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Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Introdução à Teoria dos Números
10ª Lista - Data: 28/11/2018
Disciplina: GMA011 - Turma: M
Professor: Victor Gonzalo Lopez Neumann
1. Escreva, em notação decimal finita, as seguintes frações:
321
400
,
7
625
,
3149
2500
.
2. Escreva, em notação decimal infinita periódica, as seguintes frações:
2
9
,
7
13
,
17
11
,
13
22
,
4
75
.
Verifique os resultados obtidos na lista 9.
3. Escreva os seguintes números na forma de fração irredut́ıvel:
0, 9987 0, 0001 0, 3743 .
4. Considere a, b ∈ N, tais que (a, b) = 1 e
√
a 6∈ Q e
√
b 6∈ Q. Prove que
√
ab 6∈ Q
5. Demonstre que os seguintes números são algébricos e irracionais:
√
15 ,
√
3 +
√
5 ,
√
5−
√
3 ,
3
√
2− 1 ,
√
3
(√
2− 1
)
,
√
3 + 3
√
2
5
.
6. Demonstre que o número de ouro φ =
√
5 + 1
2
é algébrico e irracional.
7. Prove que o número
α =
3
√
5
√
2 + 7− 3
√
5
√
2− 7
é um número racional. Em particular, prove que α = 2.
8. Prove que
3
√
9 + 4
√
5 +
3
√
9− 4
√
5 = 3 .
9. Qual dos números a seguir é racional e qual irracional:
β =
3
√
5 + 2
√
6− 3
√
5− 2
√
6 ; γ =
√
3 + 2
√
2 +
√
3− 2
√
2 .
10. Prove que
3
√
5
√
2 + 7 é irracional.
11. Prove que
√
2
√
2
, 2
√
2,
√
5
√
7
são transcendentes.
12. Seja n > 1. Prove que se
√
n não é um inteiro, então
√
n
√
n
é transcendente.
13. Prove que a constante de Gelfond eπ é transcendente.
14. Prove que e
π
2 é transcendente.
15. Prove que para qualquer inteiro positivo n ≥ 2, eπn é transcendente.
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