Gab lista 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
Prof. Neuber Ferreira 
Introdução à Teoria dos Números 
 
2ª Lista de exercícios: Relação de equivalência 
 
1) Defina relação binária e dê dois exemplos. 
Resolução: 
 
Os exemplos são pessoais. 
 
2) Sejam � = �1,3,5,7,9
 e � = �0,2,4,6
. 
a) Enumere os elementos das seguintes relações de � em �: 
�� = �(�, �) ∕ � = � − 1
 
�(1,0), (3,2), (5,4), (7,6)
 
 
�� = �(�, �) ∕ � < �
 
�(1,2), (1,4), (1,6), (3,4), (3,6), (5,6)
 
 
�� = �(�, �) ∕ � = 3�
 
�	
 
 
b) Estabeleça o domínio e a imagem de cada uma. 
a) D(��)=�1,3,5,7
 Im(��)=�3,5,7
 
b) D(��)=�1,2,5
 Im(��)=�2,4,6
 
c) D(��)=�	
 Im(��)=�	
 
 
3) Sabe-se que � é um conjunto com 5 elementos e 
� = �(�, �), (�, �), (�, �), (�, )
 é uma relação sobre �. Pede-se: 
a) Os elementos de �; 
� = ��, �, �, �, 
 Im(�) =	��, �, �, 
 
 
b) Domínio e imagem de �; 
D(R)=��, �, �, �
 
 
c) Os elementos, domínio e imagem de �!�; 
� = ��, �, �, �, 
 D(�!�) = ��, �, �, 
 Im(�!�) =	��, �, �, �
 
4) Exercício 1, pág. 28 do livro Números, Relações e Criptografia. 
 
Resolução: 
a) R é reflexiva, pois (1,1), (2,2), (3,3). 
R é simétrica, pois (1,2), (2,1). 
R é transitiva, pois (1,2), (2,1), (1,1). 
 
b) R não é reflexiva, pois (3,3) ∉ �. 
R não é simétrica, pois (2,3) ∈ �	 	(3,2) ∉ �. 
R não é transitiva, pois (1,2) ∈ �, (2,3) ∈ �, mas (1,3) ∉ �. 
 
c) R não é reflexiva, pois (3,3) ∉ �. 
R é simétrica, pois (2,3), (3,2), (1,3), (3,1). 
R não é transitiva, pois (2,3) (3,1) mas (2,1) ∉ � 
 
d) R é reflexiva, pois (1,1), (2,2), (3,3) pertencem a $ × $. 
R é simétrica, pois (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (1,3), (3,1) pertencem a $ × $. 
R é transitiva 
 
 
5) Exercício 2, pág. 28 do livro Números, Relações e Criptografia. 
 
Resolução: 
R é reflexiva, pois (�, �)~(�, �), pois � + � = � + �. 
R é simétrica, pois (�, �)~(�, �) ⇔ � + � = � + � ⇔ � + � = � + � ⇔
(�, �)~(�, �). 
R é transitiva, pois se tivermos(�, �)~(�, �)	 	(�, �)~( , )) segue que 
� + � = � + � e � + ) = � + , logo � + (* + +) + ) = � + (+ + *) + , 
eliminando (+ + *) em ambos os lados da igualdade temos: 
� + ) = � + ou seja, (�, �)~( , )). 
 
 
6) Seja � a relação em � = �1,2,3,4,5
 tal que ��� se, e somente se, � − � 
é múltiplo de 2. 
 
a) Quais são os elementos de �? 
Resolução: 
� = �(1,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,2), (5,1), (5,3), (5,5)
. 
 
b) �	é reflexiva? � é simétrica? � é transitiva? � é anti-simetrica? 
Resolução: 
R é reflexiva, pois (1,1), (2,2), (3,3) pertencem a R. 
R não é simétrica, pois (3,1) ∈ �, mas (1,3) ∉ �. 
R não é transitiva, pois (5,3) ∈ � e (3,1) ∈ �, mas (5,1) ∉ �. 
 
7) Seja , um subconjunto do conjunto dos números reais. Se � e � 
pertencem � ,, defina �	~	� se �	– � é um inteiro. Mostre que ~ é uma 
relação de equivalência em ,. 
 
 
8) Seja , = . (conjunto dos números inteiros). Se Sba ∈, defina ��� se 
0≥ab . � é uma relação de equivalência em ,? 
 
 
9) Exercício 5 (a, d, e, g), pág. 29 do livro Números, Relações e 
Criptografia. 
 
 
 
 
Resolução: 
a) ~ não é reflexiva, pois � não é menor que �. 
~ não é simétrica, pois se � < � então não pode haver �~� ⇔ � < �, . 
~ é transitiva, pois � < �	 	� < / então � < /. 
 
b) ~ é reflexiva, pois �� = �� para todo �. 
~ é simétrica, pois se �~� ⇔ �� = ��, então �� = �� e �~� . 
~ é transitiva, pois �~� ⇔ �� = �� e �~/ ⇔ �� = /� então �~� ⇔ �� =
/� e �~/. 
 
c) ~ é reflexiva, pois |� − �| ≤ 1 para todo �. 
~ é simétrica, pois se �~� ⇔ |� − �| ≤ 1, então |� − �| ≤ 1 ⇔ �~� . 
~ não é transitiva, pois �~� ⇔ |� − �| ≤ 1, então −1 ≤ � − � ≤ 1 e 
�~/ ⇔ |� − /| ≤ 1 então −1 ≤ � − / ≤ 1 somando as igualdades membro 
a membro temos −1 − 1 ≤ � − � + � − / ≤ 1 + 1, logo temos que 
−2 ≤ � − / ≤ 2 ou seja |� − /| ≤ 2 e não vale �~/. 
 
d) ~ é reflexiva, pois 2
2
= 23 = 1 para todo � ≠ 0. 
~ é simétrica, pois se �~� ⇔ 2
5
= 26, então 5
2
= 2!6 e �~�. 
~ é transitiva, pois �~� ⇔ 2
5
= 26 e �~/ ⇔
5
7
= 28 então 2
5
∙
5
7
= 26 ∙ 28 
logo 2
7
= 26:8 e �~/. 
 
