05 JUROS COMPOSTOS 2014 2

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PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 14 
JUROS COMPOSTOS 
 
Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional. A base de cálculo é sempre 
o capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial. Os 
juros do período, são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o 
período seguinte. 
 
Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros. 
 
Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de 
capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for 
semestral, será 4 , e assim sucessivamente. 
 
EXEMPLO: 
Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos 
de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. 
 
Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos: 
1º período: 
 
100% R$ 1.000 
102% M  M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte) 
 
 CAPITAL MONTANTE 
2º período: R$ 1.020,00  1,02 = R$ 1.040,40 
3º período: R$ 1.040,40  1,02 = R$ 1.061,21 
4º período: R$ 1.061,21  1,02 = R$ 1.082,43 
5º período: R$ 1.082,43  1,02 = R$ 1.104,08 
 
Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08. 
 
No cálculo, tivemos 
R$ 1.000  1,02  1,02  1,02  1,02  1,02 
= R$ 1.000  (1,02)
5
 
= R$ 1.000  1,10408 
= R$ 1.104,08 
 
Observamos o fator (1,02)
5
. Essa potência pode ser calculada com calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas 
financeiras. 
 
Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual M é o montante, C 
o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações. 
 
M = C  (1 + i)n 
 
Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples: 
 
CAPITAL JUROS MONTANTE 
R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.020,00 
R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.040,00 
R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.060,00 
R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.080,00 
R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.100,00 
 
Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00. 
 
Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam 
valores iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar o simples. 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 15 
 
O Montante composto pode ser calculado com uso de calculara financeira e 
planilha eletrônica 
 
Com a calculadora HP-12C para a resolução do problema anterior, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
1000 CHS PV 
2 i 
5 n 
FV 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês. 
Resolução: 
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações. 
C = R$ 600 
i = 4% = 0,04 
n = 12 
M = C  (1 + i)
n
  M = 600  (1 + 0,04)
12
  M = 600  (1,04)
12
 
 M = 600  1,60103 
M = R$ 960,62 
 
O fator (1,04)
12
 pode ser calculado com auxílio das tabelas financeiras, para n = 12 e i = 4%. 
 
 
(1 + i)n 
n i 
 
 
2% 
 
3% 
 
4% 
 
5% 
9 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133 
10 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889 
11 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034 
12 1,26824 1,42576 1,60103 1,79586 
13 1,29361 1,46853 1,66507 1,88565 
 
Com a calculadora HP-12C, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
600 CHS PV 
4 i 
12 n 
FV 
 
2) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos 
produzidos? 
 
Resolução: 
C = R$ 500 
i = 5% = 0,05 
n = 8 (as capitalizações são mensais) 
M = C  (1 + i)
n
  M = 500  (1,05)
8
  M = R$ 738,73 
 
O valor dos juros será: 
J = 738,73 – 500 
J = R$ 238,73 
 
 
 
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3) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se 
torna igual a R$ 477,62? 
 
 
Resolução: 
M = R$ 477,62 
i = 3% = 0,03 
n = 6 (as capitalizações são trimestrais) 
M = C  (1 + i)
n
 
477,62 = C  (1,03)
6
 
C = 
19405,1
62,477
 
C = R$ 400,00 
 
 
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
É comum em algumas situações, a apresentação da taxa em uma unidade de tempo diferente da unidade do período de 
capitalização. Por exemplo, uma taxa anual sendo a capitalização dos juros feita mensalmente. Essa taxa anual e 
chamada nominal. 
 
TAXA NOMINAL: quando sua unidade de tempo difere da unidade do período de capitalização. 
 
TAXA EFETIVA: quando sua unidade de tempo coincide com a unidade do período de capitalização. 
 
A TAXA NOMINAL não é utilizada nos cálculos e sim a TAXA EFETIVA. Por convenção, a passagem da TAXA 
NOMINAL para TAXA EFETIVA será feita de forma proporcional. 
 
EXEMPLOS: 
Dada uma taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal. Temos que 36% a.a. é a taxa nominal; a taxa efetiva é 
portanto, 36%  12 = 3% ao mês. 
 
Para a taxa de 15% ao semestre, com capitalização mensal, temos que 15% ao semestre é a taxa nominal; a taxa efetiva 
será 15%  6 = 2,5% ao mês. 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, 
produzem o mesmo rendimento. 
 
Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não. 
 
No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de: 
 
Atribuindo um capital R$ 100, temos: 
M = 100(1,1)
3
  M = 10  1,331  M = R$ 133,10. 
 
Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%. 
 
Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas. 
 
Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim: 
Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + ia = (1 + im)
12
 
Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: 1 + ia = (1 + it)
4
 
Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + im)
6
 = 1 + is 
 
Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo envolvidas, fica elevado ao expoente 
igual a quantas vezes a menor unidade “cabe” na maior. 
 
 
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EXEMPLOS RESOLVIDOS 
1) Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização 
mensal, durante 1 ano. 
 
Resolução: 
 
Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal. 
 
A taxa efetiva é, portanto, 60%  12 = 5% ao mês. 
C = R$ 1.500 
i = 5% = 0,05 
n = 12 
M = C  (1 + i)
n
 
M = 1.500  (1,05)
12
 
M = 1.500  1,79586 
M = R$ 2.693,78 
 
2) Aplicando R$ 800,00 à taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização bimestral, durante um ano e meio, qual o 
valor do montante? 
Resolução: 
Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. 
A taxa efetiva é, portanto, 12%  6 = 2% ao bimestre. 
C = R$ 800 
i = 2% = 0,02 
n = 9 
M = C  (1 + i)
n
 
M = 800  (1,02)
9
 
M = 800  1,19509 M = R$ 956,07 
 
3) Um capital, após 5 anos de investimento,à taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente, eleva-se a R$ 1.969,93. 
Qual o valor desse capital? 
Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é semestral. 
A taxa efetiva é, portanto, 12%  2 = 6% ao semestre. 
M = R$ 1.969,93 
i = 6% = 0,06 
n = 10 
C = M  (1 + i)
-n
 
C = 1.969,93  (1,06)
-10
 
C = 1.969,93  0,55839 
C = R$ 1.100,00 
 
4) Qual a taxa anual equivalente a: 
a) 3% ao mês; 
b) 30% ao semestre com capitalização bimestral 
 
Resolução: 
a) ia = ?; im = 3% 
Para a equivalência entre ANO e MÊS, temos: 
1 + ia = (1 + im)
12
 
1 + ia = (1,03)
12
 
1 + ia = 1,42576 
ia = 1,42576 - 1 
ia = 0,42576 = 42,57% 
 
b) 30% ao semestre é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. 
A taxa efetiva é, portanto, 30%  3 = 10% ao bimestre. 
Para a equivalência entre ANO e BIMESTRE, temos: 
1 + ia = (1 + ib)
6
 
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1 + ia = (1,1)
6
 
1 + ia = 1,77156  ia = 1,77156 - 1  ia = 0,77156 = 77,15% 
 
5) A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente a que taxa mensal? 
Resolução: 
Para a equivalência entre MÊS e SEMESTRE, temos: 
(1 + im)
6
 = 1 + is 
(1 + im)
6
 = 1,9738 
im = 12% 
 
 
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
Calcular o desconto racional composto sobre um valor nominal N, obtendo o respectivo valor atual A, é o mesmo que 
obter o capital C, de um montante M, a juros compostos. Então, por analogia 
 
CAPITAL  VALOR ATUAL 
MONTANTE  VALOR NOMINAL 
 
Se para o cálculo do montante composto dizemos que M = C  (1 + i)n , então, para o cálculo do valor atual racional 
compostos, vamos dizer que: 
N = A  (1 + i)
n
  A = 
ni1
N
)( 
 A = 
n)i1(
1
N
+
ou ainda A = N  (1 + i)-n 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1) Um título de R$ 1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. Qual 
o valor atual? 
Resolução: 
N = R$ 1.000 
n = 3 
i = 10% = 0,1 
Substituindo os dados do problema em A = 
n)i1(
N

 ou A = N  (1 + i)
-n
 , temos: 
A = N  (1 + i)
-n
 
A = N  (1,1)
-3
 
A = 1.000  0,75131 
A = R$ 751,31 
Com a calculadora HP-12C, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
1000 CHS FV 
10 i 
3 n 
PV 
 
2) Resgata-se um título por R$ 1.645,41, com 4 meses de antecedência. Qual o valor nominal do título, sendo a taxa de 
60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto? 
Resolução: 
A = R$ 1.645,41 
n = 4 
i = 5% = 0,05 
Substituindo os dados em A = 
n)i1(
N

, temos: 
A = 
n)i1(
N

  1.645,41 = 
4)05,1(
N
  1.645,41 = 
21551,1
N
  N = R$ 2.000,00 
 
 
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EXERCÍCIOS 
01. Considerando a capitalização composta, preencha a tabela abaixo com os valores da quantidade de períodos de 
capitalização e o valor em R$ do montante: 
 
