Opera»c~oes Bin¶arias em Conjuntos

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Opera»c~oes Bin¶arias
Neste cap¶³tulo, faremos mais preciso o conceito de opera»c~ao bin¶aria, (ou sim-
plesmente opera»c~ao), e introduziremos tamb¶em a nomenclatura j¶a consolidada de
propriedades not¶aveis de opera»c~oes bin¶arias.
Em alguns exemplos explorados, admitiremos familiaridade com os conjuntos
Q dos n¶umeros racionais, R dos n¶umeros reais e C dos n¶umeros complexos, bem
como com propriedades elementares de suas opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao.
3.1 Opera»c~oes Bin¶arias
De¯ni»c~ao 3.1 (Opera»c~ao bin¶aria) Seja A um conjunto n~ao vazio. Uma ope-
ra»c~ao bin¶aria em A (ou simplesmente uma opera»c~ao em A), denominada tamb¶em
uma lei de composi»c~ao interna em A, ¶e uma aplica»c~ao
':A£A! A
Sendo ' uma opera»c~ao em A, para cada par (a; b) 2 A, denotamos a imagem
do par (a; b), pela opera»c~ao ', por
'(a; b) = a' b
Opera»c~oes s~ao geralmente denotadas por s¶³mbolos, tais como +; ¢; ¤; ±;tu,
etc., em lugar de letras dos alfabetos latino e grego, tais como f; g; '; Ã, etc.
O elemento imagem de um par (a; b), por uma opera»c~ao ¤, ¶e indicado,
conforme conven»c~ao feita acima, por a ¤ b, e ¶e chamado de composto de a e b
pela opera»c~ao ¤.
Exemplo 3.1 A opera»c~ao adi»c~ao em N. Sendo a primeira opera»c~ao de nossa
forma»c~ao matem¶atica, ¶e a opera»c~ao
+:N£N! N;
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Operac»~oes Bin¶arias 45
sendo restri»c~ao, ao conjunto N, da opera»c~ao adi»c~ao em Z de¯nida axiomaticamente
no cap¶³tulo 1.
A imagem de um par (m;n) 2 N £ N, pela opera»c~ao +, ¶e denotada por
m+ n e ¶e chamada soma de m e n.
Exemplo 3.2 (Potencia»c~ao em N) A opera»c~ao potencia»c~ao em N ¶e de¯nida
pela aplica»c~ao
tu:N£N! N
de¯nida por
tu (a; n) = atun = an, sendo
² a0 = 1
² Para cada n 2 N, uma vez de¯nido an, de¯ne-se an+1 = an ¢ a.
Assim, por exemplo, 0tu 0 = 00 = 1, 3tu 2 = 32 = 9 e 2tu 3 = 23 = 8.
A imagem de um par (a; n), por esta opera»c~ao, ¶e chamada pote^ncia de base
a e expoente n.
Exemplo 3.3 (Uma opera»c~ao de¯nida abstratamente) Considere em Z a
opera»c~ao ¤:Z£ Z! Z, de¯nida por
a ¤ b = a+ b¡ a ¢ b;
sendo + e ¢ as opera»c~oes adi»c~ao e multiplica»c~ao em Z, respectivamente.
Neste exemplo,
2 ¤ 3 = 2 + 3¡ 2 ¢ 3 = ¡1,
0 ¤ (¡3) = 0 + (¡3)¡ 0 ¢ (¡3) = ¡3,
(¡2) ¤ (¡2) = ¡2 + (¡2)¡ (¡2)(¡2) = ¡8.
Exemplo 3.4 (Uma \n~ao opera»c~ao") Como todos sabemos, a potencia»c~ao de
inteiros, com expoentes inteiros, ¶e uma aplica»c~ao (fun»c~ao) que associa a cada par
(a; n) de n¶umeros inteiros, com a 6= 0 e n qualquer, ou com a = 0 e n ¸ 0, o
n¶umero racional an, de¯nido conforme as regras:
1. a0 = 1 e a1 = a,
2. se n ¸ 2, an = a ¢ ¢ ¢ a| {z }
n fatores
, (sendo ¢ a multiplica»c~ao em Z).
3. se a6= 0 e n ¸ 1, a¡n =
1
an
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Sendo a e n inteiros, denotemos ent~ao
atun = an
Temos por¶em duas raz~oes pelas quais tu est¶a longe de ser uma opera»c~ao em
Z:
² Embora 2tu (¡1) = 2¡1 = 1=2 fa»ca sentido como um n¶umero racional |
admitindo aqui familiaridade com os n¶umeros racionais | o \resultado" de
atun, a e n inteiros, nem sempre ¶e um inteiro.
