Cap06 analise de tensoes no estado plano

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CAPÍTULO
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Terceira Edição
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
Análise de Tensões 
no Estado Plano
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 2
Capítulo 6 – Análise de Tensões no Estado Plano
6.1 – Introdução
6.2 – Estado Plano de Tensões
6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões
6.3 – Tensões Principais
6.4 – Tensões Máxima de Cisalhamento
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 3
6.1 – Introdução
• O estado de tensões em um ponto pode ser 
representado por 6 componentes,
, , tensão normal
, , tensão de cisalhamento
(Note que: , , )
x y z
xy yz zx
xy yx yz zy zx xz
  
  
       
• O mesmo estado de tensão é representado 
por um conjunto diferente de componentes, 
se os eixos são rotacionados.
Nosso objetivo aqui é verificar as 
transformações de tensão no elemento, a partir 
de uma rotação nos eixos coordenados e em 
seguida, fazer a mesma análise para a 
transformação das deformações.
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 4
6.2 – Estado Plano de Tensões
Estado Plano de Tensões – situação onde duas das 
faces do cubo elementar estão isentas de tensões. 
• Consideremos o eixo z como perpendicular a estas 
faces, temos:
• As únicas componentes que restam são:
xy, ,x y  
 O estado plano de tensões ocorre, por 
exemplo, na superfície livre de um 
elemento estrutural ou elemento de 
máquina, i. e., em qualquer ponto da 
superfície não sujeita a uma força externa.
0z zx zy    
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 5
6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões
• Dado um estado de tensões em um ponto P, veremos como determinar as 
componentes σx’, σy’, τx’ y’, associadas ao elemento, depois deste ter sido 
girado de um ângulo, em torno do eixo z.
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 6
6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões
   
   
   
   
0 cos cos cos sen
sen sen sen cos
0 cos sen cos cos
sen cos sen sen
x x x xy
y xy
y x y x xy
y xy
F A A A
A A
F A A A
A A
      
     
      
     
 
  
      
   
      
   


• Seja o equilíbrio de um elemento prismático 
com as faces perpendiculares aos eixos x, y e
x’ . 
• As equações podem ser reescritas para produzir
 
 
 
cos2 sen 2
2 2
cos2 sen 2
2 2
sen 2 cos2
2
x y x y
x xy
x y x y
y xy
x y
x y xy
I
II
III
      
      
    


 
   
   
  
2 2
2
2
lembrar que:
sen 2 2sen cos
cos2 cos sen
1 cos2cos
2
1 cos2sen
2
  
  



 


R
esistência
dos M
ateriais
6 - 7
6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões
• Podemos encontrar σy’, substituindo na exp. para σx’ o ângulo por θ + 90o. 
• Como: cos (2θ + 180o)= -cos2θ e sen(2θ+180o)= -sen2θ, encontramos: 
 A soma das tensões normais em um elemento em estado plano de tensões 
independe da orientação deste elemento. 
 Tratando as tensões de forma algébrica, a tensão de tração é positiva e a 
tensão de compressão é negativa.
 Para a tensão de cisalhamento, se convencionou que serão positivas as 
tensões em cujas faces do elemento se está estudando e que tendem a girá-
lo no sentido anti-horário. 
 cos2 sen 2
2 2
x y x y
y xy II
          
• Somando membro a membro as expressões (I) e (II), encontramos: 
x y x y      
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 8
6.3 – Tensões Principais
• Os valores máximos e mínimos de σx’ ocorrerão para valores de θ nos 
quais:
• As faces do cubo elementar obtido pela rotação do ângulo θp definem 
planos chamados planos principais no ponto P e as tensões normais 
nesses planos são conhecidas como Tensões Principais e são dadas pela 
seguinte expressão
    20 2sen 2 2cos2 0 tg2
2
x y xyx x
xy p
x y
d d
d d
          
          
 A equação define dois valores de θp defasados de 90º.
2
2
max,min 2 2
x y x y
xy
          
• Substituindo θ = θp na expressão (III), vemos que não há tensão de 
cisalhamento nos planos principais. 
0x y   
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 9
6.4 – Tensões Máxima de Cisalhamento
• A tesão de cisalhamento máxima se dá onde:
 0 cos2 2 sen 2 0 tg 2
2
x y x yx
y x xy c
xy
d d
d d
          
           
 A equação define dois valores de θc defasados de 90º.
• Substituindo θ = θc nas expressões (I), (II) e (III), temos
2
2
max e 2 2
x y x y
xy med
              
 Observa-se que tg2θc é a inversa negativa de tg2θp ;
 Portanto, estes dois ângulos diferem de 90º;
 Logo, θc e θp estão afastados de 45º;
 Isto significa que os planos onde ocorrem as tensões de cisalhamento 
máximas estão a 45º dos planos principais.
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 10
Exemplo 6.1
Para o estado plano de tensões mostrado, determine: 
(a) Os planos principais, 
(b) As tensões principais,
(c) A tensão máxima de cisalhamento e a tensão normal correspon-
dente nestes planos.
R
esistência
dos M
ateriais
Exemplo 6.1 – Solução 1
SOLUÇÃO 01:
(a) Determine os planos principais:
 
