Séries e Sequencias - Calculo III

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Sequências e Séries
Cálculo III - ECT 1312
Escola de Ciências e Tecnologia
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Julho 2013
Leonardo Mafra
Sequências
Definição
Uma sequência ou sucessão (infinita) de números reais é uma função
f : N→ R, que associa a cada número natural um número real, ou
seja:
1, 2, · · · n, · · ·
↓ ↓ ↓
f (1), f (2), · · · f (n), · · ·
Notação
Em vez de f (n), valor da função sobre o natural n, utilizamos o
símbolo an (leia: a índice n). Os números a1,a2, · · · ,an são chamados
de termos ou elementos da sequência, e o n-ésimo termo, an, de
termo geral. Uma sequência será denotada por (an)ou (an)∞n=n0 .
Leonardo Mafra
Sequências
Uma sequência pode ser definida listando seus termos em ordem até
que se reconheça um padrão, ou através do seu termo geral ou ainda
de uma relação de recorrência.
(a) (0,2,4,6,8, · · ·),
(b) (an) := (2n)∞0 ,
(c) a0 = 0 e an+1 = an+2.
Note que os exemplos dos ítens (a), (b) e (c) representam a mesma
sequência, a saber, a sequência dos números pares.
Leonardo Mafra
Sequências
Exemplo 01
Liste os termos das seguintes sequências definidas abaixo.
(a) (sn) := (∑∞k=1 k)
(b) (bn) := (
∫∫
Dn
1√
x2+y2
dxdy)∞n=1, onde Dn é a coroa circular
1
n2 ≤ x2+ y2 ≤ 1.
Leonardo Mafra
Sequências
Exemplo 01
Liste os termos das seguintes sequências definidas abaixo.
Solução
(a) s1 = 1,s2 = 1+2,s3 = 1+2+3, · · ·
(b) bn =
∫ 2pi
0
∫ 1
1
n
drdθ= 2pi(n−1)n , logo: b1 = 0,b2 = pi,b3 =
4pi
3 , · · · .
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Definição
Considere uma sequência de termo geral an e um núnero real L.
Dizemos que an tem limite L, se para todo ε> 0, existir um natural K
tal que n> K implicar |an−L|< ε. Se tal limite for finito dizemos que
a sequência converge, do contrário a sequência diverge. É comum
escrevermos
lim
n→∞an = L ou an→ L quando n→ ∞.
Note que a definição acima é igual a de uma função real f (x) a valor
real quando x→ ∞, a única diferença é que n precisa ser inteiro. Com
essa observação temos o seguinte teorema.
Teorema 1
Seja an = f (n), n inteiro. Se limx→∞f (x) = L, então limn→∞an = L.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 02
Utilize a definição para mostrar que limn→∞ 1n2+1 = 0.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 02
Utilize a definição para mostrar que limn→∞ 1n2+1 = 0.
Solução
Dado ε> 0, tome K = 1ε . Logo para n> K, tem-se que
1
n <
1
K = ε e
assim
| 1
n2+1
−0|= 1
n2+1
<
1
n
< ε.
Logo pela definição limn→∞ 1n2+1 = 0.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 03
Calcule limn→∞ n
√
n.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 03
Calcule limn→∞ n
√
n.
Solução
lim
n→∞
n
√
n= lim
n→∞n
1
n = lim
x→∞x
1
x = lim
n→∞e
lnx
x ,
Como
lim
n→∞
lnx
x
= 0,
tem-se que
lim
n→∞
n
√
n= 1.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Um teorema importante que relaciona uma função contínua com
sequências convergentes é dado a seguir.
Teorema 2
Se limn→∞ an = L e se a função f for contínua em L, então
lim
n→∞ f (an) = f ( limn→∞an) = f (L).
Também é válido para sequências o teorema do confronto.
Teorema 3
Seja (bn) uma sequência tal que para todo n, an ≤ bn ≤ cn. Se
limn→∞ an = L e limn→∞ cn = L então:
lim
n→∞bn = L.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 04
Encontre limn→∞ sin(pin ).
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 04
Encontre limn→∞ sin(pin ).
Solução
Sabemos que a função seno é contínua em 0. Note que o argumento
da função é composto por uma sequência convergente, limn→∞ pin = 0.
De acordo com o teorema 2, temos
lim
n→∞sin
(
pi
n
)
= sin
(
lim
n→∞
pi
n
)
= sin(0) = 0.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 05
Discuta a convergência da sequência (an) = ( n!nn ).
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 05
Discuta a convergência da sequência (an) = ( n!nn ).
Solução
Note que os termos das sequências são todos positivos e que
an =
1 ·2 ·3 · · ·n
n ·n ·n · · ·n =
1
n
(
2 ·3 · · ·n
n ·n · · ·n
)
≤ 1
n
.
De forma que 0< an ≤ 1/n. Aplicando o teorema do confronto
teremos que
lim
n→∞an = 0.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Dada uma sequência (an), representamos os termos de ordem par
desta sequência por (a2n) e o termos ímpares por (a2n+1).
