Aula 05 Números reais potências, radicais e expressões numéricas

Prévia do material em texto

Semana 05 - Com quantas retas se faz
uma canoa?
Quinta semana? Sexta semana? Na˜o importa, agora o semestre esta´ definitivamente comec¸ado
e voceˆ ja´ deve estar a`s voltas com a AD01! Voceˆ ja´ estabeleceu uma rotina de trabalho? Como
esta˜o as outras disciplinas? Se voceˆ esta´ achando que o Pre´-Ca´lculo e´ moleza e esta´ estudando
pouco, caia na real!!
Brincadeirinha, tenho certeza que voceˆ leva a se´rio seus compromissos e espero que esteja
gostando do curso e aprendendo coisas novas.
Nesta semana voceˆ devera´ focar a sua atenc¸a˜o num tema muito importante. O tema da
semana e´ ... tada˜ammm – equac¸o˜es de retas!!!
Voceˆ devera´ terminar a semana sabendo TUDO a respeito de equac¸o˜es de retas: forma
geral, retas verticais, retas horizontais, paralelas, coeficientes angulares, coeficientes lineares e
tudo o mais!
Como voceˆ deve estar esperando, equac¸o˜es de retas na˜o e´ nenhum bicho papa˜o da Matema´-
tica e, portanto, e´ bom aproveitar para aprender tudo super bem.
Voceˆ ja´ deve ter uma ide´ia da coisa: uma equac¸a˜o do tipo ax+ by+ c = 0 (com a2+ b2 6= 0)
determina um subconjunto de pontos do plano – o conjunto de todos os pontos de coordenadas
(x, y) que (e´ claro) satisfazem a equac¸a˜o.
Assim, voceˆ precisa saber transitar entre esses dois mundos: dada a equac¸a˜o voceˆ deve ser
capaz de esboc¸ar o gra´fico ou pelo menos, saber se a reta esta´ inclinada assim ou assado, qual
e´ a sua intersecc¸a˜o com os eixos de coordenadas, coisas assim. Essa e´ a parte da descida da
ladeira, a parte fa´cil. Menos fa´cil e´ a ma˜o inversa. Isto e´, a partir das informac¸o˜es geome´tricas
a respeito da reta, construir a sua equac¸a˜o. Ha´ va´rias situac¸o˜es e voceˆ precisa aprender todas.
Veja, como ja´ dizia Euclides, ha´ mais ou menos 2300 anos, para determinar uma reta
precisamos de duas informac¸o˜es. Pode ser dois pontos que pertencem a reta ou um ponto mais
a inclinac¸a˜o...
Finalmente, gostaria de chamar a atenc¸a˜o de voceˆs para uma coisa a respeito de retas e de
27
Caderno de PC Pre´-Ca´lculo
suas equac¸o˜es. Note que no universo da A´lgebra, as equac¸o˜es do tipo ax + by + c = 0 sa˜o as
mais simples poss´ıveis com duas varia´veis. Elas sa˜o as equac¸o˜es lineares. Pois esse conjunto de
objetos alge´bricos simples correspondem no universo da Geometria, via a ponte estabelecida
entre eles pela introduc¸a˜o de sistemas de coordenadas, a`s retas, exatamente os objetos mais
simples, sem contar com os pontos, e´ claro...
Voceˆ sabe o que e´ que esta´ por tra´s desse fenoˆmeno? O que faz todo essa arquitetura
funcionar? Pois bem, a resposta esta´ na noc¸a˜o de proporc¸a˜o. O que caracteriza estarem treˆs
pontos alinhados? Resposta: esta˜o alinhados se, e somente se, as suas coordenadas guardam
certas proporc¸o˜es. Veja o desenho a seguir:
A
B
C
P
Q
Os dois triaˆngulos retaˆngulos sa˜o semelhantes e, portanto seus catetos guardam a mesma
proporc¸a˜o:
AP
BQ
=
PB
QC
.
