RESISTENCIA DOS MATERIAIS TEORIA E EXERCÍCIOS

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Resistência dos 
Materiais para 
Concursos 
 
 
 
 
 
 
 
Técnico(a) Manutenção Júnior Mecânica 
 
Técnico(a) Manutenção Júnior Caldeiraria 
 
 
1a Edição 
1 
Vencer Editorial – Tecnologia em Concursos 
O conteúdo deste material está protegido pela lei n 9610 de 1998. A reprodução deste material 
sem autorização do autor por qualquer meio eletrônico ou reprográfico será considerado crime 
e sujeito às penalidades da lei. 
 
Apresentação 
 
Este material foi desenvolvido para todos os candidatos ao concurso da Petrobrás da 
área técnica mecânica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer observação, contribuição ou crítica a respeito deste material de estudo pode 
ser encaminhado para os seguintes e-mails: 
 
 
vencereditorial@gmail.com 
 
Prof. Antonio Ronaldo Costa Dias 
Engenheiro Mecânico 
Ficha Catalográfica 
 
DIAS, Antonio Ronaldo Costa. Resistência dos Materiais para 
Concursos. Joinville: Vencer Editorial, 2018. 
 
www.vencereditorial.com.br 
 
Autorizo a reprodução parcial deste material desde que seja citada a fonte. 
 
 
 
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Série Teoria e Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eng. Antonio Ronaldo C. Dias 
 
 
 
 
 
 
Engenheiro Mecânico pela UNESP – SP 
Mestrando em Engenharia e Ciências Térmicas pela UFSC 
Professor Curso Técnico CEDUP – Joinville – SC 
 
3 
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SUMÁRIO 
 
Sistema Internacional de Unidades ........................................................................ 7 
Sistema Métrico ...................................................................................................... 7 
Grandezas de Base ................................................................................................ 7 
Grandezas Derivadas ............................................................................................. 8 
Conversão de Unidades ......................................................................................... 9 
Potenciação .......................................................................................................... 11 
Propriedades da potenciação ............................................................................... 11 
Propriedades ........................................................................................................ 11 
Sistema MKS ........................................................................................................ 12 
Prefixos Oficiais do SI ........................................................................................... 14 
Unidades do Sistema Inglês ................................................................................. 14 
Área de Figuras Planas ........................................................................................ 15 
Caiu na Petrobrás ................................................................................................. 16 
Introdução a Resistência dos Materiais ............................................................... 22 
Objetivos .............................................................................................................. 22 
Onde é Utilizada? ................................................................................................. 22 
Esforços Fundamentais ........................................................................................ 22 
Carregamento Axial .............................................................................................. 23 
Tração .................................................................................................................. 23 
Compressão ......................................................................................................... 23 
Cisalhamento ........................................................................................................ 23 
Flambagem........................................................................................................... 24 
Flexão ................................................................................................................... 24 
Torção .................................................................................................................. 24 
Representação de Prefixos ................................................................................... 25 
Como Colocar Prefixos ......................................................................................... 25 
Caiu na Petrobrás ................................................................................................. 27 
Tensão .................................................................................................................... 29 
Tensão Normal ..................................................................................................... 29 
Tensão de Cisalhamento ...................................................................................... 29 
Tensão Admissível ............................................................................................... 29 
Estratégia para resolver exercícios ....................................................................... 30 
Dimensionamento ................................................................................................. 31 
Unidade de Tensão .............................................................................................. 32 
Caiu na Petrobrás ................................................................................................. 33 
Tensão e deformação ............................................................................................ 44 
Limite Elástico ...................................................................................................... 45 
Pontos Principais do Diagrama ............................................................................. 45 
Lei de Hooke ........................................................................................................ 46 
Limite de Escoamento .......................................................................................... 46 
Limite de Resistência ............................................................................................ 47 
Limite de ruptura ................................................................................................... 47 
Coeficiente de Poisson ......................................................................................... 48 
Estricção ............................................................................................................... 49 
Alongamento ........................................................................................................ 49 
Alongamento na Região Elástica.......................................................................... 50 
Força na Região Elástica ...................................................................................... 50 
Dilatação volumétrica ........................................................................................... 50 
Caiu na Petrobrás ................................................................................................. 51 
Propriedades Mecânicas ....................................................................................... 65 
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Ductilidade ............................................................................................................ 65 
Fragilidade ............................................................................................................ 65 
Tenacidade ........................................................................................................... 65 
Resiliência ............................................................................................................ 65 
Dureza .................................................................................................................. 65 
Rigidez ................................................................................................................. 66 
Caiu na Petrobrás ................................................................................................. 67 
Características Geométricas de Figuras Planas .................................................. 70 
Área ...................................................................................................................... 70 
Centro de Gravidade ............................................................................................ 70 
Momento de Inércia .............................................................................................. 70 
Módulo de Resistência ......................................................................................... 73 
Raio de giração .................................................................................................... 73 
Caiu na Petrobras ................................................................................................. 74 
Torção ..................................................................................................................... 77 
Torque interno ...................................................................................................... 77 
Comportamento da torção .................................................................................... 77 
Momento Polar de Inércia ..................................................................................... 79 
Ângulo de Torção de Membros Circulares ............................................................ 80 
Caiu na Petrobrás ................................................................................................. 82 
Flexão ..................................................................................................................... 86 
Premissas Básicas ............................................................................................... 86 
Fórmula da Flexão Elástica .................................................................................. 86 
Tensão Máxima de flexão ..................................................................................... 86 
Caiu na Petrobrás ................................................................................................. 92 
Vigas ....................................................................................................................... 95 
Cargas distribuídas ............................................................................................... 95 
Cargas concentradas ............................................................................................ 96 
Apoios e vínculos.................................................................................................. 96 
Cálculo de Reações .............................................................................................. 97 
Diagramas de esforços ......................................................................................... 98 
Deformações nas vigas ...................................................................................... 105 
Cálculo da flecha máxima para cada tipo ........................................................... 107 
Caiu na Petrobras ................................................................................................ 112 
REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 113 
 
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M
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Sistema Internacional de Unidades 
 
Sistema Métrico 
 
O sistema oficialmente adotado hoje no Brasil, e na maioria dos países, é o 
Sistema Internacional de Unidades (SI) estabelecido em 1960, através 11ª 
Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), com base no Sistema Métrico 
Decimal. No SI, a unidade fundamental de comprimento é o metro, que pode ser 
utilizado com seus múltiplos e submúltiplos como mostrado a seguir: 
 
Grandezas de Base 
 
Grandezas de Base Unidade de Medida 
Tempo segundo(s) 
Massa quilograma (kg) 
Comprimento metro (m) 
Temperatura kelvin (K) 
Quantidade de substância mol 
Corrente elétrica ampére (A) 
Intensidade luminosa candela (cd) 
 
 
Exemplo 
 
a) 1 minuto = 60 s 
b) 5 km = 5000 m 
c) 23 A 
d) Temperatura absoluta 273,15 K 
e) 1 Tonelada = 1000 kg 
f) 1 mol 
 
 
As grandezas de base são as utilizadas basicamente para nomear as unidades 
básicas de medida. 
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Grandezas Derivadas 
 
São todas aquelas compostas das grandezas básicas tais como metro e 
segundo que formam a unidade de velocidade. 
 
Grandezas derivadas Unidades 
Força N - newton 
Velocidade m/s 
Aceleração m/s2 
Volume m3 
 
Exemplo 
 
a) 1 newton = 1kg.1m/s2 
b) 100 m/s 
c) 3000 m3 
 
Para a formar as unidades derivadas deve-se aplicar as fórmulas a fim de obter a sua 
descrição 
 
Peso de um corpo 
𝑝 = 𝑚. 𝑔(𝑁) 
 
Velocidade de um corpo 
𝑉 =
∆𝑠(𝑚)
∆𝑡(𝑠)
 
 
Densidade 
 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎(𝑔)
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒(𝑐𝑚3)
 
 
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Conversão de Unidades 
 
Uma das maiores dificuldades em questõesde concursos é a conversão de 
unidades antes de iniciar a resolução da questão. Por isso uma seção com este tem 
é bem pertinente. 
 
Medidas de comprimento 
 
 
Unidade padrão (m) 
 
Quilômetro 
 
Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro 
1000 m 100 m 10 m 1 0,1 m 0,01 m 0,001 m 
 
103 
 
102 
 
101 
 
100 
 
10-1 
 
10-2 
 
10-3 
 
Medidas de superfície(Área) 
 
 
Unidade padrão (m2) 
Quilômetro 
 
Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro 
1000.000 m 10.000 m 100 m 1 0,01 m 0,0001 m 0,000001 m 
 
106 
 
104 
 
102 
 
100 
 
10-2 
 
10-4 
 
10-6 
 
Você observou nas tabelas anteriores que as medidas de comprimento, 
superfície e volume estão todas representadas com base na medida padrão, 
metro(m), mas observe que se você precisar fazer as conversões de uma unidade 
específica qualquer para outra unidade qualquer você terá que seguir algumas regras 
básicas. 
Por exemplo, se precisar transformar 1 metro para milímetros você deverá 
multiplicar por 10 cada vez que pular para a casa seguinte até chegar à unidade 
desejada, que é o milímetros. Sabemos que 1 metro corresponde a 1000 mm porque 
você precisou pular 3(três) casas para chegar a unidade desejada, em outras palavras 
você multiplicou por dez três vezes. 
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Pode-se resumir o exposto com uma tabela de conversão de fácil 
memorização. 
 
Unidade padrão (m) 
 
Quilômetro 
 
Hectômetro 
 
Decâmetro 
 
Metro 
 
Decímetro 
 
Centímetro 
 
Milímetro 
 
 
0,001 km 
 
0,01 hm 
 
0,1 dam 
 
1 
 
10 dm 
 
 
100 cm 
 
1000 mm 
Divida por 10 Multiplique por 10 
 
Observe que a medida que você divide por 10, a vírgula movimenta para a 
esquerda e enquanto você multiplica por 10 a vírgula movimenta para a direita. 
 
