EAD 529 4ª Lista de exercícios

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Introdução a Teoria dos Números 
 
 
4ª Lista de exercícios 
 
 
 
 
 
Matricula: 13.1.9842 
Nome: Neila Chaves de Abreu Rosa Silva 
 
 
 
 
 
 
 
Tutor Presencial: Anderson Aristides Alves 
Professor: Dr. Frederico da Silva Reis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caratinga- MG 
2015 
 
Resposta 
Pela propriedade 5 temos a = a ⋅ 1 . 
Então podemos escrever −a = - (1. a) . 
Pela regra de sinal (ii) temos -(1.a) = (-1)a. 
Logo - a = −(1).a. 
 
 
 
Resposta 
Como b ≤ a e -1 ≤ -0 então pela propriedade 15, temos a(-1) ≥ b (-1). Pela comutatividade, 
temos que (-1) a ≥ (-1)b. Logo pelo exercício anterior - a ≥ − b, ou seja, - b ≤ - a. 
 
 
 
Resposta 
Compõe o trabalho. 
 
 
 
 
Resposta 
Como (a-b)2 = (a-b). (a-b) = a2 –ab –ba + b2 , pelas propriedades 2 e 7 e regras de sinais 3(ii) e 
3(iii) temos (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 .Assim, pela proposição 4(iii), temos (a-b)2, ou seja 
a2 – 2ab + b2 ≥ 0. 
 
 
 
Resposta 
Temos que a3 – b3 = ( a- b) ( a2 + ab + b2). Como a ≤ b, então a- b ≤ 0. Além disso, temos que 
a2 + ab +b2 ≥ 0. Logo a3 – b3 ≤ 0 ou seja, a ³≤ b ³. Se a ≤ b, não podemos dizer que a²≤ b2, 
pois, por exemplo, se a = - 4 e b = 3 têm a ² = 16 e b ² = 9. Assim a² > b². 
 
 
 
Resposta 
Se c/a, então ∃ q ∈ Ζ tal que a = c.q. 
Se c/b, então ∃ 𝑘 ∈ Ζ tal que b = c.k. 
 
Assim m.a= m(c.q) = c. (m.q) 
 n.b= n(c.k) = c. (n.k) 
 
Portanto: ma + nb = c. (m.q) + c. (n.k) = (mq + nk), Logo c/ ( ma + nb) 
 
 
 
Resp.:6/ (2.9), mas 6+2 e 6+9 
 
 
Resp.:3/ (4 + 5), mas 3+4 e 3+4 
 
 
 Resp.:2/4 e 3/3, mas (2+3) + (4+3) 
 
 
 
 
Resposta 
273 I43 237= 43 x 5 + 22 
 22 5 q= 5 e r = 22 
__________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta 
572 I104 572= 104 x 5 + 52 
 52 5 -572 = (-5)x104 -52 
 -572 = (-5)x104 -52+104 -104 
 =(-6) x104 +52 q= -6 e r = 52 
____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta 
202 I22 202= 22 x 9 + 4 
 4 9 q= 9 e r = 4 
____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta 
409 I52 
 45 7 409 = 52 x 7 + 45 
 - 409 = 52 x (-7) - 45 
 - 409 = 52 x (-7) – 45 +52 - 52 
 - 409 = 52 x(-8) +7 q= -8 e r = 7 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta 
52= 101q +r com 0∠ r∠ 101 , se somente se q= 0 e r = 52 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta 
 227 I143 227 = 143 x 1 + 84 
 84 1 q=1 e r= 84 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta 
1479 I272 1479 = 272 x 5 + 119 
 119 5 q= 5 e r = 119 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta 
2378 I1769 2378 = 1769 x 1 + 609 
 609 1 q= 1 e r = 609 
 
Resposta 
100∠200 
n= 7q+5, q∈ Ζ 
 
Descobrindo os múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 200 
{105, 112, 119, 126, 133, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196} 
 
Somando 5 a cada um deles temos: 
{110, 117, 124, 131, 138, 145, 152, 159, 166, 173, 180, 187, 194} 
 
Como existem 98 números inteiros entre 100 e 200 
 
Sendo: 98 I7 
 0 14 
 
Logo existem 14 números compreendidos entre 100 e 200 e 13 números que podem ser escritos 
na forma 7q + 5, exceto o ultimo numero da lista. 
 
 
Resposta 
Seja b ∈ Ζ 
Fazendo a divisão de b por 2, temos: 
 
∃ q ∈ Ζ tal que b = 2q, neste caso b é par. 
∃ q`∈ Ζ tal que b = 2q + 1 , neste caso b é impar. 
 
