Cap02-VETORES

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Conteu´do
4 Vetores 2
4.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
4.1.1 Soma de vetores . . . . . . . . 2
4.1.2 Somando vetores atrave´s das
suas componentes . . . . . . . . 2
Pa´gina 1 de 3
4 Vetores
4.1 Problemas e Exercı´cios
4.1.1 Soma de vetores
P 3-6 (3-??/6 � edic¸a˜o)
Um vetor � tem mo´dulo � unidades e esta´ dirigido para
leste. Um outro vetor, � , esta´ dirigido para � ��� a oeste
do norte e tem mo´dulo de � unidades. Construa diagra-
mas vetoriais para calcular �
	 � e ��� � . Estime o
mo´dulo e a orientac¸a˜o dos vetores �
	 � e ��� � a partir
desses diagramas.
� Para resolver este problema como o livro deseja,
necessita-se de papel milimetrado, re´gua e um transferi-
dor, para medir aˆngulos.
Irei resolver o problema usando sua representac¸a˜o
alge´brica. As componentes dos vetores � e � sa˜o
�����
���
�������
�
e
ff
���
�
� sen �
�
�
�
�flfi�ffi fi� 
�
ff
�!�
�#"%$�&��
�
�
�
��ffi'fi)(*ffi
O sinal de
ff
� e´ negativo pois para fazer a soma algebri-
camente, precisamos primeiro transladar o vetor � para
a origem do sistema de coordenadas. ´E claro que tal
translac¸a˜o na˜o e´ necessa´ria no processo gra´fico utiliza-
do para a soma. Entenda bem o que esta´ sendo feito, as
diferenc¸as entre os dois me´todos de obter a soma.
Portanto, para a soma + �,�-	 � temos
+
� ./�
�
	
ff
�
�
�
�
	
ff
�10
� .
�
�2fi�ffi'fi3 
�
�
	
�4ffi fi�(
065
.
fi�ffi7(
�
��ffi �
0
�
cujo mo´dulo e´
89�;: 8=<
�
	>8?<
�
�A@ .
fi�ffi'(
0
<B	,.
�4ffi �
0
<fl�
�4ffi'fi3C
5
�Dffi fi�ffi
O aˆngulo que a soma + faz com a horizontal e´
E3F
� arctan
8=�
8
�
� arctan
��ffi'fi)(
fi�ffi'(
�
�
�
ffi �
�
5
�
�
�
ffi
Dito de modo equivalente, o vetor + esta´ direcionado de
um aˆngulo de � � � � � � � � � � a Oeste do Norte.
Para o vetor diferenc¸a G � �H� � temos
G
�I.
�flfi�ffi'fi3 J�
���
�4ffi fi�(
�
�
0K5
.
�9(�ffi �
�
�4ffi �
0
�
cujo mo´dulo e´
L
� :
L
<
�
	
L
<
�
�A@ .
�9(*ffi �
0
< 	�.
��ffi �
0
< ��M
ffi
�4N 5 M
ffi
O aˆngulo que a diferenc¸a G faz com a horizontal e´
E1O
� arctan
L
�
L
�
� arctan
�4ffi �
�9(*ffi �
�
fi1�Dffi �
�
ffi
Dito de modo equivalente, o vetor G esta´ direcionado
de um aˆngulo de fi1�Dffi � � a Norte do Oeste. Ou ainda, a
 
�
�
�2fi1�4ffi �
�
�
C
�
ffi7(
�
a Oeste do Norte.
4.1.2 Somando vetores atrave´s das suas componen-
tes
P 3-29 (3-??/6 � edic¸a˜o)
Uma estac¸a˜o de radar detecta um avia˜o que vem do Les-
te. No momento em que e´ observado pela primeira vez,
o avia˜o esta´ a � ��� m de distaˆncia, � � � acima do hori-
zonte, O avia˜o e´ acompanhado por mais N fi3� � no plano
vertical Leste-Oeste e esta´ a M C � m de distaˆncia quando
e´ observado pela u´ltima vez. Calcule o deslocamento da
aeronave durante o perı´odo de observac¸a˜o.
� Chamemos de P a origem do sistema de coordenadas,
de Q a posic¸a˜o inicial do avia˜o, e de R a sua posic¸a˜o fi-
nal. Portanto, o deslocamento procurado e´
��S
QflR
�
�DS
P�RA�
�)S
P�QTffi
Para �DSP�R temos, definindo
E
�UN
fi3�
�
	
�
�
�
�V 
�
�
�
(1�
�
,
que
�DS
P�R
� W
P�R
WX.
� sen
E9Y
	
"%$�&
E[Z
0
� ./M
C
�
0
.
� sen (1�
�
Y
	
"%$)&\(1�
�
Z
0
�
�
M
fi)fi�ffi ��fi
Y
	
fi
�
N
ffi ���
Z
Analogamente, para ��SP�Q temos
�)S
P�Q
� W
P�Q
WX.
"%$�&��
�
�
Y
	 sen � �
�
Z
0
� .
�
���
0
.
"]$)&*�
�
�
Y
	 sen � �
�
Z
0
�
�
�
C�ffi ��fi
Y
	
fi
�
(*ffi
N�N
Z
Portanto
��S
QflR
�
�DS
P�RA�
�)S
P�Q
� .
�
M
fi�fi�ffi �*fi^�_�
�
C�ffi ��fi
�
fi
�
N
ffi ���^�2fi
�
(*ffi
N�N
0
� .
�
N)N
fi
M
ffi
M
�
�
�
�
ffi C�(
0
�
Pa´gina 2 de 3
cuja magnitude e´
W
��S
QflR
W��I@ .
�
N)N
fi
M
ffi
M
�
0
< 	,.
�
�
ffi C*(
0
< � N�N
fi
M
ffi
M
�
�
5 N�N
�
� m ffi
O aˆngulo que o vetor ��SQ9R faz com a parte negativa do
eixo ` e´
arctan a
�
�
ffi C�(
�
N�N
fi
M
ffi
M
�cb
�,�
ffi
���
�
rad �d� ffi fi M
�
�
o que significa que o avia˜o voa quase que horizontal-
mente.
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