6 - UNIDADE 3 - TABELAS E GRaFICOS LINEARES

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UNIDADE VI - CONSTRUÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS
1. OBJETIVOS
	Construção de tabelas.
	Construção de gráficos em papel milimetrado.
	
2. MATERIAL
	Papel milimetrado e régua.
3. INTRODUÇÃO TEÓRICA
	Um mesmo fato ou fenômeno físico pode ser descrito através de diferentes linguagens. E quase sempre essas linguagens são usadas simultaneamente. Na Física, como quase em todas ciências, são usadas quatro linguagens que se vão alternando conforme as necessidades, pois cada uma delas possui algumas vantagens próprias.
	Para que você perceba melhor, vamos dar um exemplo em que um mesmo fato científico é transmitido nas quatro linguagens. O exemplo refere-se a um fato simples, que é a expressão do espaço percorrido por um móvel que se desloca com velocidade constante.
	1o) Expressão verbal (oral ou escrita):
	 Para um móvel que se desloca com velocidade constante, o espaço percorrido é igual ao produto da velocidade pelo tempo gasto no percurso.
	2o) Forma sintética de uma igualdade ou equação:
			s = v t
	3o) Através de uma tabela:
	t (s)
	v (m/s)
	s(m)
	0
1
2
3
	2
2
2
2
	0
2
4
6
4o) Através de um gráfico
		
		Gráf. 1 - Espaço percorrido por um móvel em função do tempo.
	Cada uma das quatro linguagens tem suas vantagens e também suas desvantagens. Dificilmente qualquer uma delas pode ser usada sem uma das outras.
	As expressões verbais (ou linguagem corrente) são sempre necessárias, pois há detalhes que dificilmente poderiam ser expostos sem o uso das palavras.
	Uma equação é a forma mais sintética e concisa de tratar os assuntos, pelo menos na Física. Além disso, a equação pode ser manipulada com as regras da Álgebra permitindo que cheguemos a conclusões que dificilmente seriam obtidas com o uso somente das palavras.
	Uma tabela tem a vantagem de poder apresentar todos os dados mesmo que sejam diferentes em seus valores.
	Um gráfico tem uma grande vantagem de tornar mais visível não só os dados, mas também o comportamento das grandezas envolvidas no fato ou fenômeno a ser tratado.
	Nesta experiência trabalharemos apenas com gráficos em papel milimetrado. Geralmente a construção de um gráfico exige previamente a construção de uma tabela com os dados.
3.1.Construção de tabela
	Uma tabela pode ser construída na forma horizontal ou vertical, dependendo do número de dados ou grandezas a serem representados. Os números preferencialmente devem estar na forma inteira, para tanto se deve usar a notação de potência de 10. 
	No topo da tabela deve-se representar as grandezas por meio de símbolos, e entre parênteses a sua unidade multiplicada pela potência de 10 envolvida. Deve constar no espaço superior da tabela o título de forma sucinta sobre o que ela representa. Se os valores representados na tabela estão afetados de desvio e, estes são iguais para todos os valores, eles devem ser representados no topo da tabela (Tabela 1). Caso os desvios são diferentes para cada valor, eles devem ser representados juntamente com os valores nas colunas (Tabela 2).
		TABELA 1 - Posição de um móvel (x) em função do tempo (t).
		
	(x ± 2) (10-2 m)
	(t ± 1) (10-1 s)
	21
40
59
80
	30
50
70
90
Assim os valores da primeira linha são: x = 21 10-2 m e t = 30 10-1 s
		TABELA 2 - Posição de um móvel (x) em função do tempo (t).
		
	x (10-2 m)
	t (10-1 s)
	21 ( 1
40 ( 2
59 ( 1
80 ( 3
	30,0 ( 0,5
50 ( 1
70 ( 2
90 ( 2
3.2. Construção de gráfico
1o) Escolha dos eixos:
	Nesta etapa deve-se identificar qual é a variável (grandeza) independente ou qual é a variável (grandeza) dependente. Vamos supor que foi medida a posição de um móvel como função do tempo, então temos:
		s = f(t)
Assim, t é a variável independente e s é a variável dependente.
	De modo geral podemos escrever:
		y = f(x)
Sendo x é a variável independente e y é a variável dependente.
	Definimos então s no eixo y e t no eixo x .
2o) Posição dos eixos no papel:
	O papel milimetrado no formato A4 tem as dimensões 18 cm por 28 cm. A tabela é quem diz qual o eixo deve ser utilizado no lado maior da folha milimetrada. Quando o zero não pertence à tabela e não é importante, usa-se no lado maior aquela variável que tiver uma variação maior. A variação é definida como sendo a diferença entre o maior e o menor valor da variável. Quando o zero pertence à tabela ou é importante para a análise do comportamento das grandezas, usa-se no eixo maior a variável de maior valor final, não considerando a potência multiplicativa que é colocada junto com as unidades na tabela.
3o) Como fazer a escala:
	Na escolha da escala que vai ser usada em cada eixo, deve-se tomar o maior valor da tabela, ou a maior variação correspondente ao maior valor do eixo escolhido, e por uma regra de três determinar o valor de uma unidade do eixo em termos da grandeza a ser lançada.
	Exemplo: Considerando a Tabela 1, suponhamos que temos interesse em determinar qual a posição do móvel em t = 0, através de um gráfico. Então na construção do gráfico, ao fazermos a escala tomaremos o valor maior de cada grandeza (x e t). A medida xmáx = 80 10-2‑ m ,assim:
		80 m ( 28 cm
		x m ( 1 cm então x = 80 /28 = 2,857...
	
