2018 Planejamento de experimentos

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PLANEJAMENTO DE 
EXPERIMENTOS APLICADO A 
ALIMENTOS
EMENTA
Importância e aplicação do planejamento 
de experimentos. Técnicas estatísticas de 
planejamento, análise de dados e 
construção de modelos 
Prof. Dr. Fábio Yamashita 
Universidade Estadual de Londrina
Depto. Ciência e Tecnologia de Alimentos 
ELEMENTOS DE UM ESTUDO 
CIENTÍFICO
 Especificação do objetivo;
 Escolha dos fatores, níveis e faixas;
 Seleção das variáveis de resposta;
 Escolha do planejamento experimental;
 Coleta de informações;
 Análise dos dados;
 Conclusões e recomendações.
O PAPEL DO PLANEJAMENTO 
EXPERIMENTAL
 Pesquisa científica: processo de 
aprendizagem dirigida;
 Objetivo do planejamento:
 processo mais eficiente possível;
 estudo dos efeitos, muitas vezes 
complexos.
O QUE É ESTATÍSTICA?
Corpo de conceitos e métodos utilizados 
para:
 coletar e interpretar dados da área 
em estudo;
 tirar conclusões em situações onde a 
incerteza e a variação estão 
presentes.
OBJETIVOS DA ESTATÍSTICA
 Fazer inferências sobre uma população 
através da análise de informações contidas 
em dados de amostra;
 Estimar a magnitude da extensão da 
incerteza envolvida nesta inferência; 
 Planejar o processo e a extensão da 
amostragem, de tal forma que as 
observações formem uma base para inferir 
de forma válida e precisa.
EXEMPLO DO DESENVOLVIMENTO 
DE UMA NOVA ENZIMA
 Hipótese 1: nova enzima catalisaria reação 
de A + B  C (composto valioso) com 
excelente rendimento;
 Desenho experimental 1: temperatura 
escolhida  60°C;
 Dados 1 (fatos): produto obtido  escuro, 
fétido e com menos de 1% C;
 Indução: produção inicial do composto C 
em alta concentração  condições severas 
da reação  degradação do composto C.
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EXEMPLO DO DESENVOLVIMENTO 
DE UMA NOVA ENZIMA
 Hipótese 2: condições da reação muito 
severas  temperatura mais baixa 
aumentaria o rendimento de produção de C;
 Desenho experimental 2: duas novas 
corridas  temperaturas escolhidas: 55°C e 
50°C;
 Dados 2 (fatos): produtos obtidos  menos 
escuros e fétidos  55°C rendimento de 4% 
de C e 50°C: rendimento de 17% de C.
CICLO ITERATIVO DE INVESTIGAÇÃO
Tratamento de água com uma nova 
resina para retirada de sulfatos
 ITERAÇÃO 1
 Questão: há evidências de que a nova resina 
reduz o nível de sulfato da água pré-tratada?
 Desenho e análise: comparação de uma 
média com uma média populacional;
 Descoberta: foi obtida uma redução 
significativa, mas um alto teor de sulfato 
permanece;
 Discussão: uso de uma versão de alta pureza 
(mais cara) poderia melhorar o desempenho.
Tratamento de água com uma nova 
resina para retirada de sulfatos
 ITERAÇÃO 2
 Questão: como trabalham as duas versões de 
resina?
 Desenho e análise: comparação de duas 
médias;
 Descoberta: não houve diferença significativa 
entre as resinas;
 Discussão: descartou-se a resina de alta 
pureza e decidiu-se comparar com 5 resinas 
comerciais mais caras.
Tratamento de água com uma nova 
resina para retirada de sulfatos
 ITERAÇÃO 3
 Questão: como trabalhou a nova resina 
comparada com as 5 amostras comerciais?
 Desenho e análise: comparação entre mais 
de 2 tratamentos;
 Descoberta: a nova resina trabalhou de forma 
igual ou melhor que as amostras comerciais;
 Discussão: a nova resina (mais barata) é tão 
boa quanto as encontradas no mercado. Sob as 
condições estudadas a redução de sulfato na 
água ainda não é suficiente.
Tratamento de água com uma nova 
resina para retirada de sulfatos
 ITERAÇÃO 4
 Questão: alterações no equipamento que afetem a 
vazão, altura do leito, quantidade regenerada etc. 
aumentariam a remoção de sulfato da água?
 Desenho e análise: estudos empíricos com 
desenho fatorial;
 Descoberta: com modificações adequadas pode ser 
atingido nível suficientemente baixo de sulfato;
 Discussão: antes do processo ser recomendado para 
retirada de sulfato  estudar comportamento sob 
uma variedade de condições que podem ser 
encontradas em diversas localidades em épocas 
diferentes.
Tratamento de água com uma nova 
resina para retirada de sulfatos
 ITERAÇÃO 5
 Questão: como o processo de adsorção de 
sulfato é afetado pelo pH, dureza e baixas 
concentrações de compostos químicos A, B, C, 
D,...., K?
