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Universidade Federal de Uberlândia – UFU Faculdade de Engenharia Elétrica – FEELT ELETROMAGNETISMO Apostila de Exercícios Resolvidos Curso de Graduação Prof. Dr. Geraldo Caixeta Guimarães Agosto/2001 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL i SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas SISTEMA Cartesiano Cilíndrico Esférico Cartesiano zz yy xx zz seny cosx rcosz sen rseny cos senrx Cilíndrico zz 20 )x/y(tan 0 yx 1- 22 zz rcosz senr Esférico 20 x/ytan 0 zyxtan 0r zyxr 1- 221- 222 20 0 ztan 0r zr 1- 22 rr Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL ii Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas Coordenadas cartesianas e cilíndricas Coordenadas cartesianas e esféricas Nota: No sistema de coordenadas esféricas, o produto escalar que envolve xa e ya requer primeiro a projeção do vetor unitário esférico no plano xy (coseno do ângulo formado), multiplicando o resultado pela projeção no eixo desejado (coseno do ângulo formado). Comprimentos, áreas e volumes diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas Sistema Comprimento (d L ) Área (d s ) Volume(dv) Cartesiano zyx adzadyadxLd zz yy xx adxdysd adxdzsd adydzsd dzdydxdv Cilíndrico zp adzadadLd zz addsd adzdsd adzdsd dzdddv Esférico adsenrardadrLd r ardrdsd adrdsenrsd addsenrsd r 2 r ddrdsenrdv 2 a r a a ax sen cos cos cos - sen ay sen sen cos sen cos a z cos - sen 0 a a a z ax cos - sen 0 ay sen cos 0 a z 0 0 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL iii FÓRMULAS MATEMÁTICAS DIVERGÊNCIA CARTESIANAS: z zD y yD x xD D CILÍNDRICAS: z zD D1)D(1 D ESFÉRICAS: D senr 1)senD( senr 1 r )rDr( r 1 2 2 D GRADIENTE CARTESIANAS: zyx z V y V x V V aaa CILÍNDRICAS: z z VV1V V aaa ESFÉRICAS: aaa V senr 1V r 1 r V V r LAPLACIANO CARTESIANAS: 2 2 2 2 2 2 2 V V x V y V z CILÍNDRICAS: 2 2 2 2 2 2 1 1 V V V V z ESFÉRICAS: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 V r r r V r r V r V sen sen sen ROTACIONAL CARTESIANAS: z xy y zx x yz y H x H x H z H z H y H aaaH CILÍNDRICAS: z zz HH1 H z H z HH1 aaaH ESFÉRICAS: aaH r rHH senr 1 r 1 HsenH senr 1 r r a H r rH r 1 r EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL iv FÓRMULAS E PARÂMETROS IMPORTANTES AS 4 EQUAÇÕES DE MAXWELL Forma Pontual Forma Integral t B E S B LE d t d S d t JJ D JH S D LH d t Id S v D dvd vol vS SD 0 B 0dS SB CONDIÇÕES DE CONTORNO ENTRE 2 MEIOS OU REGIÕES Componentes tangenciais: Et1 = Et2 Ht1 – Ht2 = k Componentes normais: Dn1 – Dn2 = S Bn1 = Bn2 PERMISSIVIDADES DO ESPAÇO LIVRE OU VÁCUO Permissividade elétrica do vácuo: 36 10 10854,8 9 12 o [F/m] Permissividade magnética do vácuo: o 4 10 7 [H/m] EQUAÇÕES IMPORTANTES Lei de Gauss: internaQ S dSD Teorema da Divergência: dv d volS DSD Equação de Poisson: 2V v Equação de Laplace: 2 0V Lei de Biot-Savart: 2R4 dI RaLH onde dvdSdI JKL Lei Circuital de Ampère: enlacadaId LH Teorema de Stokes: SHLH dd S EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL v OUTRAS FÓRMULAS IMPORTANTES PED o EP oe ED r o volE dv2 1 W ED t Nfem LE dfem SBLBv d t dfem S S dSB I N L = 2 = I W2 L H 1 122 12 I N M MHB o HM m HB r o volH dv2 1 W HB EF QE BvF QM BvEFFF QME BLF dId BSFrT dIdd Sm d Id BmT dd AB 0 JH mV EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FORMULÁRIO GERAL vi FORMULÁRIO DE DERIVADAS # # u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias. 1. 0a dx d 2. cxc dx d 3. 1nn xncxc dx d 4. x2 1 x dx d 5. dx du un 1 u dx d n 1n n 6. dx dv dx du vu dx d 7. dx du cuc dx d 8. dx du v dx dv uvu dx d 9. 2v u dx dv v dx du v u dx d 10. dx du unu dx d 1nn 11. dx du aaa dx d uu ln 12. dx dv uu dx du uvu dx d v1vv ln 13. dx du du df uf dx d 14. 1a,0a dx du u elog ulog dx d a a 15. dx du u 1 u dx d ln 16. dx du ucosusen dx d 17. dx du usenucos dx d 18. dx du usectgu dx d 2 19. dx du ucosecucotg dx d 2 20. dx du tguusecusec dx d 21. dx du ucotgucosecucosec dx d 22. dx du u1 1 uarcsen dx d 2 23. dx du u1 1 uarccos dx d 2 24. dx du u1 1 uarctg dx d 2 25. dx du u1 1 uarccotg dx d 2 26. dx du 1uu 1 uarcsec dx d 2 27. dx du 1uu 1 uarccosec dx d 2 28. dx du du dy dx dy (Regra de Chain) 29. dz z F dy y F dx x F dF (Diferencial total de )z,y,x(F ) 30. yF xF dx dy 0)y,x(F EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FORMULÁRIO GERAL vii FORMULÁRIO DE INTEGRAIS # # u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias. 1. )x(fdxxf dx d 2. Cdxvdxudxvu 3. Cdxuadxua 4. 1nC 1n u duu 1n n 5. Cu u du ln 6. Cedue uu 7. 