 
10) No conjunto dos números inteiros defina a seguinte relação 
baba +⇔~ é par. Mostre que ~ é uma relação de equivalência. 
 
 
11) Verifique se as relações abaixo são ou não relações de equivalência. 
 
a) Seja S = {retas no plano} e considere Snm ∈, . m ~ n se, e somente se, 
m é perpendicular a n. 
 
b) Seja S = {retas no plano} e considere Snm ∈, . { }=∩⇔ nmnm ~ 
(conjunto vazio). 
 
12) Mostre que a relação em $ = �1, 2, 3, 4
 dada por: 
3~ =+=⇔ yxouyxyx
 é uma relação de equivalência. 
Resolução: 
De fato, temos que: 
~ é reflexiva, pois � = �, para todo � ∈ $. 
~ é simétrica, pois �, � ∈ $ tais que �~�, então � = � ou � + � = 3. Assim 
� = � e � + � = 3, o que implica �~�. 
~ é transitiva, pois sejam �, �, / ∈ $ tais que �~� e �~/. 
Se y~/ então � = / e � + / = 3 
Se �~� então � = � e � + � = 3 
Se � = � e � = /, então � = / o que implica em �~/. 
Se � = � e � + / = 3, então � + / = 3 o que implica em �~/ 
Se � + � e � = /, então � + / = 3 o que implica em �~/ 
Se � + � = 3 e � + / = 3, então � + � = � + / o que implica em� = / e 
�~/ 
Logo �~� então � = � e � + � = 3 é uma relação de equivalência. 
 
 
 
13) Mostre que a relação no conjunto dos números reais dada por: 
yxyxyx −=−⇔ ||||~
 é uma relação de equivalência. 
Resolução: 
De fato, temos que 
~ é reflexiva, pois �~� ⇔ |�| − |�| = 0 = � − �. 
~ é simétrica, pois |�| − |�| = � − � → |�| = |�| + � − � então |�| − |�| =
|�| − (|�| + � − �) = −� + � = � − � então �~�. 
R é transitiva, pois se �~� e �~/ temos que |�| − |�| = � − � e |�| − |/| =
� − /. Somando as igualdades membro a membro temos: 
|�| − |�| + |�| − |/| = � − � + � − /, ou seja, e |�| − |/| = � − / e �~/ 
 Logo R é uma relação de equivalência. 
 
14) Exercício 15, pág. 30 do livro Números, Relações e Criptografia. 
 
Resolução: 
De fato, temos que 
~ é reflexiva, pois <~< ⇔ $ ∩ < = $ ∩ <. 
~ é simétrica, pois <~> ⇔ $ ∩ < = $ ∩ > como $ ∩ > = $ ∩ < ⇔ >~< 
~ é transitiva, pois se <~> e >~. temos também que $ ∩ < = $ ∩ > e 
$ ∩ > = $ ∩ ., logo $ ∩ < = $ ∩ . e <~> 
 Logo <~> ⇔ $ ∩ < = $ ∩ > é uma relação de equivalência 
 
15) Exercício 16 (a, b, c), pág. 30 do livro Números, Relações e 
Criptografia. 
 
 
Resolução: 
a) 
~ é reflexiva, pois (�, �)~(�, �), pois �� = ��. 
~ é simétrica, pois (�, �)~(�, �) ⇔ �� = �� ⇔ �� = �� ⇔ (�, �)~(�, �). 
~ é transitiva, pois se tivermos(�, �)~(�, �)	 	(�, �)~( , )) segue que �� = ��	 
e �) = � , logo �(*+)) = �(+*) , dividindo a expressão por (+*) em ambos 
os lados da igualdade temos: �) = � ou seja, (�, �)~( , )). 
 
b) 
~ é reflexiva, pois (�, �)~(�, �), pois � + � = � + �. 
~ é simétrica, pois (�, �)~(�, �) ⇔ � + � = � + � ⇔ � + � = � + � ⇔
(�, �)~(�, �). 
~ é transitiva, pois se tivermos(�, �)~(�, �)	 	(�, �)~( , )) segue que � + � =
� + � e � + ) = � + , logo � + (* + +) + ) = � + (+ + *) + , eliminando 
(+ + *) em ambos os lados da igualdade temos: � + ) = � + , ou seja, 
(�, �)~( , )). 
 
c) 
~ é reflexiva, pois (�, �)~(�, �), pois � − � = 0	 ∈ ℤ e � = �. 
~ é simétrica, pois (�, �)~(�, �) ⇔ � − � ∈ ℤ	 	� = �. Logo � − � ∈ ℤ	 	� =
� ⇔ (�, �)~(�, �). 
~ é transitia, pois se tivermos(�, �)~(�, �)	 	(�, �)~( , )) segue que 
� − � ∈ ℤ	 	� = � e � − ∈ ℤ	 	� = ), logo � − � + � − = � − 	ℤ e 
� = � = ), ou seja (�, �)~( , )).