Slides de Aula - Unidade I

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<p>Prof. Adilson Simões</p><p>UNIDADE I</p><p>Cálculo com</p><p>Geometria Analítica</p><p>Veremos nesta unidade:</p><p> Vetores no plano e no espaço.</p><p> Abordagem geométrica.</p><p> Abordagem algébrica.</p><p> Produto escalar e produto vetorial.</p><p>Geometria Analítica</p><p>Conceitos básicos:</p><p> Comprimento ou módulo – medida do vetor.</p><p> Direção – direção da reta base que contém o vetor.</p><p> Sentido – orientação.</p><p> Representação geométrica – segmento orientado.</p><p> Grandezas vetoriais – são definidas por seu módulo, direção e sentido. Ex.: força,</p><p>velocidade, aceleração, entre outras.</p><p>Vetores</p><p>Notação:</p><p> vetor AB tem origem em A e extremidade em B.</p><p> vetor CD tem origem em C e extremidade em D.</p><p>Vetores</p><p>AB -</p><p>CD -</p><p>A</p><p>B</p><p>r</p><p>D</p><p>C</p><p>s</p><p>CD</p><p>AB</p><p> AB = EF mesmo módulo, direção e sentido.</p><p> AB  CD sentido contrário.</p><p>Vetores</p><p>A</p><p>B</p><p>r</p><p>D</p><p>C</p><p>s</p><p>CD</p><p>AB</p><p>E</p><p>FEF</p><p>t</p><p> Vetores paralelos (mesma direção, r // s)</p><p> Vetores não paralelos</p><p>Vetores</p><p>AB // CD</p><p>AB // FE</p><p>A B r</p><p>D C sCD</p><p>AB</p><p> Vetores ortogonais (r e s perpendiculares)</p><p>Vetores</p><p>A B r</p><p>AB</p><p>D</p><p>C</p><p>s</p><p>CD</p><p>AB  CD</p><p>Exemplos:</p><p>1. Observando o paralelogramo ABCD, identifique os vetores que são iguais.</p><p>Vetores</p><p>A B</p><p>CD</p><p>Vetores</p><p>AB = DC</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>AD = BC</p><p>A B</p><p>CD</p><p>2. Observando o cubo, temos:</p><p>Vetores</p><p>AB = EF = DC = HG</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E F</p><p>GH</p><p>AE = BF = DH = CG</p><p>AD = BC = EH = FG</p><p> Adição</p><p>Sejam os vetores:</p><p> 1º caso: Regra do Triângulo</p><p>Operações com vetores</p><p>u</p><p>v</p><p>u + v</p><p>u</p><p>v</p><p> 2º caso: Regra do paralelogramo</p><p>Operações com vetores</p><p>u</p><p>v</p><p>A B</p><p>CD</p><p>Exemplos:</p><p>1. Determinar a soma dos vetores indicados na figura, considerando que ela é formada por</p><p>quadrados iguais.</p><p>Operações com vetores</p><p>A B C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G H I</p><p>A B C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G H I</p><p>DA = I F</p><p>BC = DE</p><p>DA + E I + BC = DE + EI + IF = DF</p><p>2. Considerando o hexágono regular, determine a soma dos vetores indicados.