 Desenho e análise: desenho fatorial 
fracionado;
 Descoberta: o processo não é afetado pelo 
pH, dureza e baixas concentrações dos 
compostos químicos A, B, C, D,...., K nas faixas 
estudadas;
 Discussão: a resina provavelmente pode ser 
lançada no mercado. Uma planta piloto é 
construída.
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Tratamento de água com uma nova 
resina para retirada de sulfatos
 ITERAÇÃO 6
 Questão: como os valores das variáveis do 
processo afetam a qualidade e o custo de 
produção das resinas? 
 Desenho e análise: métodos de superfície de 
resposta e mínimos quadrados; 
 Descoberta: estudos na planta piloto indicam 
que o processo de produção em larga escala da 
resina teria qualidade satisfatória e custo 
razoável;
 Conclusão: uma planta comercial é 
construída.
COMO UTILIZAR AS TÉCNICAS 
ESTATÍSTICAS
 Descubra o máximo que puder sobre o problema
 Qual é o objeto da investigação?
 Eu vou descrever o seu problema. Eu estou correto?
 Você tem algum dado?
 Como estes dados foram coletados?
 Em que ordem?
 Em quais dias?
 Por quem?
 Como?
 Como o equipamento trabalha?
 Como ele se parece?
 Eu posso vê-lo?
 Eu posso vê-lo trabalhando?
 Você tem outros dados como este?
 Quanta teoria é conhecida sobre o fenômeno?
COMO UTILIZAR AS TÉCNICAS 
ESTATÍSTICAS
 Não esqueça o conhecimento não 
estatístico;
 Utilize o planejamento e a análise mais 
simples possível;
 Reconheça a diferença entre 
significância estatística e prática;
 Defina os objetivos;
 Aprenda uns com os outros: troca 
entre teoria e prática.
COMPARAÇÃO ENTRE 2 
TRATAMENTOS
 Média populacional ()
 Média de amostra
 Variância populacional
 Variância de amostra
1n
)YY(
s
2
2


 
n
y...yyY n21 
n
)Y( 22   
COMPARAÇÃO ENTRE 2 
TRATAMENTOS
 Distribuição normal (Gaussiana)
COMPARAÇÃO ENTRE 2 
TRATAMENTOS
 Médias seguem uma 
distribuição normal 
mesmo que as 
respostas sejam 
discretas
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COMPARAÇÃO ENTRE 2 
TRATAMENTOS
 Teste t de Student
 Utilizada quando não temos “” mas “s”
 Com valor de t0=(y0-)/s e =graus de 
liberdade  Tabela
 =∞  distribuição normal
 Quando >15  distribuição “t” próxima 
de uma normal, exceto nas 
extremidades
DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT
CONDIÇÕES PARA VALIDADE DA 
DISTRIBUIÇÃO “t”
 y normalmente distribuído em torno 
de  com variância 2
 “s” é distribuído independentemente 
de y
 “s2” com  graus de liberdade é 
calculada a partir de observações 
distribuídas “normalmente” e 
independentemente
ALEATORIZAÇÃO E BLOCAGEM 
 BLOCO: porção do material 
experimental mais homogêneo; 
 "BLOQUE O QUE VOCÊ PUDER E 
ALEATORIZE O QUE VOCÊ NÃO 
PUDER BLOCAR" ;
 Aleatorização e blocagem não 
substituem estudos sobre fontes de 
variabilidade evitáveis. 
ESTUDO DO RUÍDO, MODELOS E 
ALEATORIZAÇÃO 
 y = modelo estrutural + 
 y = f (x1) +  (x2)
 x1 = variáveis a serem estudadas
 x2 = variáveis que afetam o 
processo mas são desconhecidas
COMPARAÇÃO, REPLICAÇÃO, 
ALEATORIZAÇÃO E BLOCAGEM
 Experimentos comparativos: p.ex. correr experimentos 
lado a lado;
 Replicatas genuínas: corridas A e B realizadas diversas 
vezes;
 Blocagem  utilizada para reduzir o erro. Condições da 
blocagem similares às da corrida pareada, p.ex., realizadas 
no mesmo dia e/ou local, com a mesma matéria-prima, 
com animais de mesma raça e criação etc.;
 Eliminadas as fontes "conhecidas" dediscrepância, seja 
mantendo-as constantes durante o experimento ou por 
blocagem, as discrepâncias desconhecidas devem ser 
aleatorizadas  contribuem para as corridas A e B.
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COMPARANDO MAIS DE 2 
TRATAMENTOS
 Análise de variância
 Média
 Soma de quadrados
 Variância 
 Desvio padrão
  2n )Yy(
n
y...yyY n21 
2ss 
1n
)YY(
s
2
2


 
COMPARANDO MAIS DE 2 
TRATAMENTOS
 Tempo de coagulação de sangue com 4 dietas 
diferentes
 24 animais e dietas A, B, C, D;
 Dietas aleatorizadas entre os animais;
 Amostras de sangue tomadas e analisadas 
aleatoriamente.
 dados podem ser tratados como amostras aleatórias 
provenientes de 4 populações normais tendo a mesma 
variância;
Questão: Existe evidência que indiquem diferença real entre 
as médias associados com os diferentes tratamentos 
(dietas)?