Quando o valor é fracionário deve-se tomar o primeiro inteiro imediatamente superior. Então 3 m corresponde a 1 cm, isto é, 3 10-2 m equivale a um centímetro no gráfico.
	O mesmo procedimento deve ser realizado para o outro eixo e necessariamente a escala não precisa ser a mesma:
	90 s ( 18 cm
	 t s ( 1cm		então,		t = 90 /18 = 5 
logo, 5 10-1 equivale a 1 cm no gráfico. 
	A escala deve ser representada nos eixos do gráfico, e os valores dos pontos plotados não devem ser marcados no eixo, a não ser os pontos de interesse para análise. Neste caso eles devem ser salientados. Como os dados geralmente são obtidos de medidas, conseqüentemente possuem imprecisões, e eles devem ser representados por uma cruz cujo tamanho dos traços, horizontal e vertical, devem corresponder aos respectivos desvios dos valores dos dados. Quando os desvios são pequenos, de forma que a escala não permita traçar a cruz, faz-se um círculo em torno dos pontos plotados usando os valores médios das grandezas, indicando que estão afetados de desvios.
A curva a ser traçada não deve unir ponto a ponto mas deve ser traçada de forma a passar pelo máximo de pontos e, os demais, devem se localizar em quantidades aproximadamente iguais dos dois lados da curva.
4o) Interpretação e análise do gráfico:
	A forma mais comum para um gráfico é a linear, nos casos em que não é linear deve-se usar algum artifício matemático para linearizar a curva. Quando isso não é possível recomenda-se o uso de papel mono-log ou di-log para a construção do gráfico, os quais serão tratados nos próximos experimentos.
	
	Na forma linear uma curva é do tipo:
		y = ax + b
onde: a é o coeficiente angular da reta, obtido numericamente pela reta tangente do ângulo formado entre o eixo da variável independente e a reta, 
 b é o coeficiente linear, que é determinado pelo ponto em que a reta corta o eixo da variável dependente quando a variável independente for zero (Fig.1). Observe na equação y = ax + b que o valor do coeficiente linear b , é o valor da variável dependente y quando o valor da variável independente x for zero.
Fig.1 - Gráfico linear
	O coeficiente angular não deve ser confundido com a tangente trigonométrica do ângulo formado pela reta com o eixo horizontal. A tangente trigonométrica é um número puro, por ser a relação entre duas grandezas da mesma espécie. No gráfico da fig.1, (y e (x são variações de grandezas diferentes. Assim a variação(y dividida pela variação (x resulta geralmente em outra grandeza, então o coeficiente angular não é um número puro. Note que, se as escalas forem modificadas, o ângulo de inclinação mudará, entretanto o coeficiente angular permanecerá inalterado.
	
Para a determinação do coeficiente angular a, devem ser tomados dois pontos sobre a reta para obter os valores das coordenadas (x1, y1) e (x2, y2).
	Além das vantagens e simplicidade, um gráfico dado por uma reta nos permite prever também resultados fora dos limites estudados, com o simples prolongamento da reta, ao que chamamos de extrapolação.
3.3 - Ajuste de curvas
	Suponhamos que em um estudo de um fenômeno físico, foi obtido uma série de medidas de duas grandezas (x e y) resultando N pares de medidas e, deseja-se descrever o comportamento dessas grandezas através de uma função. Um dos mecanismos de se fazer isto é através da determinação gráfica da função já apresentada no item anterior. Um outro mecanismo é através de processos analíticos. Nesses casos, podemos tentar determinar a função pelo método direto ou pelo método dos mínimos quadrados, desenvolvido a partir da teoria do desvio padrão. A esses métodos damos o nome de ajuste de curva ou regressão.
1o ) Método direto 
	Se tivermos N pontos (xi ; yi) que descrevem um sistema, e suspeitarmos que estes obedeçam a uma lei linear simples, então a função que o descreve é dada por:
		y = ax + b
	No caso, o problema consiste em determinar os parâmetros a e b que melhor se ajustam aos pontos em questão. Com este objetivo, vamos substituir dois pontos quaisquer, i e j , na função anterior:
	yi = aij xi + bij ,
	yj = aij xj + bij .
	Assim, resolvendo o sistema de equações, determinamos:
	aij = (yj - yi) / (xj - xi) e bij = (xj yi - xi yj) / (xj - xi)
Dessa forma, para os N pontos, teremos uma quantidade de coeficientes a e b dada pela combinação de N dois a dois: N(N - 1) / 2 . Com essa quantidade de valores de a e b, podemos determinar o valor médio de a, que é dado da seguinte forma:
	
