51x1x +−+−−+−++= ( )( ) ( )( )1x2x51x44x8x201x 22 −−+=−−+= . 
xsenxy)d = 
Temos ( ) ( ) ( ) ( ) xsenxxcos2'xcosxxcos'xxcos''yexcosxxsen'xsenxxsen'x'y −=++=+=+= . 
2. Se ( ) ,exf x3−= então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x33x32x3 e3x'''f,e3x''f,e3x'f −−− −=−=−= . 
Portanto, ( )( ) ( ) .e3e3xf x3100x3100100 −− =−= 
3. Temos ( ) ( ) ( ) xsecxcosxsen2x'fxtgxsenxf 22 +=⇒+= ( ) xtgxsec2xsen2xcos2x''f 222 +−=⇒ . 
Portanto, ( ) 20tg0sec20sen20cos20''f 222 =+−= . 
4. Temos ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )
( )[ ]22 xlnx
1xln
'xlnx
xlnx
1
x''f
xlnx
1
'xln
xln
1
x'fxlnlnxf
⋅
+
−=⋅⋅
⋅
−=⇒
⋅
=⋅=⇒= . 
Portanto, ( ) ( )( )[ ]
( )
( )[ ] 422222
2
2
e4
3
eln2e
1eln2
elne
1eln
e''f −=
⋅⋅
+
−=
⋅
+
−= . 
5. a) Temos ( ) m1664484434x 32 −=−=−⋅= . 
b) A equação da velocidade da partícula é dada por ( ) ( ) 2t3t6t'xtv −== . Logo, 
( ) ( ) ( ) ( ) s/m244ves/m93v,s/m023262v,s/m313161v 22 −=−==⋅−⋅==⋅−⋅= . 
c) A equação da aceleração da partícula é dada por ( ) ( ) t66t'vta −== . Logo, 
( ) ( ) ( ) ( ) 2222 s/m184aes/m123a,s/m62662a,s/m01661a −=−=−=⋅−==⋅−= . 
6. a) A equação da velocidade da partícula é dada por ( ) ( ) 2
t
1t'stv 2 +−== . Portanto, ( ) .4
72
2
12v 2 =+−= 
b) A equação da aceleração da partícula é dada por ( ) ( ) 3t
2t'vta == . 
7. a) Temos ( ) .dx5x4dx'ydy 3 +== 
b) Usando a regra do quociente, temos ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .x1
1
x1
xx1
x1
x1xx1x
dx
dy
'y 222
''
−
=
−
+−
=
−
−−−
== 
Portanto, ( ) .dxx1
1dx'ydy 2
−
== 
c) Usando a regra da cadeia, temos ( )
2
'2
2 t1
tt1
t12
1
'y
−
−=−
−
= . Portanto, .dt
t1
tdt'ydy
2
−
−== 
 
2 
d) Temos ( ) ( ) .u21u21
1y 44
−+=
+
= Usando a regra da cadeia, temos ( ) ( ) ( ) .u21
8
u21u214'y 5
'5
+
−=++−= − 
Portanto, ( ) .duu21
8du'ydy 5+
−== 
8. a) Usando a definição de y∆ , temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .25,115,1)1(f5,1f1f5,01fxfdxxfy 22 =−=−=−+=−+=∆ 
Usando a definição de dy, temos ( ) .15,012dxx2dxx'fdy =⋅⋅=== 
Portanto, o erro é dado por .25,0125,1dyyerro =−=−∆= 
b) Usando a definição de y∆ , temos )1(f)001,1(f)1(f)001,01(f)x(f)dxx(fy −=−+=−+=∆ 
( ) .0009985,05,0499,012
1
001,12
1
22 −=−=
⋅
−= 
Temos ( ) .
x
1
x2
2
1
'y,Logo.x
2
1
x2
1y 3
32
2 −=−===
−−
 
Assim, usando a definição de dy, temos ( ) .001,0001,0
1
1dx)x('fdy 3 −=−== 
Portanto, o erro é dado por .00000150,0)001,0(0009985,0dyyerro =−−−=−∆= 
c) Usando a definição de y∆ , temos )1(f)9,0(f)1(f)1,01(f)x(f)dxx(fy −−−=−−+−=−+=∆ 
 .07895,0
11
1)1(2
19,0
1)9,0(2
−=
−−
+−⋅
−
−−
+−⋅
= 
Temos ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )
( ) ( ) .1x
3
1x
11x21x2
1x
1x1x21x1x2
'y 222
''
−
−=
−
⋅+−−⋅
=
−
−+−−+
= 
Assim, usando a definição de dy, temos ( ) ( ) .075,01,011
3dx)x('fdy 2 −=
−−
−== 
Portanto, o erro é dado por .00395,0)075,0(07895,0dyyerro −=−−−=−∆= 
d) Usando a definição de y∆ , temos 
( ) ( ) ( ) .44,1266,16)2(f6,1f)2(f)4,02(f)x(f)dxx(fy 22 =−+−−−=−−−=−−+−=−+=∆ 
Temos .x2'y −= Assim, usando a definição de dy, temos ( ) ( ) .6,14,022dx)x('fdy =⋅−⋅−== 
Portanto, o erro é dado por .16,06,144,1dyyerro −=−=−∆= 
9. Gráfico do item d do exercício anterior: 
 
