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Capítulo 3
LEIS DE COMPOSIÇÃO
Lodovico Ferrari (1522−1560) nasceu em Bologna, Estados Papais, hoje Itália. Foi o mais famoso
dos discípulos de Gerônimo Cardano. De origem muito humilde foi trabalhar como servo na casa de
Cardano quando tinha 14 anos. Cardano logo percebeu sua excepcional capacidade de ler e escrever e
nomeou-o seu secretário, além de lhe ensinar matemática. Seu gênio incontrolável gerava constantes
átrios com Cardano, mas apesar disso, eram amigos e colaboradores..
Ferrari não o decepcionou e logo tornou-se um grande geômetra e herdou o posto do mestre na
Fundação Piatti, em Milão (1540), derrotando facilmente um concorrente em um debate decisivo pelo
posto. Após conhecerem a solução das equações cúbicas de Nicollo Tartaglia, ele descobriu a solução das
equações quárticas (1540).
Como era costume na época os matemáticos proporem desafios uns aos outros, um certo Zuanne de
Tonini da Coi propôs a Cardano uma questão que envolvia a equação x4 + 6x2 − 60x + 36 = 0. Após
inúmeras tentativas sem êxito, Cardano passou a questão a Ferrari, que encontrou um método geral para
a solução das equações do 4o grau. Tal método foi publicado por Cardano em “Ars Magna”.
Cardano publicou então seu famoso “Ars Magna” (1545) com as fórmulas de seu pupilo e de Tartaglia,
mas defendendo a paternidade de Scipione del Ferro que resolveu as equações cúbicas antes que Tartaglia,
o que enfureceu o pretenso pai da solução das cúbicas. Tartaglia tentou um debate com Cardano, mas
diante da placidez do mestre, seu discípulo tomou as dores e desafiou Tartaglia, que embora insatisfeito
aceitou o desafio (1548). No primeiro dia do debate, no Frati Zoccolanti, em Milão, Tartaglia percebeu a
superioridade do desafiante e não voltou para a continuação no dia seguinte.
Ferrari ganhou vários prêmios, foi convidado para ser tutor do filho do imperador e tornou-se assessor
do governo de Milão, em (1565) resolveu voltar à Bologna. Ferrari passou a ensinar por conta própria
em Milão e sob a proteção do Cardeal de Mantôva, alcançou posições que lhe proporcionavam boa renda.
Aos 38 anos tornou-se professor de matemática na Universidade de Bologna, mas infelizmente adoeceu
repentinamente e morreu imediatamente. Ficaram as suspeitas que tenha sido envenenado com arsênico
por sua própria irmã.
Ferrari olhou para a equação x4 + px2 + qx+ r = 0 e procurou completá-la de modo a fatorá-la num
quadrado perfeito.
Nos anos após o “Ars magna” de Cardano, muitos matemáticos contribuíram à solução de equações
cúbicas e quárticas. Viète , Harriot , Tschirnhaus , Euler, Bezout e Descartes todos planejaram métodos.
Os métodos de Tschirnhaus foram estendidos pelo matemático sueco E. Straz perto do fim do século
XV III.
73
74 Introdução às Estruturas Algébricas
3.1 LEI DE COMPOSIÇÃO INTERNA
Definição 3.1.
Dizemos lei de composição interna sobre um conjunto A, a toda relação que associa o par
ordenado (a, b) ∈ A×A a outro elemento c ∈ A.
Uma lei de composição interna é pois uma aplicaçãoR : A×A −→ A de modo queR(a, b) = c.
Dizemos que o elemento c ∈ A é composto de a e b.
Para indicar uma lei de composição interna podemos utilizar por exemplo o símbolo ∗ e não
R, e escreve-se a ∗ b = c ao invés de escrever ∗(a, b) = c.
Exemplo 3.1.
No conjunto Z:
• A lei de composição interna chamada adição por definição associa ao par (2, 5) o número
7 e escreve-se 2 + 5 = 7 .
• A lei de composição interna chamada multiplicação por definição associa ao par (2, 5) o
número 10 e escreve-se 2× 5 = 10 ou (2) · (5) = 10.
3.1.1 Propriedades da lei de composição interna.
Definição 3.2. Lei comutativa.
Dizemos que uma lei de composição interna ∗ sobre um conjunto A, é comutativa, quando
temos: a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ A.
Exemplo 3.2.
No conjunto Z:
• A adição + é comutativa: a+ b = b+ a para todo a, b ∈ Z.
• A multiplicação é comutativa: ab = ba para todo a, b ∈ Z.
Definição 3.3. Lei associativa.
Dizemos que uma lei de composição interna ∗ sobre um conjunto A, é associativa, quando
temos: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todo a, b, c ∈ A.
Exemplo 3.3.
No conjunto Z, a multiplicação × é associativa:
(a× b)× c = a× (b× c) ∀ a, b, c ∈ Z
Definição 3.4. Lei de regularidade.
Dizemos que o elemento a ∈ A, é regular para a lei de composição interna ∗ quando, para
todo x, y ∈ A temos : a ∗ x = a ∗ y e x ∗ a = y ∗ a ⇒ x = y.
Isto significa que na igualdade a ∗ x = a ∗ y por exemplo, “podemos simplificar ” a.
Christian José Quintana Pinedo 75
Exemplo 3.4.
Todo número inteiro é regular em relação à adição, isto é:
a+ x = a+ y ⇒ x = y ∀ a, x, y ∈ Z
Definição 3.5. Lei de identidade.
Dizemos que o elemento e ∈ A, é elemento identidade para a lei de composição interna ∗
quando, para todo a ∈ A temos : a ∗ e = e ∗ a = a
O elemento identidade também é chamado de elemento “neutro” para a lei de composição
interna ∗.
Exemplo 3.5.
No conjunto Z, o número 1 é o elemento identidade para a multiplicação × pois, n× 1 =
1× n = n ∀ n ∈ N.
Definição 3.6. Lei do elemento simétrico.
Seja ∗ uma lei de composição interna sobre um conjunto A, possuindo um elemento identidade
e. Dizemos que o elemento a−1 ∈ A é simétrico de outro elemento a ∈ A, quando temos :
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e
O elemento simétrico também é chamado de elemento “inverso” para a lei de composição
interna.
Exemplo 3.6.
No conjunto dos números inteiros Z.
• Os números −5 e 5 são simétricos um do outro, em relação à adição +, isto pelo fato de
(5) + (−5) = (−5) + (5) = 0.
• Nenhum elemento distinto de 1 ∈ Z tem elemento simétrico multiplicativo.
Definição 3.7. Lei distributiva.
Sejam ∗ e O duas leis de composição interna definidas sobre um conjunto A.
Dizemos que a lei ∗ é distributiva em relação à lei O quando acontece:
a ∗ (b O c) = a ∗ b O a ∗ c ∀ a, b, c ∈ A
Exemplo 3.7.
• No conjunto dos números inteiros Z, a lei de multiplicação × é distributiva em relação à
lei de adição + pois: a× (b+ c) = (a× b) + (a× c) ∀ a, b, ∈ N
• Seja um conjunto universal U, a lei de intersecção ∩ é distributiva em relação à lei de
união ∪ pois, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) ∀ A, B, C ∈ U
76 Introdução às Estruturas Algébricas
3.1.2 Isomorfismo.
Sejam dois conjuntos A e B, sendo A munido de uma lei de composição interna ∗ e B de
outra lei de composição interna O.
Definição 3.8. Isomorfismo.
Chama-se isomorfismo de (A, ∗) sobre (B, O) a toda aplicação injetora ϕ de A em B tal que
para todo a, b ∈ A, temos :
ϕ(a ∗ b) = ϕ(a)Oϕ(b)
Quando um conjunto A é isomorfo a um conjunto B, denotamos A ' B, e dizemos que a
aplicação ϕ é uma “aplicação isomorfa” ou simplesmente “ϕ é isomorfismo de A em B.”
Exemplo 3.8.