H0 : A = B = C = D
DIETA (TRATAMENTO)
A B C D
62 (20) 63 (12) 68 (16) 56 (23)
60 (2) 67 (9) 66 (7) 62 (3)
63 (11) 71 (15) 71 (1) 60 (6)
59 (10) 64 (14) 67 (17) 61 (18)
65 (4) 68 (13) 63 (22)
66 (8) 68 (21) 64 (19)
63 (5)
59 (24)
média do 
tratamento
61 66 68 61
grande 
média
64
DIETA (TRATAMENTO)
A B C D
1 (20) -3 (12) 0 (16) -5 (23)
-1 (2) 1 (9) -2 (7) 1 (3)
desvios dentro de 2 (11) 5 (15) 3 (1) -1 (6)
cada tratamento -2 (10) -2 (14) -1 (17) 0 (18)
-1 (4) 0 (13) 2 (22)
0 (8) 0 (21) 3 (19)
2 (5)
-2 (24)
desvios de cada 
média de tratamento 
da grande média
-3 2 4 -3
grande média 64
fonte de 
variação
soma de 
quadrado
s
graus de 
liberdade
quadrado 
médio
razão 
s2T/s2R
entre 
tratamentos
ST = 228 3 s2T = 76,0 13,6
dentro do 
tratamento
SR = 112 20 s2R = 5,6
total em relação 
a grande média
SD = 340 23
Teste F para os tratamentos: 
s2T/s2R = 13,6 com (k - 1) = 3 e (n-1)(k-1) = 20 graus de 
liberdade  Tabela Pr (s2T/s2R > 13,6) = 0,000046  existe 
diferença significativa entre os tratamentos.
CHECAGEM DO MODELO BÁSICO 
yti = t + ti
 yti = i-ésimo dado do t-ésimo tratamento proveniente de uma população 
normalmente distribuída e tendo a mesma 
variância mas possível médias diferentes;
 t = média da população para o t-ésimo
tratamento;
 ti = erro (independente, normalmente 
distribuído com média zero e variância 
desconhecida mas fixa).
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ANÁLISE DE RESÍDUOS 
 Distribuição dos resíduos;
 Anormalidades associadas com tratamentos 
particulares; 
 Relação entre o tamanho dos resíduos e o 
valor esperado da resposta
 Gráfico dos resíduos na sequência de 
tempo; 
 Gráfico dos resíduos versus variáveis de 
interesse.
COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS 
 Teste de Tukey para comparação 
pareada;
 Teste de Dunnett para comparação 
múltipla com um padrão;
 Teste de Newman-Keuls;
 Teste de Duncan;
 Teste de Scheffé.
BLOCOS ALEATORIZADOS 
 Comparação de 4 variações para um processo de 
produção de penicilina
 tratamentos A, B, C, D (k = 4);
 matéria-prima (caldo de fermentação) varia muito 
mas é suficiente para 4 corridas;
 n = 5 blocos (caldo de fermentação);
 os experimento foram aleatorizados dentro de cada 
bloco 
 elimina a variação caldo-para-caldo da comparação 
entre tratamentos;
 fornece uma base indutiva mais vasta que um 
experimento rodado com matéria-prima uniforme, pois 
os tratamentos são testados, não apenas com 1, mas 5 
diferentes caldos.
bloco
tratamento média
A B C D blocos
caldo 1 89 (1) 88 (3) 97 (2) 94 (4) 92
caldo 2 84 (4) 77 (2) 92 (3) 79 (1) 83
caldo 3 81 (2) 87 (1) 87 (4) 85 (3) 85
caldo 4 87 (1) 92 (3) 89 (2) 84 (4) 88
caldo 5 79 (3) 81 (4) 80 (1) 88 (2) 82
média 
tratamento
84 85 89 86 86 
grande 
média 
fonte de 
variação
soma de 
quadrados
graus de 
liberdade
média SA = 147.920 1
bloco SB = 264 4
tratamento ST = 70 3
resíduo SR = 226 12
total S = 148.480 20
Y = A + B +T + R
Y = dados
A = grande média
B = bloco 
T = tratamento
R = resíduo
IMPLICAÇÕES DO MODELO 
ADITIVO 
yti =  + i + t + ti
 Se os efeitos de bloco e tratamento não forem aditivos  houve 
uma interação entre bloco e tratamento;
 Ex 1: 3 catalisadores (A, B, C) e 5 soluções (blocos). Uma 
impureza da solução 3 contamina somente o catalisador B 
resposta y23 poderá será menor que o esperado
 Ex 2: Suponha que a relação da resposta seja multiplicativa ti = 
it . Se fizermos o log(resposta) ti’ = ` + i’ + t’
 2 categorias: interações transformáveis  pode ser eliminada 
analisando-se, p.ex., log, raiz quadrada ou inverso dos dados 
originais; interações não transformáveis  não podem ser 
eliminadas desta forma 
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fonte de variação soma de 
quadrados
graus de 
liberdade
quadrado 
médio
razão 
s2x/s2R
entre blocos SB = 264 4 s2B = 66,0 3,51
entre tratamentos ST = 70 3 s2T = 23,3 1,24
resíduos SR = 226 12 s2R = 18,8
total (corrigido) S = 560 19
Teste F para os tratamentos: s2T/s2R = 1,24 com (k-1) = 3 e 
(n-1)(k-1) = 12 graus de liberdade  Tabela
Pr (s2T/s2R > 1,24) = 0,33  não existe diferença 
significativa entre os tratamentos
Teste F para os blocos: s2B/s2R = 3,51 com (n - 1) = 4 e 
(n-1)(k-1) = 12 graus de liberdade  Tabela
Pr (s2B/s2R > 3,51) = 0,04  existe diferença significativa 
entre os blocos 
MEDIDA DOS EFEITOS DAS 
VARIÁVEIS
 MODELOS MATEMÁTICOS
 Modelos teóricos
 Modelos empíricos
 APROXIMAÇÃO COMPREENSIVA VS 
SEQUENCIAL
 “A melhor hora para se planejar um 
experimento é depois que ele termina”
APROXIMAÇÃO COMPREENSIVA VS 
SEQUENCIAL
 Se o experimento inteiro for planejado no 
inicio  pontos previamente conhecidos:
 Quais as variáveis mais importantes;
 Qual a faixa das variáveis a ser estudada;
 Em qual escala as variáveis e as respostas 
devem ser consideradas (linear, log, inversa, 
seno etc.);
 Quais transformações multivariadas devem ser 
feitas  variáveis podem ser expressas de 
forma mais simples  (x1+x2), (x1/x2) etc.
