Aulas T04 - Calculo de Poligonal - Prof. Luis Gomes

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p1 
 
TOPOGRAFIA (IV) 
 
POLIGONAIS 
 
No planejamento de um levantamento topográfico, deve‐se antes percorrer a área objetivando 
decidir pelo método ou conjunto deste, há ser empregado.  
 
Levantamentos Topográficos 
 
-  Métodos de Levantamentos Topográficos: 
  1. Irradiação; 
  2. Poligonal Fechada; 
  3. Poligonal Apoiada; 
  4. Poligonal Aberta; 
  5. Combinado. 
 
1. Irradiação: 
 
 
 
2.Fechada: 
 
 
 
3. Apoiada:  4. Aberta: 
A xA 
yA 
x
1
2 
3 
4 B 
6 
1 2 
3 
4 5 
A 
1 
2 
3 4
5
6
Ângulos 
Externos
Ângulos 
Internos
1 2 
3 
4 5 
6
Y 
A xA 
yA 
xB 
yB 
x 
Y 
1 
2 
3 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p2 
 
5. Combinado: 
 
 
 
Pontos da Poligonal: 
 
→ Poligonal Principal Fechada:  → Irradiados: 
     = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.  = 1a, 1b, 1c, 2a, 2b, 2c, 
→ Poligonal Secundária Apoiada:  3a, 3b, 3c, 3d, 4a, 4b, 5a, 
     = 8, 9 e 10.  6a, 7a, 7b, 7c, 7d, 8a, 8b, 
→ Poligonal Aberta:  9a, 9b, 9c,10a, 10b, 10c,  
           = 11 e 12.  12a e 12b 
 
→ Poligonal Principal ou Fechada: 
  ‐ O ultimo vértice coincide com o vértice inicial, formando um polígono. 
 
→ Poligonal Secundária Apoiada ou Enquadrada: 
‐ Tem origem num vértice de coordenadas conhecidas (podendo ser um vértice da  poligonal 
fechada) e finaliza num outro vértice de coordenadas também conhecidas (podendo ser um 
vértice desta mesma poligonal fechada). 
 
→ Poligonal Aberta: 
  ‐ O ultimo vértice não coincide com o vértice inicial. 
‐ É usada para amarrar os pontos que se encontram distantes dos vértices da a Poligonal 
Secundária e/ou da Poligonal Principal.  
 
 
 
 
 
 
 
2b 
3 
2c 
3a 
3b 
3d 
4
4a 
4b 
5 
5a 
6 
6a
7
7a
7c
7d 
8 8a
8b
9 
9a 9b 
9c
10 
10a
10b 10c
Rio 
do 
Peixe
Estrada 
1112
12a 
12b 
1 
1a 
1b 
1c 
2 
2a 
7b
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p3 
Levantamento Topográfico Planialtimétrico por Taqueometria 
 
→ Método de Levantamento: Conjugado. 
→ Poligonal Principal: Fechada por Caminhamento Horário.  
→ Leitura dos ângulos externos pelo método das direções. 
 
Cálculo do Fechamento Angular: 
 
Est  P V  Ângulo Horizontal Azimute
Lido Calculado Erro Compensado
°  ‘ “  °  ‘ “ “ ° ‘ “  °  ‘ “
  D  0  00  00         
A    180  00  00         
  B  267  52  50  267  52 50  
    87  52  40  267  52 40    
        267  52 45 10 267 52 55  168  19 10
  A  101  10  20     
B    281  10  30     
  C  10  57  00  269  46 40  
    190  57  20  269  46 50    
        269  46 45 10 269 46 55  258  06 05
  B  259  25  30     
C    79  25  40     
  D  181  26  00  282  00 30  
    01  26  10  282  00 30    
        282  00 30 10 282 00 40  00  06 45
  C  35  50  40     
D    215  50  30     
  A  296  10  00  260  19 20  
    116  09  50  260  19 20    
        260  19 20 10 260 19 30  80  26 15
∑Ahext  lidos           1079  59 20 1080 00 00       
∑Ahext          1080  00 00 1080 00 00     
Erro  angular        00  00 40 00 00 00     
 
Somatório dos Ângulos Externos da Poligonal (∑AHex): 
∑AHex = 180° x n° + 2 
∑AHex = 180° x 4 + 2 
∑AHex = 180° x 6 
∑AHex = 1080° 
 
