Matemática Ciências e Aplicações V3-253-255

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8 Determine o valor numérico do polinômio p(x) = 2x2 - 5x + 1 para:a) x = 2 c) x = 0b) x = — d) x = i?9 Seja o polinômio p(x) = x4 - 3x2 - 3- Calcule o valor de p(2) ■p(3J.10 Dado o polinômio p(x) = 5x3 + ix2 - 2i, determine:a) p(.i) b )p (l)
11 Sabendo que x = 1 é raiz de p(x) = x3 - mx2 + 2. determine o valor de m.12 Dos números complexos seguintes, quais são raízes do polinômio/» dado por p(x) = x3 - 7x 2+ 17x - 15? 2 + i, i, 1, 0 e 313 Determine a e b em p(x) = ax3 - 2x2 + bx - l, sabendo que 1 é raiz de p(x) e que p(2) = 3.14 Determine o polinômio do Io grau tal que p(2) = 5 e p (-l) = 2.(Sugestão: o polinômio procurado é p(x) = ax + b.)15 Deicrmine o polinômio do 2? grau tal que p(0) = 3, p(l) = 7 e p(-2) = 9.16 Qual é o polinômio [> de grau 3 que tem coeficiente dominante igual a 2, apresenta zero como uma de suas raízes e satisfaz as condições p(i) = p(—i) e p d) = 5?
Polinômio nulo
Vamos considerar um polinômio p que tenha todos os coeficientes iguais a zero. 
Quando isso ocorre, dizemos que p é um polinômio nulo, ou polinômio identicamente nulo. 
Indicamos assim: p(x) = 0.
M A ltM A T lLA : l l í NUA L APLICAÇÕES
Dado que p(x) = (a - l)x2 + (b + 3)x + c é um polinômio nulo, podemos determinar 
a,b e c, impondo que todos os coeficientes de p(x) sejam iguais a zero:
a - 1 = 0
• b + 3 = 0, donde a = 1 ,b = - 3 e c = 0 
c = 0
Identidades
Dizemos que dois polinômios p,(x) e p_,(x) são idênticos quando todos os coeficientes 
de p,(x) e de p,(x) são ordenadamente iguais. Indicamos assim: p,(x) = p2(x),
Os polinômios f(x) = ax2 + (b - 1)x + 3 e g(x) = -2x2 + 5x - c são idênticos quando 
a = -2, b - 1 = 5 <=> b = 6 e - c = 3 <=» c = -3.
m ------------- --------------------------------------------------------
A identidade (ou 'igualdade") ax2 + bi x + (b + c) = -4ix - 2 ocorre quando: 
a - 0
bi = -4i => b = -4
b + c = -2 ; como b = -4, segue que c = 2
A igualdade x + \ = — ^ r̂- + — ocorre quando:X — 4 X + Z X — 2.
x + 3 _ a(x - 2) + b(x + 2)
x — 4 (x + 2)(x - 2) a(x - 2) + b(x + 2) = x + 3 => ax - 2a + bx + 2b = x + 3
x* - 4
Agrupando os termos semelhantes, vem:
(a + b)x + (-2a + 2b) = x + 3 
Da identidade de polinômios segue que:
|a + b = 1 
I—2a + 2b = 3
cuja solução é a = — — e b = — .4 4
VIIIINÒM IOS 251
G O Q O O O G O G 8
17 Determine a ti b de modo que o polinômio p(x) = ax + (b - 1) seja nulo.
18 Determine a. b e c de modo que o polinômiop(x) = (a — b + l)x2 + (b - 2c)x + (2c - 1) seja identicamente nulo.
19 Determine w. n e p para que:m x'+ (n - 2i)xJ + (p ’ + l)x = 0
20 Determine a, b e c de modo que (a — 1 )x3 + Ca - b)x~ + C2b - c)x = 4x3 - x' + 5x.
21 Sabendo que ( 2m - 1 )x2 + (m - n + i)x + fn + p — J = 3ix, qual é o valor de -m + n + p?
22 Determine m, n e ]> c|ue verificam (m - n)x2 + (3m + 2n)x + (2n — p) — 5x - 1.
23 x b ,DeLermine a e b de modo que , , — x - - 2x - 1.1 2x - 1 x — a
24 Determine a e b que satisfazem a identidade 2x - 5 — (x — a)2 - (x - b)2.
25 Determine m e n de modo que m + n = -/,x + ̂ .x x - 3 x(x - 3)
26 Determine ni e // que verificam ——----- t-— - — = ,~x ~ ̂ .x — 2 x + 1 x 2- x - 2
27 (UnB-DF) Considerando que a, b e c são constantes reais tais que. para todonumero real x * 0 e x * 3, ax ~ l jx + a — - ■ + —— r ,’ x f x - 3 ) 2 x x - 3 ( x - 3 J*calcule a soma a + b + c.
28 Determine ci. b e c. tal que a + —----- 1- — -— = — +.x x - 2 x + 2 x - 4 x
29 (D . F. Ouro Preto-MG) Seja P(x) = a + bx + cx2 + dx3, em que a, b, c, d e R. Determine a. b, c e d para que xP(x + 2) = -27 + P(x) + dx-1.
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