</p><p>Operações com vetores</p><p>A B</p><p>C</p><p>DE</p><p>F</p><p>G</p><p>BA = - FG</p><p>A B</p><p>C</p><p>DE</p><p>F</p><p>G</p><p>A B</p><p>C</p><p>DE</p><p>F</p><p>G</p><p>BA + FG + FE + ED = FD</p><p>Dado o cubo definido pelos pontos ABCDEFGH, é correto afirmar que:</p><p>Interatividade</p><p>a) AB ⊥ EF</p><p>b) AB // BF</p><p>c) AD = FG</p><p>d) HG // BC</p><p>e) BC = DC</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>GH</p><p>Dado o cubo definido pelos pontos ABCDEFGH, é correto afirmar que:</p><p>Resposta</p><p>a) AB ⊥ EF</p><p>b) AB // BF</p><p>c) AD = FG</p><p>d) HG // BC</p><p>e) BC = DC</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>GH</p><p> Multiplicação por escalar (n° real)</p><p> Sendo: e   0</p><p> é o vetor que tem como características:</p><p> direção: igual a</p><p> sentido: mesmo sentido para  > 0</p><p> sentido contrário para  < 0</p><p> módulo:</p><p>Operações com vetores</p><p>v  0</p><p> v</p><p>v</p><p>|  v | = || .| v |</p><p>Exemplos:</p><p>1. Dado o vetor representar os vetores.</p><p>Operações com vetores</p><p>v,</p><p>2 v</p><p>-3 v</p><p>v</p><p>1</p><p>2</p><p>v</p><p>Exemplos:</p><p>1. Dado o vetor representar os vetores.</p><p>Operações com vetores</p><p>v,</p><p>2 v</p><p>-3 v</p><p>v</p><p>1</p><p>2 2 v</p><p>-3 v</p><p>v</p><p>1</p><p>2</p><p>v</p><p>2. Determine a solução da equação vetorial na variável</p><p>Operações com vetores</p><p>2 x + a + b = 4 x – a – b</p><p>2 x – 4 x = – b – a – a – b</p><p>– 2 x = – 2 a – 2 b</p><p>x = a + b</p><p>x:</p><p>IR2 – vetores no plano</p><p> B = {(1,0), (0,1)} é uma base ortonormal</p><p> (2 vetores ortogonais e unitários)</p><p>Exemplo:</p><p>Coordenadas dos vetores</p><p>v = (a, b) = a . i + b . j</p><p>i = (1, 0) e j = (0, 1) são vetores unitários</p><p>x</p><p>y</p><p>j</p><p>ai</p><p>b</p><p>v</p><p>(2,3)</p><p>v = (2, 3) = 2 . i + 3. j</p><p> IR3 – vetores no espaço</p><p> B = {(1,0, 0), (0,1, 0), (0, 0, 1)} é uma base ortonormal</p><p> (vetores ortogonais dois a dois e unitários)</p><p>Exemplo:</p><p>Coordenadas dos vetores</p><p>v = (a, b, c) = a . i + b . j + b . k</p><p>i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0,1)</p><p>v = 2 . i + 1. j + 3. k = (2, 1, 3)</p><p>u = -1 . i + 4. k = (-1, 0, 4)</p><p>Adição no IR2:</p><p>Exemplo:</p><p>Adição no IR3:</p><p>Exemplo:</p><p>Coordenadas dos vetores</p><p>u + v = (3, 2) + (1, -1) = (3 + 1, 2 + ( - 1)) = (4, 1)</p><p>u + v = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z)</p><p>u + v = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)</p><p>u + v = (3, 2, 1) + (-1, 2, 3) = (2, 4, 4)</p><p>Multiplicação por escalar:</p><p> Exemplo de aplicação: Sejam os vetores</p><p>Coordenadas dos vetores</p><p> u =  (a, b, c) = ( a,  b,  c)</p><p>3 u = 3 (4, -1, 2) = (3.4, 3.