Unidade padrão (m2) 
 
Quilômetro2 
 
Hectômetro2 
 
Decâmetro2 
 
Metro2 
 
Decímetro2 
 
Centímetro2 
 
Milímetro2 
 
 
0,001 km 
 
0,01 hm 
 
0,1 dam 
 
1 
 
10 dm 
 
 
100 cm 
 
1000 mm 
Divida por 100 Multiplique por 100 
 
Observe que a medida que você divide por 100, a vírgula movimenta para a 
esquerda (duas casas) e enquanto você multiplica por 100 a vírgula movimenta para 
a direita (duas casas). 
 
 
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Potenciação 
 
Para você ganhar agilidade e rapidez nos cálculos e resolver rapidamente você 
precisa saber como manipular números com potência de base dez. Para isto vamos 
recordar as propriedades básicas da potenciação. 
 
Propriedades da potenciação 
 
Considere um número inteiro qualquer (a) elevado ao um expoente (m). Sua 
representação pode ser dada da seguinte maneira: 
 
𝑎𝑚 
 
Propriedades 
 
Se duas potências de mesma base são multiplicadas, então soma-se os seus 
expoentes e vice versa. 
 
𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
 
Se duas potências de mesma base são divididas, então subtrai-se os seus expoentes 
e vice versa. 
 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 
 
Uma potência elevada a zero será sempre igual a 1 e vice versa 
 
𝑎0 = 1 
 
Uma potência no denominador de uma fração pode passar para o numerador com o 
expoente com sinal trocado e vice versa 
 
1
𝑎𝑛
= 𝑎−𝑛 
 
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Exemplo 
 
a) 5.5.5 = 53 
b) 1000 = 10.10.10 = 103 
c) 4.104 = 4. 10.10.10.10 = 40.000 
d) 0,1 = 1/10 = 10-1 
e) 0,0128 = 1,28/100 = 1,28.10-2 
 
Observe que os exemplos dependem onde queremos colocar a vírgula. Na primeira, 
segunda ou terceira casa decimal. 
 
Regra Básica 
 
Quando quiser um expoente NEGATIVO – Afaste a vírgula para a DIREITA 
 
Quando quiser um expoente POSITIVO – Afaste a vírgula para a ESQUERDA 
 
Exemplo 
 
Coloque os números a seguir com expoente negativo ou positivo com apenas (01) 
uma casa decimal 
 
a) 0,00015 = 1,5.10-4 
b) 5023 = 5,023.103 
c) 32 = 3,2.10 
d) 2 = 2.100 
 
Sistema MKS 
 
São as iniciais para metro–kg (quilograma)–segundo. É o sistema de unidades físicas 
essencial que originou o Sistema Internacional de Unidades (SI), por este sendo 
substituído. O SI baseou-se, em essência, no Sistema MKS de unidades, algumas 
vezes dito (embora impropriamente) "sistema métrico de unidades". 
 
Unidades derivadas 
 
Assim como no Sistema internacional, algumas unidades derivadas recebem nomes 
especiais: 
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newton (para força); 
joule (para energia, trabalho, calor, etc.); 
pascal, para pressão; 
 
Múltiplos / Subdivisões 
 
 Quilômetro/ Quilómetro (km) 
 Hectômetro/ Hectómetro (hm) 
 Decâmetro (dam) 
 Metro (m) 
 Decímetro (dm) 
 Centímetro (cm) 
 Milímetro (mm) 
 Quilograma (kg) 
 Hectograma (hg) 
 Decagrama (dag) 
 Grama (g) 
 Decigrama (dg) 
 Centigrama (cg) 
 Miligrama (mg) 
 Quilolitro (kl) 
 Hectolitro (hl) 
 Decalitro (dal) 
 Litro (l) 
 Decilitro (dl) 
 Centilitro (cl) 
 Mililitro (ml) 
 
Unidades mecânicas MKS 
 
Grandeza Unidade Definição (Dimensional) CGS 
 
comprimento metro m = 10² cm 
massaquilograma kg = 10³ g 
tempo segundo s 
força newton N = 1 kg.m/s² = 105 dyn 
energia joule J = 1 kg.m²/s² 
potência watt W = 1 kg.m²/s³ 
pressão pascal Pa = 1 kg.m-1.s-2 = 10−5 bar 
 
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Prefixos Oficiais do SI 
 
Prefixos não nomes resumidos de grandezas muito grandes e que facilitam a 
representação e escrita de determinado número 
 
Nome prefixo Símbolo prefixo Numérico Desde 
Deca da 10 1795 
Hecto h 100 1795 
Quilo k 1.000 1795 
Mega M 1.000.000 1960 
Giga G 1.000.000.000 1960 
Tera T 1.000.000.000.000 1960 
Peta P 1.000.000.000.000.000 1975 
Exa E 1.000.000.000.000.000.000 1975 
Zetta Z 1.000.000.000.000.000.000.000 1991 
Yotta Y 1.000.000.000.000.000.000.000.000 1991 
 
Exemplo 
 
a) kN = quilo-newton = 1000 newtons 
b) kg = quilo-grama = 1000 gramas 
c) dag = deca-grama = dez gramas 
d) Tbytes = Tera bytes = 1000.000.000.000 bytes 
 
Unidades do Sistema Inglês 
 
Unidades de comprimento 
O sistema para medir comprimentos nos Estados Unidos se baseia na polegada, no 
pé, na jarda e na milha. 
Cada uma destas unidades tem duas definições ligeiramente diferentes,o que 
ocasiona que existam dois diferentes sistemas de medição. 
1 Polegada (in) = 2,54 cm 
1 Pé (ft) = 12 in = 30,48 cm 
1 Milha (mi) = 1609,344 m 
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Área de Figuras Planas 
 
Quadrado 
 
𝐴𝑞 = 𝑙. 𝑙 = 𝑙
2 
 
Observe as unidade de cada uma das dimensões dadas, por exemplo, se cada um 
dos lados do quadro estiver em mm então a área será em mm2. 
 
Retângulo 
 
𝐴𝑅 = 𝑏. ℎ 
 
Círculo 
 
𝐴𝐶 = 𝜋. 𝑟
2 
 
O valor da constante fixa π equivale a 3,14 sendo utilizada na maioria dos cálculos 
em resistência dos materiais. 
 
Perímetro 
 
𝑝 = 2. 𝜋. 𝑟 
 
 
Volume 
 
 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = Á𝑟𝑒𝑎. 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
 
Quando a geometria for muito complexa então a área resultante será a associação de 
várias figuras simples, por exemplo, retângulos para formar um perfil em T, I ou L. 
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Caiu na Petrobrás 
 
O Sistema Internacional de unidades especifica, para a área mecânica, as unidades 
fundamentais. As grandezas destas unidades, além do comprimento, são: 
 
(A) Tempo e temperatura 
(B) Massa e tempo 
(C) Massa e temperatura 
(D) Força e tempo 
(E) Força e temperatura 
 
No sistema CGS, a unidade de força é o dina, que corresponde à força necessária 
para gerar uma aceleração de 1,0 cm/s2 num corpo de massa igual a 1,0 g. A quanto 
corresponde 1,0 dina na unidade do sistema internacional? 
 
(A) 1,0 N 
(B) 1,0 . 10-1 N 
(C) 1,0 . 10-2 N 
(D) 1,0 . 10-3 N 
(E) 1,0 . 10-4 N 
 
 
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São unidades do Sistema Internacional para as grandezas relacionadas a 
deslocamento, massa, tempo e temperatura, respectivamente 
 
(A) Jardas, grama, minuto, kelvin 
(B) Milhas, quilograma, segundo, Celsius 
(C) Metro, libra, hora, Fahrenheit 
(D) Metro, quilograma, segundo, Fahrenheit 
(E) Metro, quilograma, segundo, kelvin 
 
Uma unidade de medida para força é o quilograma-força, abreviado 
convenientemente por kgf. Trata-se de uma unidade que não pertence ao Sistema 
Internacional, e 1,0 kgf representa o peso de um corpo de 1,0 kg nas proximidades da 
superfície da terra. 
 
Qual a relação entre as unidades newton e quilograma-força? Dados g = 9,8 m/s2 
 
(A) 1,0 kgf = 19,6 N 
(B) 1,0 kgf = 9,8 N 
(C) 1,0 kgf = 1,0 N 
(D) 2,0 kgf = 9,8 N 
(E) 9,8 kgf = 1,0 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uma determinada escala de temperatura, denominada A, é graduada de tal forma que 
se baseia nos seguintes pontos fixos: 
 
- Ponto de fusão do gelo (que, na escala Celsius, corresponde a 0 C) vale 100 A 
- Ponto de ebulição da água (que, na escala Celsius, corresponde a 100 C) vale 1000 
A 
 
Quanto vale, na escala A, a temperatura de 30 C? 
 
(A) 170 A 
(B) 270 A 
(C) 370 A 
(D) 410 A 
(E) 510 A 
 
 
As unidades básicas do Sistema Internacional correspondentes às grandezas massa, 
temperatura termodinâmica e tempo são, respectivamente, 
 
(A) Grama, kelvin e hora 
(B) Grama, grau Celsius e hora 
(C) Quilograma, kelvin e segundo 
(D) Quilograma, grau Celcius e segundo 
(E) Quilograma grau Rankine e hora 
 
 
 
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Um valor de pressão medido em 40 psi, quando convertido para kPa, assume o valor 
aproximado de 
 
(A) 250 
(B) 275 
(C) 300 
(D) 325 
(E) 350 
 
O sistema Internacional de Unidades estabelece o padrão MKS para o desdobramento 
de outra unidades e grandezas. A grandeza de pressão é equivalente a 
 
(A) MS-2 
(B) MKS-2 
(C) MKS-4 
(D) M-1 KS-2 
(E) M-1 KS-4 
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A unidade de pressão no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o pascal (Pa) 
Utilizando-se as unidades de base do SI: comprimento(m), massa (kg) e tempo (s), a 
combinação equivalente ao (Pa) é 
 
(A) 1/ kg.m.s2 
(B) Kg/m.s2 
(C) Kg.m.s 
(D) Kg/m.s 
(E) Kg.m/s2 
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IN
T
R
O
D
U
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Ã
O
 
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Introdução a Resistência dos Materiais 
 
A resistência dos materiais é o estudo da capacidade de um material e resistir esforços 
externos (tração, torção, flexão, cisalhamento) sem se romper (entrar em colapso). 
 
