Ondas estácionárias

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
 Campos Niterói
GLEISON DE MORAES SOUZA GUIMARAES 
MAT.: 2013.01.763276 / TURMA: 3026
 
ONDAS ESTACIONÁRIAS
Relatório apresentado ao professor Gentil, do 4º Período do curso de Graduação em Engenharia de Produção, da Faculdade Estácio de Sá de Campos Niterói como requisito parcial para avaliação da disciplina de Física Experimental II.
Introdução
Estamos cercados de oscilações – movimentos que se repetem. Uma pessoa movendo-se passivamente em um balanço é um exemplo de oscilação livre. Se um amigo ou empurrar um balanço periodicamente, temos oscilações. Uma onda pode ser longitudinal quando a oscilação ocorre na direção da propagação, ou transversal quando a oscilação ocorre na direção perpendicular à direção de propagação da onda. Já as ondas estacionárias, lembra-se de reflexão, interferência e ressonância; são ondas resultantes da superposição de duas ondas de mesma frequência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção e sentidos opostos. É importante ressaltar, que cada corpo possuí sua própria frequência de vibração. Considerando isso podemos dizer que se outro corpo, que possui a mesma frequência, colidir com o primeiro, eles entraram em ressonância, porém esse evento só ocorre se as frequências estiverem em sincronia. 
A fonte de qualquer som é um objeto vibrando. Praticamente qualquer objeto pode vibrar e assim pode ser uma fonte de som. Em um tubo, o ar é posto em vibração ao colocar para vibrar um diapasão na extremidade aberta do tubo. Uma vez perturbado, o ar dentro do tubo vibra com uma certa variedade de frequências, mas só certas frequências persistem, aquelas compatíveis com um sistema de ondas estacionárias.
A interferência de duas ondas senoidais que têm a mesma frequência e amplitude, mas se propagam em sentidos contrários, produz ondas estacionárias de acordo com a Equação abaixo, para o caso de extremidades fixas:
Ondas estacionárias são caracterizadas por pontos fixos de deslocamento zero chamados nós e pontos fixos de máximo deslocamento chamados de antinós ou ventres.
Onda progressiva, a amplitude é a mesma; já em uma onda estacionária a amplitude
varia, conforme a Figura 3. A onda é nula quando: sen . kx = 0
Esses valores são:
Os quais são os nós da onda estacionária e, portanto a amplitude é nula.
A amplitude da onda estacionária é máxima quando: sen.k.x = 1
Esses valores são: 
Estes são os anti-nós da onda estacionária e, portanto a amplitude é máxima.
Objetivo
O objetivo desta prática se concentra em verificar que dos grãos de serragem através do efeito das ondas estacionárias. 
Lista de materiais
- Alto falante.
- tudo de kundt.
- Oscilador teórico.
- Grãos de serragem.
 Fundamentação Teórica. 
Para discutir o conceito de onda estacionária, vamos considerar uma corda muito comprida, esticada ao longo do eixo X, com uma das extremidades fixa na posição x = 0. Ao longo dessa corda, propaga-se uma onda progressiva transversal em sentido contrário àquele tomado como positivo para o eixo X. Ao alcançar a posição x = 0, a onda é refletida, propagando-se em sentido contrário (Fig.18). 
A onda progressiva incidente e a onda progressiva refletida são descritas, respectivamente, pelas expressões: Y1 (x,t) = A sen (kx + wt) e Yr (x,t) = A sen (wt) + A’sen (-wt)
e como, da Trigonometria, sabemos que: sen(−w )t = − sen (w ) segue-se imediatamente que: 0 =(A − )'A sen(w )
e daí, A = A’. Em palavras: a onda incidente e a onda refletida têm amplitudes iguais.
Além disso, pela relação trigonométrica: Sen A – SenB = 2 sen(A-B / 2) cos ( A + B / 2) vem: y(x,t) = 2Asen(kx)cos(wt)
As fases (kx + wt) e (kx − wt) não aparecem nesta expressão. Por isso, ela não descreve uma onda progressiva, mas uma onda estacionária. O fator: cos(wt ) indica que todas as partículas da corda descrevem movimentos harmônicos simples com a mesma frequência f = w/2π e o fator: 2 A sen(kx) indica que a amplitude do MHS de cada partícula depende da sua posição ao longo do eixo X.