 
3 
10. Temos que o volume da esfera é dado por ( ) .r
3
4
rV 3pi= 
Logo, o aumento aproximado do volume procurado é dado por 
( ) ,sejaou,cm1,0drecm3rcom,drr4drrVdV 2' ==pi== ( ) .cm31,11)1,0(34dV 32 =pi= 
O aumento real do volume é calculado por ( ) ( ) .cm69,113
3
41,3
3
4V 333 =pi−pi=∆ 
11. A área do terreno é dada por .)(A 2ll = 
Logo, o possível erro no cálculo da área do terreno é dado por 
,sejaou,m10dem1200com,d2d)(AdA ' ±==== llllll ( ) ( ) .m000.241012002dA 2±=±⋅⋅= 
12. A área total (considerando ambos os lados das placas) é dada por .100)(A 2ll = 
Logo, o aumento aproximado da área (e, portanto, da quantidade de tinta a ser usada) é dado por 
,cm5,0decm40com,d200d)(AdA ' ==== llllll ou seja, .cm000.45,040200dA 2=⋅⋅= 
Portanto, o aumento aproximado de porcentagem de tinta a ser usada é %.5,2
000.160
000.4
)40(A
dA
== 
13. 1,36)a 
Considere a função ( ) ( )
x2
1
x'fxxf =⇒= . Se 1,0dxe36x == , então ( ) 3008,01,0
362
1dx36'fdy =⋅=⋅= . 
Como ( ) ( ) 61,36361,3636f1,36fyedyy −=−=−=∆≈∆ , temos 
3008,61,363008,061,36dyy ≈⇒≈−⇒≈∆ . Na calculadora, .008328,61,36 = 
( )697,1)b 
Considere a função ( ) ( ) 56 x6x'fxxf =⇒= . Se 03,0dxe2x −== , então ( ) ( ) 76,503,026dx2'fdy 5 −=−⋅⋅=⋅= . 
Como ( ) ( ) ( ) ( ) 6497,1297,12f97,1fyedyy 666 −=−=−=∆≈∆ , temos 
( ) ( ) 24,5897,176,56497,1dyy 66 ≈⇒−≈−⇒≈∆ . Na calculadora, ( ) 452,5897,1 6 = . 
14. 
y
x
'y0'yy2x24yx)a 22 =⇒=−⇒=− 
( ) ( ) ( ) .
x
y
'y0'yxy0'yxy'x0'yx1yx)b −=⇒=⋅+⇒=⋅+⋅⇒=⋅⇒=⋅ 
.
y25
x16
'y0'yy50x32400y25x16)c 22 −=⇒=+⇒=+ 
.
x
y
'y0
y2
'y
x2
11yx)d −=⇒=+⇒=+ 
1ysenxcos4)e = 
É uma função dada implicitamente. Portanto, 
( ) ( ) 0'yycosxcos4ysenxsen40'ysenxcos4ysen'xcos4 =+−⇒=+ .ytgxtg
ycosxcos
ysenxsen
'y ==⇒ 
2exln)f x
y
=+
−
 
É uma função dada implicitamente. Portanto, 
 
4 
( ) xyx'ye1
x
yx'y
e
x
1
x
yx'y
e0
x
yx'y
e
x
1 x
y
x
y
2
x
y
2
x
y
=−⇒=
−
⇒=
−
⇒=
−
−
−−−−
 
x
yex
'yexyx'y
e
xyx'y
x
y
x
y
x
y
+
=⇒=−⇒=−⇒
−
 
15. a) Temos .
y
x
'y0'yy2x225yx 22 −=⇒=+⇒=+ Logo, o coefieciente angular da reta tangente procurada é 
dado por ( ) .4
3
'y 4,3 =− Portanto, a reta tangente tem equação ( ) .25y4x33x4
34y =−⇔−=+ 
 
b) Temos .
x
y
'y0'yxy8yx −=⇒=+⇒−= Logo, o coefieciente angular da reta tangente procurada é dado por 
( ) .2
1
'y 2,4 =− Portanto, a reta tangente tem equação ( ) .8y2x4x2
12y =−⇔−=+ 
 
c) Temos .
x
yx21
'y1'yxyx22xyx 2
22 −
=⇒=+⇒+= Logo, o coefieciente angular da reta tangente procurada é 
dado por ( ) .4
3
'y 1,2 −= Portanto, a reta tangente tem equação ( ) .10y4x32x4
31y =+⇔−−=− 
 
5 
 
d) Temos 
yx2x
yx2y
'y0'yxyx2'yyx2y2yxyx 2
2
2222
+
+
−=⇒=+++⇒=+ . Logo, o coeficiente angular da reta 
tangente procurada é dado por ( ) .0'y 2,1 =− Portanto, a reta tangente tem equação .2y −= 
 
e) Temos .
y
x
16
9
'y0'y
9
y2
8
x1
9
y
16
x 22
=⇒=−⇒=− Logo, o coefieciente angular da reta tangente procurada é 
dado por .
4
5
'y
4
9
,5 −=





