4 - UNIDADE 1 - TEORIA DE ERROS

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UNIDADE II – TEORIA DE ERROS
1. OBJETIVOS:
		Operar com algarismos significativos.
		Calcular desvio padrão do valor médio de medidas.
		Operar com grandezas afetadas de desvios.
2. INTRODUÇÃO
	A Física é dita uma ciência exata. Esta é uma das grandes ilusões dos não Físicos. Não existe uma única medida em toda a Física que esteja isenta de algum erro. Por mais sofisticada que seja a aparelhagem utilizada os erros são uma presença constante e o bom experimentador deve aprender a conviver com eles e minimizar os seus efeitos.
	Os erros são classificados em três grandes grupos: grosseiros, sistemáticos e aleatórios.
a)	Erros grosseiros: são aqueles que ocorrem por inabilidade do experimentador e são 			 provenientes de:
enganos, por exemplo, na leitura de medidores ou na contagem de número de oscilações de um pêndulo,
erros na computação devido a falta de precisão como, por exemplo, no uso de uma calculadora para processar dados com algarismos duvidosos.
devidos a uma técnica deficiente.
	Esses erros são de fácil eliminação e basta apenas atenção na hora de realizar o experimento.
b) Erros sistemáticos: ocorrem sempre do mesmo jeito e são provenientes de:
erros de calibração de instrumentos;
erros do observador como, por exemplo, o erro devido à paralaxe (leituras que dependem da posição do observador);
erros devido a influência de certos fatores que são desprezados, por exemplo, um instrumento usado a uma temperatura diferente daquela que foi feita a calibração, causaria um erro sistemático nas medidas se não fosse feita a correção apropriada.
	
	Os erros sistemáticos podem ser eliminados ou compensados, novamente aqui é a habilidade do experimentador que conta.
c) Erros aleatórios ou acidentais: quando em uma série de medidas ora obtemos um valor, ora outro de forma imprevisível. Este tipo de erro com o qual é mais difícil lidar e com ele podemos apenas obter uma minimização de seus efeitos. Ele nunca é totalmente eliminado. Geralmente são provenientes de:
Erros de julgamento como, por exemplo, na estimativa da fração da menor divisão de uma escala;
Erros devido a condições que flutuam como, por exemplo, variações na rede de energia elétrica;
Erros devido à natureza da grandeza a ser medida como, por exemplo, variações verificadas no comprimento de um objeto devido a falta de paralelismo e/ou polimento das faces. 
 
	De agora em diante nos ocuparemos especificamente deste tipo de erro.
	Ao fazermos a medida de uma grandeza física, o valor encontrado não coincide com o valor real da mesma. Quando este resultado vai ser aplicado, é necessário saber com que certeza a grandeza física é representada pelo número obtido. Deve-se, então, poder expressar a incerteza de uma medida em termos que sejam compreensíveis a outras pessoas e para isto usa-se uma linguagem padronizada e métodos adequados para combinar as incertezas dos diversos fatores que influenciam no resultado. Uma forma de minimizar os erros aleatórios é o uso da estatística inferencial.
	Valor verdadeiro de uma grandeza - é o valor obtido utilizando-se técnicas, amostras e instrumentos perfeitos. Embora esse valor não possa ser conhecido na prática, com aperfeiçoamento podemos chegar muito perto dele, portanto, admitimos que ele exista.
	Erro de uma medida - é a diferença entre o valor obtido Vi nessa medida e o valor "verdadeiro" Vv da grandeza a ser medida.
		E = Vi - Vv 
	Valor médio (Vm) - é a média aritmética de uma série de medidas. Quando as incertezas são devido a erros acidentais, isto é, ao acaso, quanto maior for o número de medidas, mais preciso será o valor médio, isto é, mais próximo do valor verdadeiro.
		
	Desvio de uma medida (d) - é a diferença entre o valor médio Vm de diversas medidas e o valor Vi de cada medida.
		
		di = Vi - Vm
		
	Desvio médio (dm) - é a média aritmética dos desvios encontrados.
		
Observação: Às vezes, calcula-se o desvio absoluto médio, que é a média aritmética dos módulos dos desvios di. 
	Desvio padrão de uma medida ou desvio padrão (dp) - numa série de medidas é a raiz quadrada da razão entre a soma dos quadrados dos desvios e o número de medidas na série menos 1.
		
