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Campo Ele´trico - Aula 8 Prof. Giovanni Cordeiro Barroso 30 de maio de 2017 Campo ele´trico; campo ele´trico devido a duas cargas, campo ele´trico de um dipolo; campo ele´trico de uma distribuic¸a˜o cont´ınua de cargas, linhas de campo ele´trico, movimento de uma part´ıcula carregada em um campo ele´trico uniforme. 1 Campo Ele´trico O vetor campo ele´trico E⃗ em um ponto no espac¸o, e´ definido como a forc¸a ele´trica F⃗ atuando em uma carga de teste positiva colocada naquele ponto, dividida pela magnitude da carga de teste q0, ou seja: E⃗ ≡ F⃗ q0 ⎛⎝NC ⎞⎠ no S.I. Note que E⃗ e´ o campo produzido por alguma outra carga, que na˜o seja a carga de teste. Como F⃗ = keqq0 r2 rˆ enta˜o 1 E⃗ = ke q r2 rˆ em que rˆ e´ o vetor unita´rio direcionado de q para q0. Se q e´ positiva, o campo ele´trico se origina em q. Se q e´ negativa, enta˜o o campo ele´trico se origina em alguma carga positiva e se encerra em q. Como o campo ele´trico e´ um vetor, enta˜o, o campo ele´trico total em um determinado ponto do espac¸o, devido a um grupo de cargas, e´ igual a` soma vetorial dos campos ele´tricos de cada carga. ————— Exemplo 1. Forc¸a ele´trica em um pro´ton – Encontre a forc¸a ele´trica sobre um pro´ton colocado em um campo ele´trico de 2× 104 N/C direcionado no sentido positivo ao longo do eixo − x. R – Carga do pro´ton: +e = 1,6 × 10−19 C. F = eE = 1,6 × 10−19 × 2 × 104 = 3,2 × 10−15i⃗ N ————— Exemplo 2. Campo ele´trico devido a duas cargas – Uma carga q1 = 7 µC e´ colocada na origem, e uma segunda carga q2 = −5 µC e´ colocada no eixo−x, a 0,3 m da origem (veja Figura 1). Encontre o campo ele´trico no ponto P , cujas coordenadas sa˜o (0, 0,4)m. Figura 1: Campo ele´trico no ponto P . 2 R – Primeiro, encontra-se o campo ele´trico no ponto P devido a cada carga. O campo E1, devido a` carga q1, e o campo E2, devido a` carga q2, podem ser vistos na figura. As respectivas magnitudes dos campos sa˜o: E1 = ke q1 r2 = (8,99 × 109)7 × 10−6 0,42 = 3,9 × 105 N/C E2 = ke q2 r2 = (8,99 × 109)5 × 10−6 0,52 = 1,8 × 105 N/C O vetor E⃗1 esta´ no sentido positivo do eixo − y. O vetor E⃗2 pode ser decomposto nas suas componentes x e y: E2x = E2 cos θ = 3 5 E2 = 1,08 × 105 N/C E2y = −E2 sin θ = −4 5 E2 = −1,44 × 105 N/C Assim, Ex = E2x = 1,08 × 105 N/C Ey = E1 +E2y = 3,9 × 105 − 1,44 × 105 = 2,46 × 105 N/C Desta forma, o mo´dulo do vetor campo ele´trico no ponto P e´ dado por: ∣E∣ =√(1,08 × 105)2 + (2,46 × 105)2 = 2,7 × 105 N/C A direc¸a˜o e o sentido do vetor campo ele´trico resultante no ponto P sa˜o dados pelo aˆngulo que este vetor faz com o sentido positivo do eixo − x, ou seja: tanφ = 2,46 × 105 1,08 × 105 = 2,28⇒ φ = 66○ com o eixo positivo de x ————— Exemplo 3. Campo ele´trico de um dipolo – Um dipolo ele´trico consiste de uma carga positiva q e uma carga negativa –q separadas por uma distaˆncia 2a, como mostrado na Figura 2. Encontre o campo ele´trico E⃗, devido a estas duas cargas, em um ponto P ao longo do eixo − y. Assuma que y ≫ a. 3 Figura 2: Campo ele´trico em um ponto P ao longo do eixo-y devido a um dipolo ele´trico. R – No ponto P , os campos E⃗1 e E⃗2, devido a`s cargas, possuem a mesma magnitude, pois P e´ equidistante das duas cargas, as