1a,0aC a a dua u u ln 8. Cucosduusen 9. Cusenduucos 10. CusecCucosduutg lnln 11. CucosecCusenduucotg lnln 12. Cutgusecduusec ln C 42 u tg ln 13. Cucotgucosecduucosec ln = C 2 u tg ln 14. C 4 u2sen 2 u duusen2 15. C 4 u2sen 2 u duucos2 16. Cutgduusec 2 17. Cucotgduucosec 2 18. Cuutgduutg 2 19. Cuucotgduucotg 2 20. Cusecduutgusec 21. Cucosecduucotgucosec 22. C a u arctg a 1 au du 22 23. C au au a2 1 au du 22 ln 24. C ua ua a2 1 ua du 22 ln 25. C a u arcsen ua du 22 26. Cauu au du 22 22 ln 27. Cauu au du 22 22 ln 28. C a u arcsec a 1 auu du 22 29. C u aua a 1 auu du 22 22 ln 30. C u uaa a 1 uau du 22 22 ln 31. C au u a 1 au du 2222/322 32. 2222 ua 2 u duua C a u arcsen 2 a 2 33. 2222 au 2 u duau Cauu 22 ln 34. duvvudvu (Integração por partes) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL vi FORMULÁRIO DE DERIVADAS # # u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias. 1. 0a dx d 2. cxc dx d 3. 1nn xncxc dx d 4. x2 1 x dx d 5. dx du un 1 u dx d n 1n n 6. dx dv dx du vu dx d 7. dx du cuc dx d 8. dx du v dx dv uvu dx d 9. 2v u dx dv v dx du v u dx d 10. dx du unu dx d 1nn 11. dx du aaa dx d uu ln 12. dx dv uu dx du uvu dx d v1vv ln 13. dx du du df uf dx d 14. 1a,0a dx du u elog ulog dx d a a 15. dx du u 1 u dx d ln 16. dx du ucosusen dx d 17. dx du usenucos dx d 18. dx du usectgu dx d 2 19. dx du ucosecucotg dx d 2 20. dx du tguusecusec dx d 21. dx du ucotgucosecucosec dx d 22. dx du u1 1 uarcsen dx d 2 23. dx du u1 1 uarccos dx d 2 24. dx du u1 1 uarctg dx d 2 25. dx du u1 1 uarccotg dx d 2 26. dx du 1uu 1 uarcsec dx d 2 27. dx du 1uu 1 uarccosec dx d 2 28. dx du du dy dx dy (Regra de Chain) 29. dz z F dy y F dx x F dF (Diferencial total de )z,y,x(F ) 30. yF xF dx dy 0)y,x(F EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL vii FORMULÁRIO DE INTEGRAIS # # u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias. 1. )x(fdxxf dx d 2. Cdxvdxudxvu 3. Cdxuadxua 4. 1nC 1n u duu 1n n 5. Cu u du ln 6. Cedue uu 7. 1a,0aC a a dua u u ln 8. Cucosduusen 9. Cusenduucos 10. CusecCucosduutg lnln 11. CucosecCusenduucotg lnln 12. Cutgusecduusec ln C 42 u tg ln 13. Cucotgucosecduucosec ln = C 2 u tg ln 14. C 4 u2sen 2 u duusen2 15. C 4 u2sen 2 u duucos2 16. Cutgduusec 2 17. Cucotgduucosec 2 18. Cuutgduutg 2 19. Cuucotgduucotg 2 20. Cusecduutgusec 21. Cucosecduucotgucosec 22. C a u arctg a 1 au du 22 23. C au au a2 1 au du 22 ln 24. C ua ua a2 1 ua du 22 ln 25. C a u arcsen ua du 22 26. Cauu au du 22 22 ln 27. Cauu au du 22 22 ln 28. C a u arcsec a 1 auu du 22 29. C u aua a 1 auu du 22 22 ln 30. C u uaa a 1 uau du 22 22 ln 31. C au u a 1 au du 2222/322 32. 2222 ua 2 u duua C a u arcsen 2 a 2 33. 2222 au 2 u duau Cauu 22 ln 34. duvvudvu (Integração por partes) – Página 1.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL CAPÍTULO 01 ANÁLISE VETORIAL 1.1) Um vetor B é dado por: zyx 32 aaaB . Determine um vetor A de módulo igual a 3 e componente x unitária de modo que A e B sejam perpendiculares entre si. Resolução: Dados: 1 x 3 zyx 32 zyx zyx AB A aaaA aaaB (01) 3A 12 + y2 + z2 = 3 (02) B A 0BA 1 + 2y + 3z = 0 (03) De (03): 2 1z3 y (04) Substituindo (04) em (02), temos: 07z6z13 3z 4 1z6z9 1 3z 2 1z3 1 22 2 2 2 1 a raiz 13 7 z1 (05) 2 a raiz: 1z 2 (06) Substituindo (05) em (04), temos: 13 17 y 2 1 26 21 2 1 13 7 3 y 11 (07) Substituindo (06) em (04), temos: 1y 2 13 2 113 y 22 )( (08) Substituindo (05) e (07) em (01), temos: zyx1 13 7 13 17 aaaA Substituindo (06) e (08) em (01), temos: zyx2 aaaA – Página 1.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 1.2) Transforme cada um dos seguintes vetores para coordenadas cilíndricas no ponto dado: a) A ax 5 em P ( = 4, = 120o , z = 2); b) B ay 6 em Q (x = 4, y = 3, z = -1); c) zyx a4a2a4C em R (x = 2, y = 3, z = 5). Resolução: a) zaaaA zAAA onde: 05 334120555 52120555 zz AA ,AsensenA ,AcoscosA zxz x x aaaA aaaA aaaA aaA 33452 ,, b) Transformando o ponto Q (x = 4, y = 3, z = -1) de coordenadas cartesianas para cilíndricas, temos: 1z87365Q 5 4 5 3 8736 x y arctg 5yx zQ 22 ;,; cos sen , ;; mas: zz aaaB BBB onde: 06 84 5 4 666 63 5 3 666 zzyzz y y BB ,BcosB ,BsenB aaaB aaaB aaaB aaB 8463 ,, c) Transformando o ponto R (x = 2, y = 3, z = 5) de coordenadas cartesianas para cilíndricas, temos: 5z315613R 13 2 13 3 3156 x y arctg 13yx zR 22 ;,; cos sen , ;; mas: zaaaC zCCC onde: – Página 1.