Algebra abstrata (1)

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Al) Considere a operação º definida sobre o conjunto A = {♥, ♠, ♦, ♣} cuja tábua está mostrada a seguir: 
	º
	♥
	♠
	♦
	♣
	♥
	♦
	♣
	♥
	♠
	♠
	♣
	♥
	♠
	♦
	♦
	♥
	♠
	♦
	♣
	♣
	♠
	♦
	♣
	♥
Verifique:
a) se º tem elemento neutro; 
b) se º é comutativa; 
c) quais são os elementos de A que são invertíveis. 
Solução: 
a) Primeiramente, vamos verificar se a operação º é comutativa. Para isso, verificamos que a parte da tábua que está acima da diagonal que vai do canto superior esquerdo ao inferior direito é simétrica com relação à parte que está abaixo da diagonal.
	º
	♥
	♠
	♦
	♣
	♥
	♦
	♣
	♥
	♠
	♠
	♣
	♥
	♠
	♦
	♦
	♥
	♠
	♦
	♣
	♣
	♠
	♦
	♣
	♥
Como há uma simetria entre a parte que está acima e a que está abaixo da diagonal, concluímos que a operação é comutativa: ♥º♦ = ♦º♥, ♠º♥ = ♥º♠, ♣º♦ = ♦º♣, etc.
b) Agora, vamos verificar se a operação tem elemento neutro. Observamos a primeira linha da tábua (o cabeçalho) e verificamos se ela se repete em algum lugar. Ela se repete na linha do elemento ♦. Isso significa que: ♦º♥ = ♥, ♦º♠ = ♠, ♦º♦ = ♦ e ♦º♣ = ♣. Logo, ♦ é um elemento neutro à esquerda para a operação º. 
º
♥
♠
♦
♣
♥
♦
♣
♥
♠
♠
♣
♥
♠
♦
♦
♥
♠
♦
♣
♣
♠
♦
♣
♥
	º
	♥
	♠
	♦
	♣
	♥
	♦
	♣
	♥
	♠
	♠
	♣
	♥
	♠
	♦
	♦
	♥
	♠
	♦
	♣
	♣
	♠
	♦
	♣
	♥
Observamos novamente a tábua para ver se a primeira coluna se repete em al-gum lugar. Verificamos que ela se repete no elemento ♦. Isso significa que ♦ é um elemento neutro à direita. Portanto, ♦ é o elemento neutro da operação ♦.
º
♥
♠
♦
♣
♥
♦
♣
♥
♠
♠
♣
♥
♠
♦
♦
♥
♠
♦
♣
♣
♠
♦
♣
♥
	º
	♥
	♠
	♦
	♣
	♥
	♦
	♣
	♥
	♠
	♠
	♣
	♥
	♠
	♦
	♦
	♥
	♠
	♦
	♣
	♣
	♠
	♦
	♣
	♥
c) Como ♦ é o elemento neutro da operação, verificamos na tábua quais são os pares de elementos (x,y) tais que xºy = ♦. 
Temos os seguintes resultados: ♠º♣ = ♦, ♥º♥ = ♦ e ♦º♦ = ♦. Isto significa que ♠-1 = ♣, ♣-1 = ♠, ♥-1 = ♥, ♦-1 = ♦, ou seja, todos os elementos de A são invertíveis.
1) defina operação binária e grupos, de exemplos:
Dados três conjuntos A, B e C, uma operação binária é uma função do produto cartesiano AxB em C.
ƒ: A x B C
Operações binárias diferem, normalmente, da escrita definida em função, f(a,b) = c. Os símbolos utilizados, em sua maioria, são de operador infixo, tomando o caso das operações de adição, multiplicação etc. Denota-se (a + b), não + (a,b). 
Operações binárias são a base do estudo de estruturas algébricas, sendo parte de grupos, monoides, semi-grupos, anéis, corpos, domínios de integridade, etc. 
Exemplos de operações binárias são as operações da aritmética como adição, divisão e multiplicação (essas operações valem tanto para matemática quanto para programação);
A6) Considere a seguinte operação ¥ definida sobre o conjunto dos números reais não negativos: 
x ¥ y = 
Verifique se ¥ é comutativa, se é associativa, se tem elemento neutro e se existem elementos invertíveis. 
Solução: 
Para quaisquer x,y € R+ temos x ¥ y = = = y ¥ x. Logo, a operação é comutativa. 
Para quaisquer x,y,z € R+ temos x ¥ (y ¥ z) = x ¥, = = e (x ¥ y) ¥ z = ¥ z = = .
Logo, (x ¥ y) ¥ z = x ¥ (y ¥ z) o que significa que ¥ é associativa. 
Supondo que e seja o elemento neutro, temos e ¥ x = x, ou seja, = x para todo x real não negativo. Elevando a última igualdade ao quadrado, obtemos: e2 + x2 = x2 e, daí, chegamos a e2 = 0, ou seja, e = 0. Assim, o zero é o elemento neutro da operação. Vejamos: x ¥ 0 = = = x para todo x real não negativo. 
Dado um real não negativo a, seu inverso (simétrico) é o real não negativo b tal que a ¥ b = 0 = elemento neutro. Daí, obtemos que = 0 o que implica a2 + b2 = 0. A única possibilidade para a última equação é a = 0 e b = 0. Assim, o único elemento invertível é o zero e o inverso é ele mesmo.
Al) Consideremos o conjunto R com a operação e definida por x ¥ y= x + y – 5.
Para quaisquer x, y € R. Mostre que G = (R, ¥) é um grupo abeliano. 
Solução: 
Inicialmente, vamos mostrar que a operação ¥ é associativa, tem elemento neutro e todo elemento de G tem inverso.
Para quaisquer x, y, z € G, temos: 
x ¥ (y ¥ z) = x ¥ ( y + z – 5 ) = x + ( y + z – 5 ) - 5 = x + y + z - 10 
(x ¥ y) ¥ z = ( x + y – 5 ) ¥ z = ( x + y – 5 ) + z - 5 =x + y + z - 10 
Logo, x ¥ (y ¥ z) = (x ¥ y) ¥ z. 
Suponhamos que ¥ tenha elemento neutro e. Então e ¥ x = x para todo x € R o que implica em e + x - 5 = x de onde obtemos e = 5. (Podemos agora comprovar que e = 5 é realmente o elemento neutro dessa operação: e ¥ x = 5 ¥ x = 5 + x - 5 = x e x ¥ e = x + 5 - 5 = x para todo x € R).
Dado x € R, vamos determinar y = x-1. Por definição, temos x ¥ y = e, ou seja, x + y - 5 = 5. Daí, obtemos que y = - x + 10, isto é, x-1 = -x + 10. (Comprovando: x ¥ x-1 = x ¥ ( - x + 10) = x + ( - x + 10) - 5 = 5 = e ex-1 ¥ x = ( - x+ 10) ¥ x = ( - x + 10) + x - 5 = 5 = 5. Logo, ( - x+ 10) é realmente o inverso de x com relação à operação ¥.) 
Agora, vamos mostrar que ¥ é comutativa: 
X ¥ y = x + y - 5 = y + x - 5 = y ¥ x para quaisquer x,y € G. Fica mostrado assim que (G, ¥) é um grupo abeliano.