	Desvio padrão do valor médio ou desvio padrão da média (dpm) - de uma série de medidas é o desvio padrão de uma medida (dp) dividido pela raiz quadrada do número de medidas na série.
		
Este método de minimizar os erros pressupõe que os erros sistemáticos e grosseiros foram eliminados, pois ele minimiza apenas os erros aleatórios. Quando o desvio padrão resulta menor que a incerteza do instrumento utilizado nas medidas, adotaremos a incerteza do instrumento como o desvio do valor médio.
	Exemplo: Deseja-se conhecer o comprimento de uma haste, efetuando-se para isto, dez medidas obtendo-se os seguintes valores:
	i
	Vi (cm)
	1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
	15,01
15,08
15,06
15,09
15,00
15,07
15,02
14,98
15,00
15,00
	O valor médio é: 
	Para cada medida o desvio encontrado é:
	i
	
	i
	
	1
2
3
4
5
	0,021
0,049
0,029
0,059
0,031
	6
7
8
9
10
	0,039
0,011
0,051
0,031
0,031
	O desvio absoluto médio é: 
		
	O desvio padrão é: 
		
 	 
	O desvio padrão do valor médio é: 
				
	O resultado final é: 
		
	Isto significa que o valor mais provável do comprimento da haste é 15,03 cm, com uma grande possibilidade de estar no intervalo de (15,03 - 0,01) à (15,03 + 0,01)cm, ou seja de 15,02 à 15,04 cm.
	
Exatidão
A exatidão de uma experiência é a medida de quão próximo o resultado fica do valor verdadeiro. É uma medida de quanto o resultado é correto. Por exemplo, a diferença entre o valor fornecido por uma balança secundária e uma primária, dá a medida da exatidão, desde que se aceite o valor da balança primária como referência da verdade.
A exatidão geralmente depende da capacidade técnica de controlar ou compensar os erros sistemáticos, uma vez que existem erros que fazem os resultados diferirem dos valores verdadeiros como discrepâncias reprodutíveis. Esta tendência representa uma manifestação da causa do erro, um caminho a ser pesquisado no sentido de sua minimização ou eliminação. É importante observar que, o grande valor na pesquisa do erro não tem como objetivo o seu simples conhecimento, mas sim a consciência da limitação da verdade.
Precisão
É uma medida de quão exatamente o resultado é determinado, sem referência ao que o resultado significa. É uma medida de quão reprodutível é o resultado. Ela depende da capacidade de superar ou analisar os erros randômicos e varia com o número de repetições da medida.
Considerando a repetição de várias medidas, os resultados distribuem como uma distribuição normal, desde que os erros sejam provenientes de variáveis randômicas. Neste caso, a precisão da medida está associada ao desvio padrão e, a exatidão, ao quanto o resultado está afastado do valor verdadeiro. Assim uma grandeza física obtida experimentalmente pode ser precisa mas não exata ou vice-versa. Na figura abaixo, tem-se uma ilustração das várias alternativas entre precisão, exatidão e tendência. A tendência corresponde ao erro sistemático. Nesta figura, os raios dos círculos correspondem, por ex., a limites de exatidão “aceitos”, para o valor verdadeiro situado no centro.
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
	Quando se realiza uma medida ou se faz operações aritméticas com grandezas físicas, é importante representar os valores apenas com os algarismos significativos.
	Seja o segmento AB e a régua "centimetrada":
	
	Como a menor divisão da escala é  = 1 cm (  unidade)
	
	
	Se 3 experimentadores fossemanotar o comprimento de AB:
		1o) todos os três anotariam 6 unidades completas;
		2o) mas poderiam avaliar a "fração de  " de três modos diferentes:
		 fração de  = 0,6 
		 fração de  = 0,7 
		 fração de  = 0,8 
		E NENHUM DOS TRÊS ESTARIA ERRADO!
	Portanto, o comprimento de AB poderia ser anotado como sendo:
		
	Entretanto, se um quarto experimentador avaliasse a fração como sendo 0,65 cm, que sentido poderia-se atribuir a esse resultado?
	Medindo-se com régua "centimetrada" tem sentido avaliar décimos (isto é, milímetros), mas é discutível mesmo inaceitável avaliar centésimo ou frações menores.
	Em medições, é costume fazer estimativas com aproximadamente até décimos da menor divisão da escala do instrumento.
	
