AP1 de Introdução a Probabilidade e Estatística CEDERJ

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INTRODUC¸A˜O A` PROBABILIDADE E ESTAT´ISTICA AP1 - gabarito 1
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – INTRODUC¸A˜O A` PROBABILIDADE E ESTATI´STICA – GABARITO – 2018/2
Questa˜o 1 [2,0 pontos] Uma pesquisa realizada entre os clientes de uma ageˆncia de turismo
obteve o seguinte resultado com relac¸a˜o a` prefereˆncia por locais, no Brasil, para viajar: Nordeste
(NE), Sudeste (SE) e Centro-Oeste (CO):
Locais NE SE CO NE eSE SE eCO NE eCO NE, SE eCO
Nu´mero de clientes 255 300 195 55 45 100 25
Sabe-se que 125 dos entrevistados disseram que na˜o gostariam de viajar para nenhum dos locais
apresentados. Quantas pessoas foram entrevistadas?
Soluc¸a˜o.
Observe o diagrama de Venn a seguir, levando em conta os valores dados no enunciado.
NE
&%
'$SE
&%
'$
CO
&%
'$125 22530
25
75 20
75
Usando o princ´ıpio da inclusa˜o-exclusa˜o temos:
n(NE ∪ SE ∪ CO) = n(NE) + n(SE) + n(CO)− n(NE ∩ SE)− n(SE ∩ CO)− n(NE ∩ CO)
+n(NE ∩ SE ∩ CO)
= 255 + 300 + 195− 55− 45− 100 + 25 = 575 .
Devemos somar ainda o nu´mero de pessoas entrevistadas que na˜o gostariam de viajar para nenhum
dos locais mencionados. Assim, o nu´mero total de pessoas entrevistadas e´ igual a 575+ 125 = 700 .
Questa˜o 2 [1,5 ponto] Quantos sa˜o os anagramas da palavra FUTURO; isto e´, quantas per-
mutac¸o˜es existem para essa palavra?
Soluc¸a˜o.
E´ um problema de permutac¸a˜o com elementos repetidos. Logo, o nu´mero de permutac¸o˜es e´ dado
por:
P (6)
P (2)
=
6!
2!
= 7× 6× 5× 4× 3 = 2520 .
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INTRODUC¸A˜O A` PROBABILIDADE E ESTAT´ISTICA AP1 - gabarito 2
Questa˜o 3 [1,5 ponto] Os cargos de reitor e de vice-reitor de uma instituic¸a˜o de ensino sera˜o
escolhidos dentre oito nomes indicados. Quantas sa˜o as possibilidades de escolha para preencher os
dois cargos?
Soluc¸a˜o.
A ordem e´ importante, pois os cargos sa˜o distintos. Portanto, trata-se de um problema que envolve
arranjos.
Temos, enta˜o,
A(8, 2) = 8!
(8−2)! = 8× 7 = 56 possibilidades.
Questa˜o 4 [1,5 ponto] Para formar um time de futebol, composto por 11 jogadores, um treinador
dispo˜e de 15 jogadores. De quantas maneiras o time completo pode ser formado pelo treinador
supondo que 2 dos 15 jogadores podem ser goleiros e os outros 13 jogadores (sem os poss´ıveis
goleiros) podem jogar em qualquer uma das outras 10 posic¸o˜es.
Soluc¸a˜o.
Nesse caso, temos C(13, 10)× C(2, 1) = C(13, 3)× 2 = 13× 12× 11
6
× 2 = 572 maneiras.
Questa˜o 5 [2,0 pontos] Deseja-se montar uma equipe de 6 me´dicos para o atendimento de
planta˜o de determinada cl´ınica. Para formar a equipe, dispo˜e-se de um grupo de 12 me´dicos, sendo
3 cardiologistas, 3 ortopedistas e 6 cl´ınicos.De quantos modos distintos a equipe pode ser montada,
considerando que ela deve ser formada por pelo menos 4 cl´ınicos?
Soluc¸a˜o.
Como a equipe deve conter pelo menos 4 cl´ınicos, ela devera´ conter 4 ,5 ou 6 cl´ınicos. Temos,
C(6, 4) × C(6, 2) + C(6, 5) × C(6, 1) + C(6, 6) × C(6, 0) = 15 × 15 + 6 × 6 + 1 = 262 modos
distintos de a equipe ser montada.
Questa˜o 6 [1,5 ponto] Determine o coeficiente do termo que conte´m x4 no desenvolvimento da
expresssa˜o
(
x− 2
x
)8
.
Soluc¸a˜o.
O termo que conte´m x4 aparecera´ atra´ves da operac¸a˜o (x)6
(
−2
x
)2
. Portanto, o termo sera´ dado
por:
C(8, 2)(x)6
(
−2
x
)2
=
8× 7
2
× 4× x4 = 28× 4× x4 = 112x4.
Logo, o coeficiente do termo que conte´m x4 e´ igual a 112.
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