Exercícios de Cálculo I

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas-CCE
Departamento de Matema´tica
MAT 087-TUTORIA ESPECIAL EM CA´LCULO I
9a Aula de Exerc´ıcios-2013
Monitor: Serginei Jose´ do Carmo Liberato
1. Em um triaˆngulo ∆ABC equila´tero de lado L,L > 0.
a) Determine a variac¸a˜o me´dia do per´ımetro com respeito ao lado no intervalo [1, 2]?
b) Qual a taxa de variac¸a˜o do per´ımetro quando L = 2?
c) Qual a taxa de variac¸a˜o da a´rea do triaˆngulo quando L = 2?
2. Suponha que esta´ sendo bombeado ar para dentro de uma bala˜o esfe´rico, e seu volume cresce a uma taxa de 50cm3/s.
Qua˜o ra´pido o raio do bala˜o esta´ crescendo quando o raio e´ 5cm?
3. Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura e 2m de raio da base. Se a a´gua
entra no tanque a uma raza˜o de 0.001m3/min, calcule a raza˜o na qual o n´ıvel da a´gua esta´ subindo quando a
profundidade e´ de 1m.
4. Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo , com raio decrescendo a´ raza˜o constante, passando de 30cm
para 20cm em 45 minutos. Qual a variac¸a˜o do volume quando o raio esta´ com 25cm?
5. Quando uma pessoa tosse, o raio da traque´ia diminui, afetando a velocidade do ar na traque´ia. Se r0 e´ o raio
normal da traque´ia, a relac¸a˜o entre a velocidade v do ar e o raio r da traque´ia e´ dada por uma func¸a˜o da forma
v(r) = ar2(r0 − r) , onde a e´ uma constante positiva. Determine o raio para o qual a velocidade do ar e´ ma´xima.
6. O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma a´rea de piquenique para os motoristas ao longo de
uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma a´rea de 5000 metros quadrados, e devera´ ser cercada
nos treˆs lados na˜o-adjacentes a´ estrada. Qual e´ a menor quantidade de cerca que sera´ necessa´ria para completar o
trabalho?
7. Achar dois nu´meros positivos cuja soma seja 70 e o produto seja o maior poss´ıvel.
8. Determinar as dimenso˜es de uma lata cil´ındrica, com tampa, com volume V , de forma que a sua a´rea total seja
mı´nima.
RESPOSTAS
1. a)
∆P
∆L
= 3.
b) L = 2.
c)
dA
dL
=
√
3.
2.
dr
dt
=
1
2pi
.
3.
dh
dt
=
0.004
pi
m/min.
4.
dV
dt
= −5000pi
9
cm3/min.
5. r =
2
3
r0 e v
(
2
3
r0
)
=
4a
27
r0
2.
6. Largura b = 50m e comprimento h = 100m.
7. Os dois nu´meros sa˜o iguais a 35.
8. r = 3
√
V
2pi
e h = 3
√
4V
pi
.