Objetivos 
 
Dimensionar elementos de uma construção civil ou mecânica, sujeitos aos mais 
variados tipos de carregamentos; 
Estimar as deformações ocasionadas no corpo pela ação de forças externas e 
internas; 
Determinar as propriedades (dimensões, forma e material) que o fazem capaz de 
resistir à ação dessas forças. 
 
Onde é Utilizada? 
 
Resistência dos materiais utiliza-se para o projeto de: 
Pontes 
Estruturas de aço, concreto e madeira 
 
Esforços Fundamentais 
 
São esforços que alteram as características geométricas da peça 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Carregamento Axial 
 
Na solicitação de tração ou compressão, o esforço é normal à secção transversal do 
corpo, ou seja, o esforço atua na direção longitudinal da peça. 
 
Tração 
 
Solicitação tende a alongar a peça no sentido da reta de ação da resultante do sistema 
de forças. 
 
 
 
 
 
 
 
Compressão 
 
A solicitação tende a encurtar a peça no sentido de ação da resultante do sistema de 
forças. 
 
Cisalhamento 
 
Solicitação que tende a deslocar paralelamente, em sentido oposto, duas secções 
contíguas de uma peça. Neste tipo de esforço, a peça sofre a ação de uma carga de 
ação tangencial a área da secçãotransversal da peça, chamada de força cortante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Flambagem 
 
Neste tipo de esforço, a peça pode perder a sua estabilidade, sem que o material 
tenha atingido o seu limite de escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
 
Na flexão a solicitação tende a modificar o eixo geométrico de uma peça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Torção 
 
A solicitação tende a girar as secções de uma peça, uma em relação às outras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Representação de Prefixos 
 
Quando uma quantidade numérica é muito grande ou muito pequena, as unidades 
usadas para definir o seu tamanho devem ser acompanhadas de um prefixo. Alguns 
dos prefixos usados no SI são mostrados na tabela abaixo. Cada um representa um 
múltiplo ou submúltiplo de uma unidade que, aplicada sucessivamente, move o ponto 
decimal de uma quantidade numérica para cada terceira casa decimal. 
 
Exemplo 
 
a) 4.000.000 N = 4.000 kN (Quilonewtons) = 4 MN (Meganewtons) 
 
Substitua a quantidade de zeros pelo prefixo desejado, podemos querer o prefixo 
quilo (k) ou podemos querer o prefixo Mega (M) depende do que o exercício quer 
indicar. 
 
b) 98.000.000.000 = 98 GN (Giganewtons) 
 
PREFIXOS 
 Exponencial Prefixo Símbolo (SI) 
Múltiplos 
1.000.000.000 109 giga G 
1.000.000 106 mega M 
1.000 103 quilo K 
 
Como Colocar Prefixos 
 
Exemplo 1 
 
Neste caso o número é muito grande e queremos obter quilo newtons (Kn). Vamos 
tomar como exemplo o valor de 2000 newtons que pode ser representado por 
2.10.10.10 N 
 
a) Desmembre as potências de 10 tal como foi verificado 
 
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2.10.10.10 = 2. 103 
 
b) Observe que a potência de 10 que equivale a quilo newton pode agora ser 
substituída 
 
2. 103𝑁 = 2𝐾𝑁 
Exemplo 2 
 
Quando o número não possuir zeros utilize a estratégia de mover a vírgula para a 
esquerda a fim de obter expoente positivo. 
 
O número 625.357 bytes será representado em Kbytes 
 
a) Afaste a vírgula 3(três) casa para a esquerda e teremos 625,357.103 
b) Agora basta substituir a potência de 103 pelo prefixo Kilo 
c) Resultando em 625,357 Kbytes 
 
Exemplo 3 
 
Neste exemplo o número é pequeno e queremos transformá-lo em Mega 
 
a) 0,03 N em MN. Divida e multiplique ao mesmo tempo por 106 
 
0,03.
106
106
𝑁 
 
b) Substitua o valor do numerador 106 por M 
 
0,03.
𝑀
106
𝑁 
 
c) Eleve o expoente positivo do denominador para o numerador. Com isso, 
inverte-se automaticamente o sinal do expoente que está no numerador. 
 
 
0,03. 10−6𝑀𝑁 
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São exemplos de esforços axiais: 
 
(A) Um cabo de um guindaste elevando-se uma carga verticalmente em um navio 
(B) Uma guilhotina corta uma chapa espessa de 5 mm de espessura 
(C) Um eixo rotativo de uma bomba acionada por um motor elétrico 
(D) Uma prancha em uma piscina com uma pessoa em sua extremidade 
(E) Uma coluna de um prédio sustentando o peso de uma laje de concreto 
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Tensão 
 
Tensão Normal 
 
A tensão pode ser definida como a resistência interna oferecida para uma unidade de 
área de um material para uma carga externa aplicada. De um modo simples, tensão 
pode ser quantificada como a distribuição do esforço externo (N) por unidade de área 
(m2) resistente do corpo. 
 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 (𝑃𝑎) 
 
Tensão de Cisalhamento 
 
Simbolizada pela letra grega tau minúsculo (), é a tensão que atua paralela à secção 
transversal (área) do corpo. 
 
𝜏 =
𝐹
𝐴
(𝑃𝑎) 
 
Tensão Admissível 
 
O coeficiente de segurança (n) é um fator que define o limite de trabalho de um projeto, 
ou seja, a tensão admissível. A tensão admissível 

 representa a tensão limite com a 
qual se pode projetar sem perigo de surpresas desagradáveis. Para se definir o 
coeficiente de segurança podemos aplicar o seguinte critério: 
 
𝜎𝐴𝐷𝑀 =
𝜎
𝑛
 
 
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Estratégia para resolver exercícios 
 
Quando o exercício pedir: 
 
A tensão aplique a fórmula da tensão e faça a conversão do resultado para a 
unidade pedida no exercício 
 
𝝈 =
𝑭
𝑨
 
 
Se a força estiver em “kgf” multiplique por 10 para obter Newtons 
Se a área estiver em mm2 converta para m2 como foi explicado nos capítulos 
anteriores 
 
A força aplique a fórmula para a força e faça a conversão do resultado para a 
unidade pedida no exercício. 
 
𝑭 = 𝝈. 𝑨 
 
Observe bem as unidades para não ter problemas. A tensão deve estar em N/m2 e a 
área deverá estar em m2. A força resultante será em newtons 
 
A dimensão do elemento (lado, diâmetro etc) utilize a fórmula com a área e 
faça a conversão para a unidade pedida. 
 
𝑨 =
𝑭
𝝈
 
 
Observe novamente as unidades para que estejam consistentes. 
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Tabela 1 - Valores típicos de tensões de escoamento e de ruptura para aços-
carbono comerciais. 
 
 
ABNT 
1010 
 
ABNT 
1020 
 
 
ABNT 1030 
 
ABNT 1040 
 
ABNT 1050 
(MPa) 
 
177 
 
 
206 
 
255 
 
284 
 
343 
(MPa) 
 
324 
 
382 
 
470 
 
520 
 
618 
 
 
Em geral, para fins de dimensionamento, no caso de materiais dúcteis 
considera-se a tensão admissível igual à tensão de escoamento dividida por um 
coeficiente de segurança. No caso de materiais frágeis, a tensão de escoamento não 
édefinida e é usada a de ruptura dividida pelo coeficiente de segurança. 
 
O coeficiente de segurança (n) é um fator que define o limite de trabalho de um 
projeto, ou seja, a tensão admissível. A tensão admissível 

 representa a tensão limite 
com a qual se pode projetar sem perigo de surpresas desagradáveis. 
 
Dimensionamento 
 
Materiais dúcteis considera-se a tensão admissível igual à tensão de escoamento 
dividida por um coeficiente de segurança. 
Materiais frágeis, a tensão de escoamento não é definida e é usada a de ruptura 
dividida pelo coeficiente de segurança. 
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Para se definir o coeficiente de segurança podemos aplicar o seguinte critério: 
 
n = x.y.z.w 
x
: 
Tipo de material = 2: materiais comuns 
1,5 : aços liga ou de alta qualidade 
y
: 
Tipo de 
solicitação 
= 1 : carregamento estático 
2 : carregamento intermitente 
3 : carregamento alternado 
z
: 
Fator do tipo de 
carga 
= 1 : carga gradual 
1,5 : choques leves 
2 : choques bruscos 
w
: 
Falhas de 
fabricação 
= 1,5 : aços 
2 : ferro fundido 
 
 
Unidade de Tensão 
 
A unidade de tensão é o Pa (Pascal) dada em homenagem a Blaise Pascal (1623-
1662) matemático, físico e inventor na França. 
 
