RM Carregamento Axial

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS 
Prof. Rogério Prataviera 
CARREGAMENTO AXIAL 
Forças normais 
‒ Hibbeler, Mecânica para engenharia : Cap. 3 e 4 
‒ Beer & Jonnston, Mecânica vetorial para engenheiros: Cap. 1 e 2 
Força Normal 
• Uma barra tracionada ou comprimida por uma 
força longitudinal centrada tem como esforço 
solicitante apenas a força normal N, que pode ser 
de tração ou de compressão. 
 
 
 
 
 Tração Compressão 
Tensão Normal ou Tensão de 
Engenharia 
• É determinada pela divisão da carga 
normal aplicada (𝑃 em Newton) pela área 
original da seção transversal do corpo de 
prova (𝐴 em m²). 
 
 𝜎 =
𝑃
𝐴
 
 [N/m2] = [Pa] 
 [N/mm2] = [MPa] 
• É determinada pela divisão da variação no 
comprimento (alongamento ou encurtamento) 
de referência do corpo de prova ( 𝛿 ), pelo 
comprimento de referência original do corpo de 
prova ( 𝐿 ), ambos com mesma unidade de 
comprimento 
 
𝜀 =
𝛿
𝐿
 
 
Observe que 𝜀 é adimensional. 
Deformação Normal ou 
Deformação de Engenharia (𝜀) 
Propriedades Mecânicas dos 
Materiais 
Propriedades mecânicas dos materiais 
 
Propriedades mecânicas dos materiais 
‒ módulo de elasticidade 
‒ tensão de escoamento 
‒ coeficiente de Poisson 
‒ etc. 
As propriedades materiais independem da configuração da estrutura. Elas 
são definidas pelo tipo de material. Exemplos: 
Tensão Deformação 
Como relacionar Tensão com Deformação? 
Propriedades mecânicas dos materiais 
módulo de 
elasticidade 
coeficiente de 
Poisson 
tensão de 
escoamento 
aço carbono 190-210 GPa 0,27-0,30 340-1000 MPa 
alumínio 70-79 Gpa 0,33 35-500 MPa 
cobre 110-120 GPa 0,33-0,36 55-760 MPa 
Longitudinal: 
𝛿𝑥 = 𝐿𝑓𝑥 − 𝐿𝑥 
𝜀𝑥 =
𝛿𝑥
𝐿𝑥
 
Lateral: 
𝛿𝑦 = 𝐿𝑓𝑦 − 𝐿𝑦 
𝜀𝑦 =
𝛿𝑦
𝐿𝑦
 
 
𝛿: deslocamento 
𝜀: deformação 
𝐿: comprimento antes da força axial 
𝐿𝑓: comprimento após a força axial 
• Coeficiente de Poisson estabelece que dentro da 
faixa elástica, a razão entre essas deformações é 
uma constante, já que estas são proporcionais. 
 
𝜈 = −
𝜀𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝜀𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙
 
 
onde: 
𝜀𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙: deformação lateral; 
𝜀𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙: deformação longitudinal. 
• A lei de Hooke define a relação linear entre tensão e 
deformação dentro da região elástica: 
𝜎 = 𝐸𝜀 
onde: 
 𝐸 = módulo de Elasticidade do material (Pa); 
 𝜎 = Tensão (Pa); 
 𝜀 = deformação (adimensional). 
 
Pode ser usado somente se o material tiver relação linear-
elástica. 
 
Hipótese de cálculo: 
• Material homogêneo e isotrópico 
• Distribuição uniforme para a tensão normal σ 
• Seções planas permanecem planas após as deformações. 
 
Lei de Hooke 
Máquina Universal de Ensaios 
 
CP (Injeção; Compressão; Casting) 
ENSAIOS DE TRAÇÃO 
Obtenção da variação da Tensão com a Deformação 
Diagrama Tensão-Deformação 
Determinação do Módulo de Elasticidade 
Exemplo 1 
Para a barra da figura, solicitada por 
forças longitudinais centradas, determine 
as tensões geradas em MPa em cada 
trecho (AB, BC e CD). 
A B C D 
Resposta 
𝜎𝐴𝐵 = 125 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐵𝐶 = 75 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐶𝐷 = 100 𝑀𝑃𝑎 
 
Exemplo 2 
Uma barra de alumínio possui uma secção transversal quadrada com 
60 mm de lado e comprimento de 0,8 m. A carga axial aplicada na 
barra é de 30 kN. Determine o seu alongamento. Eal = 700
 MPa. 
 
