06 AMORTIZAÇÃO 2014 2

Prévia do material em texto

PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 22 
AMORTIZAÇÃO 
 
Amortizar significa pagar em parcelas. 
 
Como o pagamento do saldo devedor principal é feito de forma parcelada durante um prazo estabelecido, cada parcela, 
chamada PRESTAÇÃO, será formada por duas partes: uma é o valor dos JUROS incidentes sobre o saldo devedor; 
outra é o valor da AMORTIZAÇÃO do principal da dívida. Esta garantirá que o saldo devedor, após o pagamento de 
cada prestação, seja sempre menor, até a sua extinção. 
 
PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO 
 
São diversos os sistemas de amortização, podendo ir desde métodos padronizados, com uso constante no mercado, até 
métodos concebidos pelas partes, quando da formação da dívida. Nos limitaremos ao estudo de dois deles, o 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SAF – tabela PRICE) e o SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
CONSTANTE (SAC). 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) 
 
O sistema de amortização francês é caracterizado por apresentar prestações periódicas e de mesmo valor. 
 
O cálculo do valor fixo das prestações, com pagamento sem entrada, ou seja, sendo a primeira prestação paga ao final 
do período ao qual foi contratado o empréstimo (pagamentos postecipados), pode ser realizado multiplicando-se o 
valor do saldo devedor principal pelo fator localizado na tabela PRICE, verificado para a taxa i de juros e a quantidade 
n de prestações. 
 
Este fator pode ser calculado pela expressão 
1n)i1(
in)i1(


. 
 
Desta forma, representando o valor das prestações por R e o principal da dívida por P, temos: 
 
1n)i1(
in)i1(
PR



 
 
Esta relação pode ser resumida fazendo-se 
i|na
1
1n)i1(
in)i1(



, sendo a notação 
i|na
1
 suficiente para indicar a tabela 
Price. Passamos a ter: 
 
i|na
1
PR ×=
 
Obs.: Podemos usar PV (valor presente) para representar o valor principal da dívida, em substituição a P, e PMT 
para representar o valor das prestações, em substituição a R. Estas são as teclas da calculadora HP-12C que serão 
utilizadas. 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: 
 
1) Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Francês em 4 prestações mensais, sem 
entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização. 
Resolução: 
P = PV= R$ 1.000 
i = 10% a. m. 
n = 4 
R = PMT = ? 
Cálculo do valor das prestações: 
i|na
1
PR 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 23 
 
%10|4a
1
000.1R 
 Consultando a tabela Price para n = 4 e i = 10%, encontramos: 
i|na
1
 
n i  
 
8% 9% 10% 11% 
2 0,56077 0,56847 0,57619 0,58393 
3 0,38803 0,39505 0,40211 0,40921 
4 0,30192 0,30867 0,31547 0,32233 
5 0,25046 0,25709 0,26380 0,27057 
6 0,21632 0,22292 0,22961 0,23638 
 
R = 1.000  0,31547 
R = PMT = R$ 315,47 
 
Para a construção da planilha de amortização, vamos separar do valor de cada prestação, qual a parcela referente aos 
juros e à cota de amortização, cobrados em cada instante. 
 
Os juros pagos na primeira prestação incidem sobre o saldo devedor inicial R$ 1.000. Logo: 
J1 = 1000  0,1 = R$ 100 
 
O valor amortizado na primeira prestação é, portanto, a diferença: 
R$ 315,47 – R$ 100 = R$ 215,47 
 
O saldo devedor após o pagamento da primeira prestação é, portanto, a diferença: 
R$ 1.000 – R$ 215,47 = R$ 784,53 
 
Adotando procedimento análogo nas demais prestações, temos a planilha 
N SALDO 
DEVEDOR 
AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
0 R$ 1.000,00 
1 R$ 784,53 R$ 215,47 R$ 100,00 R$ 315,47 
2 R$ 547,51 R$ 237,02 R$ 78,45 R$ 315,47 
3 R$ 286,79 R$ 260,72 R$ 54,75 R$ 315,47 
4 R$ 0,00 R$ 286,79 R$ 28,68 R$ 315,47 
 
Observamos que a cada prestação paga, o valor dos juros decresce enquanto a cota de amortização aumenta. 
 