² Al¶em disso, h¶a insta^ncias em que atun nem est¶a de¯nido, como no caso
0tu (¡1) (0¡1 n~ao ¶e de¯nido pois a equa»c~ao 0 ¢ x = 1 n~ao tem solu»c~ao).
3.2 Nomenclatura de propriedades not¶aveis das
opera»c~oes
De¯ni»c~ao 3.2 Seja ¤ uma opera»c~ao de¯nida num conjunto n~ao vazio A.
1. Dizemos que ¤ ¶e uma opera»c~ao associativa se
8a; b; c 2 A; (a ¤ b) ¤ c = a ¤ (b ¤ c)
2. Dizemos que ¤ ¶e uma opera»c~ao comutativa se
8a; b 2 A; a ¤ b = b ¤ a
3. Dizemos que um elemento e 2 A ¶e um elemento neutro da opera»c~ao ¤ se
8a 2 A; e ¤ a = a ¤ e = a
Teorema 3.1 (Unicidade do elemento neutro) Seja ¤ uma opera»c~ao em um
conjunto n~ao vazio A e suponhamos que e1 e e2 s~ao elementos neutros da opera»c~ao
¤. Ent~ao e1 = e2. Em outras palavras, se uma opera»c~ao tem elemento neutro, ele
¶e ¶unico.
Demonstra»c~ao. Como e1 ¶e elemento neutro de ¤, tem-se e1 ¤ e2 = e2
Como e2 ¶e tamb¶em elemento neutro de ¤, tem-se e1 ¤ e2 = e1
Logo, e1 = e2.
De¯ni»c~ao 3.3 Seja ¤ uma opera»c~ao de¯nida num conjunto n~ao vazio A, tendo
um elemento neutro e. Dado um elemento a 2 A, dizemos que a ¶e invert¶³vel ou
invers¶³vel na opera»c~ao ¤ se existe um elemento a0 2 A satisfazendo
a ¤ a0 = a0 ¤ a = e
Nesse caso, um tal elemento a0 ¶e chamado elemento inverso de a (ou sim¶e-
trico de a) na opera»c~ao ¤.
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Teorema 3.2 (Unicidade de inversos numa opera»c~ao associativa) Seja ¤
uma opera»c~ao associativa num conjunto n~ao vazio A. Suponhamos que ¤ tem um
elemento neutro e. Ent~ao cada elemento de A, invert¶³vel na opera»c~ao ¤, possui
um ¶unico elemento inverso. Em outras palavras, se a0 e a00 s~ao inversos de a na
opera»c~ao ¤ ent~ao a0 = a00.
Demonstra»c~ao. Sejam a0 e a00 elementos inversos de a na opera»c~ao ¤. Ent~ao
a0 = a0 ¤ e = a0 ¤ (a ¤ a00) = (a0 ¤ a) ¤ a00 = e ¤ a00 = a00
Note que, na igualdade central, ¯zemos uso da associatividade de ¤.
Teorema 3.3 Seja ¤ uma opera»c~ao associativa num conjunto n~ao vazio A. Supo-
nhamos que ¤ tem um elemento neutro e.
1. Se a 2 A ¶e invert¶³vel na opera»c~ao ¤, com inverso a0 2 A, ent~ao a0 tamb¶em
¶e invert¶³vel na opera»c~ao ¤, com inverso (a0)0 = a.
2. Se a e b s~ao elementos de A, invert¶³veis na opera»c~ao ¤, ent~ao a ¤ b tamb¶em
¶e invert¶³vel na opera»c~ao ¤, com inverso (a ¤ b)0 = b0 ¤ a0, sendo b0 e a0,
respectivamente, inversos de b e a na opera»c~ao ¤.
Demonstra»c~ao.
1. Como a ¤ a0 = a0 ¤ a = e, segue, pela de¯nic~ao e unicidade do elemento
inverso, que o inverso de a0, na opera»c~ao ¤, ¶e igual a a.
2. Sejam a0 e b0, respectivamente, os inversos de a e b na opera»c~ao ¤. Ent~ao,
pela associatividade de ¤, teremos
(a ¤ b) ¤ (b0 ¤ a0) = a ¤ [b ¤ (b0 ¤ a0)]
= a ¤ [(b ¤ b0) ¤ a0]
= a ¤ (e ¤ a0)
= a ¤ a0 = e
Analogamente, podemos mostrar que (b0 ¤ a0) ¤ (a ¤ b) = e.
