AULA 8 unidade 5

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UNIDADE 5. CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E
CENTROIDE
Mecânica Geral
Introdução
• A Terra exerce uma força gravitacional em cada uma das partículas
que constituem um corpo. Essas forças podem ser substituídas por
uma única força equivalente, de intensidade igual ao peso do corpo
e aplicada em seu centro de gravidade.
• O centroide de uma superfície é análogo ao centro de gravidade de 
um corpo e a para a sua determinação é utilizado o conceito de 
momento de primeira ordem de uma área.
• A determinação da área de uma superfície de revolução
ou do volume de um sólido de revolução é possível com 
a utilização dos Teoremas de Pappus-Guldinus.
Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional
• Centro de gravidade de uma placa:








dWy
WyWyM
dWx
WxWxM
x
y
• Centro de gravidade de um fio:
Centroides e Momentos de Primeira Ordem de 
Superfícies e Curvas
   
x
QdAyAy
y
QdAxAx
dAtxAtx
dWxWx
x
y
 a relação em ordem primeira de momento 
 a relação em ordem primeira de momento 
 











• Centroide de uma superfície:
   








dLyLy
dLxLx
dLaxLax
dWxWx

• Centroide de uma curva:
Momentos de Primeira Ordem de Superfícies 
e Curvas
• Uma superfície é simétrica em relação a uma eixo 
BB’ se para cada ponto P da superfície há um 
ponto P’ tal que a linha PP’ é perpendicular a BB’
e é dividida em duas partes iguais por esse eixo.
• O momento de primeira ordem de uma superfície 
em relação a um eixo de simetria é zero.
• Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu
centroide fica localizado sobre esse eixo.
• Se uma superfície tiver dois eixos de simetria, seu 
centroide deverá se localizar na interseção dos dois.
• Uma superfície é simétrica em relação a um centro 
O se, para cada elemento de superfície dA em (x,y) 
existir um elemento dA’ de mesma área em (-x,-y). 
• O centroide de uma superfície coincide com o seu 
centro de simetria.
Centroide
• Sendo assim, determine por integração a centroide da área 
abaixo:
Centroides de Superfícies Planas de Formatos Usuais
Centroides de Curvas Planas de 
Formatos Usuais
Placas e Fios Compostos
• Placas compostas:




WyWY
WxWX
• Superfícies compostas:




AyAY
AxAX
Exemplo:
Determine o centroide da superfície
composta mostrada.
Localize para figura composta a centroide C da 
seção transversal da viga T. R Ȳ= 8,55 cm
Problema Resolvido
Para a superfície plana mostrada, 
determine os momentos de primeira
ordem em relação aos eixos x e y e a 
localização do centroide.
SOLUÇÃO:
• Dividimos a área em um triângulo, um 
retângulo e um semicírculo com um 
orifício circular.
• Calculamos as coordenadas do centroide 
da superfície dividindo os momentos de 
primeira ordem pela área total.
• Encontramos a área total e os momentos 
de primeira ordem do retângulo, do 
triângulo e do semicírculo. Subtraímos a 
área e o momento de primeira ordem do 
orifício circular.
• Calculamos os momentos de primeira 
ordem de cada superfície em relação aos 
eixos x e y. 
Problema Resolvido 5.1
33
33
mm107,757
mm102,506


y
x
Q
Q
• Encontramos a área total e os momentos de 
primeira ordem do retângulo, do triângulo e do 
semicírculo. Subtraímos a área e o momento de 
primeira ordem do orifício circular.
Problema Resolvido
23
33
mm1013,828
mm107,757





A
Ax
X
mm 8,54X
23
33
mm1013,828
mm102,506





A
Ay
Y
mm 6,36Y
• Calculamos as coordenadas do centroide
da superfície dividindo os momentos de 
primeira ordem pela área total.
Problema Proposto
A figura mostrada é feita de um material de um pedaço de arame fino
homogêneo. Determine a localização do centro de gravidade.
Corpos Tridimensionais Compostos
• O momento gerado pelo peso total de um corpo
concentrado em seu centro de gravidade G é igual à 
soma dos momentos dos pesos das partes que 
compõem o corpo,
  WzWZWyWYWxWX
• Para corpos homogêneos,
  VzVZVyVYVxVX
Problema Resolvido
Determine o centro de gravidade do 
elemento de máquina de aço. O 
diâmetro de cada furo é de 2,5 cm.
SOLUÇÃO:
• O elemento de máquina pode ser obtido 
somando-se um paralelepípedo retangular a 
um quarto de círculo e então subtraindo-se 
dois cilindros de diâmetro igual a 2,5 cm.
Problema Resolvido
Problema Resolvido 5.11
   34 cm 2,578cm 19,011  VVxX
   34 cm 2,578cm 15,971  VVyY
   34 cm 2,578cm 34,073  VVzZ
cm 44,1X
cm 39,2Y
cm 05,4Z
Determinação de Centróides por Integração
 
 ydx
y
dAyAy
ydxx
dAxAx
el
el








2
  
  dyxay
dAyAy
dyxa
xa
dAxAx
el
el










2






















dr
r
dAyAy
dr
r
dAxAx
el
el
2
2
2
1
sen
3
2
2
1
cos
3
2




dAydydxydAyAy
dAxdydxxdAxAx
el
el
• A integração dupla para encontrar o momento
de primeira ordem pode ser evitada definindo-
se o elemento de área dA como um retângulo
estreito ou um setor estreito.
Problema Resolvido
Determine por integração direta a 
localização do centroide da superfície
sob um arco parabólico.
SOLUÇÃO:
• Determinamos a constante k.
• Calculamos a área total.
• Utilizando um elemento diferencial 
vertical ou horizontal, encontramos 
os momentos de primeira ordem por 
integração simples.
• Determinamos as coordenadas do 
centroide.
Problema Resolvido
SOLUÇÃO:
• Determinamos a constante k.
21
21
2
2
2
2
2
y
b
a
xorx
a
b
y
a
b
kakb
xky