No universo alge´brico, se (x, y), (a, b) e (c, d) sa˜o treˆs ponto “alinhados”, isto e´,
pertencentes a` mesma reta, suas coordenadas sa˜o, por assim dizer, proporcionais. Usamos
isso mais uma propriedade dos determinantes de matrizes para obter um objeto tipicamente
alge´brico: uma equac¸a˜o. Veja, o determinante a seguir.
∣∣∣∣∣∣
x y 1
a b 1
c d 1
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Por que deve ser igual a zero? Ora, todo mundo sabe que, se duas linhas ou duas colunas
de um determinante sa˜o proporcionais, ele e´ igual a zero.
28
Caderno de PC Pre´-Ca´lculo
Veja um exemplo nume´rico. Queremos achar a equac¸a˜o da reta que conte´m os pontos (0, 1)
e (2, 5). Usamos o determinante: ∣∣∣∣∣∣
x y 1
0 1 1
2 5 1
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Agora, cada um use a sua maneira preferida de calcular o determinante. Por exemplo,
repetindo as duas primeiras linhas e multiplicando as diagonais, com sinal negativo nas se-
cunda´rias:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y 1
0 1 1
2 5 1
x y 1
0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= x+ 0 + 2y − 2− 5x− 0 = 2y − 4x− 2 = 0.
Podemos escrever a resposta como
y = 2x+ 1
Veja o gra´fico na figura a seguir.
1
5
2
Note que o coeficiente angular e´ positivo. Ale´m disso, o cateto vertical tem o dobro do
tamanho do cateto horizontal: o coeficiente angular e´ igual a 2. Mais ainda, a intersecc¸a˜o da
reta com o eixo Oy ocorre na altura (positiva) 1, que e´ o coeficiente linear da reta.
Ao trabalho!
29
Caderno de PC Pre´-Ca´lculo
Atividades da Semana
1) Calcule o coeficiente angular, caso exista, da reta determinada pelos pontos dados.
a) (3, 4); (2, −5)
b) (4, 3); (−5, 2)
c) (−2, 4); (−2, 17)
d) (5, −3); (15, −3)
e) (−9, 0); (−3, 12)
f) (2, −3
4
); (−1
3
, 2
3
)
2) Esboce o gra´fico da reta de coeficiente angular m e que conte´m o ponto dado.
a) m = −1; (2, 3)
b) m = 3
4
; (0, 2)
c) m = 2; (1, 1)
d) m = −1
3
; (−2, 3)
e) m = 0; (3, 1)
f) m = −2; (0, 4)
3) Esboce cada uma das retas com coeficiente angular dado a seguir e tais que o ponto (3, −1)
e´ comum a todas elas.
m = −2; m = −1 m = 0, m = 2, m = 4
4) Determine a equac¸a˜o da reta determinada pelos pontos dados.
a) (1, 2); (0, −2)
b) (1, 1); (3, −2)
c) (1, 4); (−1, 3)
d) (1, 0); (1, 3)
e) (3, 0); (6, 0)
f) (1, −2); (1
5
, −2
5
)
Exerc´ıcios para cansar o brac¸o
Matema´tica, como toda outra atividade humana, tem o seu lado te´cnico, que exige habilidades.
E´ coisa do of´ıcio. Assim como um bom carpinteiro que tem prazer em serrar uma madeira ou
pregar um prego com destreza, assim no´s, profissionais da Matema´tica, devemos ser capazes
de executar certas manobras com elegaˆncia e precisa˜o. Isso exige treino, dedicac¸a˜o.
Nesta se´rie voceˆ devera´ reescrever a expressa˜o alge´brica de forma que o termo linear fique,
por assim dizer, escondido... Veja um exemplo: x2+6x+10 = x2+2×3×x+9+1 = (x+3)2+1.
Note que o nu´mero 10 foi escrito como a soma de 9 com 1.
Tente o mesmo na lista a seguir:
a) x2 − 2x+ 4
b) z2 − 8z + 8
c) t2 − 2at+ 3a2
d) y2 − 2√2 y − 1
e) 4a2 − 4a+ 4
f) x4 − 4x2 − y2 − 2y + 3
g) x2 − x− y2 − 3y − 5
h) z2 + t2 − 4z + 6t+ 1
30