APROXIMAÇÃO COMPREENSIVA VS 
SEQUENCIAL
 VANTAGENS DA APROXIMAÇÃO 
SEQUENCIAL:
 Localização dos experimentos no espaço das 
variáveis podem mudar para uma vizinhança 
mais promissora;
 Algumas variáveis inicialmente incluídas podem 
cair e outras podem ser substituídas;
 Resultados podem indicar que algumas variáveis 
poderiam ser transformadas; 
 Objetivo da investigação pode mudar  se 
estiver procurando prata e achar ouro a 
descoberta não deve ser ignorada.
A REGRA DOS 25% 
Não se deve gastar mais do que 25% do 
orçamento no planejamento inicial;
Quando a primeira parte da pesquisa 
estiver completa, o pesquisador saberá 
muito que quando ele começou;
Desta forma poderá planejar melhor a 
segunda parte do experimento e assim 
por diante. 
PLANEJAMENTO FATORIAL A 2 
NÍVEIS - IMPORTÂNCIA
 Exige relativamente poucos experimentos por fator 
estudado;
 Não é capaz de explorar uma região muito grande mas pode 
indicar a direção a seguir;
 Quando há necessidade de explorar uma determinada 
região  planejamento pode ser aumentado para formar 
desenhos compostos;
 Serve de base para o fatorial fracionado  importante para 
estudar grande número de fatores superficialmente;
 Planejamento fatorial e os correspondentes fracionados 
servem como tijolos para atingir o grau de sofisticação do 
problema;
 Interpretação muito simples.
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EXEMPLO DE UM PLANEJAMENTO 
FATORIAL 23 : ESTUDO DE UMA PLANTA 
PILOTO
 Variáveis independentes
 Temperatura (T)
 Concentração de catalisador (C)
 Tipo de catalisador (K)
 Variável dependente (resposta)
 Rendimento (y) 
T (oC) C (%) K y (g)
Unidades originais das variáveis
1 160 20 A 60
2 180 20 A 72
3 160 40 A 54
4 180 40 A 68
5 160 20 B 52
6 180 20 B 83
7 160 40 B 45
8 180 40 B 80
unidades codificadasdas variáveis
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
CÁLCULO DOS EFEITOS 
PRINCIPAIS 
Efeito principal = y+ - y-
 Efeito da temperatura T = 23
 Efeito da concentração C = -5
 Efeito do catalisador K = 1,5
EFEITOS DE INTERAÇÃO 
 INTERAÇÃO ENTRE 2 FATORES
 Interação entre temperatura e catalisador (T x K)
Catalisador média do efeito da 
temperatura
(+) B 33
(-) A 13
diferença 20
interação T x K = 20/2 = 10
EFEITOS DE INTERAÇÃO 
 INTERAÇÃO ENTRE 2 FATORES
 Interação entre temperatura e catalisador (T x K)
interação T x K = 20/2 = 10
Temperatura média do efeito do 
catalisador
(+) B 11,5
(-) A -8,5
diferença 20
EFEITO ESTIMATIVA  d.p.
média 64,25  0,7
efeitos principais
temperatura T 23,0  1,4
concentração C -5,0  1,4
catalisador K 1,5  1,4
interação entre 2 
fatores
T x C 1,5  1,4
T x K 10,0  1,4
C x K 0,0  1,4
interação entre 3 
fatores
T x C x K 0,5  1,4
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INTERPRETAÇÃO DOS 
RESULTADOS 
 Efeito de (C): reduz o rendimento em torno de 5 
unidades independente dos níveis das outras 
variáveis; 
 Efeitos de (T) e de (K) não podem ser interpretados 
separadamente: grande interação T x K devido à 
diferença de sensibilidade dos catalisadores a 
mudança de temperatura. Com o catalisador A efeito 
da temperatura é de 13 unidades e com o B é de 33.