Suponha conhecido o conjunto dos números reais positivos R+, onde a lei × é a multiplicação,
e o conjunto R onde a lei de composição interna é a adição +.
A aplicação x 7−→ log x, isto é ϕ(x) = log x é um isomorfismo de R+ em R, isto pelo fato
de log(x · y) = log x+ log y e a aplicação é injetora, pois log u = log v ⇒ u = v
3.2 CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS Q
3.2.1 Insuficiência de Z.
Quando estudamos o conjunto dos números inteiros dizemos que dados a, b ∈ Z, o número
a divide b se, existe c ∈ Z tal que b = a · c. Por exemplo agora temos o problema inverso; dado
a, b ∈ Z, determine c ∈ Z de modo que b = ac.
Este problema não sempre tem solução em Z, por exemplo considere a = 5 e b = 32 , observe
que 5 - 32 em Z.
Observe que Z é insuficiente para resolver este e outras situações para as quais temos a
resolver exatamente expressões da forma ax = b, com a 6= 0. Quando tentamos resolver esta
situação o que pretendemos é obter intuitivamente uma fração em Q, que representamos por
a
b
3.2.2 Construção dos números racionais Q.
Denotemos por Z∗ = Z− {0}
De modo análogo à construção dos números inteiros, consideremos oconjunto F = Z×Z∗, e
uma relação R ⊆ F × F dada por:
R = { ((m, n), (p, q)) ∈ (Z× Z∗)2 /. mq = pn }
isto é;
(m, n)R(p, q) se e somente se mq = pn
Propriedade 3.1.
A relação R definida sobre F × F é de equivalência.
Demonstração.
Christian José Quintana Pinedo 77
Afirmo: A relação R é reflexiva
Para todo (m, n) ∈ F temos que (m, n)R(m, n) pois, mn = mn.
Afirmo: A relação R é simétrica.
Suponha que (m, n)R(p, q), então mq = pn, como vale a propriedade comutativa em Z,
podemos escrever na forma pn = mq então (p, q)R(m, n).
Afirmo: A relação R é transitiva.
Dados (m, n)R(p, q) e (p, q)R(r, s) temos que mq = pn e ps = rq, multiplicando
convenientemente por inteiros não nulos s e n respectivamente, segue que mqs = pns e
psn = rqn de onde mqs = rqn então msq = rnq assim ms = rn, isto é (m, n)R(r, s).
Portanto, a relação R sobre F × F é de equivalência. �
Esta relação de equivalência R determina uma partição sobre o conjunto F = Z× Z∗.
Os elementos desta partição são as classes da forma:
[(m,n)] = { (m, n), (2m, 2n), (3m, 3n), · · · (km, kn) } = { (km, kn) /. k ∈ Z }
Definição 3.9.
O conjunto quociente Q = (Z×Z∗)/R é chamado de “conjunto dos números racionais” e seus
elementos de números racionais.
O conjunto dos números racionais é formado por classes de equivalência de pares de números
inteiros, isto é: Q = { [(m, n)] /. m ∈ Z, n ∈ Z∗ }.
Os elementos (m, n) ∈ Z× Z+ são chamado de frações e representam-se como m
n
.
Denota-se como
m
n
= [(m, n)] ∈ Q, assim
0 = [(0, n)] = { (0, n), (0, 2n), (0, 3n), · · · (0, kn) } = { (0, kn) /. k ∈ Z } ∈ Q
1 = [(m, m)] = { (m, m), (2m, 2m), (3m, 3m), · · · (km, km)} = { (km, km)/. k ∈ Z} ∈ Q
m
n
= [(m,n)] = { (m, n), (2m, 2n), (3m, 3n), · · · (km, kn) } = { (km, kn) /. k ∈ Z } ∈ Q
n
m
= [(n,m)] = { (n, m), (2n, 2m), (3n, 3m), · · · (kn, km) } = { (kn, km) /. k ∈ Z } ∈ Q
−m
n
= [(−m,n)] = { (−m, n), (−2m, 2n), · · · (−km, kn) } = { (km, kn) /. k ∈ Z } ∈ Q
Definição 3.10.
Seja (m, n) ∈ Z × Z∗, dizemos que a fração m
n
é irredutível em Q se, e somente se,
mdc{m, n } = 1
Ao conjunto dos números racionais, podemos associar duas leis de composição interna, bas-
tante conhecidas: a adição e a multiplicação, por exemplo sejam [m, n] e [p, q] elementos de
Q, definimos:
78 Introdução às Estruturas Algébricas
A adição : [m, n] + [p, q] = [m+ p, n+ q] ∈ Q
A multiplicação : [m, n] · [p, q] = [mq + np, pq] ∈ Q
Denotando números racionais na forma a =
m
n
, b =
p
q
, · · · , isto resulta que a cada par de
elementos a, b ∈ Q o corresponde um único elemento a+ b e a · b quais pertencem a Q.
Definição 3.11.
Dadas as frações
m
n
,
p
q
∈ Q definimos a soma destas frações como . m
n
+
p
q
=
mq + pn
nq
,
e o produto como a fração:
m
n
· p
q
=
m · p
n · q .
Desta definição segue que as operações de adição e multiplicação em Q estão bem definidas.
Quando dizemos que a ∈ Q, deve-se entender que o elemento:
a = [(m, n)] = { m
n
/. m, n ∈ Z, n 6= 0 }
O elemento simétrico aditivo de a =
m
n
é −a = −m
n
.
O elemento simétrico multiplicativo de a =
m
n
é a−1 =
n
m
com m 6= 0
Propriedade 3.2.
Para todo a, b, c ∈ Q temos:
1. a+ b = b+ a . . . comutativa
2. a+ (b+ c) = (a+ b) + c . . . associativa
3. a · b = b · a . . . comutativa
4. a · (b · c) = (a · b) · c . . . associativa
5. a · (b+ c) = a · b+ a · c . . . distributiva
6. Q possui um elemento identidade aditivo 0, isto é: 0 + a = a+ 0 = a para todo a ∈ Q
7. Dado a ∈ Q, existe o elemento simétrico aditivo −a ∈ Q tal que a+ (−a) = (−a) + a = 0
8. Q possui um elemento identidade multiplicativo 1, isto é: 1 · a = a · 1 = a ∀ a ∈ Q
9. Se a ∈ Q, a 6= 0. Existe a−1 ∈ Q tal que a · a−1 = a−1 · a = 1.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
Definição 3.12.
Sejam a = [(a1, b1)] e b = [(a2, b2)] números racionais, dizemos que a é menor que b e
escrevemos a < b, se: a1 · b2 < b1 · a2
A Propriedade (3.2) determina a estrutura aritmética do conjunto dos números racionais
Q. O conjunto Q é caracterizado pela seguinte propriedade de ordem que o constitui como um
conjunto ordenado.
Christian José Quintana Pinedo 79
Propriedade 3.3. .
Cada par de elementos a, b ∈ Q satisfaz:
1. Uma e somente uma das relações é verdadeira em Q:
a > b, a = b, a < b. . . . lei de tricotomia.
2. Se a < b e b < c, então a < c.
3. Se a < b, então a+ c < b+ c.
4. Se 0 < a e 0 < b, então 0 < a · b.
Os cinco primeiros items da Propriedade (3.2), junto com a Propriedade (3.3) são satisfeitos
no conjunto dos números inteiros positivos Z+ os items 6 e 7 da Propriedade (3.2) é equivalente
ao seguinte resultado:
“Cada equação a+x = b e x+a = b na indeterminada x tem uma única solução”.
O sistema resultante, é conhecido no anel dos números inteiros, portanto, podemos tratar Q
como uma extensão aritmética de Z, na qual a subtração esta definida. Os últimos dois items
da Propriedade (3.2) definem a operação de divisão eles são equivalentes à declaração:
“Cada equação a · x = b e x · a = b (a 6= 0) tem uma única solução em Q”.