 
2 2 40
tan 2 1,333
50 10
2 53,1 e 233,1
xy
p
x y
p
  

    
  
26,6 e 116,6p   
(b) Determine as tensões principais:
max
min
70MPa
30MPa
x
y
 
 


 
  
50 MPa 40 MPa
10 MPa
x xy
x
 

   
 
6 - 11
       
       
50 10 50 10
cos 2.26,6 40sen 2.26,6
2 2
50 10 50 10
cos 2.26,6 40sen 2.26,6
2 2
x
y


     
     
 
 


     50 10 sen 2.26,6 40cos 2.26,6 0 OK!2x y       
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 12
Exemplo 6.1 – Solução 1
50 10
2 2
x y
med
       
• A correspondente tensão normal nestes 
planos é:
MPa20
(c) Calcule os planos onde ocorrem a tensão de 
cisalhamento máxima e o valor desta tensão
MPa50max 
 
 
50 10
tan 2 0,75
2 2 40
x y
c
xy
          
     50 10 sen 2 18,4 40cos2 18,42x y        50 MPa 40 MPa
10 MPa
x xy
x
 

   
 
18, 4c   
R
esistência
dos M
ateriais
Exemplo 6.1 – Solução 2
(b) Determine as tensões principais:
   22
2
2
minmax,
403020
22




  xyyxyx 
MPa30
MPa70
min
max




6 - 13
50 MPa 40 MPa
10 MPa
x xy
x
 

   
 
SOLUÇÃO 02:
(a) Determine os planos principais:
 
 
2 2 40
tan 2 1,333
50 10
2 53,1 e 233,1
xy
p
x y
p
  

    
  
26,6 e 116,6p   
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 14
Exemplo 6.1 – Solução 2
   
2
2 22
max 30 402
x y
xy
        
MPa50max 
45c p  
18.4 , 71.6c    
50 MPa 40 MPa
10 MPa
x xy
x
 

   
 
50 10
2 2
x y
med
       
MPa20
(c) Calcule os planos onde ocorrem a tensão de 
cisalhamento máxima e o valor desta tensão
• A correspondente tensão normal nestes 
planos é:
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 15
Exemplo 6.2
Uma força horizontal P de 670N é aplicada na extremidade D da alavanca 
ABD. Determine: (a) As tensões normal e de cisalhamento em um elemento 
localizado no ponto H de lados paralelos aos eixosx e y; (b) Os planos 
principais e as tensões principais no ponto H. 
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 16
SOLUÇÃO:
a) As tensões normal e de cisalhamento em um 
elemento localizado no ponto H de lados 
paralelos aos eixos x e y.
1. Determinar a força em notação vetorial;
2. Encontrar o sistema equivalente na origem 
C;
3. Determinar os esforços internos na seção 
transversal;
4. Encontrar as propriedades geométricas 
da seção transversal;
5. Encontrar as tensões normal e de 
cisalhamento no ponto;
6. Desenhar o elemento plano do estado de 
tensões no ponto. 
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 17
SOLUÇÃO:
• Esforços internos na seção transversal;
• Elemento plano do estado de tensões no 
ponto. 
ˆ670 N
ˆ ˆ167,5 301,5 N.m
R
C
F k
M i j
 
  


Vz
x z
y
x z
x S z S
xy
C z x
M MP z x
A I I
V M V MT
J I t I t

 
   
   
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 18
SOLUÇÃO:
b) Os planos principais e as tensões principais no ponto H. 
2
tan 2 xyp p
x y
     
2
2
max,min
ou
2 2
x y x y
xy
          
cos2 sen 2
2 2
cos2 sen 2
2 2
x y x y
x xy
x y x y
y xy
      
      


   
   
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 19
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
• As equações anteriores podem ser combinadas encontrando-se a 
equação de um círculo, chamado de círculo de Mohr para as tensões.
 2 2 2
2
2
sendo 
2
e
2
x med x y
x y
med
x y
xy
R
R
      
  
      
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 20
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
Passos para a construção do círculo de Mohr:
1. Retire um ponto do elemento que se deseja estudar, no qual as tensões 
normais e de cisalhamento são conhecidas, indicando o sentido correto 
dessas tensões; 
2. Num sistema de eixos coordenados marque os pontos 
X(σx;-τxy) e Y(σy;τxy) 
e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (σmed;0). Com centro 
em C e raio CX, trace o círculo, encontrando os pontos A, B, D e E. 
3. Os pontos A de coordenadas (σmax;0) e B (σmin;0) representam as tensões 
principais. O ângulo CAX é o ângulo 2θp. 
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 21
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
• Após o círculo ser desenhado, os demais 
valores são encontrados geometricamente 
ou calculados. 
2
2
2 2
x y x y
med xyOC CX R
            