Portanto, o elemento inverso de a ¤ b na operac~ao ¤ ¶e b0 ¤ a0.
Observa»c~ao 3.1 As conven»c~oes descritas aqui s~ao adotadas universalmente.
Quando uma opera»c~ao num conjunto A ¶e denotada por +, ela ¶e denominada
adi»c~ao em A e, nesse caso, assume-se implicitamente que ela ¶e associativa e
comutativa.
Em outras palavras, causa estranheza denotar opera»c~oes n~ao comutativas ou
n~ao associativas por \+".
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Quando uma adi»c~ao tem elemento neutro, ele ¶e geralmente denotado por 0,
e ¶e denominado zero.
Al¶em disso, se um elemento a 2 A tem elemento inverso na opera»c~ao +,
este ¶e chamado oposto de a ou sim¶etrico de a, ou ainda inverso aditivo de a, e ¶e
denotado por ¡a.
Observa»c~ao 3.2 Tamb¶em certas regras s~ao impl¶³citas quando uma opera»c~ao num
conjunto A ¶e denotada por \¢".
Em geral, assume-se que uma opera»c~ao denotada multiplicativamente ¶e as-
sociativa, mas n~ao necessariamente comutativa.
Em v¶arios exemplos elementares ela ¶e chamada multiplica»c~ao em A, mas
este n~ao ¶e o nome \obrigat¶orio" dado a opera»c~oes denotadas por \¢".
Se a opera»c~ao ¢ em A tem elemento neutro, sendo a 2 A um elemento
invert¶³vel nessa opera»c~ao, seu elemento inverso ¶e chamado inverso multiplicativo
de a, ou inverso multiplicativo de a, e ¶e denotado por a¡1.
Exemplo 3.5 Como sabemos, a opera»c~ao adi»c~ao em N ¶e associativa, comutativa,
e tem elemento neutro e = 0. O ¶unico elemento invert¶³vel na adi»c~ao em N ¶e o
elemento neutro pois, em N, a+ a0 = 0) a = a0 = 0.
Exemplo 3.6 A multiplica»c~ao em Z ¶e associativa, comutativa, tem elemento neu-
tro e = 1 e, os elementos invert¶³veis nessa opera»c~ao s~ao 1 e ¡1, uma vez que, em
Z, ab = 1) a = b = §1, sendo ent~ao 1¡1 = 1 e (¡1)¡1 = ¡1.
Exemplo 3.7 Consideremos agora a opera»c~ao ¤ em Z, do exemplo 3.3, de¯nida
por
a ¤ b = a+ b¡ ab; 8a; b 2 Z
Que propriedades not¶aveis tem esta opera»c~ao? Ela tem elemento neutro?
Consideremos tre^sinteiros gen¶ericos a, b e c. Ent~ao
(a ¤ b) ¤ c = (a ¤ b) + c¡ (a ¤ b) ¢ c
= (a+ b¡ ab) + c¡ (a+ b¡ ab)c
= a+ b+ c¡ ab¡ ac¡ bc+ abc
Por outro lado,
a ¤ (b ¤ c) = a+ (b ¤ c)¡ a ¢ (b ¤ c)
= a+ (b+ c¡ bc)¡ a(b+ c¡ bc)
= a+ b+ c¡ bc¡ ab¡ ac+ abc
Assim, (a ¤ b) ¤ c = a ¤ (b ¤ c).
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Portanto, ¤ ¶e associativa.
Al¶em disso, a ¤ b = a + b ¡ ab = b + a ¡ ba = b ¤ a, isto ¶e, ¤ ¶e tamb¶em
comutativa.
Tem ¤ um elemento neutro? Para responder a esta quest~ao , note que se e
¶e elemento neutro de uma opera»c~ao tu, ent~ao etu e = e.
No nosso caso
e ¤ e = e) e+ e¡ e2 = e) e2 ¡ e = 0) e(e¡ 1) = 0) e = 0 ou e = 1
Agora, se a 2 Z, ent~ao a ¤ 0 = a+0¡ a ¢ 0 = a e 0 ¤ a = 0+ a¡ 0 ¢ a = a,
portanto 0 ¶e o elemento neutro de ¤.
Quais s~ao os elementos de Z, invert¶³veis na opera»c~ao ¤?