Assim, Q é uma extensão de um sistema imperfeito, o processo de aumentar conjuntos que são
fechados baixo operações algébricas anexando a eles solução de determinadas equações algébricas
qual não são solúveis é chamada de extensão algébrica.
Propriedade 3.4.
Entre dois números racionais existe outro número racional.
Demonstração.
Dados a, b ∈ Q suponhamos que a < b, o candidato natural é o número a+ b
2
.
Com efeito,
a+ b
2
− a = a+ b− 2a
2
=
1
2
(b − a) > 0 o qual é verdadeiro pela Propriedade
(3.3). De modo análogo b− a+ b
2
=
2b− a− b
2
=
1
2
(b− a) > 0.
Portanto, existe
a+ b
2
∈ Q tal que a < a+ b
2
< b.
Propriedade 3.5.
O conjunto dos racionais Q não satisfaz o princípio do elemento máximo ou do elemento
mínimo.
Demonstração.
Pela Propriedade (3.4) o conjunto A = { x ∈ Q /. 0 < x < 1 } é não vazio. Também é
limitado superiormente por 1 e inferiormente por 0.
Porém, não tem elemento máximo nem elemento mínimo, caso exista M = max .A ⇒
M ∈ A, 0 < M < 1; pela Propriedade (3.4) também existe x ∈ Q tal que 0 < M < x < 1, isto
é x ∈ Q, x > M , pelo que M não pode ser o elemento máximo de A.
Análogamente mostra-se para o elemento mínimo.
80 Introdução às Estruturas Algébricas
No sistema Q toda equação linear a · x + b = 0, a 6= 0 tem solução em Q, mas em geral
equações não lineares não tem solução em Q.
Por exemplo, x2 − 2 = 0 não tem solução em Q. Geometricamente é o mesmo dizer que um
quadrado de lados de cumprimento iguais a um número racional tem área igual ao número 2.
Outro fato é que a circunferência de um círculo com diâmetro um número racional, tem uma
área correspondente não mensurável com números racionais.
Note que existe um significado diferente entre o problema de medida da área de um quadrado
com lados racionais e o problema da medida da área de um círculo com diâmetro racional.
O primeiro deste esta convenientemente disposto como extensão algébrica de corpo racional,
a solução do segundo não pode ser realizado, para resolver temos que introduzir esquemas não
algébricos (limite), no processo de extensão. Esta observação verifica a existência de números
que não são soluções de equações algébricas com coeficientes racionais.
Propriedade 3.6.
A equação x2 − 2 = 0 não tem solução em Q.
Demonstração.
A prova é por contradição.
Suponhamos exista um elemento a ∈ Q tal que a2 − 2 = 0 (hipótese auxiliar).
Sejam p e q inteiros positivos tais que o mdc{ p, q } = 1 , e considere a = p
q
logo, a fração
foi simplificada, ou seja p e q não têm nenhum fator comum. Em particular, p e q não podem
ser ambos pares.
Substituindo a =
p
q
, em a2 − 2 = 0 temos:
p2 = 2q2 (3.1)Onde p2 é par, logo p também é par (Exemplo (2.4), considere p = 2r substituindo p na
igualdade (3.1) temos: 2r2 = q2.
De qual nos deduzimos também que q é par. Assim p e q são pares. Porém isto contradiz o
fato que mdc{ p, q } = 1.
Portanto supor a afirmação que exista elemento a ∈ Q tal que a2 − 2 = 0 é falsa; assim não
existe a ∈ Q tal que a2 − 2 = 0.
Desta propriedade observemos que cada elemento x ∈ Q dá lugar a uma das desigualdades
estritas x2 < 2 ou x2 > 2. A aplicação f(x) =| x2 − 2 |, não tem nenhum valor mínimo em Q.
Em outras palavras, a área de um quadrado com diagonal 2 pode ser calculado com qualquer
grau de precisão com números racionais. Este fato poedemos expressar como segue:
Propriedade 3.7.
1. Para cada a ∈ Q tal que a2 < 2, existe b ∈ Q tal que a < b, e b2 < 2.
2. Para cada a ∈ Q tal que 2 < a2, existe b ∈ Q tal que b < a, e 2 < b2.
Demonstração. 1.
Christian José Quintana Pinedo 81
Suponhamos a < 2.
Fazendo b =
a+ 2
2
temos a existência de b ∈ Q tal que a < b < 2.
Com efeito, definamos a equação afim: x = a + (2 − a)t, t ∈ Q, observe que se t = 0 ,
temos x = a, quando t = 1, temos x = 2 e, quando t =
1
2
, temos x = b decorre disto que
a < b < 2.
Seja a2 < 2, temos que a < b < 2 sempre que restringimos os números racionais t de
0 < t < 1, logo t2 < t.
Observe que: x2 = a2 + 2a(2− a)t+ (2− a)2t2 < a2 + 2a(2− a)t+ (2− a)2t, logo:
x2 < a2 + (4− a2)t (3.2)
Como x ∈ [a, 2] e a < b < 2 podemos considerar x = b na desigualdade (3.2), temos
b2 < a2 + (4 − a2)t como t é um número racional arbitrário podemos considerar o número: 1
0 < t <
2− a2
4− a2 , assim temos que b
2 < 2 é verdadeiro.
Demonstração. 2.
Suponhamos a > 2, logo 4− a2 6= 0.
Fazendo b =
a+ 2
2
temos a existência de b ∈ Q tal que 2 < b < a.
Com efeito, definamos a equação afim: y = a + (a − 2)s, s ∈ Q, observe que se s = 0 ,
temos y = a, quando s = −1, temos y = 2 e, quando s = −1
2
, temos y = b decorre disto
que a < b < 2.
Seja a2 > 2, temos que 2 < b < a sempre que restringimos os valores racionais de s a
−1 < s < 0.
Observe que: y2 = a2 + 2a(a− 2)s+ (a− 2)2s2 > a2 + 2a(a− 2)s, logo:
y2 > a2 + 2a(a− 2)s (3.3)
Fazendo em (3.3) y = b, e considerando o número negativo s >
2− a2
2a(a− 2) temos que b
2 > 2
é verdadeiro.
3.3 LEI DE COMPOSIÇÃO EXTERNA
Definição 3.13. Lei de composição externa.
Dados dois conjuntos A e B. Dizemos que existe uma lei de composição externa ∗ sobre B,
quando; a cada elemento m ∈ A e a cada elemento α ∈ B associa-se o elemento m ∗ α ∈ B.
Uma tal lei de composição externa sobre um conjunto B é uma aplicação do conjunto A×B
no conjunto B.
Isto é, existe uma aplicação ∗ : A × B −→ B tal que (m, α) 7−→ m ∗ α para todo m ∈ A e
α ∈ B.
1Observe: a2 + (4− a2)t < 2⇔ (4− a2)t < 2− a2 ⇔ t <
2− a2
4− a2
82 Introdução às Estruturas Algébricas
Os elementos do conjunto A dizem-se operadores; assim o elemento m ∈ A opera sobre o
elemento α ∈ B, transformando-lo no elemento m ∗ α ∈ B.
Exemplo 3.9.
Se A for o conjunto dos números reais R, e B o conjunto de vetores de R2, isto é −→u = (a, b) ∈
R2, ao par (m, −→u ) ∈ R×R2 fazemos corresponder o vetor m−→u , sendo a lei de multiplicação de
um escalar por um vetor definido por m−→u = (ma, mb) ∈ B = R2.
3.4 OPERAÇÕES BINÁRIAS
Definição 3.14. Operação binária.
Dado um conjunto não vazio A. Dizemos operação binária sobre A, a toda relação de A×A
em A.
Denotando a operação binária com ∗, temos que:
∗ : A×A −→ A
(a, b) 7−→ a ∗ b
indica-se que a cada par ordenado (a, b) ∈ A×A corresponde o elemento a ∗ b ∈ A.
Exemplo 3.10.
• A adição é uma operação binária no conjunto dos números racionais Q.
• A subtração é uma operação binária no conjunto de números inteiros Z; porém não o é no
conjunto dos números naturais N.
