Lista 8 Cálculo I (1)

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ENGENHARIA ELÉTRICA E ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO – 1º PERÍODO – CÁLCULO I 
PROFESSORA: FLÁVIA FARIA DATA ___/___/___ 
 ALUNO: _________________________________________________________________ 
 
Lista de Exercícios 
 
1) Encontre, em cada item, 
( )1'F
, sabendo que 
( ) 11 −=f
, 
( ) 21' =f
, 
( ) 31 =g
 e 
( ) 11' −=g
: 
a) 
( ) ( ) ( )xgxfxF 32 −=
 c) 
( ) ( ) ( )xgxfxF =
 
b) 
( ) ( ) 2xfxF =
 d) 
( ) ( ) ( )xgxfxF =
 
2) A equação da reta tangente ao gráfico de 
1
43
2 +
+
=
x
x
y
 em 
2=x
 é _______________. 
3) Calcule: 
a) 






−
+
1
1
x
x
dx
d
 b) 
( )( ) 14 23 −+− xxx
dx
d
 c) 






− 23
1
xxdx
d
 
 
4) Calcule a derivada da função 
( )xf
: 
a) 
( ) ( )( )121 −+= xxxf
 e) 
( ) ( )( )41263 2 −+= xxxf
 
b) 
( ) ( )( )213 22 +−= xxxf
 f) 
( ) ( )( )53 732 xxxxf +−−=
 
c) 
( ) ( )( )11 22 −+= xxxf
 g) 
( ) ( )( )422 2 ++−= xxxxf
 
d) 
( ) ( )( )11 2 +−+= xxxxf
 h) 
( ) ( )( )xxxxxf −+= 22
 
 
5) Encontre 
1=x
dxdy
: 
a) 
35
1
−
=
x
y
 b) 
2
3
+
=
x
y
 c) 
3
12
+
−
=
x
x
y
 d) 
5
14
2 −
+
=
x
x
y
 
 
6) Encontre todos os valores de 
x
 nos quais a reta tangente à curva dada satisfaz a propriedade 
enunciada: 
a) 
2
12
+
−
=
x
x
y
; horizontal b) 
1
12
+
+
=
x
x
y
; paralela à reta 
xy =
 
 
7) Aplique duas vezes a regra do produto para mostrar que se 
f
, 
g
 e 
h
 forem diferenciáveis, então 
hgf 
 será diferenciável e 
( ) '''' hgfhgfhgfhgf ++=
 
 
8) Use a fórmula obtida no exercício anterior para encontrar: 
a) 
( ) ( )





+





++ − 7
1
112 3x
x
x
dx
d
 b) 
( ) 37 32 −+ xx
dx
d
 
 
9) Encontre 
( )xf '
 e 
( )3' f
 se 
( ) xsenxxf cos=
. 
 
10) Use uma derivada para calcular cada limite: 
a) 
h
hsen
h
1
2
lim
0
−





+
→

 b) 
( )
h
xhx
h
seccosseccos
lim
0
−+
→
 
11) Encontre 
( )xf '
: 
a) 
( ) senxxxf 2cos4 +=
 e) 
( ) gxxxf cotseccos4 −=
 
b) 
( ) xxxf cos4 2−=
 f) 
( ) xtgxxf sec=
 
c) 
( )
senx
x
xf
+
−
=
5
cos5
 g) 
( )
x
gx
xf
seccos1
cot
+
=
 
d) 
( ) tgxxxf 2sec −=
 h) 
( ) xxsenxf 22 cos+=
 
 
12) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de 
tgx
 nos pontos: 
a) 
0=x
 b) 
4=x
 c) 
4−=x
 
 
13) Mostre que 
xsenxy =
 é solução de 
xyy cos2'' =+
. 
 
14) Encontre 
dxdy
: 
a) 
( )102 5+= xy
 b) 
xy 61+=
 c) 
( )23 += xseny
 d) 
( )42tgxxy =
 
 
15) Suponha que 
( ) 32 =f
, 
( ) 42' =f
, 
( ) 63 =g
 e 
( ) 53' −=g
. Calcule: 
a) 
( )2'h
, onde 
( ) ( )( )xfgxh =
 b) 
( )3'k
, onde 
( ) ( )





= xgfxk
3
1
 
16) Encontre 
( )xf '
: 
a) 
( ) ( )373 2xxxf +=
 b) 
( )
2
3 7
−






−=
x
xxf
 c) 
( )
( )32 123
4
+−
=
xx
xf
 
d) 
( ) 





=
2
1
x
senxf
 e) 
( ) xxf 5cos4=
 f) 
( ) ( )xxf 3cos2=
 g) 
( ) ( )72sec2 xxf =
 
 
 
GABARITO: 
1) a) 7 b) 
4−
 c) 7 d) 
95
 2) 
4+−= xy
 3) a) 
( )212 −− x
 b) 
48345 234 +++−− xxxx
 
c) 
( )2232 23 xxxx −+−
 4) a) 
14 +x
 b) 
xx 1012 3 +
 c) 
34x
 d) 
23x
 e) 
122318 2 +− xx
 
f) 
76310624 2457 −−+−− xxxx
 g) 
23x
 h) 
xx 24 3 −
 5) a) 
45−
 b) 
61−
 c) 
167
 
d) 
813−
 6) a) 
32 −
 b) nenhum 
8) a) 
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )413231 3112712712 −−−−−− −++++−++++ xxxxxxxx
 
b) 
( )( )276 32273 −++ xxx
 9) 
( ) xsenxxf 22cos' −=
, 
( ) 213' −=f
 10) a) 0 
b) 
gxxcotseccos−
 11) a) 
xsenx cos24 +−
 b) 
senxxxx 24cos8 +−
 
c) 
( )251cos55 senxxsenx ++−
 d) 
xxtgx 2sec2sec −
 h) 0 
e) 
xgxx 2seccoscotseccos4 +−
 f) 
xxxtg 32 secsec +
 g) 
xx seccos1seccos +−
 
12) a) 
xy =
 b) 
122 +−= xy
 c) 
122 −+= xy
 14) a) 
( )92 520 +xx
 
b) 
x613 +
 c) 
( )23cos3 +x
 d) 
( ) ( )xxxtgxtgxx 2232 sec24 +
 15) a) 
20−
 b) 
320−
 
16) a) 
( ) ( )23237 2363 ++ xxx
 b) 
( ) ( )2233 7372 xxxx +−− −
 
c) 
( ) ( )42 1233124 +−− xxx
 d) 






−
23
1
cos
2
xx
 e) 
xsenx4cos20−
 
f) 
( ) ( )xsenx
x
33cos
3
−
 g) 
( ) ( )7726 sec28 xtgxx