• As tensões principais são obtidas em A e B.
max
min
max
med
med
OA OC CX R
OB OC CX R
CD R
 
 

    
    
 
A direção de rotação de Ox para Oa é a mesma 
que de CX para CA. 
• Os planos principais são dados por
2
tan 2 xyp
x y
   
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 22
Exemplo 6.3
Para o estado plano de tensões mostrado, 
(a) Construa o círculo de Mohr; 
(b) Determine as tensões principais; 
(c) Determine a tensão de cisalhamento máxima e a correspondente 
tensão normal. 
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 23
SOLUÇÃO:
   
   
; 50; 40
; 10; 40
x XY
y XY
X X
Y Y
 
 
  
   
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 24
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
Com o círculo de Mohr definido, o estado
de tensão para qualquer outra orientação
pode ser encontrado. 
• Para um estado de tensão a um ângulo θ em 
relação aos eixos xy, construa um novo 
diâmetro X’Y’ com um ângulo 2θ relativo 
ao diâmetro XY.
• As tensões normal e a tensão de 
cisalhamento para esta nova orientação, são 
conseguidas pelas coordenadas de X’Y’.
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 25
Exemplo 6.4
Para o estado de tensão mostrado, determine 
(a) As tensões e os planos principais;
(b) As componentes de tensão para um elemento girado de 30º no 
sentido anti-horário.
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 26
   
   
2 2
2 2
100 60 80 MPa
2 2
20 48 52MPa
x y
med
R CF FX
     
 
  
SOLUÇÃO:
(a) Planos principais e tensões principais:
   
   
; 100; 48
; 60; 48
x XY
y XY
X X
Y Y
 
 
  
  
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 27
   
   
2 2
2 2
100 60 80 MPa
2 2
20 48 52MPa
x y
med
R CF FX
     
 
  
SOLUÇÃO:
(b) Tensões no elemento a 30o no sentido anti-horário:
   
   
; 100; 48
; 60; 48
x XY
y XY
X X
Y Y
 
 
  
  
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 28
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
• Círculo de Mohr para carga axial centrada: 
0,  xyyx A
P 
A
P
xyyx 2
 
• Círculo de Mohr para torção pura: 
J
Tc
xyyx   0 0 xyyx J
Tc 
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 29
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
1
2
tensão tangencial
tensão longitudinal


• Seja um vaso cilíndrico de parede fina que 
possui comprimento l e diâmetro d, com 
uma espessura de parede (t) muito pequena 
em relação a este diâmetro. 
• Suponha que neste tubo exista uma pressão 
interna p. Esta pressão irá atuar no interior 
do tubo de maneira a fazer com que exista 
um crescimento em seu diâmetro e um 
crescimento em seu comprimento.
• Para que estas variações ocorram, é 
necessário que apareçam tensões na parede 
do vaso que são as tensões principais do 
elemento
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 30
Determinação da tensão tangencial
• A figura ao lado mostra uma porção do 
cilindro de comprimento x
   1
1
0 2 2zF t x p r x
pr
t


    


• A figura ao lado mostra uma porção do 
cilindro à esquerda de uma seção transversal 
perpendicular ao eixo x
   22
2 1 2
0 2
2
2
xF rt p r
pr
t
  
  
  
  

6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
Determinação da tensão longitudinal
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 31
Circulo de Mohr
• Tensão de cisalhamento máxima (pontos D e 
E) no plano do elemento é igual ao raio do 
círculo:
(no plano) 2
1 = 
2 4
pr
t
  
É obtida quando se gira o elemento inicial de 45o
dentro do plano tangente à superfície.
• Os pontos A e B correspondem a 
tensão tangencial, σ1, e a tensão 
longitudinal, σ2, respectivamente.
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 32
• Ela é igual ao raio do circulo de diâmetro 
OA e corresponde a uma rotação de 45o
com o plano das tensões, sendo seu valor:
max 2 = 2
pr
t
  
• No entanto, a tensão de 
cisalhamento máxima na parede 
do vaso é maior.
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
Circulo de Mohr
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 33
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
• Seja um vaso de pressão esférico de raio 
interno r e com parede de espessura t, que 
contém um fluido à pressão p. 
• Pela simetria, as tensões que se exercem nas 
quatro faces de um pequeno elemento da 
parede devem ser iguais.
1 2 2
pr
t
  
R
esistência
dos M
ateriais
6 - 34
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
• O circulo de Mohr para o plano das 
tensões se reduz a um ponto.
1 2
(no plano)
constante
 = 0
 

 
• Tensão de cisalhamento máxima na parede 
do vaso (fora do plano das tensões):
max 1
1 = 
2 4
pr
t
  
Ela é igual ao raio do circulo de diâmetro OA e corresponde a uma rotação de 
45o com o plano das tensões