O Problema pode ser resolvido com uso de calculara financeira e planilha 
eletrônica 
 
Com a calculadora HP-12C para a resolução do problema anterior, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
Para calcular o valor da Prestação (sem entrada, a calculadora não pode apresentar o modo BEGIN no visor): 
 
1000 CHS PV 
10 i 
4 n 
PMT 
 
Para o cálculo do valor dos juros devidos na primeira prestação (e nas demais): 
1 f N 
 
Para o cálculo do valor amortizado na primeira prestação (e nas demais): 
 
 
Para o cálculo do Saldo Devedor restante: 
RCL PV 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 24 
2) Considerando os dados do problema anterior e que o financiamento seja feito em 1 + 3 iguais (entrada + 3 
prestações, todas iguais). Qual será o valor da entrada e consequentemente, de cada prestação? 
Resolução: 
 
Com a calculadora HP-12C, deve-se acionar a função BEGIN, teclando: 
g BEG 
A indicação BEGIN aparecerá no visor 
 
Para calcular o valor da entrada e de cada prestação: 
 
1000 CHS PV 
10 i 
4 n 
PMT R$ 286,79 
 
3) Um eletrodoméstico que custa R$ 800,00 está sendo vendido em 5 prestações mensais, iguais e sem entrada. À taxa 
de juros de 4% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização. 
Resolução: 
P = PV = R$ 800 
i = 4% a. m. 
n = 5 
R = PMT = ? 
Cálculo do valor das prestações: 
i|na
1
PR 
  
%4|5a
1
800R 
 
Consultando a tabela Price para n = 5 e i = 4%, encontramos: 
 
i|na
1
 
 
 
 R = PMT = 800  0,22463 
 R = PMT = R$ 179,70 
 
n i  
 
3% 4% 5% 6% 
3 0,35353 0,36035 0,36721 0,37411 
4 0,26903 0,27549 0,28201 0,28859 
5 0,21835 0,22463 0,23097 0,23740 
6 0,18460 0,19076 0,19702 0,20336 
7 0,16051 0,16661 0,17282 0,17914 
 
 
Temos a planilha: 
 
n SALDO 
DEVEDOR 
AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
0 R$ 800,00 
1 R$ 652,30 R$ 147,70 R$ 32,00 R$ 179,70 
2 R$ 498,69 R$ 153,61 R$ 26,09 R$ 179,70 
3 R$ 338,93 R$ 159,75 R$ 19,95 R$ 179,70 
4 R$ 172,79 R$ 166,14 R$ 13,56 R$ 179,70 
5 R$ 0,00 R$ 172,79 R$ 6,91 R$ 179,70 
 
4) Se uma dívida está sendo amortizada pelo sistema Price em 6 prestações de R$ 78,81, à taxa de 5% ao mês, qual o 
seu valor inicial? 
Resolução: 
R = R$ 78,81 
n = 6 
i = 5% a. m. 
P = ? 
Vamos substituir os dados em 
i|na
1
PR 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 25 
%5|6a
1
P81,78 
 
Consultando a tabela Price para n = 6 e i = 5%, encontramos: 
 
i|na
1
 
n i  
 
3% 4% 5% 6% 
3 0,35353 0,36035 0,36721 0,37411 
4 0,26903 0,27549 0,28201 0,28859 
5 0,21835 0,22463 0,23097 0,23740 
6 0,18460 0,19076 0,19700 0,20336 
7 0,16051 0,16661 0,17282 0,17914 
 