Por outro lado, a amplitude da onda estacionária é nula para: 
 kx = nπ (n = 0, 1, 2, ... ∞) e como k = 2π/λ, podemos dizer que a amplitude da onda estacionária é nula em: X = (λ / 2) n (n = 0, 1, 2, ... ∞)
Os pontos dados por essa expressão são chamados de nós. Dois nós consecutivos estão separados por uma distância λ/2. O comprimento de onda λ é dado, em função da frequência e do módulo da velocidade de propagação, pela expressão λ = v/f. 
Vamos considerar, agora, que a corda tem um comprimento L e que suas extremidades estão fixas, uma em x = 0 e a outra em x = L. Assim, temos a condição adicional y(L,t) =0 para qualquer t. Portanto, da expressão que descreve a onda estacionária, vem: 0 =2A sen(kL)cos(ω ) ou sen(kL) = 0 
Esta última expressão é verdadeira para: kL = 'n π (n’ = 1, 2, ... ∞) e como k = 2π/λ, temos:
λ = 2L / n’ (n’ = 1, 2, ... ∞)
Essa expressão dá os comprimentos de onda das ondas estacionárias que podem ser estabelecidas numa corda de comprimento L com suas extremidades fixas.
As frequências e as posições dos nós correspondentes são dadas por: f= (v / 2L)n’ e x = (n / n’ ) L e como x ≤ L, devemos ter n = 0, 1, 2, ... n’.
Desse modo, para n’ = 1 temos n = 0 e n = 1. A onda estacionária correspondente tem dois nós, nas posições x = 0 e x = L (Fig.19(a)).
Para n’ = 2 temos n = 0, n = 1 e n = 2. A onda estacionária correspondente tem
três nós, nas posições x = 0, x = L/2 e x = L (Fig.19(b)). Para n’ = 3 temos n = 0, n = 1, n = 2 e n = 3. A onda estacionária correspondente tem quatro nós, nas posições x = 0, x = L/3, x = 2L/3 e x = L (Fig.19(c)). E assim por diante.
Podemos também considerar uma corda no qual uma extremidade se encontra fixa num suporte e a outra ligada numa fonte de ondas.
Se a fonte produzir ondas com frequência constante, elas sofrerão reflexão na extremidade fixa e, então ocorrerá uma interferência da onda incidente com a refletida. Essa onda terá a forma representada na figura. 
A onda formada terá a forma ora da linha contínua, ora da linha tracejada, formando assim a onda estacionária.
Definimos então ondas estacionárias como sendo aquela obtida pela interferência de duas ondas iguais que se propagam no mesmo meio e em sentidos contrários.
Entende-se por ondas iguais aquelas que possuem mesma frequência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma velocidade.
V → ventre da onda que corresponde ao ponto de crista ou vale, ou seja, ao ponto que sofre interferência construtiva.
N → nó ou nodo da onda que corresponde ao ponto que sofre interferência destrutiva.
A distância entre dois nós ou dois ventres consecutivos é igual à metade do comprimento de onda (λ/2).
A distância entre um ventre e um nó consecutivo é igual a um quarto do comprimento de onda (λ/4).
Um fuso corresponde à distância entre dois nós consecutivos, ou seja meio comprimento de onda.
As ondas geradas numa corda dependem de vários fatores, como veremos. Dada a corda:
O matemático inglês Brook Taylor relacionou essas grandezas, determinando assim a velocidade de propagação da onda na corda.
Onde d é a densidade linear da corda, ou seja:
Harmônicos 
Uma corda sonora pode emitir um conjunto de frequências denominado harmônico. Esses harmônicos são números inteiros de vezes da menor frequência que a corda pode emitir, denominada de 1° harmônico ou frequência fundamental:
1° harmônico
2° harmônico
3° harmônico
Em resumo:
- O numero de ventres é igual ao numero do harmônico emitido pela corda.
Referencia
HALLIDAY, David. RESNICK, Robert. WALKER Jearl. Fundamentos de física I. Trad. de José Paulo Soares de Azevedo. 7ª ed. Rio de Janeiro. Livros técnicos e científicos S.A. 2002.