Somatório dos Ângulos Externos Calculados (∑AHexc): 
∑AHexc = 1079° 59’ 20” 
Erro Angular Cometido (Eac): 
Eac = 1080° ‐ 1079° 59’ 20” = 40” 
 
Erro Angular Permitido (Eap): 
Eap = 2 x 5” x 
Eap = 2 x 5” x  (4)½ = 20” 
 
→ 5” é a precisão angular do teodolito utilizado. 
→ n é o número de estações da poligonal principal. 
n
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p4 
 
Distribuição do Eac por Vértice (Eacv): 
 
Eacv = 40”/4 = 10” 
 
→ 10” é valor angular que deve ser somado ao ângulo lido em cada vértice da poligonal principal 
para obter o ∑AHex = ∑AHexc = 1080°. 
. 
 
TRANSPORTE DE AZIMUTE 
 
No transporte dos azimutes a partir do primeiro azimute obtido em campo (AzAB = 168° 19’ 10”), para 
os demais alinhamentos, aplica‐se a seguinte equação: 
 
Azn = Azn‐1 + AHn ± 180° 
 
Onde: 
Azn = Azimute que se deseja conhecer; 
Azn‐1 = Azimute do alinhamento anterior ao azimute que se deseja conhecer; 
AHn = Ângulo Horizontal do Vértice de origem do alinhamento cujo azimute se deseja 
conhecer. 
 
Observação: 
Quando o resultado da soma (Azn‐1 + AHn) for: 
→ Maior que 180°, subtrai‐se 180°. 
→ Menor que 180°, soma‐se 180°. 
→ Maior ou igual a 540°, subtrai‐se 540°. 
 
Exemplo de transporte de azimute: 
 
AzBC = (168° 19’ 10” +  269° 46’ 55”) – 180° = 258° 06’ 05” 
AzCD = (258° 06’ 05” +  282° 00’ 40”) – 540° = 000° 06’ 45” 
AzDA =  (00° 06’ 45” +  260° 19’ 30”) – 180° = 080° 26’ 15” 
AzAB =  (80° 26’ 15” +  267° 52’ 55”) – 180° = 168° 19’ 10” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p5 
Cálculo das distâncias horizontais e das cotas da Poligonal Fechada: 
Est  P V 
Ângulo Vertical 
Leitura da Mira  Dh  Dh Média (m)
Dn 
(m) 
Dn 
Média (m)  Correção
Dn 
Corrigida (m) 
Cota 
(m) °  ‘  “ 
Cota 
10m 
D 
92  19  00 
FS  1,909 
81,8   ‐3,28 
‐3,18       
FM  1,500 
FI  1,091 
A   
267 
92 
41 
18 
10 
50 
FS  1,910 
82,0
81,9 
‐3,28   
     
FM  1,500 
FI  1,090 
Ai = 
1,53  B 
91  32  00 
FS  1,932 
86,4   ‐2,28 
‐2,26  +0,03  ‐2,23  7,77 
FM  1,500 
FI  1,067 
   
268 
91 
27 
32 
50 
10 
FS  1,931 
86,2
86,2 
‐2,28   
     
FM  1,500 
FI  1,068 
  A 
88  32  40 
FS  1,932 
86,2   2,25 
2,26       
FM  1,500 
FI  1,069 
B   
271 
88 
27 
32 
30 
30 
FS  1,933 
86,2
86,2 
2,25   
     
FM  1,500 
FI  1,070 
Ai = 
1,56  C 
91  26  00 
FS  2,002 
100,2   ‐2,45 
‐2,71  +0,03  ‐2,68  5,09 
FM  1,500 
FI  0,999 
   