(-1), 3.2) = (12, -3, 6)</p><p>- 2 v = - 2 (3, 1, 0) = (- 2.3, -2.1, - 2.0) = (- 6, -2, 0)</p><p>3 u - 2 v = (12, - 3, 6) + (-6, -2, 0) = (6, -5, 6)</p><p>u = (4, -1, 2), v = (3, 1, 0), determine o vetor 3 u - 2 v</p><p>Módulo de um vetor:</p><p>Exemplo:</p><p>Coordenadas dos vetores</p><p>u = (a, b)  |u | = a2 + b2</p><p>u = (a, b, c)  |u | = a2 + b2 + c2</p><p>u = (5, 1)  |u | = 52 + 12 = 26</p><p>u = (3, -1, 0)  |u | = 32 + (-1)2 + 02 =  10</p><p> Considere os pontos A = (x, y, z) e B = (a, b, c) e o vetor</p><p>Podemos escrever:</p><p>Exemplo:</p><p>Sendo os pontos A = (2,-1,3) e B = (1,0,2), as coordenadas do vetor com origem em A e</p><p>extremidade em B são:</p><p>Coordenadas dos vetores</p><p>AB .</p><p>AB = B – A = (a, b, c) – (x, y, z) = (a – x, b – y, c – z)</p><p>AB = B – A = (1, 0, 2) – (2, -1, 3) = (-1, 1, -1)</p><p> Combinação linear: soma de múltiplos</p><p>Exemplos:</p><p>1. Determinar k para que seja combinação linear de</p><p>e</p><p>(k, 1, 4) = a.(1, 5, 2) + b.(2, 3, 0)</p><p>Coordenadas dos vetores</p><p>v = a1. u1 + a2. u2 + . . . + an. un</p><p>u = (k, 1, 4) v = (1, 5, 2)</p><p>w = (2, 3, 0).</p><p>u = a . v + b . w</p><p>(k, 1, 4) = a.(1, 5, 2) + b.(2, 3, 0)</p><p>(k, 1, 4) = (a, 5a, 2a) + (2b, 3b, 0)</p><p>(k, 1, 4) = (a + 2b, 5a + 3b, 2a)</p><p>Logo, a = 2, b = -3 e k = -4</p><p>Coordenadas dos vetores</p><p>a + 2b = k</p><p>5a + 3b = 1</p><p>2a = 4</p><p> Escrever como combinação linear dos vetores e</p><p>(2, 1, 2) = a.(1, 2, -1) + b.(0, -3, 4)</p><p>(2, 1, 2) = (a, 2a, -a) + (0, -3b, 4b)</p><p>(2, 1, 2) = (a, 2a - 3b, -a + 4b)</p><p>Coordenadas dos vetores</p><p>u = a. v + b. w</p><p>u = (2, 1, 2) v = (1, 2, -1) w = (0, - 3, 4)</p><p>(2, 1, 2) = (a, 2a - 3b, -a+4b)</p><p>Logo,</p><p>Coordenadas dos vetores</p><p>u = 2. v + 1. w</p><p>a = 2</p><p>2a - 3b = 1  2.2 – 3b = 1  b = 1</p><p>-a + 4b = 2  - 2 + 4 . 1 = 2  2 = 2 (V)</p><p>Dados os pontos A = (4, - 3, 2) e B = (10, - 5, 7), as coordenadas do vetor são:</p><p>a) (12, -4, 10)</p><p>b) (-12, -4, 10)</p><p>c) (12, 4, 10)</p><p>d) (12, -4, -10)</p><p>e) (-12, 4, 10)</p><p>Interatividade</p><p>2 AB</p><p>Dados os pontos A = (4, - 3, 2) e B = (10, - 5, 7), as coordenadas do vetor são:</p><p>a) (12, -4, 10)</p><p>b) (-12, -4, 10)</p><p>c) (12, 4, 10)</p><p>d) (12, -4, -10)</p><p>e) (-12, 4, 10)</p><p>Resposta</p><p>2 AB</p><p>2 AB = 2 ( B – A) = 2 (6, -2, 5) = (12, - 4, 10)</p><p> Produto escalar (tem como resultado um número real)</p><p>Produto escalar</p><p>u = x1 . i + y1 . j + z1 . k</p><p>v = x2 . i + y2 . j + z2 . k</p><p>u . v = x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2</p><p>u . v lê-se u escalar v</p><p>Exemplos:</p><p>Produto escalar</p><p>u . v = 1 . (-1) + 2 . 1 = 1</p><p>a) u = (1, 2) e v = (- 1, 1)</p><p>v . u = (-1) . 