1 𝑃𝑎 = 1
𝑁
𝑚2
 
 
 
A unidade de tensão no sistema inglês é o PSI 
 
 
1𝑃𝑆𝐼 = 1
𝑙𝑏
𝑖𝑛2
 
 
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Caiu na Petrobrás 
 
Em um ensaio de tração, um corpo de prova é submetido a uma força de 1,0 kN. Se 
a seção transversal do corpo é de 5,0 mm2, a tensão normal atuante no corpo, em 
MPa, vale: 
 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 20 
(D) 50 
(E) 200 
 
Resolução 
𝝈 =
𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝑵
𝟓. 𝟏𝟎−𝟔𝒎𝟐
=
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟓. 𝟏𝟎−𝟔
= 𝟐𝟎𝟎. 𝟏𝟎𝟔 = 𝟐𝟎𝟎 𝑴𝑷𝒂 
 
 
Uma barra de aço com área de seção transversal de 1 cm2 deve ser solicitada 
axialmente por uma carga trativa de 18 kN. Considerando a curva mostrada na figura, 
essa barra será 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) Rompida, pois a tensão nela atuante será superior a 380 MPa 
(B) Rompida, pois a tensão nela atuante será superior a 200 MPa e inferior a 380 MPa 
(C) Deformada plasticamente, pois a tensão nela atuante será superior a 200 MPa e 
inferior a 380 MPa 
(D) Deformada apenas elasticamente, pois a tensão nela atuante será superior a 200 
MPa e inferior a 270 MPa 
(E) Deformada elasticamente, pois a tensão nela atuante será inferior a 200 MPa 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
𝝈 =
𝟏𝟖.𝟎𝟎𝟎𝑵
𝟏.𝟏𝟎−𝟒𝒎𝟐
=
𝟏𝟖𝟎.𝟏𝟎𝟐
𝟏.𝟏𝟎−𝟒
= 𝟏𝟖𝟎. 𝟏𝟎𝟔 = 𝟏𝟖𝟎 𝑴𝑷𝒂 
 
A barra não atingirá o limite elástico e não irá se romper pois a tensão alcançada é 
menor que o limite elástico. 
 
Alternativa (E) – Correta 
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Observe a figura abaixo 
 
Considere as forças F1 e F2, em N, respectivamente iguais a 1600 e 2400. Qual a 
tensão normal, devida ao esforço axial, em Mpa, na secção transversal da parte A? 
 
(A) 16/9 
(B) 24/3 
(C) 24/9 
(D) 40/3 
(E) 40/9 
Resolução 
 
Observe que na seção A o perfil é quadrado 
 
𝑨 = 𝟑𝟎. 𝟑𝟎 = 𝟗𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟐 
 
Em A 
 
A resultante da força será 
 
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 = 1600 + 2400 = 4000 𝑁 
 
 
Portanto 
 
𝝈 =
𝟒. 𝟎𝟎𝟎𝑵
𝟗𝟎𝟎. 𝟏𝟎−𝟔𝒎𝟐
=
𝟒𝟎
𝟗
𝑴𝑷𝒂 
 
 
Alternativa (E) – Correta 
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Uma barra de seção transversal quadrada de 1,0 cm de lado é solicitada axialmente 
por uma força de 800 N. A tensão normal atuante na seção transversal da barra, em 
MPa, vale 
 
(A) 0,8 
(B) 1,25 
(C) 8,00 
(D) 12,50 
(E) 80,00 
 
 
Resolução 
 
Observe que na seção A o perfil é quadrado 
 
𝑨 = 𝟏. 𝟏 = 𝟏 𝒄𝒎𝟐 
 
Em A 
 
A resultante da força será 
 
𝐹 = 800 𝑁 
 
 
Portanto 
 
𝝈 =
𝟖𝟎𝟎𝑵
𝟏. 𝟏𝟎−𝟒𝒎𝟐
=
𝟖. 𝟏𝟎𝟐
𝟏. 𝟏𝟎−𝟒𝒎𝟐
= 𝟖 𝑴𝑷𝒂 
 
 
Alternativa (C) – Correta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Um esforço axial de tração gera os valores máximos de tensão 
 
(A) Normal na seção transversal e de cisalhamento em um plano a 45o 
(B) Normal na seção transversal e de cisalhamento em um plano a 60o 
(C) De cisalhamento na seção transversal e normal em um plano a 45o 
(D) De cisalhamento na seção transversal e normal em um plano a 45o 
(E) Normal e de cisalhamento na seção transversal 
 
Resolução 
 
De acordo com livro Resistência dos Materiais de Ferdinand Beer e E. Russel 
Johnston, JR. Mais precisamente na página 30 
“A máxima tensão normal ocorre quando a seção transversal é perpendicular ao eixo.” 
“A máxima tensão cisalhante em 45 graus atinge seu valor máximo.” 
 
𝜏 =
𝐹
𝐴
𝑠𝑒𝑛45. 𝑐𝑜𝑠45 =
𝐹
2. 𝐴
 
 
 
Alternativa (A) – Correta 
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A área da seção transversal de um corpo de prova é de 1,0 cm2. Se o material atende 
à lei de Hooke, ao ser solicitado axialmente por uma força de 2.000 N, a tensão 
normal, em MPa, nele atuante é 
 
(A) 10 
(B) 20 
(C) 100 
(D) 200 
(E) 500 
 
Resolução 
 
Para resolver esta questão devemos aplicar apenas a fórmula da tensão. Observe 
bem que o enunciado pede a tensão em Mpa então devemos deixar obrigatória mente 
a área em metros quadrados pois 1 Pa = 1 N/m2. 
 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 
Substituindo os valores temos 
 
𝜎 =
2000 𝑁
1. 10−4𝑚2
= 2. 107 = 20. 106𝑃𝑎 = 20 𝑀𝑃𝑎 
 
Alternativa (B) – Correta 
 
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Em uma viga sujeita a cargas transversais, a linha neutra corresponde aos pontos 
materiais da viga em que as tensões 
 
(A) Normais são nulas.(B) Normais são uniaxiais. 
(C) Tangenciais são nulas. 
(D) Tangenciais são uniaxiais. 
(E) Normais anulam as tangenciais. 
 
Resolução 
 
Uma questão muito bem elaborada de Resistência dos Materiais afirmando que se 
tivéssemos somente cargas transversais, ou seja, cargas que formam um ângulo de 
90 graus em relação ao eixo longitudinal imaginário na viga (linha neutra da viga) a 
tensão cisalhante é máxima, mas a tensão normal será teoricamente nula, porque o 
efeito da tensão normal aparece somente quando a força está formando um ângulo 
de 90 graus e não quando está paralela à área como afirma o enunciado. 
 
Alternativa (A) – Correta 
 
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As colunas 1 e 2 da estrutura mostrada na Figura acima sustentam, respectivamente, 
as cargas R1 e R2 provenientes do carregamento concentrado F. Para garantir o 
equilíbrio da estrutura, a relação entre as cargas atuantes nas colunas, R1 / R2, vale 
 
(A) 1/4 
(B) 1/2 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 4 
 
Resolução 
 
Condição de equilíbrio para as reações nas vigas 1 e 2 
 
R1 + R2 – F =0 daí R1 + R2 = F 
 
Condição de equilíbrio de momentos nas vigas 1 e 2 
 
F (1) – R2 (3) = 0(Sentido horário positivo) sendo que R2 = F/3 
 
R1 (3) – F(2) = 0(Sentido horário positivo) sendo que R1 = 2F/3 
 
Agora dividindo R1 por R2 temos que: 
 
R1 / R2 = 2 
 
Alternativa (D) – Correta 
 
 
 
 
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Uma viga sob flexão é fabricada a partir de um perfil T com a seção transversal na 
posição mostrada na figura. Se as cargas atuantes transversalmente à viga induzem 
à mesa uma compressão, as tensões normais ocorrentes nas fibras superior e inferior 
da seção serão: 
 
(A) Iguais em módulo, sendo uma de tração e uma de compressão. 
(B) Iguais em módulo, sendo ambas de tração. 
(C) Iguais em módulo, sendo ambas de compressão. 
(D) Distintas, atuando na fibra superior a de maior valor absoluto. 
(E) Distintas, atuando na fibra inferior a de maior valor absoluto. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Vamos raciocinar um pouco, se as forças de compressão na parte superior e de tração 
na parte inferior da viga são de mesmo módulo, porém de sentidos contrários a maior 
tensão aparecerá na seção da viga onde possui menor área e esta seção é a seção 
inferior. Lembrando que as forças possuem mesmo módulo, mas as tensões normais 
são distintas. 
 
 
ALTERNATIVA (E) – CORRETA 
 
 
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Para realizar a manutenção de uma máquina, um técnico a apoia sobre quatro 
suportes de madeira de dimensões 10 cm x 10 cm x 15 cm, conforme mostrado na 
figura. Se a máquina pesa 4000 N (distribuídos uniformemente), a tensão normal 
atuante em cada um dos suportes, em MPa, vale 
 
(A) 0,1 
(B) 0,2 
(C) 0,4 
(D) 1,0 
(E) 2,0 
 
 
 
Resolução 
 
Observe que na seção A o perfil é quadrado 
 
𝑨 = 𝟏𝟎. 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 
 
Como são quatro suportes, então cada um deles suportará 1000 N 
 
𝐹 = 1000 𝑁 
 
 
Portanto 
 
𝝈 =
𝟏𝟎𝟎𝟎𝑵
𝟏𝟎𝟎. 𝟏𝟎−𝟒𝒎𝟐
=
𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝟐
𝟏𝟎𝟎. 𝟏𝟎−𝟒𝒎𝟐
= 𝟎, 𝟏 𝑴𝑷𝒂 
 
 
Alternativa (A) – Correta 
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E
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 E
 D
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M
A
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Tensão e deformação 
 
Quando um corpo de prova é submetido a um ensaio de tração, a máquina de ensaio 
fornece como resultado um gráfico que mostra a relação entre a força aplicada e as 
deformações ocorridas durante o ensaio. O gráfico abaixo mostra as etapas do ensaio 
de tração 
 
A – Limite de escoamento superior 
B – Limite de escoamento inferior 
C – Limite de resistência 
D – Limite de ruptura 
 
Etapas do ensaio de tração realizado em laboratório 
Figura: Resistência dos Materiais “Para entender e gostar” 
Exemplos de vários materiais sujeitos a uma força em um ensaio de tração 
 
 
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e sujeito às penalidades da lei. 
 