268 
91 
34 
45 
20 
40 
FS  2,001 
100,2
100,3 
‐3,03   
     
FM  1,500 
FI  0,998 
   B 
88  29  40 
FS  2,002 
100,4
  
2,69 
2,71       
FM  1,500 
FI  0,997 
C    
271 
88 
30 
29 
30 
30 
FS  2,002 
100,3
 100,3 
2,69 
  
     
FM  1,500 
FI  0,998 
 Ai = 
1,55  D 
88  58  20 
FS  1,957 
91,4
  
1,69 
1,66  +0,03  1,69  6,78 
FM  1,500 
FI  1,043 
     
271 
88 
01 
58 
30 
30 
FS  1,958 
91,6
 91,4 
1,69 
  
     
FM  1,500 
FI  1,042 
   C 
91  04  20 
FS  1,957 
91,4
  
‐1,63 
‐1,66       
FM  1,500 
FI  1,043 
D    
268 
91 
55 
04 
50 
10 
FS  1,957 
91,4
 91,4 
‐1,63 
  
     
FM  1,500 
FI  1,043 
Ai = 
1,66
   A 
87  54  20 
FS  1,910 
81,9
  
3,08 
3,18  +0,04  3,22  10,00 
FM  1,500 
FI  1,090 
     
272 
87 
05 
54 
40 
20 
FS  1,911 
82,00
 81,9 
3,08 
  
     
FM  1,500FI  1,090 
 
∑Dn = (‐2,25) + (‐2,71) + (1,66) + (3,18) = ‐ 0,13m = erro altimetrico 
Distribuição do erro altimétrico: 0,13/4 = 0,0325m  
CotaB = CotaA + Dncorrigida (AB) 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p6 
Coordenadas Polares 
 
‐ São os elementos distância (DhAB) e azimute (AzAB) de uma direção.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenadas Retangulares ou Coordenadas Parciais 
 
‐  São  as  projeções  lineares  projetadas  sobre  o  eixo  das  abscissas  (eixo  X)  e  sobre  o  eixo  das 
ordenadas (eixo Y) do sistema plano cartesiano.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação de Coordenadas Polares em Coordenadas Retangulares  
 
‐ Transformação dos elementos distância (DhAB) e azimute (AzAB) de uma direção em projeção linear 
ΔxAB  projetada  sobre  o  eixo  das  abscissas  e  projeção  linear  ΔyAB  projetada  sobre  o  eixo  das 
ordenadas. 
Y 
A 
B 
 DhAB 
AzAB 
X 
∆yAB 
∆xAB 
senAzAB = ∆xAB / DhAB 
 
∆xAB = senAzAB x DhAB 
cosAzAB = ∆yAB / DhAB 
 
∆yAB = cosAzAB x DhAB 
+Y 
+ 
+ ∆yAB 
+ ∆xAB 
- ∆yAB 
+ ∆xAB 
+ ∆yAB
- ∆xAB
- ∆yAB
- ∆xAB
- 
- Y 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p7 
Cálculo das Coordenadas Retangulares, do Erro Linear Cometido e das Coordenadas Absolutas 
 
Lados  Azimute  Dh (m) 
Δx  Correções  Δx Corrigido  Δy  Correções  Δy Corrigido 
Coordenadas 
Absolutas 
°  ‘  “  +  ‐  +  ‐  +  ‐  +  ‐  X  Y 
AB  168  19  10  86,2  17,45  ‐‐‐‐‐‐‐  ‐ 0,06  17,39  ‐‐‐‐‐‐‐  ‐‐‐‐‐‐‐  84,41  +0,02  ‐‐‐‐‐‐‐  84,39  1.017,39 4.915,61 
BC  258  06  05  100,3  ‐‐‐‐‐‐  98,14  ‐ 0,07  ‐‐‐‐‐‐  98,21  ‐‐‐‐‐‐‐  20,68  + 0,02  ‐‐‐‐‐‐‐  20,66  919,18  4.894,95 
CD  00  06  45  91,4  0,18  ‐‐‐‐‐‐  ‐ 0,06  0,12  ‐‐‐‐‐‐  91,40  ‐‐‐‐‐‐‐  + 0,02  91,42  ‐‐‐‐‐‐‐‐  919,30  4.986,37 
DA  80  26  15  81,9  80,76  ‐‐‐‐‐‐  ‐ 0,06  80,70  ‐‐‐‐‐‐‐  13,61  ‐‐‐‐‐‐‐  + 0,02  13,63  ‐‐‐‐‐‐‐‐  1.000,0  5.000,0 
∑    359,8  98,39  98,14  ‐0,25  98,21  98,21  105,01  105,09  + 0,08  105,05  105,05     
 
Cálculo das Coordenadas Retangulares  Cálculo do Erro Linear Cometido  Correção do Erro Linear (Cel) 
     
ΔxAB = sen 168°19’10” x 86,2 = 17,45m  Erro no eixo X = 98,39 + (– 98,14)  CelΔxAB = (0,25 / 359,8) x 86,2 = ‐ 0,06m 
ΔyAB = cos 168°19’10” x 86,2 = ‐ 84,41m  Erro no eixo X = 0,25m  CelΔyAB = (0,08 / 359,8) x 86,2= + 0,02m 
     