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 4424 4384 13 2 2 13 3 424424 5550 13 3 2 13 2 424424 zz C)(C ,Ccossen)(C ,Csencos)(C zzyxz zyx zyx aaaaaC aaaaaC aaaaaC zaaaC 443845550 ,, 1.3) Um campo vetorial é definido no ponto P ( = 20, = 120o , z = 10) como sendo: z534 aaaV . Determinar: a) a componente vetorial de V normal à superfície = 20; b) a componente vetorial de V tangente à superfície = 120o; c) a componente vetorial de V na direção do vetor R a a 6 8 ; d) um vetor unitário perpendicular a V e tangente ao plano = 120o; e) o vetor V no sistema de coordenadas cartesianas; Resolução: a) Dados: z534 aaaV em P ( = 20, = 120o , z = 10). Sabe-se que TN VVV e que aaVVN )( . Portanto: aVaaaaaV NN 4 534 z ])[( b) Dados: z534 aaaV em P ( = 20, = 120o , z = 10). Sabe-se que TN VVV e que aaVVN )( . Cálculo de NV : aVaaaaaV aaVV NN N 3 534 z ])[( )( – Página 1.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL Cálculo de TV : zz 54 3534 aaVaaaaVVV TNT )( c) Dados: aaR 86 . RR aaVVR )( , onde aaa aa R R a 8060 6436 86 RR ,, aaVaaaaaaaV RR 843882 80608060534 z ,,),,)](,,()[( d) Seja zz aaaA AAA o vetor procurado. Pelas condições apresentadas, temos: versor um é pois ,1 pois ,0 120 plano ao tangenteé pois ,0 AA VAVA A A De (01), conclui-se que zz aaA AA (04) De (02), conclui-se que: 054534 zzzz AA)()A(A aaaaaVA (05) De (03), conclui-se que 12z 2 AA (06) De (05): 4 5 zAA (07) Substituindo (07) em (06), temos: 6250 41 16 1 16 25 z 2 z 2 z ,AAA (08) Substituindo (08) em (07), temos: 7810 ,A (09) Substituindo (08) e (09) em (01), temos: z62507810 aaA ,, e) Cálculo das componentes, em coordenadas cartesianas, do vetor V : 5534 96411203120434534 59841203120434534 zzz yyzyy xxzxx V)(V ,Vcossencossen)(V ,Vsencossencos)(V zz aaaaaV aaaaaV aaaaaV zyx 596415984 aaaV ,, (01) (02) (03) – Página 1.5 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 1.4) Se 1a é um vetor unitário dirigido da origem ao ponto (-2,1,2), determinar: a) um vetor unitário 2a paralelo ao plano x = 0 e perpendicular a 1a ; b) um vetor unitário 3a perpendicular a 1a e 2a . Resolução: Cálculo de 1a : zyx1 222 zyx 1 1 1 3 2 3 1 3 2 212 22 aaaa aaa A A a )( a) Seja z z 2y y 2xx22 aaaa aaa o vetor procurado. Pelas condições apresentadas, temos: versorum é pois ,1 pois ,0 0 xplano ao paralelo é pois ,0 22 1212 2x2 aa aaaa a a De (01), conclui-se que: zz2yy22 aaa aa (04) De (02), conclui-se que: )()a(a zyxzz2yy212 3 2 3 1 3 2 aaaaaaa 0 3 2 3 1 z2y212 aaaa (05) De (03), conclui-se que 12 z2 2 y2 aa (06) De (05), z2y2 2aa (07) Substituindo (07) em (06), temos: 5 5 14 z2 2 z2 2 z2 aaa (08) (01) (02) (03) – Página 1.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL Substituindo (08) em (07), temos: 5 52 y2 a (09) Substituindo (08) e (09) em (04), temos: zy2 2 5 5 aaa b) Seja z z 3y y 3xx33 aaaa aaa o vetor procurado. Pelas condições apresentadas, temos: versor um é pois ,1 e por formado plano ao pois , 33 213213 aa aaaaaa De (01), conclui-se que zyx3 zyx 3 15 54 15 52 15 54 15 5 5 5 5 52 0 3 2 3 1 3 2 aaaa aaa a Logo: zyx3 425 15 5 aaaa 1.5) Determinar: a) qual é a componente escalar do vetor yx xy aaE no ponto P (3, -2, 6 ) que está apontada para o ponto Q (4, 0, 1 ); b) qual é a equação (escalar) da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor yx 43 aaA e passa através do ponto P (1, 5, 0 )? Resolução: a) Definições: PE é o vetor dado E no ponto P yxPyxP 32xy aaEaaE PQ é um vetor dirigido do ponto P para o ponto Q. Q PE é a componente escalar de PE na direção de PQE . .PQa é o vetor unitário de PQ (01) (02) – Página 1.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL Cálculo de PQa : 30 52 2541 52 zyx PQ zyx PQ aaa a aaa PQ PQ a Cálculo de Q PE : 30 4 E 30 52 32EE Q P zyx yx Q PPQP Q P aaa aaaE )( b) Seja yx 5y1x aav )()( o vetor dirigido de P para Q (vetor na direção da linha). Mas Av 0 vA 0174y-3x 05y41x305y1x43 yxyx )()(])()[()( aaaa Assim, 3x-4y+17=0 é a equação da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor A e passa pelo ponto P 1.6) Encontrar o vetor em coordenadas: a) cartesianas que se estende de P ( = 4, = 10o , z = 1) a Q ( = 7, = 75o , z = 4). b) cilíndricas no ponto M (x = 5, y = 1, z = 2) que se estende até N (x = 2, y = 4, z = 6). Resolução: a) Dados: 4z757 Q 1z104 P ;; ;; Definindo PQ como o vetor, em coordenadas cartesianas, que estende-se do ponto P ao ponto Q, temos: zzyyxx aaaOPOQPQ PQPQPQ , onde OQ é o vetor dirigido da origem ao ponto Q e OP é o vetor dirigido da origem ao ponto P. Cálculo do vetor OP : zyx aaaOP zyx OPOPOP , onde: 1z 695,0104 939,3104 zz yy xx OPOP OPsensenOP OPcoscosOP zyx aaaOP 695,0939,3 – Página 1.