Exercícios de Funções Polinomiais

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Centro Universita´rio UNA
Ca´lculo - Func¸o˜es Polinomiais
Professora: Silvia Gonc¸alves Santos
1. Dado o polinoˆmio p(x) = 5x5 − 4x3 + 2x2 − 1, calcule:
(a) p(0)
(b) p(1)
(c) p(−1)
(d) p(1)− p(−1)
(e) p(2)
(f) p(−2)
(g) 1 e´ raiz de p(x). Justifique.
(h) −1 e´ raiz de p(x). Justifique.
2. Dado o polinoˆmio p(x) = x4 − 3x3 + x2 + 1, calcule:
(a) p(0)
(b) p(−2)
(c) p(1
2
)
(d) p(−1
3
)
3. Determine o valor de k para que no polinoˆmio p(x) = 2x2 + 2kx− 5 tenhamos p(3) = 49.
4. Dado o polinoˆmio P (x) = x3 −mx2 + x + 2m, determine m, nos seguintes casos:
(a) P (−1) = 10
(b) P (2) = 4
(c) P (0) = 5
5. Determine o valor de k para que o polinoˆmio p(x) = x3 − kx + 8, tenha uma raiz igual a 4.
6. Determine um polinoˆmio p(x) de grau 1, tal que p(1) = −3 e p(2) = 7.
7. Determine um polinoˆmio p(x) de grau 1, tal que p(2) = 6 e p(−4) = −12.
8. Determine os valores de a e b de modo que -2 e 3 sejam ra´ızes do polinoˆmio
p(x) = ax3 − 3x2 − bx + 6.
9. Determine os valores de a e b de modo que 1 e 2 sejam ra´ızes do polinoˆmio
p(x) = x4 − ax3 + bx2 − 4x + 4.
1
10. Determine o valor de m, para que o polinoˆmio p(x) = (m2 − 4)x3 + (m+ 2)x2 + x− 3 tenha:
(a) grau 3
(b) grau 2
(c) grau 1
11. Dados os polinoˆmios p1(x) = x
3− 2x2 +x, p2(x) = x2− 3 e p3(x) = 5x3− 2x+ 3, determine:
(a) p1(x) + p2(x)
(b) p1(x) + p3(x)
(c) p1(x)− p3(x)
(d) p1(x)− p2(x)
(e) p1(x) + p2(x) + p3(x)
12. Dados os polinoˆmios p1(x) = x
3 − 2x− 1, p2(x) = x2 − 3x e p3(x) = x + 4, determine:
(a) p1(x) · p2(x)
(b) p1(x) · p3(x)
(c) p2(x) · p3(x)
(d) p1(x) · p2(x) · p3(x)
(e) p1(x) · p22(x)
(f) p33(x)
13. Dado o polinoˆmio p(x) = 2x3 − x2 + 3x− 5, calcule:
(a) p(0)
(b) p(0) + 2p(1)
(c) p(−1)− p(2)
(d) p(−x)
14. Determine a, b, c e d para que sejam ideˆnticos os polinoˆmios:
(a) ax3 + (b− a)x2 + (c− b)x + (d− c− 1) = 5x3 − x2 + 2x− 3
(b) a(x + c)3 + b(x + d) = x3 + 6x2 + 15x + 14
15. Encontre o quociente e o resto da divisa˜o:
(a) (x5 − 1)÷ (x− 1)
(b) (2x3 + 3x2 − 3x− 2)÷ (x− 1)
(c) (x4 + x2 + 1)÷ (x2 − 1)
(d) (2x3 − 9x2 − 3x + 1)÷ (x2 − 5x + 1)
(e) (x5 − 5x3 + 5x2 + 1)÷ (x2 + 3x + 1)
2
(f) (x3 − x2 + 5x + 6)÷ (x + 3)
(g) (2x4 − 3x3 + 16x2 + 6x− 40)÷ (4x2 − 8)
(h) (x3 − x2 + 4x− 6)÷ (x2 − x + 3)
16. Determine k para que p(x) = x3 + 3x2 + x + k seja divis´ıvel por d(x) = x− 1.
17. Encontre m para que p(x) = x3 + m seja divis´ıvel por x− 2.
18. Determine m e n de modo que o resto da divisa˜o de p(x) = x3− 3x2 +mx+n por x2 + 1 seja
x + 4.
19. Encontre k de modo que 2 seja raiz de p(x) = x3 + 3x2 + kx− 10.
20. Mostre que a equac¸a˜o x3 − 7x − 6 = 0 possui uma raiz igual a 3. Calcule as demais ra´ızes,
coloque o polinoˆmio P (x) = x3 − 7x− 6 na forma fatorada e estude seu sinal.