Limite Elástico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos Principais do Diagrama 
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Lei de Hooke 
 
Analisando o gráfico anterior, podemos conhecer uma das propriedades interpretada 
pelo gráfico que é o limite elástico. Este limite marca o ponto onde ocorre a 
deformação elástica do material. Nesta fase, as deformações causadas no material 
são proporcionais às tensões aplicadas. 
A lei de Hooke só vale até um determinado valor de tensão, denominado limite de 
proporcionalidade, que é o ponto representado no gráfico a seguir por A, a partir do 
qual a deformação deixa de ser proporcional à carga aplicada. Na prática, considera-
se que o limite de proporcionalidade e o limite de elasticidade são coincidentes. 
 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 
 
Esta igualdade é chamada “Lei de Hooke” e o fator de proporcionalidade E é dito 
módulo de elasticidade do material. O módulo de elasticidade também é conhecido 
por módulo de Young (homenagem ao cientista inglês Thomas Young). Para 
compressão, podemos considerar a mesma lei, considerando a tensão com sinal 
contrário 
 
Limite de Escoamento 
 
Terminada a fase elástica, tem início a fase plástica, na qual ocorre uma deformação 
permanente no material, mesmo que se retire a força de tração. No início da fase 
plástica ocorre um fenômeno chamado escoamento. O escoamento caracteriza-se por 
uma deformação permanente do material sem que haja aumento de carga, mas com 
aumento da velocidade de deformação. Durante o escoamento a carga oscila entre 
valores muito próximos uns dos outros. 
 
Observa-se que o início da fase plástica representa cerca de 0,002 da deformação 
elástica. Ou ainda cerca de 
 
 
 
 
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Gráfico “Tensão versus Deformação” mostrando claramente as regiões 
elástica e plástica. 
Figura: Resistência dos Materiais “Para entender e gostar” 
 
Limite de Resistência 
 
Após o escoamento ocorre o encruamento, que é um endurecimento causado pela 
quebra dos grãos que compõem o material quando deformados a frio. O material 
resiste cada vez mais à tração externa, exigindo uma tensão cada vez maior para se 
deformar. Nessa fase, a tensão recomeça a subir, até atingir um valor máximo num 
ponto chamado de limite de resistência. 
 
Limite de ruptura 
 
Continuando a tração, chega-se à ruptura do material, que ocorre num ponto chamado 
limite de ruptura (C). Note que a tensão no limite de ruptura é menor que no limite de 
resistência, devido à diminuição da área que ocorre no corpo de prova depois que se 
atinge a carga máxima. 
 
Módulo de elasticidade 
 
A experiência ensina que a ação de qualquer força sobre um corpo altera a sua forma, 
isto é, provoca uma deformação. Por definição, deformação é definida como a 
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variação de uma dimensão qualquer de um corpo, por unidade da mesma dimensão, 
quando esse corpo é submetido a um esforço qualquer. Com um aumento da 
intensidade da força, há um aumento da deformação. 
No ensaio de tração, um fio solicitado por uma força de pequena intensidade sofrerá 
uma deformação transitória e retornará ao seu comprimento inicial quando a força 
for removida. Isto caracteriza o domínio elástico da deformação. 
A constante de proporcionalidade E é chamado de módulo de elasticidade ou 
módulo de Young. Este valor é constante para cada metal ou liga metálica. Este valor 
mede a rigidez do material; quanto maior o módulo, menor será a deformação elástica 
resultante da aplicação de uma tensão e mais rígida será o metal. 
Aumentando a intensidade da força, o fio sofrerá uma deformação permanente 
 
Coeficiente de Poisson 
 
O coeficiente de Poisson é a relação entre a deformação lateral (na direção y ou z) e 
a axial (na direção x). 
 
 
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Valores típicos de E e µ para alguns metais. 
 
 
Metal 
 
 
Aços 
 
Alumínio 
 
Bronze 
 
Cobre 
Ferro 
fundido 
 
Latão 
 
E (GPa) 
 
206 
 
 
68,6 
 
98 
 
118 
 
98 
 
64 
 
µ 
 
0,30 
 
 
0,34 
 
0,33 
 
0,33 
 
0,25 
 
0,37 
 
Estricção 
 
No ensaio de tração, à medida que aumentamos a intensidade de carga normal 
aplicada, observamos que a peça apresenta alongamento na direção longitudinal e 
uma redução na área da secção transversal. A quantidade de área reduzida é 
chamada de estricção (). 
A estricção é uma medida da ductilidade do material ensaiado. 
 
𝜑 =
𝐴𝑜 − 𝐴𝑓
𝐴𝑜
. 100 
Alongamento 
 
 
Aumento no seu comprimento com uma diminuição da área da seção transversal. Este 
aumento de comprimento recebe o nome de alongamento (Δl) representado pela letra 
grega “Delta”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝜑 =
𝐿𝑓 − 𝐿𝑜
𝐿𝑜
. 100 
 
Alongamento na Região Elástica 
 
 
A relação da força e o alongamento na região elástica pode ser estimado com a 
seguinte fórmula: 
 
∆𝑙 =
𝐹. 𝑙
𝐸. 𝐴
 
 
 
 
Força na Região Elástica 
 
 
Da mesma forma que o alongamento a força na região elástica também pode 
ser estimada com a seguinte fórmula: 
 
𝐹 =
∆𝑙. 𝐸. 𝐴
𝑙
 
 
Verifique se as unidades estão consistentes ! 
 
 
Dilatação volumétrica 
 
A mudança de volume do elemento será chamada e, cujo valor é 
 
𝑒 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 
 
 
 
 
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Caiu na Petrobrás 
 
Considere um esforço axial de 36.000 N em uma barra metálica com módulo de 
elasticidade de 210 GPa, seção quadrada de 30 mm de lado e comprimento igual a 
1050 mm. Nestas condições, o alongamento em mm, é igual a: 
 
(A) 0,20 
(B) 0,35 
(C) 0,40 
(D) 0,55 
(E) 0,60 
 
Resolução 
 
Dados do problema: 
 
E=210.109 N/m2 
L = 1050.10-3m 
F = 36000 N 
A = 30.30 = 900.10-6 m2 
 
Transformando todas as unidades para metros 
 
Sabe-se da lei de “Hooke” que: 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 
 
E ainda que: 
 
𝜀 =
∆𝐿
𝐿
 
Substituindo, temos: 
 
∆𝑙 =
𝐹. 𝑙
𝐸. 𝐴
 
 
∆𝑙 =
36. 103. 1050. 10−3
210. 109. 900. 10−3
= 0,20 𝑚𝑚 
 
Alternativa (A) – Correta 
 
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Um determinado componente metálico, em formato cilíndrico, precisa resistir à 
deformação causada por uma tensão aplicada de 540 MPa. Se a área da seção reta 
desse componente é de 0,27 cm2, o menor valor da força aplicada que, ao ser 
ultrapassado, provocará sua deformação será 
 
(A) 2 N 
(B) 20 N 
(C) 200 N 
(D) 2.000 N 
(E) 20.000 N 
 
Resolução 
 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 
 
 
 
𝜎 = 540. 106 𝑁/𝑚2 
 
A = 0,27.10-4 m2 
 
 
𝐹 = 𝜎. 𝐴 = 540. 106. 0,27. 10−4 = 14580 𝑁 
 
Não havendo recurso esta questão seria cancelada 
 
Alternativa (A) – Correta 
 
Considerando-se a Lei de Hooke, se a tensão limite de escoamento de uma aço é de 
524 MPa, e o módulo de elasticidade do mesmo material é 212 GPa, a deformação 
elástica máxima nesse aço é 
 
(A) 0,11% 
(B) 0,12% 
(C) 0,16% 
(D) 0,22% 
(E) 0,24% 
 
Resolução 
 
 
σ = ε . E 
Substituindo teremos 
 
524.106 = ε . 212.109 
ε = 0,0024 
ε = 0,24 % 
 
Alternativa (E) – Correta 
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Um corpo de prova de aço, com seção retangular de 100 mm x 200 mm, é puxado em 
tração com uma força de 1.000.000 N. Supondo-se que a deformação é inteiramente 
elástica, qual a deformação (ε) dessa peça? 
Dado módulo da elasticidade do aço = 20 GPa 
 
(A) 2,5.10-3 
(B) 5,0.10-4 
(C) 0,25 
(D) 50 
(E) 2,5.103 
 
Resolução 
 
Inicialmente calculamos a área da seção transversal 
 
A = 100x200=20.000 mm2 
 
F = 1.000.000 N 
 
𝜎 =
𝐹
𝐴
=
1. 106
20. 103. 10−6
=
1
20
. 109 
 
Observe que o módulo de elasticidade dado é de 20.109 Pa 
 
1
20
. 109 = ε .20.109Substituindo teremos 
 
𝜀 =
1
20.20
.
109
109
=
1
400
= 2,5. 10−3 
 
 
Alternativa (A) – Correta 
 
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Um bloco de aço, em formato de paralelepípedo, é deformado plasticamente em 
0,52% em uma aresta, 0,84% em outra aresta e 0,98% em outra aresta. A deformação 
volumétrica plástica total do paralelepípedo é 
 
(A) 1,62% 
(B) 1,92% 
(C) 2,08% 
(D) 2,34% 
(E) 4,28% 
 
A mudança de volume do elemento será chamada e, cujo valor é 
 
𝑒 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 
 
 
𝑒 = 0,52 + 0,84 + 0,98 = 2,34% 
 
Alternativa (D) – Correta 
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A figura acima mostra os resultados de ensaios de tração realizados em três corpos 
de prova de materiais distintos. O resultado do ensaio que mais adequadamente 
representa o comportamento de um aço típico é o da curva 
 
(A) C1 porque apresenta a menor deformação específica no ponto de ruptura 
(B) C1 porque o material rompe sem escoar 
(C) C2 porque apresenta claramente uma região de escoamento do material 
(D) C2 porque é o que apresenta a maior tensão de ruptura 
(E) C3 porque não apresenta uma região de comportamento linear do material 
 