Teorema 4
Seja (an) uma sequência convergente, isto é, limn→∞ an = L. Então
lim
n→∞a2n = limn→∞a2n+1.
O teorema acima afirma que se uma sequência converge, então suas
sequências de ordem par e ímpar também convergem, e as fazem
para o mesmo valor da sequência original. Assim, se as sequências
de ordem par e ímpar não convergirem, ou se convergir para valores
distintos, a sequência original diverge.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 06
Determine se a sequência (an) := ((−1)n) é convergente ou
divergente.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 06
Determine se a sequência (an) := ((−1)n) é convergente ou
divergente.
Solução
Note que limn→∞ a2n = limn→∞(−1)2n = 1 6= limn→∞ a2n+1 =
limn→∞(−1)2n+1 =−1. Logo limn→∞(−1)n não existe e
(an) := ((−1)n) é divergente.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 07
Calcule limn→∞
(−1)n
n , se existir.
Leonardo Mafra
Limite de uma sequência
Exemplo 07
Calcule limn→∞
(−1)n
n , se existir.
Solução
Note que
lim
n→∞a2n = limn→∞
(−1)2n
2n
= 0 e lim
n→∞a2n+1 = limn→∞
(−1)2n+1
2n+1
= 0.
Logo a sequência é convergente.
Leonardo Mafra
Sequências crescentes e decrescentes
Definição
Seja (an) um sequência de números reais. Dizemos que (an) é
crescente se satisfaz as seguintes inequações
a1 ≤ a2 ≤ ·· · ≤ an ≤ an+1 ≤ ·· · .
É dita decrescente se satisfaz as seguintes inequações
a1 ≥ a2 ≥ ·· · ≥ an ≥ an+1 ≥ ·· · .
Dizemos que uma sequência é monótona se for crescente ou
decrescente.
Leonardo Mafra
Sequências crescentes e decrescentes
As seguintes sequências são crescentes:
(1,2,3, · · · ,n,n+1, · · ·), (1,2,2,3,3,3, · · ·),
(a,a2,a3, · · · ,an, · · ·) se a> 1.
São decrescentes as seguintes sequências:(
1, 12 ,
1
3 , · · · , 1n , · · ·
)
,
(
1, 12 ,
1
22 , · · · , 12n−1 , · · ·
)
,
(b,b2,b3, · · · ,bn, · · ·) se 0< b< 1.
Não são monótonas as seguintes sequências:
(+1,−1,+1, · · · ,(−1)n+1, · · ·), (−1,+2,−3, · · · ,(−1)n, · · ·).
Leonardo Mafra
Sequências crescentes e decrescentes
Exemplo 08
Mostre que a sequência (an) := ( nn2+1) é decrescente.
Leonardo Mafra
Sequências crescentes e decrescentes
Exemplo 08
Mostre que a sequência (an) := ( nn2+1) é decrescente.
Solução
Note que f (n) = an = nn2+1 e a função f (x) =
x
x2+1 têm o mesmo
comportamento para n,x→ ∞. Assim basta analizarmos o
comportamento de f (x), e a partir do resultado inferir o
comportamento de an = f (n). Repare que f ′(x) = −x
2+1
(x2+1)2 < 0 para
x ∈ (1,∞). Assim a função é decrescente, neste intervalo, e por
conseguinte an = nn2+1 também é decrescente.
Leonardo Mafra
Sequências crescentes e decrescentes
Definição
Uma sequência (an) é limitada superiormente se existir um número M
tal que an ≤M para todo n, e limitada inferiormente se existir um
número m tal que an ≥ m para todo n. Se ela for limitada
superiormente e inferiormente, então (an) é uma sequência limitada.
Abaixo temos alguns exemplos:
(a) (n)∞n=1 := (1,2,3, · · ·n, · · ·), é limitada inferiormente por m= 1,
an ≥ 1.
(b) (−n(n+1))∞n=0 := (0,−2,−6,−12, · · ·−n(n+1), · · ·), é
limitada superiormente por M = 0, ou seja, an ≤ 0.
(c)
(1
n
)∞
n=1 :=
(
1, 12 ,
1
3 , · · · 1n , · · ·
)
, é limitada pois 0≤ an ≤1.
Leonardo Mafra
Sequências crescentes e decrescentes
Teorema 5
Seja (an) uma sequência monótona. Então (an) converge se e
somente se for limitada.
Exemplo 09
Mostre que a sequência (an+1) := (an2 +2) com a1 := 8 é
convergente e determine seu limite.
Leonardo Mafra
Sequências crescentes e decrescentes
Exemplo 09
Mostre que a sequência (an+1) := (an2 +2) com a1 := 8 é
convergente e determine seu limite.
Solução
Note que a1 > a2 = 6. Mostraremos que (an) é decrescente.
Suponha que ak > ak+1 (que é verdade para k = 1). Então
ak
2
>
ak+1
2
=⇒ ak+1 := ak2 +2>
ak+1
2
+2 := ak+2.
Logo (an) é monótona. Mostraremos agora que (an) é limitada
inferiormente. Suponha que ak > 4 (que também é verdade para
k = 1).