	A medida AB = 6,7 cm apresenta 2 dígitos ou algarismos, dos quais o dígito 7 resultou da fração avaliada da menor divisão da escala do instrumento. E é por este motivo que nela reside a dúvida ou incerteza da medida.
	Já o dígito 6 é isento de dúvidas, pois, como mostra o resultado, a divergência entre os três experimentos está na avaliação da fração da menor divisão da escala.
OS ALGARISMOS CORRETOS (não duvidosos) E TAMBÉM O ALGARISMO DUVIDOSO (um só) CONSTITUEM OS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE UMA MEDIDA.
Então:
na medida 6,6 cm tem-se 2 algarismos significativos
 " " 135 Km/h " 3 " " 
 " " 21,2 . 10-9 " 3 " "
	A quantidade de algarismos significativos de uma medida não se altera mediante uma transformação de unidades. Por exemplo:
	AB = 6,7 cm = 6,7 . 10-2 m = 0,067 m
	AB = 6,7 cm = 6,7 . 10 mm = 67 mm
apresentam dois dígitos significativos, dos quais o dígito 7 é o duvidoso.
OS DÍGITOS DE UM NÚMERO CONTAM-SE DA ESQUERDA PARA DIREITA, A PARTIR DO PRIMEIRO NÃO NULO, E SÃO SIGNIFICATIVOS TODOS CORRETOS MAIS O PRIMEIRO DUVIDOSO, E MAIS NENHUM.
	Em matemática trabalhamos com número exatos, assim tanto faz escrevermos 5,4 ou 5,40. Já em física, trabalhamos com números que geralmente decorrem de medidas de grandezas físicas, assim, 5,4 cm e 5,40 cm tem significados completamente diferentes no que diz respeito à precisão com que foram realizadas cada uma dessas medidas. No primeiro caso temos certeza apenas do valor do primeiro algarismo (5) estimamos o segundo (4) e desconhecemos completamente o valor do terceiro, portanto, não o escrevemos. No segundo caso, temos certeza quanto aos dois primeiros algarismos (5 e 4) e estimamos o terceiro como sendo zero.
	Assim, devemos ter cuidado ao efetuarmos mudanças de unidades. Por exemplo:
	3,50 m = 350 cm
	3,5 m é diferente de 350 cm (nestes casos o procedimento correto é lançarmos mão da 
notação em potência de dez e escrevemos: 3,5 m = 3,5 102 cm)
	Algumas poucas grandezas são conhecidas exatamente. Nestes casos podemos expressar seus valores com um número qualquer de algarismos significativos. Por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180,00000......o .
	Já estamos conscientes que o resultado de uma medida direta possui uma incerteza. Todavia, em nossos trabalhos, inúmeras vezes não podemos medir diretamente a grandeza de interesse. Somos então forçados a obter esse valor através de outros, ou seja, necessitamos realizar uma medida indireta. Por exemplo, ao determinar a velocidade média de um móvel, necessitamos medir o tempo e o espaço percorrido.
	Aqui se coloca o problema de como expressar o resultado desta medida indireta, pois as medidas diretas feitas apresentam sempre alguma incerteza.
	Uma maneira de determinar os algarismos significativos obtidos por operações aritméticas, é utilizar algumas regras elementares de operação com algarismos significativos.
	Na apresentação dessas regras, para fins didáticos, o primeiro algarismo duvidoso será assinalado com um traço sob ele.
1o) Arredondamento - Em qualquer cálculo, ao desprezar os algarismos que não são significativos, o último algarismo retido deverá ser acrescido de uma unidade se o primeiro algarismo desprezado for maior ou igual a 5, caso contrário é mantido o último algarismo. Por exemplo:
		23,4 = 23
		23,5 = 24
		23,6 = 24
2o) Operações com algarismos significativos - Em qualquer operação com algarismos significativos, opere primeiro e depois arredonde. Exemplos:
Adição: 		81,572
		 710
		 + 24,3
	 	 ----------------
		 815 ,872		e o resultado da adição é 816
Subtração:		3,14
		 - 1,6
		 ---------
			1,54		e o resultado da subtração é 1,5
Multiplicação:		5,74
		 x	8,7
		 -----------
			4018
		 4592+
		 -----------
		 49,938		e o resultado da multiplicação é 50
Divisão:	4,9
		---- = 1,6		4,9 0 | 3,14___
		3,14			1760	 1,5605
					 1900
		 			 01600
		 			 03000
			 	 	 179
		
Observe que nesta operação, mesmo que o primeiro dígito do dividendo (9) varie temos certeza que o valor do divisor cabe uma vez, logo o primeiro dígito do quociente é exato, o mesmo não ocorre com os próximos dígitos do quociente.
4. INCERTEZA
	Incerteza é a fração avaliada da menor divisão da escala do instrumento, isto é, no dígito duvidoso é que reside a incerteza da medida.
	
