Lista exponenciais (derivadas e integrais)

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Câmpus Londrina 
 
 
 
 
EXPONENCIAIS 
 
1. Estude os limites abaixo, determinando os seus valores no caso de existirem. Justifique caso 
não existam. 
a) 
30
1
lim
x
e x
x


 b) 
3
3
0
1
lim
x
e x
x


 
2. A função f definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒
(−
𝑥2
2
)
 aparece no ramo matemático da probabilidade. 
Determine os extremos locais de f, estude sua concavidade, encontre os pontos de inflexão e 
esboce seu gráfico. Verifique também a existência ou não de assíntotas. 
 
3. Resolva as integrais: 
 
a) ∫
𝑒3/𝑥
𝑥²
𝑑𝑥
2
1
 b) 
 
4. Ache a área da região limitada pela curva 𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥/2, pelo eixo x e pela reta x = 4. 
 
5. Construa e resolva uma integração na qual o integrando contenha a multiplicação de um 
polinômio de 3º grau por uma função exponencial com expoente negativo. Utilize o Geogebra 
para conferir sua resposta. 
 
6. Mostre que a função 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥 satisfaz 𝑦′′ − 2𝑎𝑦′ + (𝑎2 + 𝑏2)𝑦 = 0 para quaisquer a e b. 
 
 
7. Existem duas combinações de 
xe
 e 
xe
 que são usadas com frequência em engenharia e 
recebem um nome particular. Definimos o seno hiperbólico como 
2
)(
xx ee
xsenh


 e o 
cosseno hiperbólico como 
2
)cosh(
xx ee
x


. 
 
 
 
 
 
 
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Câmpus Londrina 
 
 
 
a) Determine o domínio e a imagem dessas funções. 
b) Os gráficos dessas funções podem ser obtidos esboçando separadamente os gráficos de 
2
xe
e 
2
xe
e somando-se (no caso do cosseno hiperbólico) ou subtraindo-se (no caso do seno hiperbólico) suas 
coordenadas. Construa esses gráficos (Use o GeoGebra para conferir suas respostas). 
 
c) Esses nomes justificam-se, pois essas funções têm propriedades semelhantes às trigonométricas, 
porém com o ciclo trigonométrico “substituído” por uma hipérbole. Mostre que 
1cosh 22  xsenhx
. 
 
d) A seguir apresentamos algumas propriedades que seriam válidas para funções trigonométricas. 
Avalie cada uma dizendo se valem ou não para as funções hiperbólicas. Apresente cálculos que 
justifiquem. 
 
i) 
  )(')cosh( xsenhx 
 ii) 
  Cxsenhx )()cosh(
 
 
e) Funções hiperbólicas aparecem, por exemplo, no estudo de movimentos vibratórios nos quais a 
energia mecânica é gradualmente absorvida pelo meio ambiente (movimento superamortecido). Esse 
tipo de movimento ocorre, por exemplo, em portas de escritórios: quando a pessoa passa pela porta, 
ela inicia um movimento em direção ao repouso na posição de equilíbrio, e sua função posição (em 
relação ao tempo), pode ser descrita pela função 
)cosh()( tety t
. Mostre, por meio de cálculos, que 
essa função não tem pontos críticos (o que implica no fato de não ocorrer nenhuma oscilação e, à 
medida que o tempo passa, a amplitude ficar cada vez menor). Dica: Note que 
))()(cosh()(' tsenhtety t  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1) a) ∞ b) ∞ 
2) Extremo local (e global): (0, 1); Pontos de inflexão: (-1; 0,61) e (1; 0,61); Assíntota: horizontal 
em y = 0. 
3) a) 5,2 b) 
 
4) 4,752 u.a. 
 
7) a) senh(x): 
[,:]
:
m
f
I
RD cosh(x): 
[,1[:
:
m
f
I
RD 
 
d) i) falso, pois
 
2
')cosh(
xx ee
x


 ii) verdadeiro, pois 
 



C
ee
x
xx
2
)cosh(