CAPITAL 
 
 TAXA TEMPO PERÍODOS DE MONTANTE 
R$ CAPITALIZAÇÃO - n R$ 
 R$ 1.000,00 10,00% ao mês 3 meses 
 R$ 5.000,00 2,00% ao mês 1 ano 
 R$ 4.500,00 3,00% ao mês 1 ano e meio 
 R$ 3.250,00 4,00% ao mês 2 anos 
 R$ 4.000,00 5,00% ao mês 1 ano e 3 meses 
 R$ 2.000,00 4,50% ao mês 9 meses 
 R$ 3.000,00 2,00% ao bim 1 ano 
 R$ 2.000,00 5,00% ao trim 1 ano e meio 
 R$ 4.000,00 2,00% ao bim 2 anos 
 R$ 5.500,00 1,25% ao mês 1 ano 
 
02. Considerando a capitalização composta, complete os dados da tabela abaixo: 
CAPITAL TAXA n MONTANTE 
R$ i R$ 
 R$ 1.000,00 1,25% R$ 1.064,08 
 R$ 1.500,00 2,00% R$ 1.623,65 
 R$ 1.600,00 1,00% R$ 1.732,57 
 R$ 1.900,00 7 R$ 2.417,33 
 R$ 2.000,00 10 R$ 2.560,17 
 R$ 5.000,00 9 R$ 6.523,87 
 
03. Qual o valor dos juros compostos obtidos, em 8 meses, à taxa de 10% ao mês, de forma que o montante seja R$ 
1.071,80? 
 
04. Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o 
montante de R$ 1.000,00. 
 
05. Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 1 ano e 4 meses, à taxa de 4,5% ao mês, atinge o 
montante de R$ 1.617,90. 
 
06. Sabe-se que há 9 meses uma pessoa investiu determinada quantia em uma aplicação que remunera seus aplicadores 
à taxa de juros compostos de 2% ao mês e que atualmente a saldo dessa pessoa é de R$ 1.792,64. Assim sendo, qual a 
quantia inicialmente aplicada? 
 
07. Considerando o regime de capitalização composta, indique na tabela abaixo as respectivas taxas efetivas, dadas as 
taxas nominais: 
 TAXA NOMINAL TAXA EFETIVA (ao mês; ao bimestre; ...) 
12,00% ao ano capitalizada mensalmente 
24,00% ao ano capitalizada mensalmente 
36,00% ao ano capitalizada mensalmente 
30,00% ao ano capitalizada mensalmente 
18,00% ao ano capitalizada bimestralmente 
24,00% ao ano capitalizada bimestralmente 
21,00% ao ano capitalizada bimestralmente 
18,00% ao ano capitalizada trimestralmente 
48,00% ao ano capitalizada trimestralmente 
60,00% ao ano capitalizada semestralmente 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 20 
08. Qual o montante composto, a partir de R$ 500,00, em 8 meses, à taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente? 
 
09. Qual o montante composto, a partir de R$ 500,00, em 2 anos, à taxa de 60% ao ano capitalizada mensalmente? 
 
10. Qual o montante composto, a partir de R$ 500,00, em 2 anos e meio, à taxa de 48% ao ano capitalizada 
trimestralmente? 
 
11. Um capital aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, atingiu um 
montante de R$ 10.900,00, ao fim de um trimestre. O capital aplicado foi de 
 
12. Complete a tabela abaixo com as respectivas taxas equivalentes, sob o regime de capitalização composta: 
TAXA MENSAL TAXA SEMESTRAL TAXA ANUAL 
2,00% 
3,00% 
3,50% 
 60,10% 
 79,58% 
 58,68% 
 50,07% 
10,00% 
 435,02% 
5,00% 
 15,97% 
 69,59% 
 249,85% 
 
13. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. 
 
14. Qual a taxa efetiva anual, em porcentagem e aproximada em uma casa decimal, de um financiamento à taxa nominal 
de 36% ao ano com capitalização mensal? 
 
15. (ESAF) Qual a taxa efetiva anual, em porcentagem e aproximada em uma casa decimal, de um financiamento à taxa 
nominal de 36% ao ano com capitalização mensal? 
a) 36,0% b) 39,2% c) 41,2% d) 41,9% e) 42,6% 
 
16. 
A figura ao lado é parte de um 
extrato de conta corrente da Caixa 
Econômica Federal, com alguns 
dados hipotéticos. A taxa mensal do 
cheque especial é a indicada na 
figura. Como base nos dados 
apresentados no extrato, indique qual 
a taxa anual equivalente de juros 
compostos adotada pelo banco no 
cheque especial. 
 