ΔxBC = sen 258°06’05” x 100,3= ‐ 98,14m  Erro no eixo Y = 105,01 + (‐ 105,09)  CelΔxBC = (0,25 / 359,8) x 100,3 = ‐ 0,07m 
ΔyBC = cos 258°06’05” x 100,3 = ‐ 20,68m  Erro no eixo Y = ‐ 0,08m  CelΔyBC = (0,08 / 359,8) x 100,3 = + 0,02m 
     
ΔxCD = sen 00°06’45” x 91,4 = 0,18m  Erro Linear Cometido (Elc):  CelΔxCD = (0,25 / 359,8) x 91,4 = ‐ 0,06m 
ΔyCD = cos 00°06’45” x 91,4 = 91,40m    CelΔyCD = (0,08 / 359,8) x 91,4 = + 0,02m 
     
ΔxAB = sen 80°26’15” x 81,9 = 80,76m  Elc = [(‐0,25)² + (‐0,08)²]½  CelΔxDA = (0,25 / 359,6) x 81,9 = ‐ 0,06m 
ΔyAB = cos 80°26’15” x 81,9 = 13,61m  Elc = 0,26m  CelΔyDA = (0,08 / 359,6) x 81,9 = + 0,02m 
 
Cálculo das Coordenadas Absolutas   
XA = 1.000,0 e YA = 5.000,0   
   
XB = XA + ΔxcAB → XB = 1.000,0 + 17,39 = 1.017,39m  XD = XC + ΔxcCD → XD = 919,18 + (0,12) = 919,30m 
YB = YA + ΔycAB → YB = 5.000,0 + (‐ 84,39) = 4.915,61m  YD = YC + ΔycCD → YD = 4.894,95 + (91,42) = 4.986,37m 
   
XC = XB + ΔxcBC → XC = 1.017,39 + (‐98,21) = 919,18m  XA = XD + ΔxcDA → XA = 919,30 + (80,70) = 1.000,00m 
YC = YB + ΔycBC → YC = 4.915,61 + (‐20,66) = 4.894,95m  YA = YD + ΔycDA → YA = 4.986,37 + (13,63) = 5.000,00m 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p8 
 
Erro Linear Permitido: 
 
Adotando‐se a precisão de: 
‐ 1/500 para o levantamento da poligonal de apoio por taqueometria. 
‐ 1/1.000 para o levantamento da poligonal de apoio por trena. 
‐ 1/10.000 para o levantamento da poligonal de apoio por MED. 
 
Em  nosso  caso  a,  em  que  o  levantamento  da  poligonal  de  apoio  foi  realizado  empregando  se 
taqueometria, permite‐se  erro de 1m em  cada 500m medidos, ou  seja, pode‐se errar  até 2m em 
1.000m medidos. 
 
→ neste  levantamento o erro  linear foi de 0,34m em 359,6m medidos,  logo o erro permiƟdo par o 
perímetro de 359,6m será de: 
   
      X ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 359,6m     
      1m ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 500m   
    
      X = (359,6 / 500) = 0,72m   
 
→ o erro linear permiƟdo para um perímetro de 359,6m poderá ser menor ou igual 0,72m. 
→ tem‐se que o erro linear cometido de 0,34m foi inferior ao erro linear permitido de 0,72m. 
→ conclui‐se que pode ser dado prosseguimento a correção do erro  linear, em caso contrário (erro 
linear > 0,72m) seria necessário retornar ao campo a fim de conferir as medidas lineares da poligonal 
principal.  
 
Precisão Linear do Levantamento (PLL): 
 
→ Indica qual deverá ser a extensão do perímetro da poligonal para se obter o erro de 1 metro. 
 
0,34m ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 359,6m 
   1m ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ PLL 
 
PLL = (359,6m / 0,34m) = 1.057,65 
 
→ a notação da PLL é dada na  forma de escala: 1/1.058, ou  seja, 1m em cada 1.058m de 
perímetro levantado. 
 
Coordenadas Absolutas ou Coordenadas Totais: 
 
São  coordenadas  arbitradas  ou  determinadas  topograficamente  (Ex.  coordenadas  UTM  pelo 
emprego  de  GPS)  para  um  dos  pontos  da  poligonal  principal,  de  modo  que,  os  valores  das 
coordenadas  calculadas  a  partir  deste  para  os  demais  pontos  do  levantamento  sejam  valores 
positivos. 
  