Obviamente 0 ¶e um deles, j¶a que o elemento neutro de uma opera»c~ao ¶e
sempre invert¶³vel.
Seja x 2 Z, e suponhamos que x ¶e invert¶³vel na opera»c~ao ¤ com inverso y.
Ent~ao
x ¤ y = y ¤ x = 0) x+ y ¡ xy = 0
Da¶³, x(1¡ y) = ¡y e y(1¡ x) = ¡x. Disto deduzimos que x ¶e fator de y
(x divide y) e que y ¶e fator de x (y divide x). Logo, x = §y.
Se x = y, ent~ao x+ y ¡ xy = 0) 2x¡ x2 = 0) x = 0 ou x = 2.
Bem, x = 0 era um elemento invert¶³vel j¶a previsto. A \novidade" aqui ¶e o
elemento invert¶³vel x = 2, cujo inverso ¶e y = 2.
Se x = ¡y, ent~ao x + y ¡ xy = 0 ) ¡x2 = 0 ) x = 0, e novamente
\redescobrimos" 0 como um elemento invert¶³vel de ¤.
Assim, os ¶unicos elementos invert¶³veis na opera»c~ao ¤ s~ao 0 e 2, sendo cada
um deles o elemento inverso de si mesmo.
Exemplo 3.8 (Uma opera»c~ao importante, sem \propriedades not¶aveis")
Considere a opera»c~ao tu de potencia»c~ao em N (exemplo 3.2), de¯nida por
atu b = ab; 8a; b 2 N
Ent~ao
2tu 3 = 23 = 8 e 3tu 2 = 32 = 9
e portanto tu n~ao ¶e comutativa (em geral, ab 6= ba). Al¶em disso,
(2tu 3)tu2 = 8tu 2 = 82 = 64
enquanto que
2tu (3tu 2) = 2tu 9 = 29 = 512
de onde conclu¶³mos que tu tampouco ¶e associativa (em geral (ab)
c
6= a(b
c)).
Operac»~oes Bin¶arias 50
Se tu tiver um elemento neutro e, ele dever¶a satisfazer
etu e = e; ou seja, ee = e
Agora, para cada natural n ¸ 2, temos nn > n. Logo, para o elemento
neutro de tu s¶o restam as possibilidades e = 0 ou e = 1, sendo e = 1 a ¶unica
soluc~ao de ee = e.
Veri¯cando se e = 1 ¶e, de fato, elemento neutro de tu, encontramos, para
um inteiro gen¶erico a 2 N:
atu 1 = a1 = a e 1tu a = 1a = 1
de onde deduzimos que tu n~ao possui elemento neutro.
De¯ni»c~ao 3.4 Sendo ¤ e tu duas opera»c~oes de¯nidas num conjunto A, dizemos
que ¤ ¶e distributiva em rela»c~ao a tu se, 8a; b; c 2 A,
a ¤ (btu c) = (a ¤ b)tu (a ¤ c);
(atu b) ¤ c = (a ¤ c)tu (b ¤ c)
Como exemplo, considere as opera»c~oes + e ¢ em Z. Como sabemos, ¢ ¶e distributiva
em rela»c~ao a +, ou seja, 8a; b; c 2 Z,
a ¢ (b+ c) = (a ¢ b) + (a ¢ c);
(a+ b) ¢ c = (a ¢ c) + (b ¢ c)
De¯ni»c~ao 3.5 (Restri»c~ao de uma opera»c~ao) Sejam A um conjunto n~ao vazio,
¤ uma opera»c~ao em A, e B um subconjunto n~ao vazio de A.
1. Dizemos que B ¶e fechado na opera»c~ao ¤ se
x; y 2 B ) x ¤ y 2 B; 8x; y 2 A
isto ¶e, se a composi»c~ao x ¤ y de dois elementos quaisquer x e y de B ¶e
tamb¶em um elemento de B.
Por exemplo, se A = Z e ¤ = ¢ ¶e a multiplica»c~ao usual em Z, ent~ao
Z¤+ = fx 2 Z j x > 0g ¶e fechado nessa opera»c~ao, j¶a que, conforme o
axioma de ordem O4, 8x; y 2 Z; x > 0 e y > 0) x ¢ y > 0.
2. Se B ¶e um subconjunto de A, fechado na opera»c~ao ¤, ent~ao a opera»c~ao
B £B ! B
(b1; b2) 7! b1 ¤ b2
¶e chamada restri»c~ao da opera»c~ao ¤ ao conjunto B.