Analogamente, o valor médio de b é dado por:
	
Com isso, podemos calcular os desvios de a e b e ter uma idéia do grau de precisão do ajuste dos pontos através de uma reta.
	Observe que, apesar de termos tentado um ajuste para uma função linear, o método é mais geral e pode ser usado para funções não lineares, mas linearizáveis nos parâmetros, ateravés da mudança de variáveis. Como exemplo, suponha que os pontos sejam descritos por:
	y = cxa 
Nesse caso, o ajuste consiste na determinação de a e c. Aplicando logarítmo a essa função, teremos:
	
	log y = a log x + log c
Fazendo ( = log y, z = log x e b = log c, nós obtemos, a partir dos pontos originais, N novos pontos (z; () que obedecem à função linear nos parâmetros dados assim:
	( = a z + b
Logo, para cada bij determinamos conforme já vimos, podemos calcular cij e, então, calcular 
 :
	
Por outro lado, conforme já tínhamos,
	
	
	Apenas para ilustrar o método, vejamos um exemplo, com somente quatro pontos.
Exemplo 1
	Dados os pontos (1,00 ; 5,00), (1,50 ; 6,05), (3,50 ; 9,95) e (5,00 ; 13,10), determine a melhor reta que se ajusta a eles.
	Solução: 
	Para os pontos, queremos 6 conjuntos de parâmetros a e b. Comecemos pela determinação de a12 e b12:
		5,00 = a12 1,00 + b12
		6,05 = a12 1,50 + b12
	Resolvendo o sistema, determinamos:
		a12 = 2,10 e b12 = 2,90
	Procedendo de forma análoga, ou simplesmente substituindo os pontos nas expressões deduzidas para aij e bij :
		a13 = 1,98	a14 = 2,02	a23 = 1,95	 a24 = 2,01 	a34 = 2,10 
b13 = 3,02 	b14 = 2,98	b23 = 3,12	b24 = 3,03	b34 = 2,60
	Logo, 
 = 2,027 e 
 = 2,942. Calculando-se o desvio padrão de 
 e 
 (use a definição dada na Unidade I), teremos:
		dpma = 0,03 e dpmb = 0,07
	Consequentemente, os desvios percentuais par a e b são de 1,5% e 2,4%, respectivamente. Por outro lado, a melhor reta que se ajusta aos pontos é dada por:
		y = 2,03 x + 2,94
Observe que a precisão dos parâmetros da função obedece aos valores obtidos para dpma e dpmb .
	Apesar de simples, este método apresenta um inconveniente: o número excessivamente grande de parâmetros a serem determinados, dado por N(N-1)/2, para um número N relativamente pequeno de pontos. Por exemplo, para apenas 10 pontos, teremos 45 valores a serem determinados para a e 45 valores para b. Isto só é viável através de métodos computacionais.
4. ATIVIDADE
	4.1 - A partir da Tabela 1:
		a) Construa o gráfico de x versus t.
Obtenha a função x(t) que representa a curva com valores dos coeficientes: angular e linear.
Através do ajuste de curva pelo método direto, obtenha os valores dos coeficientes: angular e linear com os seus respectivos desvios padrão. Comente o resultado em relação ao item anterior. 
	4.2 - Considere as tabelas de dados abaixo:
Tabela 3 - Velocidade em função do tempo.
	V (10-2 m/s)
	108
	150
	164
	196
	234
	266
	311
	348
	t (10-3 s)
	33
	67
	100
	133
	167
	200
	233
	267
Tabela 4 - Posição de um móvel em função do tempo
	X (m)
	1,2
	4,9
	11,0
	19,6
	30,6
	44,0
	60,0
	78,4
	99,2
	122,5
	t (s)
	0,5
	1,0
	1,5
	2,0
	2,5
	3,0
	3,5
	4,0
	4, 5
	5,0
Tabela 5 - Força em função da massa
	F (10-3 N)
	160
	200
	250
	285
	325
	m (10-2 kg)
	20
	25
	30
	35
	40
	
	Para cada tabela:
a) Identifique a variável independente e a variável dependente.
	b) Vale a pena incluir o zero na distribuição de pontos? Para isto, considere o que pretende obter a partir do gráfico.
	c) Qual a variação de cada variável?
	d) Em cada caso o eixo maior representa a variável dependente ou independente?
	e) Construa os gráficos relativos a cada tabela e verifique qual o tipo de dependência matemática entre as variáveis. 
	f) Qual a equação que representa a curva? Isto é, encontre os coeficientes angulares e lineares e escreva as respectivas equações para os casos que a dependência entre as grandezas forem lineares.
	g) Discuta com seu professor como encontrar os coeficientes para os casos em que a dependência entre as grandezas não for linear.
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
y = y2 - y1

x = x2 - x1
y1
y2
x2
x1
x
y


a = 
y = ax + b
b
x
y


x
y
0
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