Exemplo do Transporte dos Azimutes das irradiações: 
 
AzA1 =  (80° 26’ 15” +  87° 55’ 00”) + 180° = 348° 21’ 15” 
AzB3 = (168° 19’ 10” +  140° 12’ 20”) – 180° = 128° 31’ 30” 
AzC5 = (258° 06’ 05” +  228° 37’ 00”) – 180° = 306° 43’ 05” 
AzD7 =  (00° 06’ 45” +  147° 10’ 10”) + 180° = 327° 16’ 55” 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p9 
Cálculo das Coordenadas Absolutas das Irradiações: 
 
Est  PV 
Angulo Horizontal 
Dh 
Azimute  Δx  Δy 
Lido  Calculado 
°  ‘  “  °  ‘  “  °  ‘  “  +  ‐  +  ‐ 
A 
D 
0  00  00       
81,9               
180  00  00       
B 
267  52  50       
86,3  168  19  10         
87  52  40       
1 
Limite 
87  55  00  87  55  00 
44,93               
267  55  10       
2 
Arvore 
00  06  00  00  06  00   
29,10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 180  06  00       
B 
 
A 
101  10  20       
86,3               
281  10  30       
C 
10  57  00       
100,3  258  06  05         
190  57  20       
3 
Limite 
241  22  40  140  12  20 
11,53  128  31  30         
61  22  30       
4 
Poste 
51  20  10  310  09  50 
31,72               
231  20  00       
C 
 
B 
259  25  30       
100,3               
79  25  40       
D 
181  26  00       
91,5  00  06  45         
01  26  10       
5 
Limite 
128  02  30  228  37  00 
16,72               
308  02  30       
6 
Poste 
197  43  50  298  18  20 
35,54               
17  43  40       
D 
C 
35  50  40       
91,5               
215  50  30       
A 
296  10  00       
81,9  80  26  15         
116  09  50       
7 Limite 
183  00  50  147  10  10 
17,72               
0300  40       
8 
Limite 
198  25  50  162  35  10 
23,25               
18  26  00       
9 
Limite 
209  03  10  173  12  30 
25,78               
29  03  00       
10 
Casa 
316  00  50  280  10  10 
42,30               
136  00  40       
11 
Casa 
317  16  10  281  25  30 
51,20               
137  16  00       
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p10 
Calculo das Coordenadas Absolutas 
 
Est  PV  Coordenadas Absolutas 
X  Y 
A 
D  919,30  4.986,37 
B  1.017,41  4.915,51 
1 
Limite     
2 
Arvore 
 
 
 
 
B 
 
A  1.000,0  5.000,0 
C  919,19  4.894,85 
3 
Limite     
4 
Poste     
C 
 
B  1.017,41  4.915,51 
D  919,30  4.986,37 
5 
Limite     
6 
Poste     
D 
C  919,19  4.894,85 
A  1.000,0  5.000,0 
7 Limite     
8 
Limite     
9 
Limite     
10 
Casa     
11 
Casa     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p11 
 
CÁLCULO DE ÁREA 
 
Determinação da Equação de GAUSS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x
A 
B 
C
XA 
XC 
XB 
YA 
YC
YB 
A’ 
C’ 
B’ 
S3 = A’ A B B’ A’ 
S1 = A’ A C C’ A’ 
S2 = C’ C B B’ C’ 
SABC = S1 + S2 – S3 
 
S1 = (XC + XA) x (YA – YC) 
 2 
 
S2 = (XC + XB) x (YC – YB) 
 2 
 
S3 = (XA + XB) x (YA – YB) 
 2 
 
SABC = (XC + XA) x (YA – YC) + (XC + XB) x (YC – YB) - (XA + XB) x (YA – YB) 
 2 2 2 
 
SABC = ½ (XC + XA) x (YA – YC) + (XC + XB) x (YC – YB) - (XA + XB) x (YA – YB) 
 
 
SABC = ½ [(XC YA – XC YC + XA YA – XA YC) + (XC YC – XC YB + XB YC – XB YB) - (XA YA – XA YB + XB YA – XB YB)] 
 
SABC = ½ [(XC YA – XC YC + XA YA – XA YC) + (XC YC – XC YB + XB YC – XB YB) - (XA YA – XA YB + XB YA – XB YB)] 
 