Habitualmente, denotamos a restri»c~ao de uma opera»c~ao pela mesma nota»c~ao
da opera»c~ao, isto ¶e, indicamos a restri»c~ao de ¤ tamb¶em por ¤.
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De¯ni»c~ao 3.6 (T¶abua de uma opera»c~ao num conjunto ¯nito) Seja A um
conjunto ¯nito de n elementos, A = fx1; x2; : : : ; xng, com (n ¸ 1), e seja ¤ uma
opera»c~ao em A.
A t¶abua de ¤ ¶e uma tabela da forma
¤ x1 x2 : : : xn
x1 a11 a12 : : : a1n
x2 a21 a22 : : : a2n
...
...
...
...
xn an1 an2 : : : ann
em que, para cada par de ¶³ndices i; j, com 1 · i; j · n,
aij = xi ¤ xj
Exemplo 3.9 Seja A = f1; i;¡1;¡ig, sendo i a unidade imagin¶aria dos n¶umeros
complexos (i2 = ¡1). Seja ¢ a multiplica»c~ao de n¶umeros complexos, isto ¶e, a
multiplica»c~ao em C. ¶E f¶acil ver que A ¶e fechado na opera»c~ao ¢. A t¶abua da
multiplica»c~ao, restrita a A, ¶e dada abaixo.
¢ 1 i ¡1 ¡i
1 1 i ¡1 ¡i
i i ¡1 ¡i 1
¡1 ¡1 ¡i 1 i
¡i ¡i 1 i ¡1
3.2.1 Problemas complementares
1. °. . Em cada um dos itens abaixo, considere a opera»c~ao ¤ em A e veri¯que
(i) se ¤ ¶e associativa;
(ii) se ¤ ¶e comutativa;
(iii) se ¤ tem elemento neutro;
(iv) caso ¤ tenha elemento neutro, quais s~ao os elementos de A invert¶³veis
nessa opera»c~ao. Para cada elemento invert¶³vel, determine o respectivo
elemento inverso.
(a) A = R, x ¤ y = 3
p
x3 + y3
(b) A = R, x ¤ y = x
(c) A = N, x ¤ y = min fx; yg
(d) A = N, x ¤ y = mdc (x; y)
(e) A = R+ = fx 2 R j x ¸ 0g, x ¤ y =
x+ y
1 + xy
Operac»~oes Bin¶arias 52
(f) A = Q, x ¤ y = x+ y ¡ xy
2. Seja A um conjunto n~ao vazio e seja }(A) o conjunto das partes de A, isto
¶e, o conjunto dos subconjuntos de A. Assim, X 2 }(A) se, e somente se,
X ½ A.
Por exemplo, se A = f1; 2; 3g, ent~ao
}(A) = f¿; f1g; f2g; f3g; f1; 2g; f1; 3g; f2; 3g; Ag:
Em }(A) de¯nem-se as opera»c~oes habituais da teoria dos conjuntos, sendo
elas as opera»c~oes reuni~ao ([), interse»c~ao (\), diferen»ca (¡), e diferen»ca
sim¶etrica (4), de¯nidas por
X [ Y = fa 2 A j a 2 X ou a 2 Y g;
X \ Y = fa 2 A j a 2 X e a 2 Y g;
X ¡ Y = fa 2 A j a 2 X e a62 Y g;
X4Y = (X [ Y )¡ (X \ Y );
8X; Y 2 }(A).
Determine, seguindo o roteiro do exerc¶³cio anterior, as propriedades de ca-
da uma das quatro opera»c~oes em }(A). [Sugest~ao simpli¯cadora: utilize
diagramas de Venn.]
3. °. . Mostre que, no conjunto }(A),
(a) A opera»c~ao [ ¶e distributiva em rela»c~ao a \;
(b) A opera»c~ao \ ¶e distributiva em rela»c~ao a [;
(c) A opera»c~ao \ ¶e distributiva em rela»c~ao a 4.
(d) A opera»c~ao 4 n~ao ¶e, em geral, distributiva em rela»c~ao a \.
4. °. .
(a) Quantas opera»c~oes bin¶arias distintas podemos de¯nir num conjunto
¯nito de n elementos? [Sugest~ao: Conte o n¶umero de t¶abuas dessas
opera»c~oes.]
(b) Quantas s~ao as opera»c~oes bin¶arias comutativas?