• Determinamos a área total.
3
3
0
3
2
0
2
2
ab
x
a
b
dxx
a
b
dxy
dAA
a
a













Problema Resolvido
• Utilizando um elemento diferencial vertical, 
encontramos os momentos de primeira ordem 
por integração simples.
1052
2
1
2
44
2
0
5
4
2
0
2
2
2
2
0
4
2
0
2
2
abx
a
b
dxx
a
b
dxy
y
dAyQ
bax
a
b
dxx
a
b
xdxxydAxQ
a
a
elx
a
a
ely




































Problema Resolvido
• Ou, utilizando um elemento horizontal, 
encontramos os momentos de primeira ordem 
por integração simples.
 
 
10
42
1
22
2
0
23
21
21
21
2
0
2
2
0
22
ab
dyy
b
a
ay
dyy
b
a
aydyxaydAyQ
ba
dyy
b
a
a
dy
xa
dyxa
xa
dAxQ
b
elx
b
b
ely
































Problema Resolvido
• Encontramos as coordenadas do 
centroide.
4
ba
3
ab
x
QAx
2
y


ax
4
3

10
ab
3
ab
y
QAy
2
x


by
10
3

Teoremas de Pappus-Guldinus
• Uma superfície de revolução é gerada pela rotação
de uma curva no plano em torno de um eixo fixo.
• A área de uma superfície de 
revolução é igualao produto do 
comprimento da curva geratriz pela 
distância percorrida pelo centroide 
durante a rotação.
LyA 2
Teoremas de Pappus-Guldinus
• Um sólido de revolução é gerado pela rotação de 
uma superfície plana em torno de um eixo fixo.
• O volume de um sólido de revolução 
é igual ao produto da área da 
superfície geratriz pela distância 
percorrida pelo centroide da 
superfície durante a rotação.
AyV 2
Problema Resolvido
O diâmetro externo de uma polia é 0,8 m, 
e a seção transversal de seu contorno 
externo está mostrada acima. Sabendo que 
a polia é feita de aço e que a densidade do 
aço é , determine a 
massa e o peso do contorno externo.
33
mkg 1085.7 
SOLUÇÃO:
• Aplicamos o teorema de Pappus-Guldinus
para determinar os volumes dos sólidos
de revolução para o contorno retangular
total e para a seção retangular interna
(vazada).
• Multiplicamos o volume da polia pela 
densidade para obter sua massa e 
multiplicamos a massa pela aceleração
da gravidade para obter o peso da polia.
Problema Resolvido
SOLUÇÃO:
• Aplicamos o teorema de Pappus-Guldinus para 
determinar os volumes dos sólidos de revolução
para o contorno retangular total e para a seção
retangular interna (vazada).
   3393633 mmm10mm1065,7mkg1085,7  Vm  kg 0,60m
  2sm 81,9kg 0,60 mgW N 589W
• Multiplicamos o volume pela densidade para obter 
a massa e multiplicamos a massa pela aceleração 
da gravidade para obter o peso da polia.
Cargas Distribuídas sobre Vigas
• Uma carga distribuída pode ser caracterizada por 
uma curva representando a carga w (em N/m)
sustentada por unidade de comprimento. A carga 
total sustentada pela viga é igual à área sob a curva.
  AdAdxwW
L
0
 
  AxdAxAOP
dWxWOP
L




0
• Uma carga distribuída pode ser substituída por uma 
carga concentrada com intensidade igual à área sob 
a curva de carga e linha de ação passando pelo 
centroide dessa superfície.
Problema Resolvido
Uma viga suporta a carga distribuída 
mostrada acima. Determine a carga 
concentrada equivalente e as reações 
de apoio.
SOLUÇÃO:
• A intensidade da carga concentrada é 
igual à área da superfície sob a curva de 
carga.
• A linha de ação da carga concentrada 
passa pelo centroide da superfície sob 
a curva.
• Determinamos as reações de apoio 
somando os momentos em relação às 
extremidades da viga.
Problema Resolvido
SOLUÇÃO:
• A intensidade da carga concentrada é igual à área da 
superfície sob a curva de carga.
kN 0,18F
• A linha de ação da carga concentrada passa pelo 
centroide da superfície sob a curva.
kN 18
mkN 63 
X m5,3X
Problema Resolvido
• Determinamos as reações de apoio somando os
momentos em relação às extremidades da viga.
     0m 5,3kN 18m 6:0  yA BM
kN 5,10yB
     0m ,53m 6kN 18m 6:0  yB AM
kN 5,7yA
Centro de Gravidade de um Corpo Tridimensional: Centroide de um Sólido
• Centro de gravidade G:
   jWjW

    
     jWrjWr
jWrjWr
G
G






  dWrWrdWW G

• As relações obtidas são independentes da 
orientação do corpo,
  zdWWzydWWyxdWWx
  zdVVzydVVyxdVVx
dVdW e VW  
• Para corpos homogêneos,
Centroides de Sólidos de Formatos Usuais
Trabalho
• Parte teórica
• Realizar uma pesquisa a cerca do 
assunto centroides utilizando os 
Teoremas de Pappus-Guldinus, 
abordar a importancia deste tópico
na sua formação e possiveis
aplicações.
• Parte Prática
• Buscar 02 execícos deste tema
demostrando sua aplicação e 
explicando seus dados e 
resoluções.
• Entrega: 13/7
• Realizar em grupo 3 a 4 
componentes. (Max 10 
grupos)