SABC = ½ [XC YA – XC YC + XA YA – XA YC + XC YC – XC YB + XB YC – XB YB - XA YA + XA YB - XB YA + XB YB] 
 
SABC = ½ [XC YA– XA YC – XC YB + XB YC + XA YB - XB YA ] 
 
SABC = ½ [( XA YB – XA YC ) + ( XB YC - XB YA ) + (XC YA – XC YB )] 
 
SABC = ½ [ XA ( YB – YC ) + XB ( YC - YA ) + XC ( YA – YB )] 
 
SABC = ½ ∑ [Xn (Yn+1 – Yn-1)] 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p12 
Cálculo das Diferença de Nível e das Cotas dos Pontos Irradiados 
Est  P V 
Ângulo 
Vertical  Leitura da 
Mira 
Distância 
Reduzida 
(m) 
Diferença de 
Nível 
(m)          
Cota 
(m)          
°  ‘  “ 
A 
1  88  50  40 
FS  1,725 
                 FM  1,500 
FI  1,275 
    
2  92  48  50 
FS  1,646 
 
 
 FM  1,500 
FI  1,354 
B 
3  91  43  30 
FS  1,558 
                 FM  1,500 
FI  1,442 
 
4  89  23  10 
FS  1,659 
     FM  1,500 
FI  1,341 
    
C 
5  92  31  50 
FS  1,584 
            FM  1,500 
FI  1,416 
 
6  88  51  10 
FS  1,678 
     FM  1,500 
FI  1,322 
 
7  92  44  10 
FS  1,589 
                 FM  1,500 
FI  1,411 
D   
8  91  00  10 
FS  1,616 
     FM  1,500 
FI  1,384 
9  88  51  20 
FS  1,629 
     FM  1,500 
FI  1,371 
 10  88  32  00 
FS  1,712 
     FM  1,500 
FI  1,288 
11  88  47  20 
FS  1,756 
     FM  1,500 
FI  1,244 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                      04/07/2011        p13 
Cálculo da Poligonal Enquadrada 
 
Dados Conhecidos: Estação de saída, estação de chegada, ré de saída e vante de chegada. 
 
Ré 
Est  P V 
Ângulo 
horizontal lido 
Distância 
Reduzida 
 (m) 
Azimute 
Calculado    Correção
Azimute 
Corrigido  Δx  Correção
Δx Corrigido Δy 
Correção
Δy Corrigido Coordenadas Absolutas  
  °  ‘  “  °  ‘  “  °  ‘  “  +  ‐  +  ‐  +  ‐  +  ‐  X  Y 
D  A  A1  313 03  40  43,2                                       
A  A1  A2  233 09  30  29,9                                       
A1  A2  A3  88 55  40  41,0         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A2  A3  C  242 43  00  41,9                                       
A3  C  B  22 50  40  100,4       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑                                                 
 
Erro Angular (Ea) = Az Vante – Az Calculado  Precisão = ∑D / Elc  Cálculo das Coordenadas Absolutas 
Ea = AzCB – AzCB Calculado     
  Correção do Erro Linear (Cel)  XA = 1.000,0 e YA = 5.000,0 
Correção Angular por Vértice = Ea/n    XA1 = XA + ΔxcAA1 
  ‐ Correções são acumuladas.  CelΔxAA1 = (Elcx / ∑D) x Dh  YA1 = YA + ΔycAA1 
  CelΔyAA1 = (Elcy / ∑D) x Dh   
Erro Linear Cometido (Elc) = [(Δx)² + ( Δy)²]½
   Δx = ∑Δx (ObƟdo na poligonal principal: XB ‐ XA) ‐ ∑´Δx (Obtido no cálculo da poligonal apoiada: X´B – XA) 
             ∑Δx = X (Ponto Vante de chegada) – X (Estação de saída) 
             ∑´Δx = X (Ponto Vante de chegada calculado na poligonal apoiada) – X (Estação de saída) 
 
   Δy = ∑Δy (ObƟdo na poligonal principal: YB ‐ YA) ‐ ∑´Δy (Obtido no cálculo da poligonal apoiada: Y´B – YA) 
             ∑Δy = Y (Ponto Vante de chegada) – Y (Estação de saída) 
             ∑´Δy = Y (Ponto Vante de chegada calculado na poligonal apoiada) – Y (Estação de saída)