78,81 = P  0,197 
 
197,0
81,78
P 
 
P = R$ 400,00 
 
 
Nota: Sistema de Amortização Francês e Sistema Price, significam o mesmo método de amortização. Denomina-se 
sistema Price, no entanto, quando a taxa de juros fornecida é a nominal, ou seja, com unidade de tempo diferente da 
unidade do período de pagamento das prestações. 
Ex.: taxa de juros de 24% ao ano com prestações pagas mensalmente. Neste caso, a taxa efetiva cobrada é igual a 2% 
ao mês. 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
O Sistema de Amortização Constante é caracterizado por apresentar, como o próprio nome já diz, valor constante da 
cota de amortização. 
 
A cota constante de amortização A, pode ser calculada dividindo-se o saldo devedor principal P, pelo número n deprestações. 
n
P
A 
 
 
Os juros pagos a cada prestação são calculados sobre o saldo devedor da ocasião. 
 
Assim, na primeira prestação, a taxa i de juros incide sobre o saldo devedor total P; na segunda, sobre o saldo (P – A); 
na terceira, sobre (P – 2A), e assim por diante. 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1) Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago em 4 prestações mensais pelo sistema de amortização constante, sendo a 
primeira delas paga 1 mês após a sua aquisição. À taxa de 10% ao mês, construir a planilha de amortização. 
Resolução: 
Para a construção da planilha, primeiramente calculamos o valor da cota de amortização: 
 
4
1000
A 
  A = R$ 250,00 
 
A partir disto, podemos obter o saldo devedor após cada amortização, os juros e o valor de cada uma das prestações. 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 26 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR 
0 R$ 1.000,00 
1 R$ 750,00 R$ 250,00 R$ 100,00 R$ 350,00 
2 R$ 500,00 R$ 250,00 R$ 75,00 R$ 325,00 
3 R$ 250,00 R$ 250,00 R$ 50,00 R$ 300,00 
4 R$ - R$ 250,00 R$ 25,00 R$ 275,00 
 
 
Observamos que o valor dos juros (ou das prestações) decrescem em progressão aritmética. 
 
 
2) Uma dívida de R$ 500,00, amortizada pelo SAC, em 10 vezes sem entrada, à taxa de 2% ao mês, produz que valor 
como quarta prestação? Qual o saldo devedor após o pagamento da sexta prestação? 
Resolução: 
Inicialmente vamos calcular o valor da cota constante de amortização: 
 
10
500
A 
  A = R$ 50,00 
 
O valor da quarta prestação será igual à cota R$ 50,00 mais os juros naquele momento. 
R4 = A + J4 
 
Os juros pagos na quarta prestação serão calculados sobre: 
R$ 500 – 3 R$ 50 = R$ 350,00 
J4 = 350  0,02 = R$ 7,00 
 
R4 = 50 + 7  R4 = R$ 57,00 
O saldo devedor após o pagamento da sexta prestação é: 
R$ 500 – 6 R$ 50 = R$ 200,00 
 
 
3) Na amortização pelo SAC, de R$ 2.000,00 em 10 vezes, à taxa de 8% ao mês, qual o total de juros pagos durante o 
financiamento? 
Resolução: 
Para calcularmos o total de juros pagos num financiamento pelo SAC, aplicamos a fórmula: 
2
n)nJ1J(
TJ


 
JT refere-se ao total de juros, J1 aos juros da primeira prestação, Jn, juros na última prestação e n é a quantidade de 
prestações. Temos: 
J1 = 2.000  0,08 = R$ 160,00 
J10 = 200  0,08 = R$ 16,00 
2
10)16160(
TJ


  JT = R$ 880,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 27 
 
EM RESUMO 
 
 
AMORTIZAÇÃO 
 
Pagar em parcelas 
 
PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) 
 
Prestações periódicas e de mesmo valor. 
i|na
1
PR ×=
 
 
 