 Resultado de maior interesse pratico: grande 
diferença de comportamento dos catalisadores em 
relação a temperatura 
VANTAGENS SOBRE O MÉTODO 
"UM FATOR POR VEZ" 
 O método "um fator por vez" estima o efeito de uma 
única variável, enquanto as outras permanecem 
fixas; 
 Se as variáveis forem aditivas, o fatorial é mais 
preciso;
 Se as variáveis não forem aditivas, o fatorial, ao 
contrário do método "um fator por vez", detecta e 
estima as interações que medem a não aditividade;
 O planejamento "um fator por vez" exige, para a 
análise de k fatores, k vezes mais corridas que o 
fatorial, para assegurar a mesma precisão.
BLOCAGEM DE UM FATORIAL 23
Arranjo de fatorial 23 em dois blocos de tamanho 4
exp 1 2 3 12 13 23 123 bloco
1 - - - + + + - I
2 + - - - - + + II
3 - + - - + - + II
4 + + - + - - - I
5 - - + + - - + II
6 + - + - + - - I
7 - + + - - + - I
8 + + + + + + + II
PLANEJAMENTO FATORIAL 
FRACIONADO A 2 NÍVEIS 
Planejamento fatorial 25: exemplo de um reator 
VARIÁVEL - +
1 taxa de alimentação (l/min) 10 15
2 catalisador (%) 1 2
3 taxa de agitação (rpm) 100 120
4 temperatura (oC) 140 180
5 concentração (%) 3 6
VARIÁVEL RESPOSTA 
(% reação)
corrida 1 2 3 4 5 y
1 - - - - - 61
*2 + - - - - 53
*3 - + - - - 63
4 + + - - - 61
*5 - - + - - 53
6 + - + - - 56
7 - + + - - 54
*8 + + + - - 61
*9 - - - + - 69
10 + - - + - 61
11 - + - + - 94
*12 + + - + - 93
13 - - + + - 66
*14 + - + + - 60
*15 - + + + - 95
16 + + + + - 98
VARIÁVEL RESPOSTA 
(% reação)
corrida 1 2 3 4 5 y
*17 - - - - + 56
18 + - - - + 63
19 - + - - + 70
*20 + + - - + 65
21 - - + - + 59
*22 + - + - + 55
*23 - + + - + 67
24 + + + - + 65
25 - - - + + 44
*26 + - - + + 45
*27 - + - + + 78
28 + + - + + 77
*29 - - + + + 49
30 + - + + + 42
31 - + + + + 81
*32 + + + + + 82
10
ESTIMATIVA DOS EFEITOS
média = 65,5
1 = -1,375 123 = 1,50
2 = 19,5 124 = 1,375
3 = -0,625 125 = -1,875
4 = 10,75 134 = -075
5 = -6,25 135 = -2,50
145 = 0,625
12 = 1,375 235 = 0,125
13 = 0,75 234 = 1,125
14 = -0,875 245 = -0,250
15 = 0,125 345 = 0,125
23 = 0,875
24 = 13,25 1234 = 0,0
25 = 2,0 1245 = 0,625
34 = 2,125 2345 = -0,625
35 = 0,875 1235 = 1,5
45 = -11,0 1345 = 1,0
12345 = -0,25
ANÁLISE DE UMA MEIA FRAÇÃO DE UM 
PLANEJAMENTO FATORIAL 25 COMPLETO: 
UM PLANEJAMENTO FATORIAL 25-1
Corrida VARIÁVEL RESPOSTA (% 
reação)
1 2 3 4 5 12345 y
17 - - - - + + 56
2 + - - - - + 53
3 - + - - - + 63
20 + + - - + + 65
5 - - + - - + 53
22 + - + - + + 55
23 - + + - + + 67
8 + + + - - + 61
9 - - - + - + 69
26 + - - + + + 45
27 - + - + + + 78
12 + + - + - + 93
29 - - + + + + 49
14 + - + + - + 60
15 - + + + - + 95
32 + + + + + + 82
ESTIMATIVA DOS EFEITOS
(assumindo que interações de 3 ou mais fatores são 
desprezíveis)
média = 65,25
1 = -2,0 12 = 1,5
2 = 20,5 13 = 0,5
3 = 0,0 14 = -0,75
4 = 12,25 15 = 1,25
5 = -6,25 23 = 1,50
24 = 10,75
25 = 1,25
34 = 0,25
35 = 2,25
45 = -9,50
MÉTODOS DE SUPERFÍCIE DE 
RESPOSTA 
 Grupo de técnicas utilizadas no estudo empírico da 
relação entre uma ou mais respostas experimentais e 
um número de variáveis de entrada. Essas técnicas 
são utilizadas para responder algumas questões:
 Como uma resposta em particular é afetada por um 
grupo de variáveis de entrada sobre uma região 
específica de interesse?
 Qual a faixa das variáveis que dará um produto que 
satisfaça simultaneamente as especificações 
desejadas?
 Qual o valor das variáveis que dará o máximo 
(mínimo) para uma resposta específica?