 
Alternativa (C) – Correta 
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Um corpo de prova de 10 cm de comprimento nominal e 0,2 cm2 de área de seção 
transversal é submetido a uma carga axial trativa até atingir o ponto P da curva tensão 
X deformação mostrada na figura. A carga axial aplicada ao corpo (em N) e o módulo 
de elasticidade do material (em GPa) são, respectivamente, 
 
(A) 1.000 e 200 
(B) 2.200 e 220 
(C) 2.200 e 440 
(D) 4.400 e 220 
(E) 4.400 e 440 
 
Resolução 
 
Considerando a unidade mícron = 10-6 m e GPa = 109 encontramos primeiro o módulo 
de elasticidade porque a fórmula para encontra-lo é mais fácil. A tensão é proporcional 
a deformação e o módulo de elasticidade na região elástica é dado por: 
 
σ = ε . E 
Substituindo teremos 
 
220.106 = 1000.10-6 . E 
 
E= 220 GPa 
 
𝐹
𝐴
= 1000. 10−6. 220. 109 
 
Lembrando que 0,2 cm2 = 0,00002 m2 
 
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𝐹
0,00002
= 1000. 10−6. 220. 109 
 
F = 4400 N 
 
Alternativa (D) – Correta 
 
 
 
A probabilidade de não se obter no ensaio de tração a observação do escoamento 
nítido é acentuada. Uma técnica adotada para a obtenção do valor limite de 
escoamento é apresentada na figura abaixo, onde uma reta paralela à porção da reta 
curva da zona elástica é traçada a partir de uma deformação ε 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para materiais que possuem plasticidade reduzida, o valor a ser adotado para a 
deformação ε é igual a 
 
(A) 0,10% 
(B) 0,15% 
(C) 0,20% 
(D) 0,25% 
(E) 0,50% 
 
Resolução 
 
Segundo o autor Sérgio A. Souza no livro “Ensaios Mecânicos de Materiais Metálicos” 
na página 23 
“Para ligas metálicas que possuem a região de plasticidade muito pequena pode-se 
tomar para o valor de n (deformação) de 0,1%” 
 
Alternativa (A) – Correta 
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O diagrama tensão x deformação, obtido de uma máquina de ensaio de tração para 
um corpo de prova de aço, indica uma região em que a tensão é proporcional à 
deformação e outra região em que a tensão não é proporcional à deformação, 
conforme mostrado na Figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando-se os distintos comportamentos do corpo de prova indicados nessa 
Figura, verifica-se que a lei de Hooke é válida, apenas, no(s) trecho(s) 
 
(A) OA 
(B) CD 
(C) BC 
(D) OA e BC 
(E) OA e AB 
 
Resolução 
 
A lei de Hooke é válida somente no trecho AO onde predomina a tensão proporcional 
com a deformação 
 
Alternativa (A) – Correta 
 
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Considere um esforço axial de 36.000 N em uma barra metálica com módulo de 
elasticidade de 210 GPa, seção quadrada de 30 mm de lado e comprimento igual a 
1050 mm. Nestas condições, o alongamento em mm, é igual a: 
 
(A) 0,20 
(B) 0,35 
(C) 0,40 
(D) 0,55 
(E) 0,60 
 
Resolução 
 
Dados do problema: 
 
E=210.109 N/m2 
L = 1050.10-3m 
F = 36000 N 
A = 30.30.10-6 m2 
 
Transformando todas as unidades para metros 
 
Sabe-se da lei de “Hooke” que: 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 
 
E ainda que: 
 
𝜀 =
∆𝐿
𝐿
 
 
Substituindo, temos: 
 
∆𝑙 =
𝐹. 𝑙
𝐸. 𝐴
=
36000.1050.10
210.10.900.10
= 0,2 𝑚𝑚 
 
 
Alternativa (A) – Correta 
 
 
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Considere a figura abaixo, que se refere a um material com módulo de elasticidade 
igual a 18.000 kgf/mm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão normal máxima, em MPa, é 
 
(A) 60 
(B) 70 
(C) 80 
(D) 90 
(E) 100 
 
 
E = 18.000 kgf/mm2 = 180.109 N/m2 
L = 400.10-3 m 
L = 1800.10-3 m 
F = 60000 N 
A = 20.20.10-6 m2 
A = 30.30.10-6 m2 
 
Sabe-se da lei de “Hooke” que: 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 
 
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(PETROBRAS-2005) Observe a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
Considere as forças F1 e F2, em N, respectivamente iguais a 1600 e 2400. Qual a 
tensão normal, devida ao esforço axial, em Mpa, na secção transversal da parte A? 
 
(A) 16/9 
(B) 24/3 
(C) 24/9 
(D) 40/3 
(E) 40/9 
 
Resolução 
Observe que na seção em A o símbolo apresentado é de um perfil quadrado e portanto 
a área a ser calculada deve ser 
 
A = 30.30 = 900 mm2 
 
Considerando que F1 + F2 = 4000 N 
 
𝜎 =
4000
900. 10−6
=
40
9
𝑀𝑃𝑎 
 
Alternativa (E) – Correta 
 
 
 
 
 
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(PETROBRAS 2011) Uma barra homogênea de comprimento de 1 metro e seção reta 
quadrada de lado 2 cm está submetida a uma tração de 200 kN. O material do qual é 
constituída a barra possui módulo de elasticidade de 200 GPa. Qual o valor da 
deformação da barra, considerando que se encontra no regime elástico? 
Dados: 1GPa = 109Pa 
 
(A) 25 cm 
(B) 2,5 cm 
(C) 25 mm 
(D) 2,5 mm 
(E) 0,25 mm 
 
 
 
 
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(PETROBRAS-2010) Uma viga de 2,0 m de comprimento, submetida a uma força de 
tração de 10.000 N, é feita de um material cujo módulo de elasticidade é 2,0.103 
N/mm2. Qual a deformação elástica dessa viga, considerando que a área da secção 
transversal é quadrada e mede 0,5 cm2? 
 
 
Dado 1 cm = 10 mm 
(A) 1,0.10-1 mm 
(B) 2,0.102 mm 
(C) 2,0.103 mm 
(D) 4,0.10-2 mm 
(E) 6,0.10-1 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No diagrama tensão x deformação típico de um aço, mostrado na figura acima, o 
comportamento do material sob tração é linear APENAS no(s) trecho(s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(A) PQ 
(B) OP 
(C) QR 
(D) PQ e QR 
(E) OP e QR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P
R
O
P
R
IE
D
A
D
E
S
 M
E
C
Â
N
IC
A
S
 
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Propriedades Mecânicas 
 
Ductilidade 
 
Um material dúctil se deforma mais plasticamente do que outros antes da ruptura, 
quando sujeito a um grande esforço. Pelo gráfico tensão-deformação, avaliamos a 
ductilidade de um material pela quantidade de área na zona plástica. 
 
Fragilidade 
 
Ao contrário da ductilidade, um material frágil possui a zona plástica muito pequena 
ou mesmo nula, ou seja, quando o material está próximo de se romper, a deformação 
plástica é pequena. (ex.: ferros fundidos brancos) 
 
Tenacidade 
 
Capacidade de um material de absorver energia na zona plástica. A tenacidade é 
medida através do módulo de tenacidade, que é a quantidade de energia absorvida 
por unidade de volume no ensaio de tração até a fratura, ou a quantidade de energia 
por unidade de volume que o material pode resistir sem causar a sua fratura. 
 
Resiliência 
 
Capacidade de o material absorver energia quando deformado elasticamente (zona 
elástica) e liberá-la quando descarregado. (ex.: molas mecânicas) 
 
Dureza 
 
Resistência que o material oferece à penetração sob pressão (estática) ou com 
choque (dinâmica) de outro material mais duro. 
 
 
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Rigidez 
 
Capacidade do material de resistir às deformações. É medida através do módulo de 
elasticidade. Quanto maior o módulo de elasticidade menor será a deformação 
elástica resultante da aplicação de uma tensão e mais rígida será o metal. 
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Caiu na Petrobrás 
 
 
Para um metalurgista, dureza significa 
 
(A) Resistência a deformação elástica 
(B) Resistência a deformação plástica 
(C) Alto grau de ductibilidade 
(D) Alto grau de resiliência 
(E) Auto grau de fragilidade 
 
 
Como se chama a capacidade que um material tem de retornar às suas formas e 
dimensões originais quando cessa o esforço que o deformava? 
 
(A) Plasticidade 
(B) Tenacidade 
(C) Elasticidade 
(D) Resiliência 
(E) Ductibilidade 
 
Os métodos de ensaio de dureza que utilizam penetradores de diamante para verificar 
as propriedades dos aços são: 
 
(A) Brinell e Charpy 
(B) Charpy e Izood 
(C) Rockwell e Brinell 
(D) Vickers e Rockwell 
(E) Izood e Vickers 
 
Qual a definição que corresponde, corretamente, à respectiva propriedade? 
 
(A) Resistência Mecânica – Resistência a esforços (tração, compressão, 
cisalhamento) 
(B) Elasticidade – Capacidade de se deformar e manter uma parcela da deformação 
(C) Plasticidade – Capacidade de se deformar e retornar à forma original 
(D) Ductilidade – Capacidade de absorver energia até a ruptura, com área sob a curva 
tensão deformação. 
(E) Tenacidade – Medida do seu grau de deformação plástica do material até a 
ruptura. 
 