 
 Força normal: 
 F = 30 kN = 30000 N 
 
 Comprimento inicial da barra: 
 l = 0,8 m = 800 mm 
 
 Área de secção quadrada: 
 A = a2 = 602 = 3600 mm2 
 
Alongamento 
∆l =
30000.800
3600.700
 
∆l = 9,52mm 
Exercícios 
OBS: 1 GPa = 1.000 MPa 
• 2) A peça de aço abaixo foi submetida ao ensaio de compressão e 
sofreu rupturas com a carga de 32 t. Calcular a tensão de ruptura e 
a compressão do material, sendo Eaço = 210 GPa. Considere a 
aceleração da gravidade g = 10 m/s² 
 
 
OBS: 
F = mg 
1 t = 1.000 kg 
1 GPa = 1.000 MPa (N/mm²) 
Seção 
transversal 
• 2) A peça de aço abaixo foi submetida ao ensaio de compressão e 
sofreu rupturas com a carga de 32 t. Calcular a tensão de ruptura e 
a compressão do material, sendo Eaço = 210 GPa. . Considere a 
aceleração da gravidade g = 10 m/s² 
 
 
m = 32 t = 32000 Kg 
F = m.g 
F = 32000 . 10 
F = 320000 N 
 
A = 20 . 40 
A = 800 mm² 
σ = 320000 / 800 
σ = 400 MPa 
σ = E.ε 
400 = 210000. ε 
ε = 0,0019 
ε = 0,19% 
A força é distribuída 
para os 4 pés. 
4) Calcular o encurtamento de um dos pés da mesa na figura 
abaixo. Considere os pés da mesa feito com aço ABNT 1020, o qual 
apresenta E = 200 GPa (KN / mm²) = 200.000 N/mm² 
12 t 
4 cm 5 cm 
Material = aço meio carbono 
Secção dos pés 
3) 
No dispositivo abaixo, calcular a tensão normal atuante no parafuso 
sabendo que que ele tem um diâmetro d = 2 cm 
m = 1000 Kg 
F = m.g 
F = 1000 . 10 
F = 10.000 N 
 
A = π.r² (r = d/2  r = 10 mm) 
A = 314 mm² 
σ = 10.000 / 314 
σ = 31,85 MPa (N/mm²) 
3) 
No dispositivo abaixo, calcular a tensão normal atuante no parafuso 
sabendo que que ele tem um diâmetro d = 2 cm 
m = 1000 Kg 
F = m.g 
F = 1000 . 10 
F = 10.000 N 
 
A = π.r² (r = d/2  r = 10 mm) 
A = 314 mm² 
σ = 10.000 / 314 
σ = 31,85 MPa (N/mm²) 
Ftotal = 120.000 N 
F1pé = Ftotal / 4 
F1pé = 120.000 / 4 
F1pé = 30.000 N 
 
A = π.25² - π.20² 
A = 706,5 mm² 
 
l0 = 80 cm = 800 mm 
3) 
𝐹
𝐴
= 𝐸.
∆𝑙
𝑙0
  
30.000
706,5
= 200.000
∆𝑙
800
  ∆𝒍 = 𝟎, 𝟏𝟕 𝒎𝒎 
No dispositivo abaixo, calcular a tensão normal atuante no parafuso 
sabendo que que ele tem um diâmetro d = 2 cm 
5) Um corpo de peso igual a 80 N é 
carregado conforme mostra a figura abaixo. 
Determine as tensões nas hastes AC e BC 
sabendo-se que os diâmetros das hastes são 
iguais a 50 mm. 
80 N 
15° 30° 
A 
B 
C 
Resposta: 
σAC = 0,056 MPa 
σBC = 0,050 MPa 
 