FRAGILIDADE DA ESTRATÉGIA 
"UMA VARIÁVEL POR VEZ" 
 EXEMPLO REAÇÃO QUÍMICA: 
maximizar o rendimento em função 
da temperatura (T) e tempo de 
reação (t)
Iolanda
Nota
Ex: Um equipamento q tem parametros variaveis, que tamanho de parafuso ele me dá. nullResp: tamanho de parafusonullvariaveis independentes: temp, vel...
Iolanda
Nota
sup de resposta : tenho varias respostas e faço uma otimização conjunta (atende as especificações)
Iolanda
Nota
dentro da faixa q estou trabalhando, quero maximizar meu rendimento.Nosso trabalho vai estar mais ligado a isto.
Iolanda
Nota
fixa a temp e faz varios tempos.
11
Para T = 225oC  tmax = 130 min (rendimento = 75 g)
Para t = 130 min  Tmax = 225oC (rendimento = 75 g)
SUPERFÍCIE “REAL” DO 
RENDIMENTO DA REAÇÃO
ILUSTRAÇÃO DA METODOLOGIA DE 
SUPERFÍCIE DE RESPOSTA: EXEMPLO 
DA REAÇÃO QUÍMICA
 Melhor combinação conhecida: 75 min/130oC
PLANEJAMENTO DE PRIMEIRA ORDEM
 t variando de 70 a 80 min
 T variando de 127,5 a 132,5oC
 níveis das variáveis em unidades codificadas:
C2,5
C 130 - T = x 
min 5
min 75 tx 21 

variáveis em unidades 
originais
variáveis em unidades 
codificadas resposta
corrida* tempo
(min)
temperatura
(oC)
x1 x2 y 
(g)
1 70 127,5 -1 -1 54,3
2 80 127,5 +1 -1 60,3
3 70 132,5 -1 +1 64,6
4 80 132,5 +1 +1 68,0
5 75 130 0 0 60,3
6 75 130 0 0 64,3
7 75 130 0 0 62,4
Será aplicado um fatorial 22 com 3 
repetições no ponto central
y = 0 + 1.x1 + 2.x2 + 
* aleatorizado
ILUSTRAÇÃO DA METODOLOGIA DE 
SUPERFÍCIE DE RESPOSTA: EXEMPLO 
DA REAÇÃO QUÍMICA
 O planejamento escolhido:
 permite o modelo planar ser ajustado 
eficientemente;
 permite "checagem" a serem feitas para 
determinar onde o modelo planar é 
representativamente adequado;
 fornece uma estimativa do erro 
experimental.
 CHECAGEM DA INTERAÇÃO
 Modelo planar supõe que o efeito das variáveis é 
aditivo;
 Interação entre as variáveis pode ser medido 
pelo coeficiente 12 do termo x1.x2 adicionado 
ao modelo;
 Neste caso o modelo seria:
y = 0 + 1.x1 + 2.x2 + 12.x1.x2 + 
Iolanda
Nota
tenho tres repetições do ponto central, entao existe uma estimativa do erro central.null
12
 CHECAGEM DA CURVATURA
 Se 11 e 22 forem coeficientes dos termos x12 e 
x22  curvatura será uma estimativa de (11+22) 
 Neste caso o modelo seria:
y = 0 + 1.x1 + 2.x2 + 12.x1.x2 + (11+22).C + 
Onde:
C=1 se o ponto for um ponto central;
C=0 demais casos.
21 X.5,4X.35,262y 
CAMINHO DE MÁXIMA INCLINAÇÃO 
ASCENDENTE (STEEPEST ASCENT) 
codificado não codificado
x1 x2 t (min) T (oC) corrida yobs
central 0 0 75 130,0 5,6,7 62,3
1 1,91 80 134,8 8 73,3
caminho 2 3,83 85 139,6
do 3 5,74 90 144,4 10 86,8
steepest 4 7,66 95 149,1
ascent 5 9,57 100 153,9 9 58,2
Começando do centro da região experimental:movimento simultâneo de+4,50 
unidades em x2 para cada +2,35 unidades movimentadas em x1
SEGUNDO PLANEJAMENTO
(CENTRAL COMPOSTO) 
 Novo planejamento fatorial 22 com 2 pontos 
centrais localizados próximos da corrida 10 
aumentado com um planejamento estrela 
para formar um planejamento de segunda 
ordem (composto)
C5
C145 - T = x 
min 10
min 90 tx 21 

Iolanda
Realce
13
variáveis em unidades originais variáveis em unidades 
codificadas
resposta
corrida* tempo
(min)
temperatura
(oC)
x1 x2 y
(g)
11 80 140 -1 -1 78,8
12 100 140 -1 +1 91,2
13 80 150 +1 -1 84,5
14 100 150 +1 +1 77,4
15 76 145 0 83,3
16 104 145 0 81,2
17 90 138 0 81,2
18 90 152 0 79,5
19 90 145 0 0 89,7
20 90 145 0 0 86,8
21 90 145 0 0 87,0
22 90 145 0 0 86,0
2
 2
2
2
21
2
22
2
11 ..88,4.09,3.36,0.14,2.38,137,87 XXXXXXy 
21
2
2
2
11 ..88,4.09,3.14,2.38,138,87 XXXXXy 
21
2
2
2
1 ..88,4.09,3.14,238,87 XXXXy 
Iolanda
Realce
Iolanda
Realce
Iolanda
Realce
Iolanda
Realce
Iolanda
Realce
Iolanda
Realce
Iolanda
Realce
Iolanda
Realce
Iolanda
Realce
Iolanda
Nota
pontos axiais.nulltambém chamado de pontos estrela, se ligar os pontos, no espaço grafico, tem semelhança de uma estrela.nullnull
Iolanda
Nota
gera um modelo quadrático o modelo axial.null
Iolanda
Nota
primeiro precisamos definir os pontos axiais, depois os pontos codificados (-1) e (1) para nao ficar com uma faixa muito larga nos pontos axiais.nullassim vamos definir a faixa mais larga, e estes numeros vao ficar inteiros e os outros vao sair quebrados.null
Iolanda
Realce
Iolanda
Nota
se o coeficiente é negativo, tenho um ponto de máximo (por conta da concavidade).nullé mais importante o -3,09 X2 em módulo , estar no ponto central (para zerar esse coeficiente e a resposta ser maior).nullcomo a interação é negativa, tenho que trabalhar com sinais opostos de tempo e temperatura (X1 e X2).nullPrecisamos aprender a interpretar a equação e prever como vai ficar na figura.