	De maneira geral, a amplitude da incerteza é fixada pelo operador. Se o operador adotar como incerteza:
ele deve expressar a medida AB da seguinte forma: 		AB = (6,8  0,1) cm
e com isto ele pode dizer que AB é confiável dentro dos limites 6,7 cm a 6,9 cm, mas que o valor mais provável da medida, na sua opinião, é AB = 6,8 cm.
	A incerteza que é fixada pelo operador depende de sua perícia, de sua segurança, da facilidade de leitura da escala e do próprio aparelho ou instrumento utilizado na medição.
	Apesar de não ser norma, costuma-se adotar como incerteza de uma medida, o valor da metade da menor divisão da escala do instrumento, a qual denominamos de incerteza absoluta . Por exemplo: se a medida está sendo efetuada com um cronômetro, cuja menor divisão  = 1 s , então a incerteza absoluta é t =  0,5 s .
	A incerteza relativa é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da grandeza, freqüentemente expressa em percentual % , por exemplo: AB = (6,8  0,1) cm
						
		incerteza absoluta =  0,1 cm
		incerteza relativa =  0,1/6,8 =  0,015 
		incerteza relativa percentual (AB) % =  (0,1/6,8). 100% = 1,5%
	Poderíamos dizer que quanto menor a incerteza relativa maior a qualidade da medida.
	Quando o valor de uma grandeza é obtido a partir de uma medida única, costuma-se expressá-lo com a respectiva incerteza absoluta ou relativa.
	Como ilustração, faça as leituras das correntes indicadas nos painéis do miliamperímetro representados abaixo e identifique qual das leituras tem melhor qualidade.
	
 
 IA = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 		 IB = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 Incerteza absoluta = . . . . . . . . . 		 Incerteza absoluta = . . . . . . . . . .
 Incerteza relativa = . . . . . . . . . .			 Incerteza relativa = . . . . . . . . . . . 
A medida de melhor qualidade é a . . . . . . . . . . . . .�
5. PROPAGAÇÃO DE ERROS
	Na prática, muitas vezes, se apresenta o caso da determinação de uma grandeza física efetuada a partir do cálculo, com valores obtidos na medida direta das grandezas que figuram na "lei" representativa do fenômeno considerado.
	A determinação indireta do desvio ou da incerteza pressupõe que a grandeza a ser medida seja uma função V = V(x,y) de outrasgrandezas x e y , independentes entre si e cujos valores provém todos ou em parte de observações diretas.
	Surge neste caso o problema de se conhecer o desvio padrão ou incerteza que afeta V devido aos desvios padrão dos valores médios resultantes das medidas de x e y ou de uma única medida.
Daremos a seguir algumas regras práticas para calcular a propagação dos desvios padrão ou incertezas em operações com medidas.
Supondo duas medidas x e y :
		 
- Adição e subtração: somam-se os desvios absolutos das medidas
		R = x  y 		dpmR = { (dpmx )2 + (dpmy )2}1/2			
- Outras operações: somam-se os desvios relativos percentuais.
	Exemplos: 
a) Multiplicação/ divisão: 
		R = x . y dpmR % = { (dpmx %)2 + (dpmy %)2 }1/2 
 	
				 dpmR = (dpmR %). R/100 ou 
	 _ _ _
	 dpmR = R{ (dpmx/ x )2 + (dpmy/ y )2 }1/2
		b) Operações envolvendo potência: 
 1) R = xn 
		 R = xn dpmR % = |n| . dpmx % 
 
					 dpmR = (dpmR %). R/100	ou
 _ _
 dpmR = R |n| ( dpmx/ x ) 	
		