 
Resposta 
Compõe o trabalho. 
 
 
 
 
Resposta 
Seja n ∈ Ζ 
 
Fazendo a divisão de n por 3, temos: 0 , 1 , ou 2 como possíveis restos. 
 
r= 0, n= 3q = n2 = 9q2 = 3 (3q2) 
 q= 3q2, teremos n2 = 3q 
 
 
r= 1, n= 31k+ 1 = n2 = 9k2 +6k + 1 
 3(3k2 +2k) + 1 
 
 
r= 2, n= 3k + 2 = n2 = 9k2 +12k +4 
 3(3k2+4k +1) + 1 
 
q = 3k2 + 4 k + 1, teremos n2 = 3q + 1 
 
 
Resposta 
Múltiplos de 8 positivos menores que 50 { 8, 16, 24, 32, 40, 48} 
 
 
 
Resposta 
Múltiplos de 8 positivos menores que 50 { 8, 16, 24, 32, 40, 48} 
 
 
 
Resposta 
Se somarmos 7aos números do exercício anterior, temos: 15, 23, 31, 39, 47,55. Observemos 
que 7 também pode ser escrito na forma 8n + 7 tomando n = 0. Logo a lista dos números entre 
0e 50é: {7,15,23,31,39,47} 
 
 
Resposta 
Seja num número inteiro que deixa resto 2ao ser dividido por 3 e 4. 
Então existem inteiros q e k tais que: n = 3q + 2 = 4k + 2 = 2(k + 1). 
Pode concluir que n é par (é múltiplo de 2). 
Deve se então procurar o menor múltiplo de 5 par que deixa resto 2 ao ser divido por 3 e 4. 
Os múltiplos de 5 pares são todos os múltiplos de 10. 
 
Temos que: 
10 = 3 ×3 + 1 = 4 × 2+ 2 ⇒ n ≠ 10 
20 = 3 ×6 + 2 = 4 × 5 + 0 ⇒ n ≠ 20 
30 = 3 ×10 + 0 = 4 × 7 + 2 ⇒ n ≠ 30 
40 = 3 ×13 + 1 = 4 × 10 + 0 ⇒n ≠ 40 
50 = 3 ×16 + 2 = 4 ×12 + 2 ⇒ n = 50 
 
 
Resposta 
Seja n um números inteiro qualquer dividido por 3, 
 
n= 3q _ n3 = 27q3 
 = 9(3q3) 
 
n= 3q +1_ n3 = 27q3 + 27 q3 + 9q + 1 
 = 9(3q3 + 3q2 + q) + 1 
 
n= 3q +2 _ n3 = 27q3 + 54 q2 + 36q + 8 
 = 9(3q3 + 6q2 + 4q) + 8 
 
 
Portanto, n3 = 9k ou n3 = 9k + 1 ou n3 = 9k + 8 
 
 
Resposta 
 
Seja x um inteiro que é um quadrado perfeito e um cubo perfeito. 
Dividindo x por 7, podemos escrever x das seguintes maneiras: 
 
 
x = 7n + 6 ⟹ x³ = 343n³ + 18 ∙ 7²n² + 108 ∙7n + 216 = 7(49n³ + 126n² +108n + 31) − 1 
x = 7n + 5 ⟹ x³ = 343n³ + 15 ∙ 7²n² + 75 ∙ 7n + 125 = 7(49n³ + 105n² +75n + 18)− 1 
x = 7n + 4 ⟹ x³ = 343n³ + 12 ∙ 7²n² + 48 ∙ 7n + 64 = 7(49n³ + 84n² +48n + 9) + 1 
x = 7n + 3 ⟹ x³ = 343n³ + 9 ∙ 7²n² + 27 ∙ 7n + 27 = 7(49n³ + 63n² + 27n +4)− 1 
x = 7n + 2 ⟹ n³ = 343n³ + 6 ∙ 7²n² + 12 ∙ 7n + 8 = 7(49n³ + 42n² + 12+1) + 1 
x = 7n + 1 ⟹ n³ = 343n³ + 3 ∙ 7²n² + 3∙ 7n + 1 = 7(49n³ +21n² +3n) + 1 
x = 7n ⟹ x³ = 343n³ = 7∙ 49n³ 
 
Então o cubo de qualquer inteiro é da forma 7kou 7k + 1ou 7k –1. 
 