1 + 1 . 2 = 1</p><p>b) u = (1, 3, -1) e v = (0, 1, 2)</p><p>u . v = 1 . 0 + 3 . 1 + (-1) . 2 = 1</p><p>v . u = 0 . 1 + 1 . 3 + 2 . (-1) = 1</p><p>Principais propriedades do produto escalar:</p><p>Produto escalar</p><p> u . u = 0  u = 0</p><p> u . u = | u |2</p><p> u . v = | u | . | v | . cos θ,</p><p>θ = âng(u, v) com u e v não nulos</p><p> u . v = 0  u e v são ortogonais</p><p>Exemplos:</p><p>1. Dados , determine</p><p>Produto escalar</p><p>| a | = 4, | b | = 5 e a e b ortogonais (2a + b) . (3a + 2 b)</p><p>Produto escalar</p><p>| a | = 4, | b | = 5 e a e b ortogonais</p><p>= 2a . 3a + 2a . 2b + b . 3a + b .2 b =</p><p>= 6a . a + 4a . b + 3b . a + 2 b . b =</p><p>| a |2 0 0 | b |2</p><p>= 6 . 42 + 0 + 0 + 2 . 52 =</p><p>= 96 + 50 = 146</p><p>(2a + b) . (3a + 2 b) =</p><p>2. Determinar cosθ, sendo θ = ang(u , v ), sabendo que:</p><p>Produto escalar</p><p>| u | = 5, | v | = 3 e u . v = 6</p><p>u . v = | u | . | v | . cos θ</p><p>u . v</p><p>|u| . |v|</p><p>cos θ =</p><p>cos θ = =</p><p>6</p><p>5 . 3</p><p>2</p><p>5</p><p>u . v = | u | . | v | . cos θ</p><p>u . v = 3. 4 . cos 60º</p><p>u . v = 3. 4 . 0,5</p><p>u . v = 6</p><p>3. Sendo determine o produto escalar</p><p>Produto escalar</p><p>| u | = 3 , | v | = 4 e θ = ang ( u, v ) = 60º, u . v</p><p>4. Determinar o vetor tal que:</p><p>Produto escalar</p><p>u = (x, y, z),</p><p>u é um vetor unitário</p><p>u é ortogonal ao vetor a = (1, 1, 0)</p><p>u é ortogonal ao vetor b = (0, 0, 1)</p><p>Produto escalar</p><p>u unitário  | u | = 1  x2 + y2 + z2 = 1</p><p>u ⊥ a</p><p> (x, y, z) ⊥ (1,1,0)  (x, y, z) . (1,1,0) = 0</p><p>u ⊥ b  (x, y, z) ⊥ (0,0,1)  (x, y, z) . (0,0,1) = 0</p><p>x2 + y2 + z2 = 1</p><p>(x, y, z) . (1,1,0) = 0</p><p>(x, y, z) . (0,0,1) = 0</p><p>Temos então:</p><p>Resolvendo o sistema, temos:</p><p>Produto escalar</p><p>x2 + y2 + z2 = 1</p><p>x.1+ y.1 + z.0 =0  x + y = 0  x = - y</p><p>x.0 + y.0 + z.1=0  z = 0</p><p>1</p><p>2</p><p>x = </p><p>2</p><p>2</p><p>x = </p><p>Substituindo em y, temos:</p><p>Assim,</p><p>Produto escalar</p><p>2</p><p>2</p><p>u = - , , 0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>u = ,- , 0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>x =</p><p>2</p><p>2</p><p>y = -</p><p>2</p><p>2</p><p>x = -</p><p>2</p><p>2</p><p>y =</p><p>Sabendo que o valor de é:</p><p>a) 15</p><p>b) 5</p><p>c) 6</p><p>d) 3</p><p>e) ½</p><p>Interatividade</p><p>| u | = 5 , | v | = 6 e θ = ang ( u, v ) = 60º, u . v</p><p>Sabendo que o valor de é:</p><p>a) 15</p><p>b) 5</p><p>c) 6</p><p>d) 3</p><p>e) ½</p><p>Resposta</p><p>| u | = 5 , | v | = 6 e θ = ang ( u, v ) = 60º, u . v</p><p>u . v = | u | . | v | . cos600</p><p>u . v = 5 .6 . ½ = 5 .3 = 15</p><p> Notação: (tem como resultado