Iolanda
Realce
14
Planejamentos 3(k-p), Box-Behnken e 
Fatoriais Mistos de 2 e 3 Níveis
No caso de suspeita que o efeito dos fatores para 
a variável dependente de interesse não é 
somente linear  necessário pelo menos 3 níveis 
para testar os efeitos linear, quadráticos e 
interações;
Alguns fatores podem ser de natureza categórica 
(variável qualitativa) e com mais de 2 categorias 
 p.ex. você pode ter três máquinas diferentes 
que produzem uma parte específica.
Planejamento Fatorial Completo 33
Iolanda
Nota
melhor resposta x1 mais baixos e x2 mais altos.nullfugir de x2 e x1 altos e x2 e x1 baixos pq o rendimento fica mt baixo (regiao verde).
15
Planejamento Fatorial 
Fracionado 3(k-p)
 Mecanismo geral de geração de projetos 
fatoriais fracionários em 3 níveis (3 (k-p)) 
semelhante ao 2(k-p); 
 Inicia com um fatorial completo e, em 
seguida, usa as interações do projeto 
completo para construir fatores "novos" (ou 
blocos), tornando seus níveis de fator 
idênticos aos dos respectivos termos de 
interação
Planejamento Fatorial Fracionado 33-1
Planejamento Box-Behnken
No caso de planejamentos 2(k-p)  Plackett e Burman
desenvolveram planejamentos altamente fracionados: 
visualizar o máximo de efeitos principais no menor 
número de experimentos;
No caso de planejamentos 3(k-p)  Planejamentos 
Box-Behnken: não possuem geradores de design 
simples  combinação de fatoriais de dois níveis com 
blocos incompletos  interações complexas; 
Desenhos são econômicos  particularmente úteis 
quando é caro realizar as corridas experimentais 
necessárias.
16
A coluna “Efeitos não 
confundidos” mostra os efeitos e 
as interações que não estão 
confundidas com os efeitos 
principais;
17
Planejamentos Fatoriais 
Mistos de 2 e 3 Níveis
Exemplo 24 x 31 
(Completo)
Planejamentos Fatoriais 
Mistos de 2 e 3 Níveis
Exemplo 24 x 31 
(3/4 fração)
Efeitos não confundidos
A primeira coluna (Efeitos 
principais não confundidos) 
mostra os efeitos e as interações 
que não estão confundidas com os 
efeitos principais;
A segunda coluna (Interações não 
confundidas) contém os rótulos 
Sim ou Não para indicar se o 
respectivo efeito não está 
confundido com as interações de 
dois fatores.
Planejamentos Fatoriais Mistos de 2 e 3 Níveis 
Exemplo 23 x 32 (Completo)
Planejamentos Fatoriais Mistos de 2 e 3 Níveis 
Exemplo 23 x 32 (1/2 fração)
PLANEJAMENTO DE MISTURAS
 Análise de misturas de componentes cuja 
soma é constante;
 Ocorre com frequência no processamento 
de alimentos:
 Ex. Otimização de néctar de 4 frutas  a soma 
dos sucos das 4 frutas deve ser 100%
 Diversos planejamentos foram 
desenvolvidos especificamente para análise 
e modelagem de misturas.
Iolanda
Nota
Iolanda
Nota
Ex: formulação : a soma das variáveis é 1. 
