lista 4 - Continuidade

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Universidade Federal de Sergipe -UFS
Departamento de Arquitetura e Urbanismo - DAU
Professor: Rafael Oliveira
Lista 4
Ca´lculo I.
1. Mostre que as func¸o˜es abaixo sa˜o descont´ınua no nu´mero x0. Se a descon-
tinuidade for remov´ıvel, redefina f(x) de tal modo que seja removida.
(a) f(x) =

9x2 − 4
3x− 2 , se x 6= x0;
0, se x = x0.
; onde x0 =
2
3
;
(b) f(s) =

1
s + 5
, se s 6= x0;
0, se s = x0.
; onde x0 = −5;
(c) f(t) =
{
9− t2, se t ≤ x0;
3t + 2, se t > x0.
; onde x0 = 2;
(d) f(x) =

x2 − x− 12
x2 + 2x− 3 , se x 6= x0;
1, se x = x0.
; onde x0 = −3;
(e) f(x) =
{
|x− 3|, se x 6= x0;
2, se x = x0.
; onde x0 = 3;
(f) f(x) =

x2 − 4x + 3
x− 3 , se x 6= x0;
5, se x = x0.
; onde x0 = 3;
(g) f(t) =
{
t2 − 4, se t ≤ x0;
t, se x > x0.
; onde x0 = 2;
(h) f(x) =

√
x + 5−√5
x
, se x 6= x0;
−1, se x = x0.
; onde x0 = 0.
2. Verificar se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas, isto e´, se sa˜o cont´ınuas em
todos os pontos do seu domı´nio.
(a) f(x) = 3x3 − 2x2 − 1;
(b) g(x) =
x4 − x2 − 3x− 1
x− 1 ;
(c) h(x) =
x10− x7 + 2x3 − 5
x6 − 1 ;
(d) r(x) = sen(x2 − 1);
(e) t(x) =
√
cos( 1
x
);
(f) p(x) = ln(e
x2−1
x+1 );
(g) q(x) =

9x2 − 4
3x− 2 , se x 6=
2
3
;
4, se x =
2
3
.
;
(h) s(x) =

1
s + 5
, se x 6= −5;
0, se x = −5.
;
(i) u(x) =
{
9− x2, se x ≤ 2;
3t + 2, se x > 2.
;
(j) f(x) = |x|;
(k) f(x) =
|x|
x
(l) f(x) =

|x|
x
, se x 6= 0;
1, se x = 0.
;
(m) f(x) =

x2 − x− 12
x2 + 2x− 3 , se x 6= −3;
1, se x = −3.
;
(n) f(x) =

3−√x + 9
x
, se x 6= 0;
−1
6
, se x = 0.
;
3. Defina a func¸a˜o composta (f ◦ g)(x) e determine os nu´meros nos quais f ◦ g
e´ cont´ınua.
(a) f(x) =
√
x; g(x) = 9− x2;
(b) f(x) =
1
x
; g(x) = x− 2;
(c) f(x) =
√
x; g(x) =
1
x− 2;
(d) f(x) = x3; g(x) =
√
x;
(e) f(x) =
1
x2
; g(x) = x + 3;
(f) f(x) = 3
√
x; g(x) =
√
x + 1;
(g) f(x) =
1
x− 2; g(x) =
√
x;
2
(h) f(x) =
√
4− x2√
x− 1 ; g(x) = |x|;
4. Ache os valores das constantes c e k que tornam as func¸o˜es abaixo cont´ınua
e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o resultante.
(a) f(x) =
{
3x + 7, se x ≤ 4;
kx− 1, se x > 4.
(b) f(x) =
{
kx− 1, se x < 2;
kx2, se x ≥ 2.
(c) f(x) =

x, se x ≤ 1;
cx + k, se 1 < x < 4;
−2x, se x ≥ 4.
(d) f(x) =

x + 2c, se x ≤ −2;
3cx + k, se − 2 ≤ x ≤ 1;
3x− 2k, se x > 1.
(e) f(x) =

x2 − 1
x + 1
, se x 6= −1;
kx + 1, se x = −1.
5. Nos itens abaixo, sa˜o dados uma func¸a˜o f e um intervalo fechado [a, b].
Determinar se o teorema do valor intermedia´rio se aplica para o valor de
k dado. Se o teorema for aplica´vel, ache um nu´mero c ∈ (a, b) tal que
f(c) = k. Caso cotra´rio, explique porqueˆ. Fac¸a um esboc¸o da curva f e da
reta y = k.
(a) f(x) = −x2 + x + 2; [a, b] = [0, 3]; k = 1;
(b) f(x) = x2 + x + 2; [a, b] = [0, 3]; k = 1;
(c) f(x) = −x2 + 5x− 6; [a, b] = [−1, 2]; k = 4;
(d) f(x) =
4
x + 2
; [a, b] = [−3, 1]; k = 1
2
;
(e) f(x) =
4
x + 2
; [a, b] = [−1, 1]; k = 3;
6. Use o teorema do valor intermedia´rio para mostrar que existe pelo menos
uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada no intervalo especificado.
(a) x4 + x− 3 = 0, (1, 2);
(b) 3
√
x = 1− x, (0, 1);
(c) cos(x) = x, (0, 1);
3
(d) ln(x) = e−x, (1, 2).
7. Use a contiuidade para calcular o limite.
(a) lim
x→4
5 +
√
x√
5 + x
(b) lim
x→pi
sen(x + sen(x))
(c) lim
x→1
e(x
2−x)
(d) lim
x→2
arctg
(
x4 − 4
3x2 − 6x
)
8. Calcule os limites baixo:
(a) lim
x→pi
2
+
tag(x);
(b) lim
x→pi
2
−
tag(x);
(c) lim
x→−pi
2
+
tag(x);
(d) lim
x→−pi
2
−
tag(x);
(e) lim
x→+∞
ex;
(f) lim
x→−∞
ex;
(g) lim
x→−∞
(
1
2
)x
;
(h) lim
x→+∞
(
1
2
)x
;
(i) lim
x→+∞
ln(x)
(j) lim
x→0+
ln(x)
(k) lim
x→+∞
arctg(x)
(l) lim
x→−∞
arctg(x)
(m) lim
x→0−
e
1
x
4