Exemplo 3.11.
Considere o conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } e a operação ? definida como se indica na Tabela
(3.1).
? 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 3 4 2
3 3 4 1 2
4 4 2 2 3
Tabela 3.1:
Observe que para cada par (4, 3) , o resultado da operação ? encontra-se no cruze da linha
que começa com 4 e a coluna que começa com 3.
O resultado da operação 4 ? 3 é o elemento 2 que encontra-se assinalado.
Observação 3.1.
• A operação binária, também é conhecida como lei de composição interna.
Christian José Quintana Pinedo 83
• Quando ? seja uma operação binária sobre um conjunto A dizemos que ? tem a propriedade
de ser fechado.
• Se ? é uma operação binária sobre um conjunto A e existe B ⊆ A com a propriedade que
se, a, b ∈ B ⇒ a ? b ∈ B, dizemos que B é fechado sob a operação ?.
Em geral como A ⊆ A, então A é fechado sob qualquer operação binária definida em A.
3.4.1 Operação binária unívocamente definida.
Se ? é uma operação binária num conjunto A, e R uma relação de equivalência em A, a
operação ? em A, está unívocamente definida respeito da relação R se, e somente se :
(aR b ∧ cR d) ⇒ (a ? c)R(b ? d)
isto é: (a, b) ∈ R ∧ (c, d) ∈ R ⇒ (a ? c, b ? d) ∈ R
Exemplo 3.12.
Sejam a operação de adição em N e a relação de equivalência em N definida por R = {(x, y) ∈
N2 /. x = y }. Então a operação de adição está unívocamente definida em N com respeito a R.
Observe que, ∀ a, b ∈ N, tem-se que a+ b ∈ N; por outro lado se (a = b ∧ c = d) ⇒ a+ c =
b+ d, ∀ a, b, c, d ∈ N.
3.4.2 Permutações.
Seja S = {1, 2, 3, · · · , n} e considere o conjunto Sn das n ! permutações destes n elementos.
Seja i1, i2, i3, · · · , in um certo rearranjamento dos elementos de S. Denotamos a permutação α
como sendo:
α =
(
1 2 3 · · · n
i1 i2 i3 · · · in
)
que representa a aplicação α(1) = i1, α(2) = i2, α(3) = i3, · · ·α(n) = in.
Do mesmo modo, se j1, j2, j3, · · · , jn é outro rearranjamento dos elementos de S, escrevemos:
β =
(
1 2 3 · · · n
j1 j2 j3 · · · jn
)
Pelo produto αoβ entendemos a composição de α e β nessa ordem. Assim, um rearran-
jamento de qualquer rearranjamento dos elementos de S é simplesmente outro rearranjamento
destes elementos.
Logo, para cada α, β ∈ S, αoβ ∈ S e, então o é uma operação binária em S.
Exemplo 3.13.
Mostre que S3, o conjunto de todas as aplicações bijetoras de {x1, x2, x3 } em si mesmo, tem
seis elementos.
84 Introdução às Estruturas Algébricas
Demonstração.
Com efeito, consideremos as aplicações φ e ψ definida sobre o conjunto {1, 2, 3 } por:
1 7−→ 2
φ : 2 7−→ 1
3 7−→ 3
1 7−→ 2
ψ : 2 7−→ 3
3 7−→ 1
Fazendo apropriadamente a composição de aplicações, obtemos φ2 = e, ψ3 = e, e:
1 7−→ 3
φ o ψ : 2 7−→ 2
3 7−→ 1
1 7−→ 1
ψ o φ : 2 7−→ 3
3 7−→ 2
Observe que φ o ψ 6= ψ o φ, eles não levam b na mesma imagem. Sendo ψ3 = e segue que
ψ−1 = ψ2, assim obtém-se que:
1 7−→ 3
ψ2 : 2 7−→ 1
3 7−→ 2
1 7−→ 3
ψ−1 o φ : 2 7−→ 2
3 7−→ 1
É evidente que, φ o ψ = ψ−1 o φ, considerando os elementos e, φ, ψ, ψ2, ψ o φ, φ o ψ todos
êles são distintos e estão S3 = { e, φ, ψ, ψ2, ψ o φ, φ o ψ }.
Exemplo 3.14.
Sejam:
α =
(
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
)
β =
(
1 2 3 4 5
1 3 2 5 4
)
γ =
(
1 2 3 4 5
1 2 4 5 3
)
três das 5 ! permutações no conjunto S5 de todas as permutações em S = { 1, 2, 3, 4, 5 }.
Logo
αoβ =
(
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
)
◦
(
1 2 3 4 5
1 3 2 5 4
)
=
(
1 2 3 4 5
3 2 5 4 1
)
Como a ordem das colunas de qualquer permutação é irrelevante, podemos reescrever β como
β =
(
2 3 4 5 1
3 2 5 4 1
)
assim:
α ◦ β =
(
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
)
o
(
2 3 4 5 1
3 2 5 4 1
)
=
(
1 2 3 4 5
3 2 5 4 1
)
Observe que β ◦ α =
(
1 2 3 4 5
2 4 3 1 5
)
Portanto a operação ◦ não é comutativa.
Christian José Quintana Pinedo 85
Fica para o leitor determinar que β ◦ γ =
(
1 2 3 4 5
1 2 4 5 3
)
e mostrar que (α ◦ β) ◦ γ =
α ◦ (β ◦ γ). Em geral a lei de composição ◦ é associativa em Sn.A permutação identidade é e =
(
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
)
Claramente, e ◦ α = α ◦ e = α.
Finalmente, dado β =
(
2 3 4 5 1
3 2 5 4 1
)
, trocando de lugar as duas linhas obtemos
(
3 2 5 4 1
2 3 4 5 1
)
=
(
1 2 3 4 5
1 3 2 5 4
)
= β−1
Pois β ◦ β−1 = β−1 ◦ β = e. Além disso, é evidente que todo elemento de Sn possui um
simétrico.
Notação:
Por exemplo se temos a permutação ζ =
(
1 2 3 4 5
3 4 5 1 2
)
, outra notação para esta
permutação é ζ = (1 3 5 2 4), chamada notação cíclica.
A permutação ξ =
(
1 2 3 4 5
2 1 4 5 3
)
do exemplo anterior podemos escrever na forma
ξ = (1 2)(3 4 5)
Para a permutação do Exemplo (1.33) tem-se:
αoβ = (1 2 3 4 5) o (5 4)(1)(2 3) = (1 3 5)(2)(4) = (1 3 5)
Podemos omitir a escrita (2) e (4), entendendo que na notação cíclica (1 3 5) os números que
não aparecem não mudam de lugar.
Com esta notação cíclica, o elemento identidade e = (1)(2)(3) · · · (n) simplesmente podemos
representar por e = (1)
3.4.3 Transposições.
Uma permutação da forma (1 2)(3 4). · · · que envolve substituições de apenas dois dos n
símbolos de S = { 1, 2, 3, · · · , n } é denominada uma transposição.
Toda permutação pode ser expressa, embora não de modo único, como produto de trans-
posições.
Exemplo 3.15.
86 Introdução às Estruturas Algébricas
Expressar a permutação (1 2 3 4 5) como produto de transposições.
Solução.
(1 2 3 4 5) = (1 2) ◦ (1 3) ◦ (1 4) ◦ (1 5)
Christian José Quintana Pinedo 87
Exercícios 3-1
1. No conjunto dos números reais, definimos as operações ? e � como segue: a ? b = 2a+3b−
5, a � b = a2 − 3ab. Segundo estas definições resolver as seguintes equações:
1. x ? 4 = 8 2. 3 � x = 1
3. 4x ? 1 = 5 � 2 4. 5 � 2x = 1
3
� x
2. Demonstrar que o conjunto Z4 das classes residuais módulo 4, é fechado respeito da oper-
ação ⊕ da adição das classes residuais.