um vetor)</p><p>Produto vetorial</p><p>Sejam os vetores u = (x, y, z) e v = (a, b, c), temos</p><p>u x v ou u ˄ v</p><p>u x v =</p><p>i j k</p><p>x y z</p><p>a b c</p><p>Exemplo:</p><p> Calcular o produto vetorial dos vetores</p><p>Produto vetorial</p><p>u = (1, 3, -1) e v = (0, 1, 2)</p><p>u x v =</p><p>i j k</p><p>1 3 -1</p><p>0 1 2</p><p> Desenvolvendo o determinante</p><p>Produto vetorial</p><p>u x v =</p><p>i j k i j</p><p>1 3 -1 1 3</p><p>0 1 2 0 1</p><p>- (0 - i 2 j ) 6 i 0 1 k</p><p>u x v = 6 i + k–(- i + 2 j ) = 6 i + k + i – 2 j</p><p>u x v = (7, -2, 1)</p><p>u x v = 7 i – 2 j + k</p><p>Propriedades:</p><p>Produto vetorial</p><p> u x v = (não é comutativo)- v x u</p><p> Interpretação geométrica</p><p>| u x v | = A</p><p>Paralelogramo</p><p> | u x v | = | u | . | v | . senθ</p><p> u x v  u e u x v  v</p><p>Exemplos:</p><p>1. Sendo</p><p>Produto vetorial</p><p>| a x b | = 4 . 5 . sen30o = 20 . ½ = 10</p><p>| u x v | = | u | . | v | . senθ</p><p>| a | = 4, | b | = 5 e âng(a, b) = 30o , calcule | a x b |</p><p>2. Determinar x = (a, b, c) unitário, tal que x seja ortogonal aos vetores , sendo</p><p>Produto vetorial</p><p>u e v</p><p>u = (1, 0,-1) e v = (2, 0, 1).</p><p>Produto vetorial</p><p>u x v =</p><p>i j k i j</p><p>1 0 -1 1 0</p><p>2 0 1 2 0</p><p>- (0 0 j ) 0 -2 j 0</p><p>u x v = (0, -3, 0)</p><p>x =  (0, -3, 0) = (0, -3 , 0)</p><p>Produto vetorial</p><p>x =  (0, -3, 0) = (0, -3 , 0)</p><p>x = 1/3 (0, - 3, 0) = (0, - 1, 0)</p><p>ou</p><p>x = -1/3 (0, - 3, 0) = (0, 1, 0)</p><p>| x | = 1  √ 02 + (- 3)2+ 02 = 1   = 1/3</p><p>3. Determinar a área do paralelogramo formado pelos vetores</p><p>Produto vetorial</p><p>u = (2, -1, 1) e v = (1, 0, -1).</p><p>| u x v | = A</p><p>Paralelogramo</p><p>Produto vetorial</p><p>u x v =</p><p>i j k i j</p><p>2 -1 1 2 -1</p><p>1 0 -1 1 0</p><p>- (-1 k 0 -2 j) 1 i 1 j 0 k</p><p>u x v = (1, 3, 1)</p><p>A = | u x v | = √11</p><p>4. Determinar a área do triângulo formado pelos vetores</p><p>Produto vetorial</p><p>u = (3, 0, 1) e v = (1, 2, 1).</p><p>| u x v | = A</p><p>Triângulo</p><p>2</p><p>Produto vetorial</p><p>u x v = (-2, -1, 6)</p><p>A = | u x v | = √41</p><p>Triângulo</p><p>u x v =</p><p>i j k i j</p><p>3 0 1 3 0</p><p>1 2 1 1 2</p><p>- (0k 2i 3j) 0 i 1 j 6k</p><p>2 2</p><p>O produto vetorial dos vetores abaixo é igual a:</p><p>a) (3, 1, -1)</p><p>b) (2, -5, 1)</p><p>c) (2, 1, 1)</p><p>d) (3, -5, 1)</p><p>e) (2, -2, -1)</p><p>Interatividade</p><p>u = (2, 1, -1) e v = (3, 2, 1)</p><p>O produto vetorial dos vetores abaixo é igual a:</p><p>a) (3, 1, -1)</p><p>b) (2, -5, 1)</p><p>c) (2, 1, 1)</p><p>d) (3, -5, 1)</p><p>e) (2, -2, -1)</p><p>Resposta</p><p>u = (2, 1, -1) e v = (3, 2, 1)</p><p>ATÉ A PRÓXIMA!</p>