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL Cálculo do vetor OQ : zyx aaaOQ zyx OQOQOQ ,onde: 4z 761,6757 812,1757 zz yy xx OQOQ OQsensenOQ OQcoscosOQ zyx aaaOQ 476168121 ,, mas: zzyyxx aaaOPOQPQ PQPQPQ , onde: zyx aaaPQ 3076132 3 07,6 13,2 zzzz yyyy xxxx ,, OQOPOQPQ PQOPOQPQ PQOPOQPQ b) Dados: 4z757 Q 2z1y5x M ;; ;; Podemos escrever o vetor MN em coordenadas cartesianas da seguinte forma: zzyyxx aaaOMONMN MNMNMN , onde zyx aaaON 642 e zyx aaaOM 25 .Portanto, 4 3 3 zyx MN;MN;MN e zyx aaaMN 433 . Cálculo do vetor MN em coordenadas cilíndricas: zaaaMN zMNMNMN onde: 4433 33433 33433 zzz aaaaaMN aaaaaMN aaaaaMN zyx zyx zyx )(MN cossen)(MN sencos)(MN No ponto M, temos: 26 5x 26 1y 26yx 22 cos sen Portanto: 4 26 18 26 5 3 26 1 3 26 12 26 1 3 26 5 3 zMN MNMN MNMN Logo: zz 4 26 18 26 12 aaaMNaaaMN z MNMNMN – Página 1.9 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 1.7) Sejam os pontos P ( 3, -4, 5 ) e Q ( 1, 2, 3 ) e W um vetor localizado no ponto P cuja magnitude seja igual à distância entre P e Q. Determine o vetor W apontado para Q: a) no sistema de coordenadas cartesianas; b) no sistema de coordenadas cilíndricas; c) no sistema de coordenadas esféricas. Resolução: No ponto P, temos: 70710 zyx z ; 70710 zyx yx ; 135 z arctg 60 x ; 80 y ; 1353 x y arctg 5yx 222222 22 22 ,cos,sen ,cos,sen, (01) a) zzyyxx aaaW WWW zyxzyx 862 534231 aaaWaaaW ))(())(()( b) zz aaaW WWW Cálculo das componentes, em coordenadas cilíndricas, do vetor W : 8862 260680262862 680660262862 zzzyxzz zyx zyx W)(W W),(),(cossen)(W W),(),(sencos)(W aaaaaW aaaaaW aaaaaW z826 aaaW c) aaaW WWW rr (01) Cálculo das componentes, em coordenadas esféricas, do vetor W : cossenW)(W sensencoscoscosW)(W cossensencossenW)(W 62862 862862 862862 zyx zyx rrzyxrr aaaaaW aaaaaW aaaaaW (02) (03) (04) – Página 1.10 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL Substituindo (01) em (02), temos: 90,97071088070710660707102 rr W),(),)(,(),)(,(W (05) Substituindo (01) em (03), temos: 4117071088070710660707102 ,W),(),)(,(),)(,(W (06) Substituindo (01) em (04), temos: 2606802 W),(),(W (07) Substituindo (05), (06) e (07) em (01), temos: aaaW 2411909 r ,, 1.8) Um campo vetorial é definido no ponto P ( r = 10, = 150o, = 60o ) como sendo: aaaG 543 r . Determinar: a) a componente vetorial de G normal a superfície r = 10; b) a componente vetorial de G tangente ao cone = 150o; c) a componente vetorial de G na direção do vetor aaR 86 r ; d) um vetor unitário perpendicular a G e tangente ao plano = 60o; Resolução: a) Dados: aaaG 543 r em P ( r = 10, = 150o, = 60o ). Sabe-se que TN GGG e que rr aaGGN )( . Portanto: rrrr 3 543 aGaaaaaG NN ])[( b) Dados: aaaG 543 r em P ( r = 10, = 150o, = 60o ). Sabe-se que TN GGG e que aaGGN )( . Cálculo de NG : aGaaaaaaaGG NN 4 543 r ])[()( – Página 1.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL Cálculo de TG : aaGaaaaGGG TNT 53 4543 rr )( c) Dados: aaR 86 r RR aaGGR )( , onde aaa aa R R a 8060 6436 86 rR r R ,, aaGaaaaaaaG RR 644483 80608060543 rrrr ,,),,)](,,()[( d) Dados: aaaG 543 r em P ( r = 10, = 150o, = 60o ). Seja aaaS SSS rr o vetor procurado. Pelas condições apresentadas, temos: versor um é pois ,1 pois ,0 60 plano ao tangenteé pois ,0 SS GSGS S S De (01), conclui-se que aaS SS rr (04) De (02), conclui-se que : 043543 rrrr SS)()S(S aaaaaGS (05) De (03), conclui-se que 122r SS (06) De (05): 3 4 r SS (07) Substituindo (07) em (06), temos: 5 3 1 9 16 22 SSS (08) Substituindo (08) em (07), temos: 5 4 r S (09) Substituindo (08) e (09) em (04), temos: aaS 5 3 5 4 r (01) (02) (03) – Página 2.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO CAPÍTULO 02 LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 2.1) Um fio de 2 m está carregado uniformemente com 2 C. A uma distância de 2 m de sua extremidade, no seu prolongamento, está uma carga pontual de 2 C. Obter o ponto no espaço onde o campo elétrico seja nulo. Resolução: Definições: P (2+d; 0; 0) é o ponto onde o campo elétrico resultante é nulo. 1E é o campo elétrico gerado em P pela carga Q. 2E é o campo elétrico gerado em P pelo fio. Cálculo do campo elétrico gerado em P pela carga Q: )( )( x2 o 1 d24 Q aE , onde Q = 2C. (01) Cálculo do campo elétrico gerado em P pelo fio: x2 o L 2 dx24 dL aE )( ,onde: dxdL m C1 m2 C2 L Q LL (02) De (01), conclui-se que 2 0x x2 o L 2 dx24 dx aE )( (03) Substituição de variáveis na integral: dxdu dx2u (04) Substituindo (04) em (03), temos: d2 1 d 1 4 dx2 1 41 u 4u du 4 o L 2 x 2 0xo L 2x 2 0x 1 o L 2x2 o L 2 E aEaEaE (05) – Página 2.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Para o campo elétrico ser nulo em P, é necessário que 021 EE . (06) Substituindo (01) e (05) em (06), temos: ][ )())(()( )()( m 3 2 d0dd4d4dd4d4d2d88d2d4 0d2dd2d2d2d2 0 d2 1 d 1 d2 2 0 d2 1 d 1 4 101 d24 102 323222 22 2 o 6 2 o 6 Logo, as coordenadas do ponto P são: ( 2,67; 0; 0 ) [m] 2.2) Uma linha de carga com L = 50 C/m está localizada ao longo da reta x = 2, y = 5, no vácuo. a) Determinar E em P (1, 3, -4 ); b) Se a superfície x = 4 contém uma distribuição superficial de carga uniforme com S = 18 C/m 2 , determinar em que ponto do plano z = 0 o campo elétrico é nulo. Resolução: a) Campo elétrico para uma linha de cargas: aE o L L 2 , onde: de unitário o é P ponto o para linha da dirigido vetor o é a (01) Cálculo de e de : yxzyx 205321 aaaaa )()( (02) 521 22 Cálculo de a : 5 2 yx aa a (03) – Página 2.