−
 Portanto, a reta tangente tem equação ( ) .16y4x55x
4
5
4
9y −=+⇔+−=− 
 
f) Temos .
y
x4'y0'y
18
y
9
x21
36
y
9
x 22
−=⇒=+⇒=+ Logo, o coefieciente angular da reta tangente procurada é 
dado por ( ) .2
2
'y 24,1 =− Portanto, a reta tangente tem equação ( ) .2
29
x
2
2y1x
2
224y +=⇔+=− 
 
6 
 
16. A equação da circunferência de centro (2,0) e raio 2 é ( ) 4y2x 22 =+− . Diferenciando implicitamente, temos 
( )
y
2x
'y0'yy22x2 −−=⇒=+− . Os pontos de abscissa 1 da circunferência são ( ) ( )3,1e3,1 − . 
A reta tangente à circunferência no ponto ( )3,1 tem coeficienteangular dado por ( ) .31'y 3,1 = Logo, a reta 
tangente procurada tem equação ( )1x
3
13y −=− . No mesmo ponto, a reta normal tem coeficiente angular m tal 
que .3m1
3
1
m −=⇒−=⋅ Assim, a reta normal procurada tem equação ( )1x33y −−=− . 
Analogamente, obtemos as retas tangente e normal à circunferência no ponto ( )3,1 − . 
 
17. a) Como ( ) ( ) 01xx2lime02xx2xlim 23
1x
34
1x
=−−=+−−
→→
, a função 
1xx2
2xx2xy 23
34
−−
+−−
= tem a forma indetermina-
da 1xem
0
0
= . Podemos, portanto, aplicar a regra de L’Hospital: 
4
3
x2x6
1x6x4lim
1xx2
2xx2xlim 2
23
1x23
34
1x
−=
−
−−
=
−−
+−−
→→
. 
 
7 
b) Como ( ) ,01xlime0xlnlim
1x1x
=−=
→→
 a função 
1x
xlny
−
= tem a forma indeterminada 
0
0
 em .1x = Podemos, então, 
aplicar a regra de L'Hospital: .1
1
x
1
lim
1x
xlnlim
1x1x
==
− →→
 
c) Como ( ) ( ) 0x5x7xlime0x6xlim 23
0x
2
0x
=++=+
→→
, a função 
x5x7x
x6xy 23
2
++
+
= tem a forma indeterminada 
0xem
0
0
= . Podemos, portanto, aplicar a regra de L’Hospital: 
5
6
5x14x3
6x2lim
x5x7x
x6xlim 20x23
2
0x
=
++
+
=
++
+
→→
. 
d) Como ( ) ,0xsenlime0eelim
1x
xx
1x
==−
→
−
→
 a função 
xsen
eey
xx −
−
= tem a forma indeterminada 
0
0
 em x = 0. 
Podemos, então, aplicar a regra de L'Hospital: .2
xcos
eelim
xsen
eelim
xx
0x
xx
0x
=
+
=
−
−
→
−
→
 
e) Como ( ) ( ) ∞+=−+∞+=+−
∞+→∞+→
1x7xlime7x6xlim 3
x
2
x
, a função 
1x7x
7x6xy 3
2
−+
+−
= tem a forma indeterminada 
∞
∞
. 
Podemos, portanto, aplicar a regra de L’Hospital: 0
x6
2lim
7x3
6x2lim
1x7x
7x6xlim
x2x3
2
x
==
+
−
=
−+
+−
∞+→∞+→∞+→
. 
f) Como ( ) ( ) ∞+=+−∞+=−
∞+→∞+→
4x2x4lime6x7lim 2
x
5
x
, a função 
4x2x4
6x7y 2
5
+−
−
= tem a forma indeterminada 
∞
∞
. 
Podemos, portanto, aplicar a regra de L’Hospital: 
∞+==
−
=
+−
−
∞+→∞+→∞+→ 8
x140lim
2x8
x35lim
4x2x4
6x7lim
3
x
4
x2
5
x
. 
g) Como ( ) ,xlimexlnlim 3
xx
∞+=∞+=
∞+→∞+→
 a função 3 x
xlny = tem a forma indeterminada 
∞
∞
 quando .x ∞+→ 
Podemos, então, aplicar a regra de L'Hospital: .0
x
3lim
x
1
3
1
x
1
lim
x
xlnlim 3x
32
x3x
===
∞+→∞+→∞+→
 
h) Como ( ) ,xtglimexsec1lim
2
x
2
x
∞+=∞+=+
−− pi
→
pi
→
 a função 
xtg
xsec1y += tem a forma indeterminada 
∞
∞
 quando 
.
2
x
−pi
→ Podemos, então, aplicar a regra de L'Hospital: 
.1xsenlim
xsec
xtglim
xsec
xtgxseclim
xtg
xsec1lim
2
x
2
x
2
2
x
2
x
====
+
−−−− pi
→
pi
→
pi
→
pi
→