Lista de exercícios Eletromag - Vetores e transformação de coordenadas

Prévia do material em texto

Física Geral III 
Prof. Dr. Danilo Roque H. e-mail: droque@gmail.com
Semestre: 2014-II Data de entrega: 20/08/2014
Lista de exercícios : Carga, força e campo elétrico
1. Qual das seguintes expressões é a correta?
a) A⃗× A⃗=|A⃗|
b) A⃗×B⃗+ B⃗× A⃗=0
c) A⃗⋅B⃗⋅C⃗=B⃗⋅C⃗⋅A⃗
d) i^⋅j^= k^
e) k^=i^− j^
2. Dados os vetores
A⃗=3 i^+2 j^− k^ B⃗=3 i^−4 j^−5 k^ C⃗=i^− j^+ k^
Determine:
a) A soma e substração dos vetores: A⃗±B⃗ , B⃗±C⃗ , A⃗±C⃗
b) O produto escalar: A⃗⋅B⃗ , B⃗⋅C⃗ , A⃗⋅C⃗
c) O Produto vetorial: A⃗×B⃗ , B⃗×C⃗ , A⃗×C⃗
d) O triplo produto escalar: A⃗⋅B⃗×C⃗
e) O triplo produto vetorial: A⃗×B⃗×C⃗ e ( A⃗⋅C⃗ ) B⃗−( A⃗⋅B⃗)C⃗ . Indique se esses dois 
resultados são iguais. 
f) Calcule o ângulo entre os vetores A⃗ e B⃗ , B⃗ e C⃗ , A⃗ e C⃗ , bem como entre
A⃗×B⃗ e B⃗×C⃗ , e entre A⃗×B⃗ e A⃗×C⃗ .
g) Calcule a área formada pelos vetores A⃗ e B⃗ , e B⃗ e C⃗ .
3. Se o produto escalar dos vetores A⃗ e B⃗ é igual a 30, enquanto que a norma do seu produto 
vetorial é 75, determine:
a) O ângulo entre esses dois vetores.
b) Calcule também o vetor unitário na direção do vetor B se o modulo do vetor A⃗ é 15. 
c) Qual o comprimento ou intensidade do vetor B⃗ ?
4. Dado os vetores:
A⃗=α i^+ j^+4 k^ B⃗=3 i^+Β j^−6 k^ C⃗=5 i^−2 j^+ k^
determine e de forma que esses vetores sejam mutuamente perpendiculares.
5. Dado os campos vetoriais:
A⃗=x2 y i^− yz j^+ yz k^ E⃗=2 x i^+ j^+ yz k^ F⃗=xy i^− y2 j^+xyz k^
Determine :
a) A magnitude desses vetores no ponto P(2,-1,3)
b) A componente de E⃗ ao longo de F⃗ no ponto Q(1,2,3)
c) Um vetor perpendicular a E⃗ e F⃗ no ponto R(0,1,-3)
1
6. Expresse as seguinte grandezas no sistema de coordenadas pedido:
a) φ= 1
4 πε0
p⃗⋅⃗r
r ³
, onde p⃗=p k^ é um vetor constante. Escreva em coordenadas 
cartesianas.
b) φ=−V 0 ln (ρ/a) , onde a é uma constante com dimensão de distância. Escreva em 
coordenadas cartesianas.
c) A⃗= y i^−x j^ Em coordenadas cilíndricas.
d) E⃗=E0[(x
2−y2)i^+2 xy j^(4−x2− y2) k^ ] em coordenadas esféricas.
7. Determine a área de um círculo de raio R no plano XY centrado na origem usando:
a) Coordenadas retangulares ou cartesianas: x2+ y2=R2, z=0
b) coordenadas cilíndricas: ρ=R , z=0
 Indique em qual desses sistemas foi mais fácil.
8. Determine a área de um círculo de raio R no plano XYZ centrado na origem usando:
a) Coordenadas retangulares ou cartesianas: x2+ y2=R2, z=0
b) coordenadas cilíndricas: ρ=R , z=0
 Indique em qual desses sistemas foi mais fácil.
9. Transforme os seguintes vetores a coordenadas cartesianas
a) A⃗=ρ(z2+1) a^ρ−ρ z cosϕ a^ϕ
b) B⃗=2 r senθcosϕ a^r+r cos
2θ a^θ−r senϕ a^ϕ
10. Deduza a relação matricial que permite transformar um vetor em coordenadas cilíndricas para 
coordenas esféricas. (Dica: empregue as relações deduzidas em aula para os vetores unitários no 
sistema cilíndrico e esférico, e faça a substituição nas componentes do vetor A em coordenadas 
esféricas).
2