--------------------------------------------------------------------
- 
SALA 24 HORAS – PETROLINA 
DATA: 02/02/2014 HORA: 12:05:45 
TERMINAL: 08120001 
--------------------------------------------------------------------
- 
AGÊNCIA: 0812 – PETROLINA 
CONTA: 12345-6 
CLIENTE: JOÃO DA SILVA 
 
 
EXTRATO PARA SIMPLES CONFERÊNCIA 
 
 
VENCIMENTO DO CONTRATO DE CRÉDITO 
ROTATIVO/CH ESPECIAL CAIXA 31/12/2018 
 
TAXA DE JUROS VIGENTE NO MÊS:0005,5% 
TAXA DE JUROS ANUAL: 
17. Sabendo que a taxa semestral de juros compostos adotada em determinada operação financeira é igual a 41,85%, 
indique qual a sua taxa de juros mensal equivalente. 
 
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18. Sabendo que a taxa anual de juros compostos adotada em determinada operação financeira é igual a 125,22%, 
indique qual a sua taxa de juros mensal equivalente. 
 
19. O capital R$ 1.000,00 foi aplicado durante 1 ano à taxa de 24% ao ano, com capitalização mensal. Com base nos 
dados apresentados anteriormente, responda: 
1. Qual a taxa nominal? 
2. Qual a taxa efetiva mensal? 
3. Qual o montante da aplicação? 
4. Qual o valor dos juros compostos produzidos? 
 
20. O capital R$ 1.000,00 foi aplicado durante 1 ano e meio à taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal. Julgue 
os itens a seguir: 
1. A taxa efetiva mensal é igual a 3%; 
2. Calcula-se o montante multiplicando-se o capital por (1,36)1,5; 
3. O número de capitalizações é igual a 18; 
4. O montante pode ser obtido pela expressão 1.000  (1,36)18; 
5. Obteve-se mais de R$ 540,00 de juros. 
 
21. Fabiano tomou um empréstimo de R$ 300,00 a juros compostos mensais de 5%. Entretanto, dois meses após, 
Fabiano pagou R$ 150,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. O valor desse último pagamento foi: 
a) R$ 189,00 b) R$ 195,00 c) R$ 195,78 d) R$ 189,78 e) R$ 199,98 
 
22. Um banco oferece duas opções de juros para os clientes que adquirirem empréstimo pessoal. Na opção A, o banco 
cobra a taxa nominal juros compostos de 48% ao ano com capitalização mensal; na opção B, o banco cobra a taxa 
nominal juros compostos de 48% ao ano com capitalização trimestral. Com base nos dados apresentados anteriormente, 
responda qual a opção mais vantajosa para o cliente durante um ano de aplicação e justifique sua resposta. 
 
23. Considere o capital de R$ 5.000,00 e realize as seguintes operações financeiras: aplique esse valor durante 5 meses 
à taxa nominal de juros compostos de 72% ao ano capitalizada mensalmente; depois reaplique o montante obtido por 
mais 4 meses, à taxa efetiva mensal de juros compostos igual a 3%. Suponha que no momento de fazer o resgate 
definitivo do seu capital, você tenha que pagar 1,5% do valor do montante total, a título de despesas diversas. Após ser 
feito o resgate definitivo de seu capital, considere que você ainda tem que utilizar 20% para efetuar diversos outros 
pagamentos. Assim, descreva as aplicações que você realizou e indique o líquido resgatado ao final das operações. 
 
24. Julgue os itens abaixo. 
1. Se o preço de um bem elevar-se de R$ 200,00 para R$ 1.000,00, então a taxa de reajuste durante este período terá 
sido de 500%. 
2. No mesmo período em que os salários tiveram um reajuste de 9%, registrou-se uma inflação de 4%. Então, a taxa 
real de reajuste salarial foi de exatamente 5%. 
3. Se as taxas mensais de inflação de 3 meses consecutivos forem, respectivamente, 10%, 9% e 8%, então a inflação do 
trimestre considerado será de 27%. 
4. Uma taxa de 60% ao ano com capitalização semestral corresponde a uma taxa efetiva anual de 69%. 
5. Uma taxa efetiva anual de 96% equivale a uma taxa efetiva semestral de 40%. 
 
25. Crie o valor de um capital inicial em R$ igual ao número de sua matrícula e realize as seguintes operações 
financeiras: aplique esse valor durante 5 meses à taxa nominal de juros compostos de 60% ao ano capitalizada 
mensalmente; depois reaplique o montante verificado por mais 4 meses, à taxa efetiva mensal de juros compostos igual a 
4%. Suponha que no momento de fazer o resgate definitivo do seu capital, você tenha que pagar 1% do valor do 
montante total, a título de despesas diversas. Assim, descreva as aplicações que você realizou e indique o líquido 
resgatado ao final das operações.