x = 7n + 6 ⟹ x² = 49n² + 84n + 36 = 7(7n² + 12n + 5) + 1 
x = 7n + 5 ⟹ x² = 49n² + 70n + 25 = 7(7n² + 10n + 4) − 3 
x = 7n + 4 ⟹ x² = 49n² + 56n + 16 = 7(7n² + 8n+ 2) + 2 
x = 7n + 3 ⟹ x² = 49n² + 42n + 9 = 7(7n² + 6n+ 1)+ 2 
x = 7n + 2 ⟹ x = 49n² + 28n + 4 = 7(7n² + 4n + 1)− 3 
x = 7n + 1 ⟹ x² = 4n² + 14n +1 = 7(7n² + 2n) + 1 
x = 7n ⟹ x² = 49n² = 7(7n²) 
 
Portanto, o quadrado de qualquer inteiro é da forma: 7k ou 7k +1 ou 7k +2 ou 7k −3. 
 
Logo x = 7k ou x = 7k + 1. 
 
 
 
Resposta 
Compõe o trabalho. 
 
 
 
Resposta 
Seja x = n(n + 1)(2n +1). 
Sabemos que 2n + 1é sempre ímpar para todo n. 
 
Suponhamos que n +1 não seja múltiplo de 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta 
Compõe o trabalho. 
 
 
 
 
 
Resposta 
0 ∠ n ∠ 200 
n= 6q+4, q ∈ Ζ 
 
Existem 199 inteiros compreendidos entre 0 e 200. Dividindo 199 por 6 , temos: 
 
199 I 6 199 = 6 x 33 + 1 
 1 33 
 
Portanto existem 33 números múltiplos de 6 entre 0 e 200 
Logo existem 33 números compreendidos entre 0 e 200. E 32 números que podem ser escritos 
na forma 6q + 4, exceto o ultimo numero da lista, que deixa resto 4quando dividido por 6. 
 
198 + 4 = 202 > 200 
 
 
Resposta 
100 ≤n≤ 199 
n= 8q+5, q ∈ Ζ 
 
Sendo que 8/ 1000. Então o maior numero inteiro de três dígitos múltiplos de 8 é 100 – 8 = 992. 
Sendo o maior número inteiro de 3 dígitos da forma 8q+5 é 992 + 5 = 997 
 
 
Resposta 
Dividindo um inteiro b por 27, existem q e r inteiros tais que b = 27 × q + r, onde 0 ≤ r < 27. 
Se r = q, então b = 27 r + r = 28 r 
 
Como 0 ≤ r < 27então b é um múltiplo positivo de 28 menor que 28 × 27. 
Logo existem 27 números inteiros b que divididos por 27deixam resto igual ao quociente. 
 
 
Resposta 
Seja n ∈ Ζ, tal que, n= 17q + q2, q ∈ Ζ 
 
Os possíveis restos da divisão de n por 17 são { 0, 1, 2, 3, ......, 16} 
Como q ∈ Ζ , os possíveis valores para q2 são 1, 4, 9 e 9 
 
Sendo q2 = 1 _ q=1 _ n= 17+1 = 18 
Sendo q2 = 4 _ q=2 _ n= 17 x 2 + 4 = 38 
Sendo q2 = 9 _ q=3 _ n= 17 x 3 + 9 = 60 
Sendo q2 = 16 _q=4 _n= 17 x 4 + 16 = 84 
 
 
 
Resposta 
n= 7q + 
𝑞
2
 , com 
𝑞
2
 < 7 e 
𝑞
2
 ∈ Ζ, 
 
 q ∈ ,{ 2, 4, 6, 8, 10, 12} 
 
q= 2 _ n= 7x2 +1 = 15 
q= 4 _ n= 7x4 +2 = 30 
q= 6 _ n= 7x6 +3 = 45 
q= 8 _ n= 7x8 +4 = 60 
q= 10 _ n= 7x10 +5 = 75 
q= 12 _ n= 7x12 +6 = 90 
____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta 
n=7q + 2q, com 2q < 7 e ∈ Ζ, 
 
q ∈ , { 1, 2, 3} n= 9q 
 
q=1 _ n=9 
q=2 _ n=18 
q=3 _ n =27 
______________________________________________________________________________________________ 
 
Resposta 
n=7q + q = 8q, com q < 7 
 
n ∈ {8, 16, 24, 32, 40,48} 
____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta 
 
n=7q + 3q, com 3q< 7 
 
q∈{1, 2} 
n=10q 
n∈(10, 20} 
 
 
 
 
 
Resposta 
Compõe o trabalho.