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Substituindo (02) e (03) em (01), temos: ][ )( mV 360180 2180 5 2 52 1050 yx yx yx o 9 aaE aaE aa E b) Para TE ser nulo no ponto Q (x, y, 0 ), este deve estar localizado entre o plano e a linha. Campo elétrico para uma linha de cargas: aE o L L 2 , onde: de unitário o é P ponto o para linha da dirigido vetor o é a (01) Campo elétrico para uma distribuição superficial de cargas: N o S P 2 aE , onde: 0). y, (x, de direcão na superfície à normal unitário o é Na (02) Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à linha: 22 yx 22 yx 5y2x 5y2x 5y2x ; 5y2x )()( )()( )()()()( aa a aa (03) – Página 2.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEEDDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Substituindo (03) em (01), temos: 22 yx 22 o L L o L L 5y2x 5y 2x 5y2x2 2 )()( )()( )()( aa EaE ])()[( ])()[( yx22 o L L 5y 2x 5y2x2 aaE (04) Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à superfície: xN aa (05) Substituindo (05) em (02), temos: x o S P 2 aE Mas 0PLT EEE (07) Substituindo (04) e (06) em (07): 88,2x 324 2x 900 0324 5y2x 2x900 5y 0 5y2x 5y900 0 5y2x 5y900 324 5y2x 2x900 0 36 10 2 1018 5y2x 5y 2x 5y2x 36 10 2 1050 0 2 5y2x 5y 2x 5y2x2 22 22 y22x22 x9 9 22 yx 22 9 9 x o S 22 yx 22 o L T )()( )( )()( )( )()( )( )()( )( )()( )()( )()( )()( )()( )()( aa a aa a aa E Logo, as coordenadas do ponto Q são: (x = 2,88; y = 50;z = 0). 2.3) Oito cargas pontuais de 1 C cada uma estão localizadas nos vértices de um cubo de 1 m de lado, no espaço livre. Encontrar E no centro: a) do cubo; b) de uma face do cubo; c) de uma aresta do cubo; (06) – Página 2.5 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Resolução: P ( 0,5; 0,5; 0,5 )é o centro do cubo; K ( 0,5; 1; 0,5 )é o centro de uma face; M ( 1; 0,5; 0 )é o centro de uma aresta. a) Como as cargas são todas iguais e simétricas, elas produzem campos iguais e em oposição. Logo, o campo elétrico em P é nulo. b) KKKKKKKKK EEEEEEEEE DHEAFBCG , onde: D; em carga pela em gerado campo o é H; em carga pela em gerado campo o é E; em carga pela em gerado campo o é A; em carga pela em gerado campo o é F; em carga pela em gerado campo o é B; em carga pela em gerado campo o é C; em carga pela em gerado campo o é G; em carga pela em gerado campo o é D; e H E, A, F, B, C, G, em carga pelas em gerado campo o é D H E A F B C G KE KE KE KE KE KE KE KE KE K K K K K K K K K Por simetria: 0FBCG KKKK EEEE , o que torna KKKKK EEEEE DHEA . (01) Cálculo de KEA : K K k aE A R2 Ao A R4 Q , onde: . ; ; K K KK K Ra R KAR A A R AA A de versor um é R ponto ao em carga da dirigido vetor o é – Página 2.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO K K K KK R aaaaR A A A RAzyxA R ; 51R ; 5050 ,,, K K k RE A23 Ao A R4 Q (02) Cálculo de KEE : K K k aE E R2 Eo E R4 Q , onde: . ; ; K K KKKK K Ra RR KER E E R AEAE E de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é K K K KKK R aaaaR A E E RAEzyxE R ; 51RR ; 5050 ,,, K K k RE E23 Ao E R4 Q (03) Cálculo de KEH : K K k aE H R2 Ho H R4 Q , onde: . ; ; K K KKKK K Ra RR KHR H H R AHAH H de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é K K K KKK R aaaaR A H H RAHzyxH R ; 51RR ; 5050 ,,, K K k RE H23 Ao H R4 Q (04) Cálculo de KED : K K k aE D R2 Do D R4 Q , onde: . ; ; K K KKKK K Ra RR KDR D D R ADAD D de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é K K K KKK R aaaaR A D D RADzyxD R ; 51RR ; 5050 ,,, K K k RE D23 Ao D R4 Q (05) – Página 2.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01): )( KKKK K k RRRRE DHEA23 Ao R4 Q (06) Mas: yDHEA zyxzyxzyxzyxDHEA 4 5050505050505050 aRRRR aaaaaaaaaaaaRRRR KKKK KKKK ),,(),,(),,(),,( Substituindo (07) em (06) ,temos: m V 57,19 57,19 51 4 104 R4 Q4 y y23 o 9 y23 Ao kk k K k EaE aEaE , c) MMMMMMMMM EEEEEEEEE DCGHBAFE , onde: D; em carga pela em gerado campo o é C; em carga pela em gerado campo o é G; em carga pela em gerado campo o é H; em carga pela em gerado campo o é B; em carga pela em gerado campo o é A; em carga pela em gerado campo o é F; em carga pela em gerado campo o é E; em carga pela em gerado campo o é D; e C G, H, B, A, F, E, em cargas pelas em gerado campo o é D C G H B A F E ME ME ME ME ME ME ME ME ME M M M M M M M M M Por simetria: 0FE MM EE Portanto: MMMMMMM EEEEEEE DCGHBA (01) Cálculo de MEA : M M M aE A R2 Ao A R4 Q , onde: . ; ; M M MM M Ra R MAR A A R AA A de versor um é R ponto ao em carga da dirigido vetor o é (07) – Página 2.