3. Mostre que a operação ? definida por a ? b = a+2b+3ab, é uma lei de composição interna
sobre o conjunto dos números naturais N. Calcular 1 ? 2, 5 ? 3, 7 ? 15.
4. Mostre que a multiplicação de números reais, não é uma operação fechada no conjunto
A = { 1, 5 }
5. Determine se a subtração de números inteiros é uma operação fechada no conjunto de
números inteiros positivos. Idem para o conjunto dos números inteiros múltiplos de três.
6. Temos em cada exercício um conjunto e uma operação binária. Determine se cumpre as
propriedades de: clausura, associatividade, comutatividade.
1. O conjunto dos números inteiros Z, com a operação ? definida por: a ? b =
a
b
.
2. O conjunto Q, com a operação O definida por: aOb =
a
b
.
3. O conjunto P(A), potência de A, com a operação ∪ união de conjuntos.
4. O conjunto P(A), potência de A, com a operação ∩ intersecção de conjuntos.
5. O conjunto A = { 0, 1, 2, 3 }, com a operação � de multiplicação módulo 4.
7. Para o exercício anterior, caso exista, assinale o elemento identidade.
8. Demonstrar que a operação m, máximo divisor comum de dois números não é distributiva
pela esquerda respeito da adição de números inteiros positivos.
9. Um subconjunto A ⊆ R diz-se estável aditivamente se, ∀ a, b ∈ A tem-se que (a+ b) ∈ A;
e estável multiplicativamente se, ∀ a, b ∈ A tem-se que (a.b) ∈ A.
1. Dados os conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, · · · } e B = { 1, 3, 5, 7, 9, · · · }, determine se eles
são conjuntos estáveis aditiva e multiplicativamente.
2. Dados os conjuntos: N, Z, Q e R determine quais são estáveis respeito das operações
de: i) adição; ii) multiplicação.
10. Demonstre que, caso exista o elemento identidade respeito de uma operação binária ? sobre
um conjunto A, é único.
11. Mostre que, para todo r ∈ Q, existe um único elemento 0 ∈ Q e um único elemento r∗ ∈ Q,
tais que: 1. r + 0 = r 2. r + r∗ = 0
88 Introdução às Estruturas Algébricas
12. Sejam A = { 1, 2, 3, 4 } e ? uma operação binária definida pela Tabela (3.2).
Mostre que a operação ? está unívocamente definida em A respeito da relação de identidade
R = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) }
? 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 3 4 2
3 3 4 1 2
4 4 2 2 3
Tabela 3.2:
13. Considere g : Q×Q −→ Q definida como segue: g(a, b) = a ? b = a+ b− ab. Determine
se g é comutativa, associativa, determine o elemento identidade de g. Que elementos em
Q tem simétrico?
Christian José Quintana Pinedo 89
3.5 CONJUNTO DE NÚMEROS REAIS R
3.5.1 Insuficiência de Q.
Estudamos que, desde um ponto de vista algébrico o sistema dos números racionais não é
completo, sabe-se que é possível resolver equações do tipo ax+ b = 0 sempre que a 6= 0, porém
as equações “por exemplo” do tipo x2 − 2 = 0 não tem solução em Q como foi mostrado na
Propriedade (3.6). Este fato foi descoberto em sua formulação geométrica na escola Pitagórica
no século V antes de nossa era.
3.5.2 Construção de R a partir de Q.
Na ampliação de um sistema numérico para chegar a outro maior que permita efetuar mais
operações, a idéia é acrescentar o mínimo a aquilo que esta faltando. Assim, para construir Z
a partir de N acrescentamos os opostos a os números naturais, para construir Q a partir de Z
acrescentamos os quocientes inteiros (com denominador não nulo). Para construir R a partir de
Q existem dois procedimentos em destaque:
1o O método de Cantor-Meray: Ou das sucessões fundamentais. Trata de suprir a inex-
istência de limite de algumas sucessões de Cauchy de números racionais não convergentes
em Q identificando as sucessões de Cauchy que deveriam convergir a um mesmo valor, pois
suas diferenças convergem a zero nesse valor.
Define-se assim uma relação de equivalência no conjunto das sucessões de Cauchy de
números racionais. As operações de adição e multiplicação em R definem-se a partir das
operações de soma e produto de sucessões e demonstra-se que com elas R é um corpo.
2o O método de cortes de Dedekind: Este método trata de fazer que, em Q se cumpra o
axioma do supremo não válido em Q.
Os cortes em Q são pares (A, B) de subconjuntos tais que:
• A e B são complementares em Q, onde A ∪B = Q, A ∩B = ∅.
• A 6= ∅ 6= B
• Cada elemento de A é menor que cada elemento de B
Cada corte está determinada por A ou por B de modo que quando ficamos com A por
exemplo, podemos dizer que um número real é um conjunto A de números racionais com
as seguintes propriedades:
• Se a ∈ A e b ∈ Q é tal que a < b, então b ∈ A.
• A 6= ∅ 6= Q
• Não existe elemento máximo em A; de modo que se a ∈ A então existe algum b ∈ A
tal que a < b.
De modo que definem a soma, o produto e a relação de ordem em R.
90 Introdução às Estruturas Algébricas
3.5.2.1 Outros métodos para a construção de R.
Método axiomático: Não se definiu explicitamente um sistema axiomático para os números
reais até que foi formulado essencialmente por D. Hilbert aproximadamente em 1900 em sua
obra “Grundlagen der Geometrie” (Fundamentos de Geometria) . Atualmente, a descrição
axiomática de R se resume ao seguinte:
• R é um corpo comutativo totalmente ordenado completo, isto é, todo conjunto não
vazio limitado superiormente, tem um supremo.
É assim, que se começa o estudo de R na maioria dos textos de analise matemático, isto
permite iniciar de imediato suas propriedades.
O estudo dos números reais pelo método axiomático, consiste em definir o “sistema” medi-
ante um grupo de axiomas, de modo que qualquer conjunto de números: naturais, inteiros,
racionais e irracionais resultem formados por subconjuntos próprios do conjunto de números
reais R.
Outros métodos: Existem outros métodos para definir os números reais R como por exemplo
a dos decimais; porém tem mais inconvenientes técnicos que os métodos anteriores. Tam-
bém outro método é o dos intervalos encaixantes ou equivalentemente pares de sucessões
monótonas (os extremos dos intervalos ) esses métodos escapam a atenção destas notas de
aula.Estudaremos o sistema dos números reais pelo método axiomático.
Ao conjunto dos números reais R, podemos associar simultaneamente duas leis de composição
interna: a adição e a multiplicação, com isto resulta que a cada par de elementos a e b de R o
único elemento a+ b e a · b quais pertencem a R. Assim, é válida o seguinte axioma para essas
duas leis.
Axioma 3.1. Para a adição.
1. a+ b ∈ R, ∀ a, b ∈ R . . . lei de clausura
2. a+ b = b+ a ∈ R, ∀ a, b ∈ R . . . . . . lei comutativa
3. (a+ b) + c = a+ (b+ c) ∈ R, ∀ a, b , c ∈ R . . . lei associativa
4. Existe um único 0 ∈ R a+ 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ R . . . elemento identidade.
5. Para todo a ∈ R, ∃ ! − a ∈ R tal que a+ (−a) = (−a) + a = 0 . . . simétrico
Axioma 3.2. Para a multiplicação.
1. a · b ∈ R, ∀ a, b ∈ R . . . lei de clausura
2. a · b = b · a ∈ R, ∀ a, b ∈ R . . . lei comutativa
3. (a · b) · c = a · (b · c) ∈ R, ∀ a, b , c ∈ R . . . lei associativa
Christian José Quintana Pinedo 91
4. Existe um único 1 ∈ R a · 1 = 1 · a = a, ∀ a ∈ R . . . elemento identidade
5. ∀ a ∈ R, a 6= 0, ∃ ! − a ∈ R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1 . . . simétrico
6. Pela direita: (a+ b)c = ac+ bc ∀ a, b , c ∈ R . . . Lei distributiva.
7. Pela esquerda: a(b+ c) = ac+ ab ∀ a, b , c ∈ R . . . Lei distributiva.
Chamamos “sistema de números reais” ao conjunto R, no qual estão definidas duas leis de
composição interna: a adição (+) e a multiplicação (·) além disso em R esta definido uma relação
de ordem (< ) que se lê “menor que”, e de um axioma (axioma do supremo).