 
6) Considere a curva tensão-deformação mostrada. Uma peça 
feita deste material tem originalmente 300 mm de comprimento 
e é tracionada com uma tensão de 80 MPa. Qual é o 
alongamento da peça resultante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
Resposta 
Δl = 0,24 mm 
Exercício 
7) Uma barra de diâmetro D0 = 25 mm e 
comprimento inicial L0 = 250 mm está submetida a 
um ensaio de tração. Sabendo que uma força de 165 
kN alonga seu comprimento em 1,20 mm, calcule o 
módulo de elasticidade longitudinal (em MPa) do 
material e a diminuição do diâmetro da barra (em 
mm). Dado: coeficiente de Poisson ( ) = 0,346. 
Resposta: 
E = 70.028,2 MPa 
ΔD = - 0,041 mm 
8) A barra tem 20 mm de diâmetro e é feita de aço, 
cujo módulo de elasticidade é igual a 200 GPa. 
Calcule o deslocamento da extremidade C em 
relação à extremidade A. 
Exercício 
Resposta 
AC = -0,318 mm 
9) A barra é feita de aço A-36 (módulo de 
elasticidade igual a 200 GPa) e tem área da seção 
transversal de 50 mm2. Calcule o deslocamento do 
ponto D em relação ao ponto A. 
Exercício 
Resposta 
AD = 0,85 mm 
10) A barra de cobre é sujeita aos carregamentos 
axiais mostrados. Os diâmetros de cada segmento 
são dAB = 3 in, dBC = 2 in, dCD = 1 in. O módulo de 
elasticidade do cobre é 18000 ksi. Calcule o 
deslocamento do ponto D em relação ao ponto A. 
 
Dado: 1 kip/in2 = 1 ksi 
 
Exercício 
Resposta 
AD = 0,766.10
-3 in 
Exercício 
Resposta 
AD = 3,55 mm 
11) A barra de aço (módulode 
elasticidade 200 GPa) é sujeito 
aos carregamentos mostrados. 
Se a seção transversal tem 
área de 80 mm2, qual é o 
deslocamento do ponto A em 
relação ao ponto D? 
Exercício 
12) A viga rígida AB está apoiada em duas colunas curtas 
como apresentado abaixo. A coluna AC é de aço e tem 
diâmetro de 20 mm, e a coluna BD é de alumínio e tem 
diâmetro de 40 mm. Determine o deslocamento do ponto F 
na viga AB se a carga de 90 kN é aplicada sobre este ponto. 
Tome Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa 
Resposta: 
Deslocamento = 0,225 mm 
Exercício 
13) O conjunto abaixo consiste de um tubo de alumínio AB 
tendo uma área de seção transversal de 400 mm2. Uma haste 
de aço de diâmetro 10 mm é conectada ao tubo AB por uma 
arruela e uma porca em B. Se uma força de 80 kN é aplicada 
na haste, determine o deslocamento da extremidade C. Tome 
Eaço = 200 GPa e Eal= 70 GPa 
Resposta 
Deslocamento = 4,2 mm 
Exercício 
14) O conjunto abaixo consiste de duas barras rígidas 
originalmente horizontais. Elas são suportadas por duas 
barras de área 25 mm2 e E = 200 GPa. Se uma força vertical 
de 50 kN é aplicada na barra AB, determine o deslocamento 
em C, B e E. 
Resposta 
 
Deslocamentos 
 
C = 0,2 mm 
E = 0,04 mm 
B = 0,79 mm 
Carregamento axial 
Links para estudo: 
 
Teoria (tensão e deformação): 
https://www.youtube.com/watch?v=_TeHdm34Hh0 
Exercício (carregamento axial): 
https://www.youtube.com/watch?v=JjnLCjGZrn0 
Exercício (carregamento axial): 
https://www.youtube.com/watch?v=yK1w8kKnAvE 
Exercício (carregamento axial): 
https://www.youtube.com/watch?v=vHfIiEch7ts 
Exercício (carregamento axial): 
https://www.youtube.com/watch?v=LEpiRR9AXHU 
 
Obrigado 
rpprataviera@anhembi.br