quais sa˜o iguais e de sinais opostos. O vetor campo ele´trico resultante E⃗ e´ igual a: E⃗ = E⃗1 + E⃗2 em que ∣E1∣ = ∣E2∣ = ke q r2 = ke q y2 + a2 As componentes na direc¸a˜o y dos dois campos se cancelam. As componentes em x sa˜o iguais e possuem o mesmo sentido. Assim, o campo ele´trico resultante se encontra na direc¸a˜o x, no sentido positivo. Desta forma: E = Ex1 +Ex2 = 2Ex = E cos θ Como cos θ = a/(a2 + y2), enta˜o o campo ele´trico resultante e´: E = 2ke × q y2 + a2 × aa2 + y2 = ke 2qa(a2 + y2)3/2 Usando a aproximac¸a˜o y ≫ a, podemos desprezar a2 na equac¸a˜o acima, assim: E ≈ ke2qa y3 4 ————— 2 Campo Ele´trico de uma Distribuic¸a˜o Cont´ınua de Cargas Um grupo de cargas, as quais se encontram muito pro´ximas umas das outras comparando estas distaˆncias com um ponto onde se deseja calcular o campo ele´trico devido a elas, pode ser considerado como um conjunto cont´ınuo, ou seja, podemos considerar esse grupo como uma carga total distribu´ıda uniformemente ao longo de uma linha, ou uma superf´ıcie, ou mesmo um volume. Assim, o campo ele´trico em um ponto P devido a um elemento de carga ∆q e´: ∆E⃗ = ke∆q r2 rˆ Em que r e´ a distaˆncia entre o elemento e o ponto P , e rˆ e´ o vetor unita´rio direcionado do elemento de carga para o ponto P . O campo ele´trico total no ponto P devido a todos os elementos de carga e´ dado por: E⃗ = ke∑ i ∆q r2 rˆi Em que o ı´ndice i refere-se ao i-e´simo elemento da distribuic¸a˜o de cargas. Se a separac¸a˜o entre as cargas e´ bem menor que a distaˆncia entre elas e o ponto P , a distribuic¸a˜o de cargas pode ser aproximada por uma u´nica carga cont´ınua. Desta forma, o campo ele´trico total em P no limite quando ∆qi → 0 e´: E⃗ = ke lim ∆qi→0∑i ∆qr2 rˆi = ke∫ dqr2 rˆi Quando usamos a integral para calcular o campo ele´trico em um ponto P, e´ conveniente usar o conceito de densidade de carga, ou seja: 5 Se a carga Q e´ uniformemente distribu´ıda em um volume V , a carga por unidade de volume (densidade volume´trica de carga) e´: ρ = Q V ⎛⎝ Cm3⎞⎠ Se a carga Q e´ uniformemente distribu´ıda em uma superf´ıcie de a´rea A, a carga por unidade de a´rea (densidade superficial de carga) e´: σ = Q A ⎛⎝ Cm2⎞⎠ Se a carga Q e´ uniformemente distribu´ıda ao longo de uma linha de comprimento l, a carga por unidade de comprimento (densidade linear de carga) e´: λ = Q L ⎛⎝Cm⎞⎠ ————— Exemplo 4. Campo ele´trico devido a uma vareta carregada – Uma vareta de compri- mento l possui uma carga uniformemente distribu´ıda com densidade linear de carga λ e carga total Q. Calcule o campo ele´trico em um ponto P , a uma distaˆncia d de uma das extremidades da vareta, e ao longo do eixo em que a mesma se encontra. (Veja Figura 3). Figura 3: Vareta uniformemente carregada. R – Seja ∆x o tamanho de um pequeno segmento da vareta e ∆q a carga desse seg- mento. Assim: λ = ∆q ∆x = Q l 6 Nesse caso, o campo ele´trico devido a ∆q e´: ∆E = ke∆q x2 = keλ∆x x2 Note que cada elemento produz um campo ele´trico em P , na direc¸a˜o negativa do eixo − x. Sendo assim, basta somar a contribuic¸a˜o de cada elemento para a formac¸a˜o do campo ele´trico total. O campo total e´ dado pela integral a seguir: E = ∫ l+d d keλ dx x2 Em que x varia entre os limites de integrac¸a˜o, que