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO M M M MM R aaaaR A A A RAzyxA R ; 251R ; 050 ,, M M M RE A23 Ao A R4 Q (02) Cálculo de MEB : M M M aE B R2 Bo B R4 Q , onde: . ; ; M M MMMM M Ra RR MBR B B R ABAB B de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é M M M MMM R aaaaR A B B RABzyxB R ; 251RR ; 050 ,, M M M RE B23 Ao B R4 Q (03) Cálculo de MEH : M M M aE H R2 Ho H R4 Q , onde: . ; ; M M MMMM M Ra RR MHR H H R AHAH H de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é M M M MMM R aaaaR A H H RAHzyxH R ; 251RR ; 500 ,, M M M RE H23 Ao H R4 Q (04) Cálculo de MEG : M M M aE G R2 Go G R4 Q , onde: . ; ; M M MMMM M Ra RR MGR G G R AGAG G de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é M M M MMM R aaaaR A G G RAGzyxG R ; 251RR ; 500 ,, M M M RE G23 Ao G R4 Q (05) – Página 2.9 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Cálculo de MED : M M M aE D R2 Do D R4 Q , onde: . ; ; M M MM M Ra R MDR D D R DD D de versor um é R ponto ao em carga da dirigido vetor o é M M M MM R aaaaR D D D RDzyxD R ; 252R ; 50 ,, M M M RE D23 Do D R4 Q (06) Cálculo de MEC : M M M aE C R2 Co C R4 Q , onde: . ; ; M M MMMM M Ra RR MCR C C R DCDC C de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é M M M MMM R aaaaR D C C RDCzyxC R ; 252RR ; 50 ,, M M M RE C23 Do CG R4 Q (07) Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos: 23 D CD 23 A GHBA o RR4 Q M MM M MMMM M RRRRRR E (08) Mas: zxGHBA zyzyyxyxGHBA 22 50505050 aaRRRR aaaaaaaaRRRR MMMM MMMM ),(),(),(),( e zxCD zyxzyxCD 22 5050 aaRR aaaaaaRR MM MM ),(),( Substituindo (09) e (10) em (08), temos: m V 7625 21182118 252 22 251 22 4 101 zx 23 zx 23 zx o 9 ,,, ,, MM M EaaE aaaa E (09) (10) – Página 2.10 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 2.4) Uma distribuição linear uniforme de cargas no eixo z é definida como sendo L = 10 C/m para z 0 e L = 0 para z < 0. Determinar qual deverá ser a densidade superficial de cargas no plano infinito z = 0 de modo que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z. Determinar também o campo elétrico resultante. Cálculo do campo elétrico no ponto P devido ao plano: z o S PzNN o S P 2 :onde 2 aEaaaE , (01) Cálculo do campo elétrico no ponto P devido à linha: z9 z3 z9R z3 onde R4 dz 2 zy R 2 zy R2 o L L aa a R aaR aE , z232 o L y232 o L L zy232 zy o L L z9 zdz 4z9 dz3 4 dz z9 z3 4 aaE EE aa E )()( )( )( z9 zdz 4 z9 dz3 4 z232 o L z y232 o L y aE aE )( )( (02) (03) (04) – Página 2.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Para que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z, a condição de zP EE deve ser satisfeita. Fazendo (01) = (04), temos: 2322 o L o S z3 zdz 42 )( (05) Substituição de variáveis na integral: d3dz 3tg z 2sec (06) Substituindo (06) em (05), temos: m C 3 5 3 105 d 3 105 27 d3tg3 2 1010 2S 90 0 9 S 9 S3 29 S cos cos cos.sen sec sec. Cálculo do campo elétrico resultante ( TOTALE ): Como o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) apresenta somente uma componente na direção de ya , conclui-se que yTOTAL EE (07) Substituindo (03) em (07), temos: y2322 o L TOTAL z3 dz3 4 aE )( (08) Substituição de variáveis na integral: d3dz 3tg z 2sec (09) Substituindo (09) em (08), temos: m V 1294 6 105 d 6 105 27 d33 4 1010 TOTALy 90 0 o 9 TOTAL y o 9 y3 2 o 9 TOTAL ,sen cos sec sec. EaE aaE – Página 2.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 2.5) Dado o campo vetorial zyx 2 xyzyx aaaD [C/m 2 ]. Determinar o fluxo de D através da superfície triangular no plano xz, delimitada pelo eixo x, pelo eixo z, e pela reta x z 1 . Dados: y zyx 2 dxdz xyzyx adS aaaD ; Resolução: C 6 1 3 1 11 2 1 3 x xx 2 1 dx 2 xx21 dx 2 x1 dx 2 z zdzdxdzdxzy dxdz xy zyx 1 0x 3 2 1 0x 21 0x 2 1 0x 1 0x x1 0z 2x1 0z 1 0x x1 0z 0y S yzyx 2 S )( )( )( )( aaaadSD 2.6) Dado o campo y 3 x 2 y5 yx15 aaE , encontrar,no plano xy: a) a equação da linha de força que passa através do ponto P ( 2, 3, -4 ); b) um vetor unitário Ea especificando a direção de E no ponto P; c) um vetor unitário Na que é perpendicular a E no ponto P. Resolução: 3 y 2 x y 3 x 2 yyxx y5 yx15 y5 yx15 E E EE aaaaE a) Dados: P ( 2, 3, -4 ) c x 1 y 1 3 x dx y dy 3 x dx y dy 3 x3 y dx dy yx15 y5 dx dy dx dy 22 222 2 2 3 y x E E (01) – Página 2.13 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Substituindo em (01) as coordenadas do ponto P, temos: 2 1 -c c 2 1 3 1 3 (02) Substituindo (02) em (01), temos: 2 1 x 1 y 3 - Portanto, a Equação da linha de Força é: 0xyy2x-6 ou 0xyy2x6 - b) ). 