 
Resiliência é a capacidade de o material absorver energia quando defornmado 
 
(A) Plasticamente e liberá-la totalmente quando descarregado 
(B) Plasticamente e liberá-la parcialmente quando descarregado 
(C) Plástica e elasticamente e liberá-la quando descarregado 
(D) Elasticamente e liberá-la parcialmente quando descarregado 
(E) Elasticamente e liberá-la totalmente quando descarregado 
 
68 
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Dois corpos de prova de materiais distintos foram ensaiados até seu limite de 
comportamento elástico em uma máquina de tração. Os ensaios apresentaram como 
resultados as curvas tensão deformação mostradas na figura. Com relação ao 
material A, o material B possui 
 
(A) Deformação elástica limite maior 
(B) Módulo de elasticidade menor 
(C) Região de comportamento plástico maior 
(D) Resistência elástica maior 
(E) Tensão de ruptura menor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que constitui um requisito básico para a broca utilizada em um processo de 
usinagem por furação 
 
(A) Resistência a tração 
(B) Ductibilidade 
(C) Resiliência 
(D) Pouca resistência a abrasão 
(E) Baixa resistência a fadiga 
 
 
69 
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C
A
R
A
C
T
E
R
ÍS
T
IC
A
S
 G
E
O
M
É
T
R
IC
A
S
 
70 
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Características Geométricas de Figuras Planas 
 
Área 
 
A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seucontorno. Para 
contorno complexos, a área pode ser obtida aproximando-se elementos simples tais 
como retângulos, triângulos, quadrados etc. 
 
Centro de Gravidade 
 
É o ponto onde se cruzam todas as resultantes das forças verticais e paralelas 
de cada elemento de um corpo. 
A atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser representada por 
uma única força P. Esta força chamada de peso do corpo é aplicada no seu centro de 
gravidade CG. 
 
Momento de Inércia 
 
É uma característica geométrica importante no dimensionamento de elementos 
estruturais, pois fornece, em valores numéricos a resistência da peça. 
Cada perfil geométrico possui um momento de inércia como pode-se verificar 
na tabela a seguir. 
 
Exemplo 
 
1. Qual o momento de inércia de um quadrado de lado de 50 mm? 
 
2. Qual o momento de inércia de um círculo de 25 mm de diâmetro? 
 
3. Qual o momento de inércia de um retângulo 20x40 e outro 40x20? 
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Módulo de Resistência 
 
Módulo de resistência ou módulo resistente é a razão entre o momento de 
inércia relativo ao eixo que passa pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo 
e a extremidade da seção estudada. 
 
𝑊 =
𝐼
𝑐
 
 
Raio de giração 
 
É a raiz quadrada entre o momento de inércia e a área da superfície estudada. 
 
 
𝑖 = √
𝐼
𝐴
 
 
 
 
 
 
1. Qual o momento de inércia de um quadrado de lado de 20 mm? 
 
2. Qual o momento de inércia de um círculo de 12 mm de diâmetro? 
 
3. Qual o raio de giração para um retângulo 20x30? 
 
4. Qual o módulo de resistência para um retângulo 20x50? 
 
5. Qual o módulo de resistência para um retângulo 10x45? 
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Caiu na Petrobras 
 
Observe a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual o momento de inércia, em mm4, em relação ao eixo x da figura? 
 
20666,66 
244444,44 
26666,66 
30000,00 
33333,33 
75 
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Observe a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
No plano cartesiano, qual a abscissa do centro de gravidade? 
 
14/3 
24/5 
16/3 
28/5 
19/3 
 
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T
O
R
Ç
Ã
O
 
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Torção 
 
O momento torçor Mt(Torque) da manivela da figura pode ser definido como o produto 
da força F pelo raio r: 
 
Torque interno 
 
Quando num eixo agem vários momentos torçores (torques), o torque interno de uma 
secção x é a soma algébrica de todos os torques que procedem ou seguem a secção 
desse modo, calcula-se o Mt de cada secção do eixo e com os valores obtidos traça-
se o diagrama de momento torçor que age na peça em estudo. 
Torção é a solicitação que tende a girar uma secção transversal em relação às outras 
na peça. 
 
Comportamento da torção 
 
Uma seção inicialmente plana, perpendicular ao eixo da seção circular, permanece 
plana após a aplicação dos torques 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
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Fórmula da torção 
 
Cálculo do Torque 
 
O torque em um elemento circular (barra circular pode ser calculado através da 
fórmula) 
𝑇 =
𝜏
𝑐
. 𝐽 
 
c é o raio externo do eixo ( na periferia do eixo) 
T é o torque interno 
J é o momento polar de inércia (depende do perfil do eixo) 
 
Cálculo da tensão cisalhante máxima 
 
𝜏 =
𝑇. 𝑐
𝐽
 
 
Momento Polar de Inércia 
 
𝐽 =
𝜋. 𝑑4
32
(𝑚𝑚4) 
 
Ângulo de Torção de Membros Circulares 
 
Para calcular o ângulo de torção em radianos de um elemento sujeito ao efeito da 
torção utilizamos a seguinte expressão: 
 
𝜑 =
𝑇. 𝐿
𝐽. 𝐺
 (𝑟𝑎𝑑) 
 
Onde 
 
T é o torque interno resultante (N.m) 
L é o comprimento do eixo (m) 
J é o momento polar de inércia (m4) 
G é o modulo de cisalhamento (N/m2) 
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Tabela do módulo de cisalhamento para materiais típicos a temperatura ambiente 
 
 
MATERIAL 
 
Diamante 
 
Aço 
 
Cobre 
 
Titânio 
 
Vidro 
 
Alumínio 
 
Borracha 
 
G (Gpa) 
 
478 
 
80,0 
 
44,7 
 
41,4 
 
26,2 
 
25,5 
 
0,0006 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo de Torção de Membros Circulares 
 
Para calcular o ângulo de torção em radianos de um elemento sujeito ao efeito da 
torção utilizamos a seguinte expressão: 
 
𝜑 =
𝑇. 𝐿
𝐽. 𝐺
 (𝑟𝑎𝑑) 
81 
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Onde 
 
T é o torque interno resultante (N.m) 
L é o comprimento do eixo (m) 
J é o momento polar de inércia (m4) 
G é o modulo de cisalhamento (N/m2) 
 
 
Tabela do módulo de cisalhamento para materiaistípicos a temperatura ambiente 
 
 
MATERIAL 
 
Diamante 
 
Aço 
 
Cobre 
 
Titânio 
 
Vidro 
 
Alumínio 
 
Borracha 
 
G (Gpa) 
 
478 
 
80,0 
 
44,7 
 
41,4 
 
26,2 
 
25,5 
 
0,0006 
 
 
82 
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Caiu na Petrobrás 
 
Um torque T igual a 450.π N.m é transmitido de um eixo através de um flange 
conectado por oito parafusos de diâmetro igual a 10 mm. Sendo o diâmetro de 
posicionamento dos centros dos parafusos igual a 90 mm, o valor da tensão 
cisalhante nos parafusos, em MPa, é igual a: 
 
(A) 25 
(B) 50 
(C) 100 
(D) 200 
(E) 400 
 
Resolução 
 
Relembremos a fórmula para o cálculo da tensão cisalhante 
 
𝜏 =
𝐹
𝐴
 
 
Onde F é a força atuante em cada parafuso e A é a área de cada um dos parafusos 
Para encontrar F devemos aplicar a fórmula do torque ou momento do parafuso 
 
O torque foi dado como 450  N.m, então 
Cuidado para não esquecer de converter as unidade de milímetros para metro. 
 
450  = F. (0,045) F= 10000  Newtons 
 
Calculando a área de cada parafuso 
 
𝐴 = 8. 𝜋. 𝑟2 = 8. 𝜋. (0,005)2 = 0,000628 𝑚2 
 
𝜏 =
𝐹
𝐴
=
10000𝜋
0,0002𝜋
= 50.000.000 𝑃𝑎 
 
 
Lembrando que 1 N/m2 = 1 Pa 
 
𝜏 = 50𝑀𝑃𝑎 
 
ALTERNATIVA (B) - CORRETA 
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Um eixo tubular com 40 mm de diâmetro externo e momento de inércia polar de 
120.000 mm4, sob atuação de um momento torsor de 84 N.m, apresenta a tensão de 
cisalhamento máxima, em MPa, igual a 
 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 12 
(D) 14 
(E) 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere os seguintes tipos de esforços 
 
I – Esforço cortante; 
II - Esforço axial; 
III – Momento torsor; 
IV – Momento fletor. 
 
Os tipos que podem provocar tensão de cisalhamento na seção transversal de uma 
barra é(são) APENAS o 
 
I 
II 
I e o III 
II e o IV 
III e o IV 
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Observe a figura abaixo 
 
 
 
 
 
Considere o módulo de rigidez igual a 80000 MPa. Qual o ângulo de distorção, em 
radianos, formado no corpo cilíndrico? 
 
(A) 9/200π 
(B) 9/150π 
(C) 9/100π 
(D) 9/50π 
(E) 9/25π 
 
 
O ângulo de torção é dado por: 
 
𝜑 =
𝑇. 𝐿
𝐽. 𝐺
 (𝑟𝑎𝑑) 
 
 
𝐽 =
𝜋. ∅4
64
=
𝜋. (0,02)4
64
= 25. 𝜋. 10−10𝑚4 
 
 
Por conveniência transformamos tudo em metros 
 
𝜑 =
30.600. 10−3
(25. 𝜋. 10−10).80. 109
= 
18
400. 𝜋
=
9
200. 𝜋
(𝑟𝑎𝑑) 
 
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F
L
E
X
Ã
O
 
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Flexão 
 
 
Premissas Básicas 
 
As seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem 
planas após a viga ser submetida a flexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula da Flexão Elástica 
 
Considerando que o material trabalha dentro da região elática. A lei de Hooke 
deve prevalecer 
 
𝜎 =∈. 𝐸 
 
Onde 
E é o módulo de elasticidade 
∈ é a deformação 
 
Tensão Máxima de flexão 
 
Quando um elemento é flexionado surgem tensões de tração e compressão 
nas fibras mais externas do elemento. 
 