		c) R = sen (  dpm)
		 R = sen( ) 	 dpmR = |cos  | dpm ((/180)
 ou dpmR = |derivada| dpm ((/180) 
		d) R = log​a x 		 dpmR = (1 / ln a ) . dpmx % ou
 _
 dpmR = (1 / ln a ) . ( dpmx/ x ) (100) 
6. QUESTIONÁRIO
1. Qual a diferença entre o valor verdadeiro e o valor médio de uma grandeza? 
2. A tabela abaixo apresenta vinte medidas do volume de um tanque. 
	Medida (i)
	Volume (Vi ) (cm3)
	Desvios (di) (cm3)
	desvios2 (di2 ) (cm3)2
	1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
	18,46
18,55
18,47
18,48
18,62
18,47
18,16
18,42
18,55
18,47
18,29
18,12
18,47
18,18
18,46
18,75
18,51
18,87
18,52
18,48
	
	
	n = 20
	 Vi = 
	 di =
	 di2 =
	
Pede-se: (OBS: Todos os cálculos e equações usadas devem ser apresentados).
		a) Completar a tabela.
		b) Qual o valor médio destas medidas?
		c) Qual o desvio médio?
		d) Qual o desvio padrão?
		e) Qual o desvio padrão da média?
		f) Escreva o valor esperado do volume do tanque (V = Vm ± dpm ).
		
3. Qual o número de algarismos significativos dos seguintes valores:
	a) 485,05 m
	b) 0,0065 kg
	c) 53000 cm
	d) 2,85 103 m
e) 60 10-4 kg
4. Faça as mudanças de unidades apresentando os cálculos e escreva em notação científica (explicite o fator de correção utilizado). Expresse os resultados cm os algarismos significativos de cada medida.
	a) 20,0 m = . . . . . . . cm
	b) 44,5 103 g = . . . . . . . kg
	c) 0,00680 m = . . . . . . .mm
	d) 1000 litros = . . . . . . m3
	e) 20 mL = . . . . . . . . m3
5. Faça as seguintes operações apresentando os cálculos e arredondamentos e expresse o resultado apenas com os algarismos significativos:
 	a) 356,0 mm + 42,405 mm + 0,84 mm
b) 52628 cm + 137 10-3 m + 1,314 10-2 m + 273 m
c) 98,023 N - 0,0748 N
d) 25,70 g + 1,29 10-5 kg	 
e) 0,636 103 g + 12,85 g
 
6. Calcule o volume de um tanque (em forma de paralelepípedo) e expresse o resultado apenas com os algarismos significativos. As dimensões internas são:
 78,5 cm x 35,2 cm x 20, 5 cm
7. A resistência de um trecho de um circuito elétrico formado por resistores em paralelo é dada pela expressão R = R1 . R2 /(R1 + R2). Calcule R se R1 = 17 103 Ohms e R2 = 58,0 Ohms.Usando seus algarismos significativos.	
8. Um carro percorre uma distância de 80,0 km em 40,0 minutos. Determine sua velocidade média, em km/h, usando somente algarismos significativos.
PARA TODOS OS EXERCÍCOS ABAIXO, USE A TEORIA DE PROPAGAÇÃO DE ERROS
9. Um copo e seu conteúdo pesam (640,4  0,6) gf. O copo sozinho pesa (148,0  0,6) gf. Qual o peso do conteúdo? Qual é o desvio relativo percentual do conteúdo?
10. O raio de uma esfera de metal mede (4,15  0,05) cm. Determine o seu volume com o respectivo erro (V = Vm ± dpm ). Qual é o desvio relativo percentual do volume?
11. Se os valores das resistências da questão (7) estão afetados de um desvio padrão relativo de 5% , qual o desvio padrão da resistência R?
12. O valor de um ângulo obtido de uma série de medidas é (40 (, qual o seno deste ângulo?
13. Dados A = (7,00 ± 0,09) m; B = (7,00 ± 0,09) m e C= (2,00 ± 0,06) m. 
Calcular: a) A+B; b) A/B; c) A.B.C.
14. Um cubo tem aresta l = (0,450 ± 0,005) m. Calcule o volume do cubo (V = Vm ± dpm ).	
L
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A
B
50
100
0
A
50
100
0
A
R = R  dpmR
R = R  dpmR
R = R  dpmR
R = R  dpmR
tendencioso
não tendencioso
preciso
preciso
impreciso
impreciso
exato
exato
inexato
inexato
�
_19111560.doc
AB = 6,8 cm
neste dígito tem-se uma incerteza.
_18780680.doc
AB = 6 + fração de

fração de 
6 unidades completas
portanto, exato.
fração de não pode se medida,
mas pode ser avaliada ou estimada
pelo experimentador dentro de seus 
limites de percepção.