Ao sistema de números reais denotamos como (R, +, ·, < ) ou simplesmente por comodidade
escreve-se R.
3.5.3 Relação de ordem.
Axioma 3.3.
Existe um conjunto denotado R+, chamado de - números reais positivos - que satisfaz uma
das condições:
i) Cada a ∈ R, satisfaz uma e somente uma das condições:
a ∈ R+ ou − a ∈ R+ ou a = 0
ii) Se a ∈ R+ e b ∈ R+, então a+ b ∈ R+ e a · b ∈ R+
Além disso os elementos de R satisfazem a seguinte propriedade:
1. Dados dois números reais a e b, somente uma das condições verifica-se (lei de tricotomia):
a < b a = b a > b
2. Se a < b e b < c, então a < c. . . . lei transitiva.
3. Se a < b, então a+ c < b+ c. . . . consistência aditiva.
4. Se 0 < a e a < b, então 0 < a · b. . . . consistência multiplicativa.
Axioma 3.4. Plenitude em R.
Todo conjunto de números reais não vazio limitado superiormente (inferiormente) tem supremo
(Ínfimo).
Todas as definições de “ordem” para o conjunto R será representado por ≤.
Definição 3.15.
Seja A um subconjunto não vazio do conjunto de números reais R.
92 Introdução às Estruturas Algébricas
i) Dizemos que o conjunto A é limitado2 superiormente, se existe um elemento k1 ∈ R tal que:
a ≤ k1, para todo a ∈ A.
ii) Dizemos que o conjunto A é limitado inferiormente, se existe um elemento k2 ∈ R tal que:
k2 ≤ a , para todo a ∈ A.
iii) Dizemos que o conjunto A é limitado, se for limitado superior e inferiormente. Isto é, um
conjunto A é limitado se, ∃M ∈ R, /. M > 0 e | x |≤M, ∀ x ∈ A
Exemplo 3.16.
• Os conjuntos N, A = (0, +∞) e B = { 1
n
/. n ∈ N } são conjuntos limitados inferior-
mente; um limite inferior é k1 = −5.
• Os conjuntos A = (−∞, 3] e B = { x ∈ R /. 5− (x− 1)2 > 0 } são conjuntos limitados
superiormente; um limite superior é k2 = 5.
• O conjunto A = { 1
n
/. n ∈ N } é limitado.
Observação 3.2.
O menor dos limites superiores é chamado de “supremo”, e o maior dos limites inferiores é
chamado “ínfimo”.
O ínfimo ou supremo de um conjunto, pode não pertencer ao próprio conjunto.
Por exemplo o ínfimo para o conjunto A = { 1
n
/ n ∈ N } é o zero.
Definição 3.16.
Seja A ⊂ R e A 6= ∅
i) O número real s é chamado supremo de A e denotamos s = sup.A quando:
1o O número s é limite superior de A; isto é a ≤ s ∀ a ∈ A.
2o Se b ∈ A e b < s então existe x ∈ A tal que b < x ≤ s.
ii) O número real r é chamado ínfimo de A e denotamos r = inf .A quando :
1o O número r é limite inferior de A; isto é r ≤ a ∀ a ∈ A.
2o Se b ∈ A e r < b então existe x ∈ A tal que r ≤ x < b.
Definição 3.17.
Se o supremo e ínfimo de um conjunto A pertencem ao mesmo conjunto A, então são chama-
dos de “máximo” e “mínimo” respectivamente de A e denotamos max .A e min .A (respectiva-
mente).
Exemplo 3.17.
Sejam os conjuntos: A = (0, 9], B = { 1
n
/.n ∈ N }, C = N.
2Alguns matemáticos utilizam a palavra “acotado” para referir-se a “limitado”
Christian José Quintana Pinedo 93
Então: inf .A = 0 e sup .A = 9 = max .A; inf .B = 0 e sup .B = 1 = max .B; inf .C = 0
e sup .C não existe.
Observação 3.3.
O conjunto de números reais satisfaz o axioma de plenitude, porém o conjunto Q ⊆ R não
satisfaz este axioma; isto garante a existência de outro conjunto de números reais, os irracionais
denotado por I.
Exemplo 3.18.
Considere o conjunto de números racionais A = {x ∈ Q /. x > 0 ∧ x2 < 2 }, este conjunto
não é limitado em Q. Justifica este exemplo a Propriedade (3.7).
A relação de igualdade utilizamos nos axiomas do sistema de números reais, porém não
apresentamos axioma para esta relação, pois são evidentes. Não obstante apresentamos como
uma complementação:
Axioma 3.5. Para a igualdade.
Sejam a, b, c ∈ R números quaisquer:
I1 Tem-se que a = b ou a 6= b. . . . dicotomia
I2 a = a. . . . reflexiva
I3 Se a = b então b = a. . . . simetria
I4 Se a = b e b = c , então a = c. . . . transitiva
I5 Se a = b, então a+ c = b+ c, ∀ c ∈ R. . . . unicidade da adição
I6 Se a = b, então a · c = b · c, ∀ c ∈ R. . . . unicidade da multiplicação
Propriedade 3.8.
1. ∀ a ∈ R tem-se que a · 0 = 0 · a = 0.
2. ∀ a ∈ R tem-se que −a = (−1) · a.
Demonstração.
Exercício para o leitor.
Exemplo 3.19.
Mostre que, ∀ a, b ∈ R tem-se que a · (−b) = (−a) · b = −(a · b).
Demonstração.
1. a · (−b) = hipótese.
2. = a · ((−1) · b) . . .Propriedade (3.8)
3. = (a · (−1)) · b . . .Axioma (3.2)-3
94 Introdução às Estruturas Algébricas
4. = ((−1) · a) · b . . .Axioma (3.2)-2
5. = (−1) · (a · b) . . .Axioma (3.2)-3
6. = (−1) · (a · b) . . .Axioma (3.2)
7. (−a) · b = ((−1) · a) · b . . .Axioma (3.2)
8. = (−1) · (a · b) . . .Axioma (3.2)-3
9. = −(a · b) . . .Axioma (3.2)
Portanto, de (6) e (9), segue que: ∀ a, b ∈ R tem-se que a · (−b) = (−a) · b = a · b. �
Exemplo 3.20.
Mostre que, ∀ a, b, c ∈ R tem-se que a+ c = b+ c ⇒ a = b.
Solução.
1. a+ c = b+ c ⇒ hipótese.
2. ⇒ a+ c+ (−c) = b+ c+ (−c) ⇒ Axioma (??)-I5
3. ⇒ a+ (c+ (−c) = b+ (c+ (−c)) ⇒ Propriedade (3.2)-3
4. ⇒ a+ 0 = b+ 0 ⇒ . . . Propriedade (3.1)-5
5. ⇒ a = b . .. Propriedade (3.1)-4
Portanto, ∀ a, b, c ∈ R tem-se que a+ c = b+ c ⇒ a = b. �
A partir dos axiomas para números reais, definimos três novas operações:
Subtração: Para todo a, b ∈ R : a− b = a+ (−b).
Divisão: Para todo a, b ∈ R, b 6= 0 : a
b
= a · b−1.
Potenciação: Para todo a, b ∈ R, a 6= 0, definimos:
a0 = 1, an = a · a · · · · a · a︸ ︷︷ ︸, n ∈ N
n− vezes
É óbvio que o número zero não tem inverso multiplicativo, logo a divisão por zero não está
definida em R.
Da definição de divisão e a Propriedade (3.2) resulta que o quociente de dois números reais
é um número real sempre que o denominador seja diferente de zero.