sa˜o (d) e (l + d). Como ke e λ sa˜o constantes, enta˜o: E = keλ∫ l+d d dx x2 = keλ⎡⎢⎢⎢⎢⎣ − 1x ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ l+d d = keλ⎛⎝1d − 1l + d⎞⎠ ⇒ E = ke Q d(l + d) Deste resultado, a gente pode inferir que, se d≫ l, enta˜o: E ≈ keQ d2 Que e´ o valor que se esperaria para o campo ele´trico produzido por uma carga pontual. ————— 3 Movimento de Part´ıculas Carregadas em um Campo Ele´trico Uniforme Antes de falar do movimento de part´ıculas em um campo ele´trico, vamos definir Linhas de Campo ele´trico: As linhas de campo ele´trico sempre comec¸am em uma carga positiva e terminam em uma carga negativa. Caso a carga l´ıquida seja diferente de zero, as linhas devem comec¸ar ou finalizar no infinito; 7 O nu´mero de linhas de campo deixando uma carga positiva ou chegando em uma carga negativa e´ proporcional a` magnitude da carga; Nenhuma linha de campo ele´trico pode interceptar ou tocar uma outra linha de campo ele´trico. O movimento de uma part´ıcula carregada em um campo ele´trico uniforme e´ equiva- lente a um proje´til movendo-se em um campo gravitacional constante. Quando uma part´ıcula de carga q e massa m e´ colocada em um campo ele´trico E, a forc¸a ele´trica sobre a carga e´: F⃗ = qE⃗Se esta e´ a u´nica forc¸a atuando sobre a carga, enta˜o: F⃗ = qE⃗ =ma⃗ Assim, a acelerac¸a˜o da part´ıcula e´: a⃗ = qE⃗ m ————— Exemplo 5. Acelerando uma carga positiva – Uma carga pontual +q de massa m e´ colocada em repouso em um campo ele´trico uniforme E, conforme Figura 4. Descreva seu movimento. R – A acelerac¸a˜o da carga e´ constante e e´ igual a qE/m. O movimento e´ linear ao longo do eixo−x, assim, podemos aplicar as equac¸o˜es da cinema´tica em uma dimensa˜o: x = x0 + v0t + 1 2 at2; v = v0 + at; v2 = v20 + 2ax 8 Figura 4: Carga ele´trica em um campo ele´trico uniforme. Para x0 = 0 e v0 = 0, temos: x = 1 2 at2; v = at; v2 = 2ax Assim: x = 1 2 at2 = qE 2m t2; v = at = qE m t; v2 = 2ax = 2qE m x A energia cine´tica da carga apo´s ela ter se deslocado de uma distaˆncia x, e´: K = 1 2 mv2 = 1 2 m(2qE m x) = qEx ————— O campo ele´trico em uma regia˜o entre duas placas meta´licas e´ aproximadamente uniforme (Veja Figura 5). Suponha que um ele´tron com carga −e e´ projetado horizon- talmente no campo, com velocidade inicial igual a v0iˆ. Como o campo ele´trico E⃗ esta´ na direc¸a˜o positiva do eixo − y, a acelerac¸a˜o do ele´tron e´ na direc¸a˜o negativa de y, ou seja: a⃗ = −eE m jˆ Como o campo e´ constante, enta˜o, a acelerac¸a˜o tambe´m e´ constante. Desta forma, podemos aplicar as equac¸o˜es da cinema´tica em duas dimenso˜es. 9 Figura 5: Movimento de um ele´tron em um campo ele´trico uniforme. Lembrando que: vx0 = v0 e vy0 = 0 Temos: vx = v0 = constante vy = at = eE m t Desta forma, as coordenadas do ele´tron no campo, apo´s um certo tempo t sa˜o: x = v0t; y = 1 2 at2 = −1 2 eE m t2 Substituindo t = x/v0, pode-se observar que y e´ proporcional a x2, ou seja, a trajeto´ria do ele´tron no campo e´ uma para´bola, como pode ser visto pela equac¸a˜o seguinte: y = −1 2 eE mv20 x2 ————— Exemplo 6. Um ele´tron entra em uma regia˜o de campo ele´trico uniforme (veja Figura 5) com v0 = 3 × 106 m/s e E = 200 N/C. O comprimento do campo e´ l = 0,1 m. 1. Encontre