18
 Modo mais comum para resumir as proporções 
das misturas  gráficos triangulares
 Ex. Mistura de 3 
componentes A, B e C 
qualquer mistura dos três 
componentes pode ser 
resumida por um ponto no 
sistema de coordenada 
triangular 
A B C
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0,5 0,5 0
0,5 0 0,5
0 0,5 0,5
 Ajustar superfície de resposta para dados de mistura 
 semelhante ao Planejamento Central Composto 
entretanto dados de mistura tem restrição: soma de 
todos os componentes deve ser constante;
 Considerando o caso simples de 2 fatores A e B 
ajustados por modelo linear simples: 
 y = b0 + bA*xA + bB*xB
 Supondo que xA + xB = 1; podemos multiplicar b0 por 
1=(xA + xB):
 y = (b0*xA + b0*xB) + bA*xA + bB*xB ou:
 y = b'A*xA + b'B*xB
onde b'A = b0 + bA e b'B = b0 + bB
MODELOS DE PLANEJAMENTO DE 
MISTURAS 
 Modelos mais utilizados (exemplo para 3 variáveis) 
 Modelo Linear:
y = b1*x1 + b2*x2 + b3*x3
 Modelo Quadrático:
y = b1*x1 + b2*x2 + b3*x3 + b12*x1*x2 + b13*x1*x3 + 
b23*x2*x3
 Modelo Cúbico Especial:
y = b1*x1 + b2*x2 + b3*x3 + b12*x1*x2 + b13*x1*x3 + 
b23*x2*x3 + b123*x1*x2*x3
 Modelo Cúbico Completo:
y = b1*x1 + b2*x2 + b3*x3 + b12*x1*x2 + b13*x1*x3 + 
b23*x2*x3 + d12*x1*x2*(x1 - x2) + d13*x1*x3*(x1 - x3) 
+ d23*x2*x3*(x2 - x3) + b123*x1*x2*x3
TIPOS DE PLANEJAMENTO DE 
MISTURA
 Os dois tipos mais comuns avaliam a superfície de 
resposta triangular nos vértices e dos centroides 
algumas vezes estes planejamentos são aumentados 
com pontos internos;
 Planejamento Simplex-Lattice: m+1 proporções 
igualmente espaçadas para cada fator ou componente do 
modelo:
xi = 0, 1/m, 2/m, ..., 1 i = 1,2,...,q
 Todas as combinações dos níveis dos fatores serão 
testadas;
 O planejamento resultante é chamado Planejamento 
Simplex Lattice {q,m}. P.ex. Planejamento {q=3, m=2} 
inclui as seguintes misturas:
Planejamento Simplex-Lattice {q=3, 
m=2}
A B C
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0,5 0,5 0
0,5 0 0,5
0 0,5 0,5
Iolanda
Nota
se está no vértice, é 100% de cada componente.se está no meio da aresta, é meio a meio dos dois componentes.nullcaso esteja no meio do triangulo, é 1/3 de cada.
Iolanda
Nota
no planejamento de misturas, a soma dos x sempre tem que ser igual a 1.nullnullNo planejamento de misturas, o modelo que eu gerar não tem grande média.null
Iolanda
Nota
interação entre duas variáveis.nullVou testar os fatores (100% de cada um) e depois fazer as misturas (dois a dois).null
Iolanda
Nota
exemplo: sensorial de tres sucos (modelo linear).
Iolanda
Nota
tenho a mistura dos três componentes.
Iolanda
Nota
tenho que ter mais proporções internas, fora o ponto central.
Iolanda
Nota
numero de variaveis = qnullnumero de proporções = m
19
Planejamento Simplex-Lattice {q=3, 
m=3}
A B C
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1/3 2/3 0
1/3 0 2/3
0 1/3 2/3
2/3 1/3 0
2/3 0 1/3
0 2/3 1/3
1/3 1/3 1/3
PlanejamentoSimplex-Centróide
 Pontos correspondem a todas 
permutações das blendas puras 
(1 0 0; 0 1 0; 0 0 1), permutações 
das blendas binárias (½ ½ 0; ½ 
0 ½; 0 ½ ½), permutações das 
blendas envolvendo 3 
componentes e assim por diante
A B C
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1/2 1/2 0
1/2 0 1/2
0 1/2 1/2
1/3 1/3 1/3
 Adicionando 
pontos internos: 
estes 
planejamentos 
podem ser 
aumentados com 
pontos internos, 
p.ex. para 3 
fatores pode-se 
adicionar:
A B C
2/3 1/6 1/6
1/6 2/3 1/6
1/6 1/6 2/3
20
 Planejamentos descritos anteriormente requerem pontos 
do vértice (blendas puras)  apenas 1 ingrediente
 Em muitos casos blendas puras não podem ser 
produzidas
 P.ex.: estudo do efeito de um aditivo sobre o sabor de 
um néctar de frutas  ingrediente adicional pode variar 
dentro de uma pequena faixa, não podendo exceder um 
determinado valor. 
 Restrições múltiplas: tratado de forma análoga 
programa irá construir um sub-triângulo dentro do 
triângulo cheio e colocará os pontos do planejamento 
neste sub-triângulo de acordo com planejamento 
escolhido
 Quando há restrições inferiores e superiores 
planejamentos simplex-lattice e simplex-
centroide não podem ser construídos pois a 
sub-região definida pelas restrições não são 
mais um triângulo;
 O módulo Experimental Design do programa 
Statistica tem um algoritmo para encontrar o 
vértice e os pontos centroides para 
planejamentos com estas restrições.