Em tanto a subtração e divisão expressam-se como adição e multiplicação, os axiomas e
propriedades estudadas para adição e multiplicação são válidas para subtração e divisão.
Christian José Quintana Pinedo 95
Propriedade 3.9.
Sejam m, n ∈ Z e a ∈ R então:
i) am · an = am+n ii) (am)n = amn
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
Exemplo 3.21.
Mostre que se, a, b, x ∈ R, com a 6= 0 então ax+ b = 0 ⇔ x = −a−1 · b.
Solução.
1. ax+ b = 0 ⇔ . . . hipótese.
2. ⇔ ax+ b+ (−b) = 0 + (−b) ⇔ . . . Axioma (3.3)-I5
3. ⇔ ax+ (b+ (−b)) = −b ⇔ . . . Axioma (3.3) A3, A4
4. ⇔ ax = −b⇔ . . . Axioma (??) A5, A4
5. ⇔ a−1 · a = a−1 · (−b) ⇔ . . .Axioma (3.3)-I6
6. ⇔ (a−1 · a)x = −a−1 · b ⇔ . . . M3, Exemplo (3.5)
7. ⇔ x = −a−1 · b Axioma (3.3) M5, M4.
Portanto, se a, b, x ∈ R, com a 6= 0 então ax+ b = 0 ⇒ x = −a−1 · b �
Propriedade 3.10.
Para todo a, b, c ∈ R tem-se:
1. a(b− c) = ac− bc.
2. (b− c)a = ba− ca.
3. a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0.
4. (a− b)(a+ b) = a2 − b2.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
Propriedade 3.11.
Para todo número real a, b, c, d tem-se:
1. a2 ≥ 0, ∀ a ∈ R ( a2 > 0 se a 6= 0 )
2. Se a < b e b < c , então a < c . . . .transitiva
3. Se a < b , então a+ c < b+ c ∀ c ∈ R . . . .monotonia na soma
4. Se a < b e c < d então a+ c < b+ d
96 Introdução às Estruturas Algébricas
5. Se a < b e c > 0 , então a.c < b.c . . . . . monotonia no produto
6. Se a < b , então −a > −b.
7. Se a < b e c < 0, então a.c > b.c.
8. Se a > 0 , então a−1 > 0 (Se a < 0, então a−1 < 0)
Demonstração. (5)
1. Se a < b ⇒ a+ c < b+ c . . .Axioma O3.
2. Se b < c ⇒ b+ c < b+ d . . .Axioma O3
3. ⇒ a+ c < b+ d . . . Axioma A2
Portanto, a+ c < b+ b. �
Demonstração. (7)
1. a < b ⇒ a+ (−a) + (−b) < b+ (−a) + (−b) . . .Axioma O3
2. −b < −a . . .Axiomas A2, A3 e A5
3. −a < −b . . . def. de <
Portanto, se a < b , então −a > −b �
A demonstração das demais propriedades é exercício para o leitor.
Observação 3.4.
É importante lembrar algumas propriedades básicas de números reais:
i) a0 = 1 somente se a 6= 0; caso a = 0 a expressão 00 não existe.
ii)
a
b
∈ R, somente se b 6= 0; caso b = 0 então a
0
não existe.
iii) A expressão +∞ é a idéia de um número positivo o maior de todos, porém (+∞) - (+∞)
= ?, ou
+∞
+∞ = ? são formas indeterminadas.
Notação:
Denotamos a
1
2 como
√
a, assim seguindo a Propriedade (3.9) tem-se que:
√
ab =
√
a · √b desde que a e b sejam positivos, suponha a = −1 e b = −1, então
1 =
√
(−1)(−1) = √−1 · √−1 não existe em R.
Observação 3.5.
i) Em R valem as inclusões: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Christian José Quintana Pinedo 97
ii) Define-se como número irracional aquele número real que não podemos escrever na forma
a
b
onde a, b ∈ Z sendo b 6= 0.
Exemplo destes números são:
√
5, pi,
√
3, e, · · · , entre outros. Acredita-se que existem em
R uma quantidade maior de números irracionais a que números racionais.
O conjunto dos números irracionais denota-se como I.
iii) Tem-se que CR(Q) = I, logo Q ∪ I = R e Q ∩ I = ∅.
3.6 SISTEMA MATEMÁTICO
Definição 3.18. Sistema matemático.
Chama-se sistema matemático a um conjunto não vazio A, no qual uma o mais operações
estão unívocamente definidas com respeito a uma relação de equivalência.
Um sistema matemático composto de um conjunto A e uma operação ? é denotado por (A, ?);
quando o sistema estiver composto por A e as operações ? e O o denotamos por (A, ?,O).
Exemplo 3.22.
(N, +) onde + é a operação de adição em N é um sistema matemático.
Observe que N 6= ∅, e a adição em N está unívocamente definida com respeito à identidade.
Exemplo 3.23.
(R, +, ·) onde + é a operação de adição, e · a operação de multiplicação em R, é um
sistema matemático.
Observe que R 6= ∅ e, em R as operações de + e · estão unívocamente definidas pela relação
de igualdade.
Exemplo 3.24.
Sejam A = { 1, 2, 3, 4 } e R = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } uma relação de equivalência
sobre A e ? uma operação definida pela Tabela(3.3).
? 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 3 4 2
3 3 4 1 2
4 4 2 2 3
Tabela 3.3:
Mostre que (A, ?) é um sistema matemático.
Demonstração.
O conjunto A 6= ∅, por outro lado, ? é uma lei de composição interna, e se (a, b) ∈ R∧(c, d) ∈
R ⇒ (a ? c, b ? d) ∈ R.
98 Introdução às Estruturas Algébricas
Exemplo 3.25.
Os grupos, anéis, corpos e espaços vetoriais são quatro exemplos de sistemas matemáticos.
3.6.1 Classificação dos sistemas matemáticos.
Classificam-se em:
• Sistemas numéricos.
• Grupos.
• Anéis.
• Corpos.
3.7 SISTEMAS NUMÉRICOS
Definição 3.19. Sistemas numéricos.
Um sistema matemático da forma (A, ?, O) chama-se “sistema numérico” se :
a) O operador ? for comutativo e associativo.
b) O operador O for comutativo e associativo.
c) Uma das operações seja distributiva respeito da outra.
Exemplo 3.26.
São sistema numéricos (N, +, ·), (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) onde + e · são as operações
usuais de adição e multiplicação.
Exemplo 3.27.
Sejam A = { a, b } e ?, O as operações definidas pela Tabela (3.4)
? a b
a a b
b b a
O a b
a b a
b a b
Tabela 3.4:
Logo (A, ?, O) é um sistema numérico.
Definição 3.20. Número.
São chamados de número, cada elemento do conjunto A de um sistema numérico.
Logo de acordo com esta definição os elementos do conjunto A do Exemplo (3.27) cada um
de eles é um número.
A relação de equivalência de um sistema numérico não necessariamente é a identidade, porém
freqüentemente o é.
Christian José Quintana Pinedo 99
Exercícios 3-2
1. Caso existam, determine o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo para cada um dos
seguintes conjuntos:
1. B = {x ∈ Q/. | x2 − 4 |< 16}
2. A = {x ∈ Z/. | x2 − 9 | +3· | x− 4 |< 16}
3. C = {x ∈ N/. | x2 − x+ 1 |< 3}
4. D = {x ∈ I/. | 5x− 10 | + | x |≥ 1}
5. F = {x ∈ R/. | x2 − 9 |≥ 16− x }
6. E = {x ∈ Z/. | x2 − 16 | + | x− 4 |> 1}
7. H = {∈ R/. | x2 − 9 |< 16− x}
8. G = { x ∈ R /. | 9− x2 | − | x− 4 |< 1 }
2. Mostre que 1 é o supremo do conjunto E = { x ∈ R/. x = 2
n − 1
2n
, n ∈ N }.