4- 3, 2, ( P ponto no definido vetor o é P EE yxPy 3 x 2 P 135 180 3 . 5 3 .2 15 aaEaaE )().( yxE yx E 22 yx E P P E 60 80 225 135 180 135180 135 180 aaa aa a aa a E E a ,, c) versor.um é pois 1 pois 0 :que modo de n m Seja NN ENEN yxN aa aaaa aaa , ;, De (01), conclui-se que: n75,0-m n 0,8 0,6 -m n6,0 m8,0 0 n6,0 m8,0 0 60 80 n m yxyx aaaa ),,()( De (02), conclui-se que: 1n m 22 (04) Substituindo (04) em (03) ,temos: 8,0 n 640n 7501 1 n 1nn) (-0,75 2 2 222 ,, ),( (05) Substituindo (05) em (03), temos: 6,0 m 0,8)( . -0,75m (06) Substituindo (05) e (06) em (01), temos: yxN 80 6,0 aaa , (01) (02) – Página 2.14 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 1 2.7) Um cilindro de raio a e altura 2a possui as bases com cargas simétricas de densidade S constante. Calcular o campo elétrico no seu eixo, a meia distância entre as bases. Resolução: Sabe-se que zRzRR21R aaaEEE EEE onde, RE é o campo resultante, 1E é o campo gerado no ponto em questão devido à distribuição da base do cilindro (1) e 2E é o campo gerado no ponto em questão devido à distribuição do topo do cilindro (2). Devido à simetria das distribuições, RE não apresenta componentes nas direções de aa de e ( 0RR EE ). Deste modo, as componentes de 1E e de 2E na direção de za definem a direção e a magnitude de RE .Assim, z2z1R 22 EEE . (01) Cálculo de 1E : 22 z R 22 z R R2 o S 1 a a aR ; a de unitário um é R ); a 0, 0, ( ponto o para área de ldiferencia elemento do dirigido vetor o é d d dS onde , R4 dS d aa a aaR Ra R R aE . ; ; Substituindo (02) em (01), temos: z111z2322 o S 1 )a a4 dd d EEEaaE ( )( (03) (02) – Página 2.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO a4 dd a ) SimetriaPor ( 0 )a a4 dd 2 0 a 0 z2322 o S z1 1 2 0 a 0 z2322 o S 1 aE E aaE )( ( )( Cálculo de RE : Substituindo (05) em (01), temos: a 0 z2322 2 0o S R 2 0 a 0 z2322 o S R d a d 4 a2 a4 d d a 2 aE aE )( )( Substituição de variáveis na integral: d ad tg a 2sec Substituindo (07) em (06), temos: mV 2 1 -1 )(-cos0-)(-cos45 cos- d sec a d sec tga sec a d sec a tga 2 4 a2 z o S R z o S Rz 4 0 o S R z 4 0o S Rz 4 0 33 23 o S R z 4 0 33 2 o S R aE aEaE aEaE aE sen (04) (05) (06) 4a 00 (07) – Página 2.16 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 2.8) Uma carga Q (Q > 0) está localizada na origem do sistema de coordenadas. Determinar em que ponto na linha definida por x = 1 e z = 3 está yE no seu máximo. Resolução: Cálculo do campo elétrico para a carga pontual: 2 zyx R 2 zyx R R2 o y10 3y y10R ; 3y de unitário um é R ) 3 y, (1, ponto o para origem da dirigido vetor o é onde , R4 Q aaa a aaaR Ra R R aE Substituindo (02) em (01), temos: y104 Q3 y104 Q y y104 Q y10 3y 4 Q y10 3y y104 Q z232 o z y232 o y x232 o x 232 zyx o2 zyx 22 o aE aE aE aaa E aaa E )( )( )( )()( De (03), conclui-se que 232 o yy y10 y 4 Q E )( E (01) (02) (03) – Página 2.17 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Cálculo de máx yE : 0 y10 .y y2 . y102 3y10 4 Q 0 y E 32 212232 o y )( )()( 5y y3y10 y3 y10 y10 yy103y1022 2 212 232 2212232 )( )( .).()( Logo, maxy E ocorre nos pontos 3, 5, -1 e 3, 5, 1 . – Página 3.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA CAPÍTULO 03 DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 3.1) Dentro da região cilíndrica 4 m, a densidade de fluxo elétrico é dada como sendo aD 35 C/m 2 . a) Qual a densidade volumétrica de carga em = 3 m? b) Qual a densidade de fluxo elétrico em = 3 m? c) Quanto de fluxo elétrico deixa o cilindro, = 3 m, z 2 5, m? d) Quanto de carga existe dentro do cilindro, = 3 m, z 2 5, m? Resolução: a) Dados: m3 55 33 DaD 3v 2 v 3 v 4 v vv m C 180 3m araP 20 20 1 51 1 z z11 )( )D(DD)D( D b) 2 3 m C 135 3m, me Logo, 5 que se-Sabe aDaD . c) Pela Lei de Gauss: vol vinterna S dvQ dSD C 4050 .5 2 .3 . 5 2,5 52z 2 0 dz d 45 m3 dz d 5 dz d 5 onde , 4 3 2,5 52z 2 0 3 S aa adS aD dSD , )( )()( , d) Pela Lei de Gauss, vol vinterna S dvQ dSD . Logo, C 4050Qinterna – Página 3.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 3.2) Dado o campo 2 2 2 m C 2 20 aaD sensen , encontrar a carga total que se encontra dentro da região, 1 2 0 2 0 1 , / , .z Resolução: Dados: 220 e 20 2 20 22 2 2 2 sen D sen D DDsensen aaaaD De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: volS interna dvQ DdSD (01) Cálculo de D : 231 1023010 22 2 2 2 120 24020 22 201120 2201201 z z11 333 3 33 2 22 2 2 2 cos cos cos cos cossen cos sen sensen DD)D( DD D D D D D (02) – Página 3.