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𝜎𝑓 =
𝑀𝑓 . 𝑐
𝐼
 
 
Onde 
M é o momento fletor da viga 
C é a distância do centro a fibra mais externa 
I é o momento de inércia 
 
Em termos de tensão de flexão, podemos determinar esse valor médio através 
do seguinte termo: 
 
𝜎𝐹 =
𝑀𝑓
𝑊𝑓
 
 
Onde: 
 
Utilizando-se o módulo de resistência a flexão 
 
𝑊𝑓 =
𝐼
𝑐
 
 
 
No dimensionamento de peças à flexão, admitem-se apenas deformações 
elásticas. A formula de tensão é aplicada nas secções críticas, isto é, nas secções 
onde pode haver ruptura do material. Às vezes, depois de calculado o diâmetro do 
eixo, faz-se a verificação da tensão de cisalhamento devido à força cortante nas 
secções onde se suspeita que o eixo poderia romper-se por cisalhamento. 
 
 
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1. Uma viga possui momento fletor de 31,25 kN.m e trata-se de um perfil 
retangular de 5cmx25 cm. Qual a tensão de flexão da viga? 
 
 
 
2. Uma viga possui momento fletor de 20 kN.m e trata-se de um perfil retangular 
de 4cmx17 cm. Qual a tensão de flexão da viga? 
 
 
 
3. Qual o módulo de resistência das figuras abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Baixe uma planilha com todos os dados de perfis GERDAU 
 
 
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Flexão 
 
Em termos de tensão de flexão, podemos determinar esse valor médio através do 
seguinte termo: 
f
f
f
W
M

 
 
Onde: 
Mf: momento fletor na secção em estudo. 
 
Wf: módulo resistente à flexão da secção em estudo 
 
No dimensionamento de peças à flexão, admitem-se apenas deformações elásticas. 
A formula de tensão é aplicada nas secções críticas, isto é, nas secções onde pode 
haver ruptura do material. Às vezes, depois de calculado o diâmetro do eixo, faz-se a 
verificação da tensão de cisalhamento devido à força cortante nas secções onde se 
suspeita que o eixo poderia romper-se por cisalhamento. 
Ex.: diâmetros reduzidos próximos do apoio. Para o esforço de flexão numa solda em 
“V” vale a seguinte expressão experimental: 
 
 
 
 
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Calcule a reação nos mancais do eixo abaixo e desenhe o diagrama das forças 
cortantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Caiu na Petrobrás 
 
Um tubo é apoiado em seus extremos, conforme mostrado na ilustração abaixo. 
 
As cargas atuantes, formadas pelo peso próprio do tubo e o peso do fluido nele 
contido, são uniformemente distribuídas ao longo do comprimento do tubo. Desta 
forma, o maior momento fletor verificado no tubo está na posição x igual a 
 
(A) 0 
(B) L / 4 
(C) L / 2 
(D) 3. L / 4 
(E) L 
 
Solução 
 
Em cargas distribuídas o momento máximo sempre ocorre no centro da viga onde 
está localizado o centro geométrico da mesma. No centro da viga ocorre a inflexão do 
gráfico da força cortante para uma viga de carga distribuída. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo a distância L, o centro da viga é L/2. 
 
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V
IG
A
S
 
95 
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Vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cargas distribuídas 
 
São cargas distribuídas ao longo de um comprimento qualquer. Por exemplo 
uma viga com peso de 300 quilogramas em um comprimento de 5 metros terá uma 
carga distribuída de 60 quilogramas por metro. 
Carga por unidade de comprimento por exemplo kg/m, tf/m ou ainda kN/m. A 
carga equivalente pode ser obtida multiplicando-se a carga distribuída pelo 
comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
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Cargas concentradas 
 
São cargas que atuam isoladamente em pontos da viga acrescentando efeitos 
de flexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apoios e vínculos 
 
São elementos que restringem o movimento da estrutura. 
Apoio móvel 
 
 
 
Apoio fixo 
 
 
 
Engastamento 
97 
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Cálculo de Reações 
 
As resultantes na direção horizontal, vertical e momentos devem ser nulas tam 
como na fórmula a seguir 
 
∑ 𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑖𝑠 = 0 
 
Considerando as forças de cima para baixo de negativas e de baixo para cima de 
positivas 
 
 
∑ 𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠 = 0 
 
Geralmente não há forças horizontais 
 
∑ 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 0 
 
Determina-se um ponto de referência e utiliza-se a força multiplicada pela distânica 
 
Giro Horário Positivo 
 
Giro Anti Horário Negativo 
98 
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Diagramas de esforços 
 
Para a elaboração dos diagramas utiliza-se o balanço de forças e geralmente 
desenha-se tudo que é positivo acima da viga e tudo que é negativo desenha-se 
abaixo da viga. 
 
Exemplo 
 
Dada a viga abaixo calcule as reações nos apoios A e B e desenho o diagrama de 
esforços cortantes. 
 
99 
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1. Calcule a reação nos apoios da viga abaixo e desenhe o diagrama das forças 
cortantes 
 
 
Lista de Exercícios 8 
100 
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2. Calcule a reação nos mancais do eixo abaixo e desenhe o diagrama das forças 
cortantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule a reação nos apoios na figura abaixo 
 
 
 
101 
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sem autorização do autor por qualquer meio eletrônico ou reprográfico será considerado crime 
e sujeito às penalidades da lei. 
 
4. Calcule a reação nos apoios da viga abaixo e desenhe o diagrama das forças 
cortantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule a reação nos apoios da viga abaixo e desenhe o diagrama das forças 
cortantes 
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6. Calcule a reação nos apoios da viga abaixo e desenhe o diagrama das forças 
cortantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Calcule a reação nos apoios da viga abaixo e desenhe o diagrama das forças 
cortantes 
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8. Calcule a reação nos apoios da viga abaixo e desenhe o diagrama das forças 
cortantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Calcule a reação nos apoios da viga abaixo e desenhe o diagrama das forças 
cortantes 
 
 
 
 
 
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10. Calcule a reação nos apoios da viga abaixo e desenhe o diagrama das forças 
cortantes11. Calcule a reação nos apoios e desenho o diagrama de forças cortantes. 
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Deformações nas vigas 
 
Considere uma viga sendo deformada por uma carga concentrada P, de um material 
qualquer com um módulo de elasticidade E, um momento de inércia I e um 
comprimento L 
 
 
𝑦 =
𝑃. 𝐿3
48. 𝐸. 𝐼
 
 
Onde y é o deslocamento vertical máximo que a viga pode sofrer sem entrar em 
colapso, muitas vezes chamado de “flecha” 
 
Muitos projetos de vigas possuem valores máximos para a flecha 
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Exemplo 
 
Calcule a flecha máxima da viga de aço da figura a seguir: 
 
E = 21.000 kN/cm2 
I = 22500 cm4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 =
20. 6003
48.21.000.22500
= 0,19 𝑐𝑚 
 
 
Agora considere a viga deitada e verifique quantas vezes a flecha aumentou 
 
 
E = 21.000 kN/cm2 
I = 2500 cm4 
 
 
𝑦 =
20. 6003
48.21.000.2500
= 1,71 𝑐𝑚 
 
A flecha aumentou 9 vezes o valor anterior 
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Cálculo da flecha máxima para cada tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Determine o deslocamento máximo da viga de aço da figura. Consulte a tabela 
anterior. R: 0,013 cm 
 
E = 210 GPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine a altura da viga de madeira sabendo que o deslocamento máximo não 
pode ultrapassar 1 cm. R: 25 cm 
 
E = 14500 MPa 
 
 
 
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3. Determine a flecha máxima da viga de aço da figura. R: 1,05 cm 
 
 E = 210 GPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determine a flecha máxima da viga de aço da figura. 
 
E = 210 GPa 
I = 4471,92 cm4 
 
 
 
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5. Dimensione a altura da viga de aço da figura a seguir. A flecha deve ser de no 
máximo 1,5 cm 
 
 
E = 21 GPa 
q= 2,15 kN/m 
L = 6m 
b= 10 cm 
 
 
 
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e sujeito às penalidades da lei. 
 
6. Qual a máxima carga P que a viga da figura abaixo suporta? 
 
 
E = 21 GPa 
I = 4471,92 cm4 
y= 12,5 cm 
L = 4 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e sujeito às penalidades da lei. 
 
Caiu na Petrobras 
 
Em uma viga biapoiada, sujeita a uma carga concentrada posicionada de modo que 
a>b, conforme a figura acima, a reação no apoio A é 
 
(A) Maior do que a reação em B porque a>b 
(B) Maior do que a reação em B porque a reação em A possui componentes nas 
direções horizontal e vertical 
(C) Maior do que a reação em B porque o apoio A representa um engaste 
(D) Menor do que a reação em B porque a>b 
(E) Menor do que a reação em B porque, no apoio B, a reação só apresenta uma 
componente na direção vertical. 
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REFERÊNCIAS 
 
SILVA, Valdir Pignata; Pannoni, Fabio Domingos. Estrutura de Aços para Edifícios 
Ed. Edgard Blucher, 2010. São Paulo, SP. 
 
BOTELHO, Manoel Henrique Campos. Resistência dos Materiais “Para entender e 
gostar” Ed. Edgard Blucher, 2010. São Paulo, SP. 
 
HIBELLER, R. C. Estática &Mecânica para Engenharia 10a Edição, Pearson 
&Prentice Hall, 2005. São Paulo, SP 
 
MORGADO, Augusto Cesar de Oliveira & César, Benjamim. Matemática Básica: 
Teoria, questões resolvidas de concursos, mais de 800 questões, Editora Campus, 
2008. Rio de Janeiro, RJ. 
 
GUSTAV, Niemann; Elementos de máquinas, vol. I, Editora Edgard Blucher Ltda., 
2005 São Paulo, SP. 
 
PROVENZA, Francesco; Materiais para construção mecânica, Editora Pro-tec, 
1994. 
 
SOUZA, Hiran de; Resistência dos materiais, Editora Protec, 1995. 
 
SOUZA, Sergio Augusto de; Ensaios mecânicos de materiais metálicos, Editora 
Edgard BlucherLtda, 4º Edição, 1974. 
 
REMY, A. Gay, M. &Gonthier, R.; Materiais, Editora Hemus, 2º Edição.