21. Determine as ra´ızes, escreva a forma fatorada e estude o sinal das func¸o˜es polinomiais a seguir.
(a) f(x) = x3 − 4x.
(b) f(x) = x3 − 6x2 + 9x.
(c) f(x) = −2x3 + 8x2 − 6x.
(d) f(x) = x3 − 1.
(e) f(x) = x3 + x2 − 5x + 3.
(f) f(x) = x3 − x2 − 9x + 9.
(g) f(x) = −x4 + 5x3 − 8x2 + 4x.
(h) f(x) = x4 + 5x3 − x2 − 17x + 12.
3
Respostas
1) a) -1 b) 2 c) 0 d) 2 e) 135 f)-121 g) Na˜o, pois p(1) 6= 0. h) Sim, pois
p(−1) = 0. 2) a) 1 b) 45 c) 15
16
d) 100
81
3)k = 6 4) a) m = 12 b) m = 3
c) m = 5
2
5) k = 18 6) p(x) = 10x−13 7) p(x) = 3x 8) a = 2 e b = 11 9) a = 2 e
b = 1 10) a)m 6= ±2 b) m = 2 c) m = −2 11) a) x3−x2+x−3 b) 6x3−2x2−x+3
c) −4x3−2x2+3x−3 d) x3−3x2+x+3 e) 6x3−x2−x 12) a) x5−3x4−2x3+5x2+3x
b) x4 + 4x3 − 2x2 − 9x − 4 c) x3 + x2 − 12x d) x6 + x5 − 14x4 − 3x3 + 23x2 + 12x
e) x7 − 6x6 + 11x5 − 13x4 + 24x3 − 9x2 f) x3 + 12x2 + 48x + 64 13) a) -5 b) -7
c) -24 d) −2x3 − x2 − 3x− 5 14) a) a = 5, b = 4, c = 6, d = 4 b) a = 1, b = 3,
c = 2, d = 2 15) a) q(x) = x4+x3+x2+x+1, r(x) = 0 b) q(x) = 2x2+5x+2, r(x) = 0
c) q(x) = x2 + 2, r(x) = 3 d) q(x) = 2x + 1, r(x) = 0 e) q(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1,
r(x) = 2 f) q(x) = x2 − 4x + 17, r(x) = −45 g) q(x) = 1
2
x2 − 3
4
x + 5, r(x) = 0
h) q(x) = x, r(x) = x − 6 16) k = −5 17) m = −8 18) m = 2, n = 1 19)
k = −5 20) P (x) = (x + 1)(x + 2)(x− 3) 21)
(a) Fatorac¸a˜o: f(x) = x(x− 2)(x + 2).
Sinal: f(x) > 0 se −2 < x < 0 ou x > 2; f(x) < 0 se x < −2 ou 0 < x < 2; f(x) = 0 se
x = 0 ou x = ±2.
(b) Fatorac¸a˜o: f(x) = x(x − 3)2. Sinal: f(x) > 0 se x > 0 e x 6= 3; f(x) < 0 se x < 0;
f(x) = 0 se x = 0 ou x = 3.
(c) Fatorac¸a˜o: f(x) = −2x(x− 1)(x− 3).
Sinal: f(x) > 0 se x < 0 ou 1 < x < 3; f(x) < 0 se 0 < x < 1 ou x > 3; f(x) = 0 se
x = 0, x = 1 ou x = 3.
(d) Fatorac¸a˜o: f(x) = (x− 1)(x2 + x + 1).
Sinal: f(x) > 0 se x > 1; f(x) < 0 se x < 1; f(x) = 0 se x = 1.
(e) Fatorac¸a˜o: f(x) = (x− 1)2(x + 3).
Sinal: f(x) > 0 se x > −3 e x 6= 1; f(x) < 0 se x < −3; f(x) = 0 se x = −3 ou x = 1.
(f) Fatorac¸a˜o: f(x) = (x− 1)(x− 3)(x + 3).
Sinal: f(x) > 0 se −3 < x < 1 ou x > 3; f(x) < 0 se x < −3 ou 1 < x < 3; f(x) = 0 se
x = 1 ou x = ±3.
(g) Fatorac¸a˜o: f(x) = −x(x− 2)2(x− 1).
Sinal: f(x) > 0 se 0 < x < 1 ; f(x) < 0 se x < 0 ou x > 1 e x 6= 2 ; f(x) = 0 se
x = 0, x = 1 ou x = 2.
(h) Fatorac¸a˜o: f(x) = (x− 1)2(x + 3)(x + 4).
Sinal: f(x) > 0 se x < −4 ou x > −3 ; f(x) < 0 se −4 < x < −3; f(x) = 0 se
x = −4, x = −3 ou x = 1.
4