Cálculo do valor das prestações sem entrada com HP-12C: 1000 CHS PV / 10 i / 4 n / PMT 
Cálculo do valor dos juros devidos na primeira prestação (e nas demais): 1 f n 
Cálculo do valor amortizado na primeira prestação (e nas demais): 
Cálculo do Saldo Devedor restante: RCL PV 
 
Para o cálculo do valor das prestações com entrada e as demais parcelas todas iguais (1 + 3): Deve-se acionar a função 
BEGIN, teclando g BEG / A indicação BEGIN aparecerá no visor. 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
 
Valor constante da cota de amortização “A”. 
 
n
P
A =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 28 
EXERCÍCIOS 
01. Considerando as tabelas no final da apostila, preencha a planilha abaixo com os fatores que calculam os valores 
das prestações iguais de um financiamento com pagamentos sem entrada, de acordo com a taxa de juros e o número de 
parcelas. 
 i = Taxa do Financiamento 
 2,00% 2,50% 5,00% 7,00% 8,00% 10,00% 
n
 =
 N
ú
m
e
ro
 d
e
 P
re
s
ta
ç
õ
e
s
 
3 
4 
5 
10 
12 
15 
20 
24 
30 
36 
 
02. Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Francês em 4 prestações mensais, sem 
entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização. 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR - PV PMT 
0 
1 
2 
3 
4 
 
03. Um eletrodoméstico que custa R$ 800,00 está sendo vendido em 5 prestações mensais, iguais e sem entrada. À 
taxa de juros de 4% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização. 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR - PV PMT 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
04. Considere um empréstimo igual R$ 500,00. Sabendo que esse empréstimo será pago em 4 prestações mensais e 
iguais sem entrada e que a taxa de juros do financiamento será de 24% ao ano, complete a planilha de amortização a 
seguir e responda: 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR - PV PMT 
0 
1 
2 
3 
4 
 
a) Qual o valor em reais do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 2ª prestação? 
b) Qual o valor em reais da cota de amortização embutido no valor da 4ª prestação? 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 29 
05. Complete os dados da planilha abaixo considerando o plano de pagamento em 1 + n prestações iguais, ou seja, 
entrada igual às demais prestações: 
 
 
PREÇO À FORMA DE TAXA VLR DA ENTRADA E 
VISTA PAGAMENTO DAS PRESTAÇÕES 
R$ 1.000,00 1 + 3 10,00% R$ 286,79 
R$ 1.500,00 1 + 5 2,00% 
R$ 3.000,00 1 + 4 1,50% 
R$ 800,00 1 + 7 3,50% 
R$ 1.200,00 1 + 11 3,00% 
R$ 4.000,00 1 + 9 1,00% 
R$ 2.400,00 1 + 7 2,50% 
 
 
06. Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Constante em 4 prestações mensais, sem 
entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular os valores das prestações e construir a planilha de amortização. 
 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR - PV PMT 
0 
1 
2 
3 
4 
 
07. Um empréstimo de R$ 900,00 será pago pelo Sistema de Amortização Constante em 5 prestações mensais, sem 
entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular os valores das prestações e construir a planilha de amortização. 
 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR - PV PMT 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
08. A planilha de amortização a seguir está preenchida parcialmente. 
 
N SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR 
0 R$ 1.000,00 
1 R$ 232,01 R$ 282,01 
2 X R$ 282,01 
3 Y R$ 282,01 
4 Z R$ 282,01 
Com base nesses dados, responda: 
 
1. Qual o sistema de amortização adotado e por que; 
2. Qual a taxa de juros adotada no financiamento; 
3. Quais os valores de X, Y e Z, respectivamente. 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 30 
09. A planilha a seguir está preenchida parcialmente. 
 
N SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR 
0 R$ 800,00 
1 R$ 600,00 R$ 240,00 
2 X R$ 200,00 
3 R$ 200,00 Y 
4 R$ 200,00 Z 
 
Com base nesses dados, responda: 
1. Qual o sistema de amortização adotado e por que; 
2. Qual a taxa de juros do financiamento;. 
3. Quais os valores de X, Y e Z, respectivamente. 
 
10. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 560,00, pelo sistema de amortização constante, em 8 prestações 
mensais sem entrada, à taxade 10% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor 
de quitação do débito após haver efetuado o pagamento da quinta prestação? 
 
11. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 560,00, pelo sistema price de amortização, em 8 prestações 
mensais sem entrada, à taxa de 10% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor 
de quitação do débito após haver efetuado o pagamento da quarta prestação? 
 
12. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 2.000,00, pelo sistema price de amortização, em 24 prestações 
mensais sem entrada, à taxa de 2% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor de 
quitação do débito após haver efetuado o pagamento da décima prestação? 
 
13. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 10.000,00, pelo sistema price de amortização, em 30 prestações 
mensais sem entrada, à taxa de 3% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor de 
quitação do débito após haver efetuado o pagamento da décima prestação? 
 
14. Uma compra no valor de R$ 500,00 deve ser paga com uma entrada à vista de 20% e o saldo devedor restante em 
5 prestações mensais iguais, a uma taxa de 5% ao mês, vencendo a primeira prestação em 30 dias. Embutida nesta 
primeira prestação mensal, existe uma amortização do saldo devedor, de quantos reais? 
 
15. Amortizando-se R$ 1.500,00 pelo sistema de amortização constante, em 10 prestações sem entrada, com taxa de 
2% ao mês, qual o valor da segunda prestação? 
 
16. No pagamento de um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 em 10 prestações mensais sem entrada, à taxa de 10% 
ao mês, pelo SAC, qual o valor da sexta prestação? 
 
17. Na tabela abaixo, que apresenta algumas células sem valores numéricos, os dados referem-se a um empréstimo 
bancário de R$ 10.000,00, entregues no ato e sem prazo de carência, à taxa de juros de 12% ao ano, para pagamento 
em 6 meses pela tabela Price. Com relação a essa situação, complete os dados da planilha. 
 
Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 10.000,00 0 0 0 
1 8.374,52 
2 83,75 
3 5.074,64 1.658,15 67,33 
4 3.399,91 1.674,73 50,75 
5 
6 0 
 
18. Qual o valor à vista, de um automóvel vendido com uma entrada de R$ 2.000,00 e o restante financiado em 12 
prestações mensais e iguais a R$ 852,42 à taxa de 4% ao mês? 
a) R$ 8.000,00 b) R$ 10.229,01 c) R$ 10.000,00 
d) R$ 12.000,00 e) R$ 8.229,01 
 
19. Qual o valor à vista, de um automóvel vendido com uma entrada de R$ 4.000,00 e o restante financiado em 24 
prestações mensais e iguais a R$ 528,71 à taxa de 2% ao mês? 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 31 
 
20. Qual o valor à vista, de um equipamento financiado em 36 prestações mensais e iguais a R$ 588,49 à taxa de 2% 
ao mês? 
 
21. Uma pessoa deseja fazer um empréstimo de R$ 2.500,00 mas só dispõe de R$ 240,86 para pagar mensalmente. 
Sendo a taxa nominal de juros igual a 60% ao ano, qual a quantidade de prestações que viabiliza o pagamento do 
empréstimo? 
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 
 
22. Deseja-se saber qual foi a taxa de juros adotada no financiamento de um eletrodoméstico no valor de R$ 400,00, 
financiado em 10 prestações mensais e iguais a R$ 54,35. 
a) 7% b) 6% c) 5% d) 4% e) 3% 
 
23. Deseja-se saber qual foi a taxa de juros adotada no financiamento de um eletrodoméstico no valor de R$ 500,00, 
financiado em 5 prestações mensais e iguais a R$ 112,31. 
a) 7% b) 6% c) 5% d) 4% e) 3%