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA Substituindo (02) em (01), temos: C 2 5 Q 1 2 10 2 10 Q 1 0z z 2 2310 Q dz d d 231 10 Q internainterna 2 0 2 1 interna 1 0z 2 0 2 1 3interna sen cos 3.3) Dado o campo 2m C 4r 20 aD sensen , na região, 3 4 r , 0 4 / , 0 2 , determinar a carga total contida no interior desta região, por dois modos diferentes Resolução: Dados: 4r 20 4r 20 sensenDDsensen aaD De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: volS interna dvQ DdSD 1 o modo: vol interna dvQ D Cálculo de D : D r 1D r 1 r rDr r 1 2 2 sen )sen( sen )( D – Página 3.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 4r 40 2 4r 20 r 1 4r 20 r 1 2 2 sencos cossensen sen sensen sen D D D Cálculo de internaQ : 4 3r 4 0 2 1 2 2interna d drd r 4r 40 Q sensencos C 40Q 0 2 40 2 10Q 4 42 2 1 20Q d 4 d 220Q d 4 d 2r20Q d 4 d dr40Q interna interna 2 0 4 0interna 4 0 2 0 interna 4 0 2 0 4 3rinterna 4 0 2 0 4 3r interna coscoscoscos coscos sensen sencossen sencossen 2 o modo: S internaQ dSD BaseTopoLateralS internaQ dSDdSDdSDdSD (01) Para a Lateral ) 4 ( drd 4 20 drd r 2 sensen sen dSD adS (02) – Página 3.5 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA Para o Topo ) 4r ( 0 d d r r 2 dSD adS sen (03) Para a Base ) 3r 0 d d r r 2 ( sen dSD adS (04) Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: d 4 dr10Q drd 4 20Q 2 1 4 3r interna 2 0 4 3r 2 4 interna sen sensen C 40Q 04 2 410Q 4 4r10Q internainterna 2 0 4 3rinterna coscos cos 3.4) Uma casca esférica não condutora, de raio interno a e raio externo b, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica v . Determine o campo elétrico em função do raio r. Resolução: Pela Lei de Gauss: vol vinterna S dvQ dSD Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a: 0 0Q pois ,0 1interna1 ED – Página 3.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b: vol vinterna S dvQ dSD , onde r 2 r rr d d r aadS aD sendS D r 2 33 v 2 2 33 v r 33 v 2 r 2 0 2 0 r r 2 v 2 0 2 0 2 r r r 3r r 3 r 3 4 r 4 d d dr r d d r aD )()( D)(D sensenD aa a a Mas ED e o . Portanto: r 2 33 o v 2 r r 3 aE )( a Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r b: vol vinterna S dvQ dSD , onde r 2 r rr d d r aadS aD sendS D r 2 33 v 3 2 33 v r 33 v 2 r 2 0 2 0 r 2 v 2 0 2 0 2 r r3r33 4 r 4 d d dr r d d r aD )()( D)(D sensenD abab ab b a Mas ED e o . Portanto: r 2 33 o v 3 r3 aE )( ab Área da esfera Volume da casca esférica Área da esfera Volume da casca esférica – Página 3.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 3.5) Ao longo do eixo z existe uma distribuição linear uniforme de carga com m C 4L , e no plano z = 1 m existe uma distribuição superficial uniforme de carga com 2S m C 20 . Determinar o fluxo total saindo da superfície esférica de raio 2 m, centrada na origem Resolução: Lei de Gauss: internaQ , onde PlanoLinhainterna QQQ (01) Cálculo de LinhaQ : C 16Qz4Q dz 4QdLQ Linha 2 2zLinha 2 2z Linha L LLinha Cálculo de PlanoQ : C 60Q 2 20Q d d 20QdSQ Plano 3 0 2 2 0Plano 2 0 3 0 Plano S SPlano Substituindo (02) e (03) em (01), temos: C 76 6016Qinterna 2 -2 (03) (02) – Página 3.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 3.6) Se uma carga Q está na origem de um sistema de coordenadas esféricas, calcule o fluxo elétrico que cruza parte de uma superfície esférica, centrada na origem e descrita por . Resolução: 1 o modo: Lei de Gauss: vol vinterna S dvQ dSD r 2 r2 S d d r r4 Q onde , adS aD dSD sen 0 0 2 2 d d 4 Q d d r r4 Q sen sen C 2 Q 0 4 Q 4 Q 0 coscos cos 2 o modo: Considerando a esfera de raio r na sua totalidade: 2 esf esf r4Sesfera da Área Q (01) Considerando somente a casca esférica : casca = ? 2 casca 0 2 casca 0 2 casca 0 2 cascaS cascacasca r2S rS d rdS d d rdSScasca da Área cossen sen (02) – Página 3.9 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA Através de uma regra de três, encontramos: esf casca esfcasca S S . (03) Substituindo (02) e (03) em (01),temos: 2 Q r4 r2 Q casca2 2 casca 3.7) Dado o campo m C 2 20 2 aD cos , na região, 21 , 20 / , 3z0 , determinar a carga total contida no interior da região. Resolução: Dados: dzdddv 2 20 2 20 cos DDcos aaD De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: volS interna dvQ DdSD 1 o modo: vol interna dvQ D Cálculo de D : z z11 DD)D( D 2 20 1 cos D 2 2 10 2 1 2 201 sen sen DD – Página 3.10 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA Cálculo de internaQ : 3 0z 2 0 2 1 2interna dz d d 2 10 Q sen C 183,12Q302 4 21210Q z 2 210Q dz 2 d 10Q internainterna 3 0z 2 0 2 1interna 2 0 3 0z 2 1 interna coscoslnln .cos.ln. sen 2 o modo: S internaQ dSD BaseTopoFundoFrenteDireita Lat.daLat.EsquerS internaQ dSDdSDdSDdSDdSDdSDdSD (01) Para a Lateral Esquerda
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