3. Caso exista, determine três limites superiores, dois limites inferiores, o ínfimo e supremo
para o conjunto A = { 1
x
/. x ∈ N }
4. Mostre que se, A ⊂ R sendo A 6= ∅ e A limitado inferiormente, então o conjunto A possui
ínfimo.
5. Mostre a seguinte propriedade para números reais:
1. Os elementos neutro, inverso aditivo e multiplicativo, são únicos.
2. Se a.c = b.c e c 6= 0, então a = b.
3. Se b 6= 0 e d 6= 0, então a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
.
4. Se b 6= 0 e d 6= 0, então a
b
− c
d
=
ad− bc
bd
.
6. Mostre as seguintes propriedades para números reais:
1. a = −(−a) 2. a 6= 0 ⇒ a = (a−1)−1
3. a.0 = 0.a = 0 4. − a = (−1).a
5. (−a).(−b) = a.b 6. a(b− c) = ac− bc
7. (b− c)a = ba− ca 8. a− b = −(b− a)
9. a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 10. (a− b)(a+ b) = a2 − b2
11. a− b = c, então a = b+ c
7. Mostre que, para todo número real a, b, c, d tem-se:
1. a = b ou a < b ou a > b
100 Introdução às Estruturas Algébricas
2. a2 ≥ 0, ∀ a ∈ R (a2 > 0 se a 6= 0 )
3. Se a < b e b < c , então a < c
4. Se a < b, então a+ c < b+ c, ∀ c ∈ R
5. Se a < b e c > 0 , então a.c < b.c
6. Se a < b e c < 0, então a.c > b.c.
7. Se a > 0, então a−1 > 0 (Se a < 0, então a−1 < 0)
8. Mostre que
√
5 não é um número racional.
9. Determine em que sistema de numeração tem solução cada uma das seguintes igualdades:
1. 7x+
√
3 = 0 2. x2 − 5 = 0 3. 3x− pi = 0
4. x2 + 1 = 0 5.
3x
5
− 8 = 0 6. x2 − 16pi = 0
10. Determine o valor de k de modo que a equação tenha uma solução em R.
1. 5kx2 + 7x− 1 = 0 2. 3x2 + 1
k
x− 7 = 0
3. x2 + 3x =
k
2
5. 5kx2 − 7x = 8k
11. Considere o conjunto A = { 0, 1, 2, 3, 4 }, que verifica os axiomas de Peano substituindo
o Axioma 3 pelo seguinte: “0 é o consecutivo de 4”, e as definições das leis da adição + .
Determine a tabela da adição.
12. Demonstrar que não existe um inteiro positivo k tal que 0 < k < 1.
13. Demonstrar que não existe um inteiro positivo entre k e k + 1.
14. Demonstrar que se, a, b ∈ Q então, existe c ∈ Q tal que a < c < b.
15. Sejam a, b ∈ R tais que a 6= 0, b 6= 0 e para cada número positivo ε, tem-se a < b + ε.
Mostre que a ≤ b.
16. Mostre que se, a, b ∈ R ⇒ a2 = b2 ⇔ a = b ∨ a = −b.
17. Mostre que
a+ c
b+ c
=
a
c
nem sempre é certo.
18. Mostre que
a
b
=
c
d
se, e somentese, a · d = b · c.
Christian José Quintana Pinedo 101
Miscelânea 3-1
1. Determine o valor “verdade” para cada uma das seguintes questões. Justifique sua resposta.
1. Se a é racional e b irracional, a+ b necessariamente é irracional?
2. Se a é irracional e b irracional, a+ b necessariamente é irracional?
3. Se a é racional e b irracional, ab necessariamente é irracional?
4. Existe número real a tal que a2 seja irracional, porém a4 racional?
5. Existem dois números racionais tais que sua soma e produto sejam racionais?
2. Mostre que a multiplicação, é uma operação em A = { 0, 1 }.
3. Mostre que o mdc e o mmc são operações em A = {1, 2, 3, 6} e construir as tábuas destas
operações.
4. Construir a tábua da operação de multiplicação em A = { −1, 0, 1 }.
5. Seja S = {A, B, C, D} onde A = ∅, B = { a }, C = { a, b }, D = { a, b, c }. Mostrar que
a união e a intersecção são operações em S e construir as tábuas destas operações.
6. Seja S = { A, B, C, D} onde A = ∅, B = { a, b}, C = { a, c }, D = { a, b, c }. Mostrar
que a intersecção não é uma operação em S.
7. Seja ∗ a operação em N definida por a ∗ b = ab2. Calcular: 2 ∗ 3, (2 ∗ 3) ∗ 2 e 2 ∗ (3 ∗ 2)
Rpta. 18, 72, 288
8. Seja n ∈ N, n ≥ 2. Mostre que n! <
[
n+ 1
n
]n
.
9. Quais as condições que devem satisfazer os números racionais a, b, a′, b′ para que
a
√
3 + b
a′
√
3 + b′
seja racional?
10. Mostre que as seguintes operações em R são comutativas.
1. a ∗ b = ab+ 3 2. a ∗ b = √a2 + b2
3. a ∗ b = a2 − ab+ b2 4. a ∗ b = ab
a+ b
11. Mostre que, para todo número real a, b, c, d tem-se:
1. Se 0 < a < b então a−1 > b−1 > 0 (Se a < b < 0 então 0 > a−1 > b−1)
2. ab ≥ 0 se e somente se (a ≥ 0 e b ≥ 0) ou (a ≤ 0 e b ≤ 0)
3. ab ≤ 0 se e somente se (a ≥ 0 e b ≤ 0) ou (a ≤ 0 e b ≥ 0)
4. Se a ≥ 0 e b ≥ 0; a ≤ b se e somente se a2 ≤ b2.
5. a2 + b2 = 0 se e somente se a = 0 e b = 0.
6. Se a2 ≤ b , então - √b ≤ a ≤ √b
102 Introdução às Estruturas Algébricas
7. a2 ≥ b ≥ 0 , então a ≥ √b ou a ≤ −√b
12. Determinar os elementos idempotentes para a operação ∗ em Z definida por a ∗ b = ab2
Resp 0, −1, 1
13. Determinar os elementos idempotentes para a operação� em Z definida por a�b = a+b+ab
Resp 0, −1
14. Seja S3 = { a, b, c } e consideremos o conjunto A(S3) de todas as aplicações bijetoras de
S3 sobre S3.
1. Verificar que a composição de aplicações ◦ é uma lei de composição interna sobre A(S3)
2. Esta lei de composição interna ◦, satisfaz para todos os elementos deA(S3) a propriedade
comutativa?
15. Considere F = { fi / fi : A −→ A, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 } o conjunto das aplicações de
A = R− {0, 1} sobre A definidas por:
f1 : x 7−→ x, f2 : x 7−→ 1
1− x, f3 : x 7−→
x− 1
x
f4 : x 7−→ 1
x
, f5 : x 7−→ x
x− 1 , f6 : x 7−→ 1− x
Mostre que a composição de aplicações é uma aplicação binária sobre F . Compor a tabela
correspondente á composição sobre F .
16. Em cada caso, considere a operação ∗ sobre E e verifique se é associativa, se é comutativa,
se existe elemento neutro e determine o elemento simétrica para cada a.
1. E = R e a ∗ b = a+ b
2
2. E = N e a ∗ b = mdc{a, b}
17. Sendo ∗ uma operação associativa em Z3 dada pela lei de composição interna:
(a, b, c) ∗ (d, e, f) = (ad, be, cf)
Provar que ∗ é associativa e tem elemento neutro.
18. Seja ? uma lei de composição interna sobre R× R, definida por:
(a, b) ? (c, d) = (ac+ bd, ad+ bc)
Determine se essa lei de composição interna satisfaz a propriedade associativa.
19. Sejam aa′, b, b′ ∈ Q e seja c ∈ Z um número quadrado não perfeito. Mostre que a igualdade
a+ b
√
c = a′ + b′
√
c exige que a = a′, b = b′.
20. Resolver a igualdade no corpo dos números reais: 4
√
41 + x+ 4
√
41− x = 4.