a acelerac¸a˜o do ele´tron no interior do campo ele´trico; 2. Encontre o tempo que o ele´tron leva para atravessar o campo; 10 3. Qual e´ o deslocamento vertical y do ele´tron enquanto ele se encontra no campo ele´trico. R-1 – A acelerac¸a˜o do ele´tron e´ dada por: a⃗ = −eE m jˆ = −(1,6 × 10−19) × 200 9,11 × 10−31 = −3,51 × 1013jˆ m/s2 R-2 – Como sua velocidade na direc¸a˜o x e´ constante e o comprimento do campo e´ l = 0,1 m, enta˜o: x = v0t⇒ t = x v0 = 0,1 3 × 106 ⇒ t = 3,33 × 10−8 s R-3 – Como y0 = 0 e vy0 = 0, enta˜o: y = 1 2 at2 = −1 2 (3,51 × 1013)(3,33 × 10−8)2 ⇒ y = −0,0195 m = −1,95 cm ————— 4 Lista de Exerc´ıcios 1. Estime a magnitude do campo ele´trico devido a um pro´ton em um a´tomo de hidrogeˆnio a uma distaˆncia de 5,29 × 10−11 m, a posic¸a˜o esperada do ele´tron no a´tomo. a) 10−11 N/C; b) 108 N/C; c) 1014 N/C; d) 106 N/C; e) 1012 N/C. 2. Uma pequena bola possui massa igual a 5 × 10−3 kg e uma carga de 4 µC. Qual a magnitude do campo ele´trico direcionado para cima que balanceara´ o peso da bola, tal que a mesma permanec¸a suspensa em repouso acima do solo? 11 a) 8,21 × 102 N/C; b) 1,22 × 104 N/C; c) 2 × 10−2 N/C; d) 5,11 × 106 N/C; e) 3,72 × 103 N/C. 3. Um ele´tron com velocidade inicial de 3 × 106 m/s move-se em um campo ele´trico uniforme de magnitude igual a 1× 103 N/C. As linhas de campo se encontram na mesma direc¸a˜o e sentido da velocidade do ele´tron. Qual a distaˆncia que o ele´tron percorre neste campo antes de parar? a) 2.56 cm; b) 5.12 cm; c) 11.2 cm; d) 3.34 m; e) 4.24 m. 4. Quais sa˜o a magnitude, a direc¸a˜o e o sentido de um campo ele´trico que balanceara´ o peso de: a) um ele´tron; b) um pro´ton. 5. Duas cargas pontuais de 2 µC cada sa˜o colocadas sobre o eixo−x. Uma delas esta´ localizada em x = 1 m e a outra em x = −1 m. a) Determine o campo ele´trico no eixo y = 0,5 m; b) Calcule a forc¸a ele´trica sobre uma carga q = −3 µC colocada em y = 0,5 m. 6. Na figura abaixo, determine o ponto no qual o campo ele´trico e´ zero, ale´m do ponto no infinito. 12 7. Uma haste de 14 cm de comprimento esta´ uniformemente carregada com uma carga total de 22 µC. Determine a magnitude e a direc¸a˜o do campo ele´trico ao longo do eixo em que se encontra a haste, em um ponto a 36 cm de distaˆncia de seu centro. 8. Um anel de raio a possui uma carga total uniformemente distribu´ıda igual a Q. a) Calcule o campo ele´trico devido ao anel em um ponto P distante x de seu centro, ao longo de seu eixo central, perpendicular ao plano do anel. (Veja figura abaixo). b) Qual o valor do campo ele´trico para x = 0? c) Qual o valor do campo ele´trico para x≫ a? 9. Treˆs cargas pontuais esta˜o localizadas em um arco circular, como mostrado na figura abaixo. a) Qual o campo ele´trico resultante no ponto P (centro do arco)? b) Encontre a forc¸a ele´trica que seria exercida em uma carga pontual de −5 nC colocada no ponto P . 13 5 Respostas aos exerc´ıcios 4. a) E⃗ = (−5,58 × 10−11)jˆ N/C; b) E⃗ = (1,2 × 10−7)jˆ N/C 5. a) E⃗ = (1,29 × 104)jˆ N/C; b) F⃗ = (−3,87 × 10−2)jˆ N 6. d = 1,82 m a` esquerda da carga de −2,5 µC; 7. E = 1,59 × 106 N/C; 8. a) E = kex Q(a2+x2)3/2 ; b) E = 0; c) E = ke Qx2 9. a) E = 1,8 × 104 N/C para a direita; b) F = 8,98 × 10−5 N para a esquerda. 14