Leonardo Mafra
Sequências crescentes e decrescentes
Exemplo 09
Mostre que a sequência (an+1) := (an2 +2) com a1 := 8 é
convergente e determine seu limite.
Solução
Assim
ak > 4 =⇒ ak+1 := ak2 +2>
4
2
+2= 4.
Portanto (an) é limitada, e pelo teorema 5 temos que a sequência (an)
é convergente. Logo limn→∞ an = L existe. Portanto
lim
n→∞an+1 = limn→∞(
an
2
+2) =⇒ L= L
2
+2 =⇒ L= 4.
Leonardo Mafra
Sequências crescentes e decrescentes
Exemplo 10
A sequência definida pela relação de recorrência an+1 = 1+ 2an , com
a1 = 1 é convergente. Determine seu limite.
Leonardo Mafra
Sequências crescentes e decrescentes
Exemplo 10
A sequência definida pela relação de recorrência an+1 = 1+ 2an , com
a1 = 1 é convergente. Determine seu limite.
Solução
Vamos, primeiramente, escrever alguns termos da sequência
(an) = (1,3,5/3,11/5,21/11, · · ·).
A sequência parece tender a 2. Como ela converge, então
limn→∞ an+1 = limn→∞ an = L. Assim
L= 1+
2
L
=⇒ L2−L−2= 0 =⇒ L= 2 e L=−1.
Como a sequência é positiva então dever ser limn→∞ an = 2.
Leonardo Mafra
Séries
Definição
Seja (an) um sequência de números reais. As seguintes somas
s1 := a1
s2 := s1+a2 (= a1+a2)
s3 := s2+a3 (= a1+a2+a3)
...
sn := sn−1+an (= a1+a2+ · · ·+an)
...
são chamdas de somas parciais geradas pela sequência (an). A
sequência (sn) é chamada de série (infinita), e an de termo geral da
série.
Leonardo Mafra
Séries
Notação
A série gerada pela sequência (an) será denotada por
∞
∑
n=1
an = a1+a2+ · · ·+an+ · · · ,
e sua soma, se existir, por S.
Definição
Seja (sn) a sequência das somas parciais geradas pela sequência
(an) e S um número real. Dizemos que a série converge para S se
limn→∞ sn = S. Neste caso a série é dita convergente, do contrário
divergente.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 11
Verifique se a série ∑∞n=1 n= 1+2+3+ · · ·+n+ · · · é convergente.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 11
Verifique se a série ∑∞n=1 n= 1+2+3+ · · ·+n+ · · · é convergente.
Solução
Se somarmos os n primeiros termos desta série obtemos
sn =
n(n+1)
2
,
n-ésima soma parcial. Note que
lim
n→∞sn = limn→∞
n(n+1)
2
= ∞.
Logo a série é divergente.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 12 (Série geométrica)
Sejam a 6= 0 e r números reais, e considere a seguinte série
∞
∑
n=1
arn−1 = a+ar+ar2+ar3+ · · · .
a) Determine a n-ésima soma parcial para a série.
b) Para que valores de r a série converge?
Leonardo Mafra
Séries
Exercício 12
a) Determine a n-ésima soma parcial para a série
∞
∑
n=1
arn−1 = a+ar+ar2+ar3+ · · · .
Solução
Note que
sn = a+ar+ar2+ · · ·+arn−1 (1)
rsn = ar+ar2+ar3+ · · ·+arn (2)
Subtraindo (1) de (2) tem-se que
sn = a
1− rn
1− r .
Leonardo Mafra
Séries
Exercício 12 (Solução)
b) Para que valores de r a série converge?
Solução
Note que se |r|< 1, temos que limn→∞ rn = 0 e assim,
S= lim
n→∞sn = limn→∞a
1− rn
1− r =
a
1− r ,
ou seja, a série geométrica converge para a soma S. Se |r| ≥ 1, então
lim
n→∞r
n =±∞,
e assim a série geométrica diverge.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 13 (Série telescópica)
Considere a série ∑∞k=1 ak e suponha que ak := bk−bk+1, k ≥ 1, com
limk→∞ bk = b.
a) Determine a n-ésima soma parcial sn.
b) Encontre a soma da série, se existir.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 13 (Série telescópica)
Considere a série ∑∞k=1 ak e suponha que ak := bk−bk+1, k ≥ 1, com
limk→∞ bk = b.
Solução
a) Determine a n-ésima soma parcial sn.
sn=
n
∑
k=1
ak= b1−b2+b2−b3+b3−b4+· · ·+bn−1−bn= b1−bn.
b) Encontre a soma da série, se existir.
S= lim
n→∞sn = limn→∞(b1−bn) = b1−b.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 14
Determine se a seguinte série
5− 10
3
+
20
9
− 40
27
+ · · · ,
é convergente, e em caso afirmativo sua soma.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 14
Determine se a seguinte série
5− 10
3
+
20
9
− 40
27
+ · · · ,
é convergente, e em caso afirmativo sua soma.
Solução
Temos uma série geométrica, com a= 5 e r =−23 . Como |r|< 1, a
série converge para
S=
a
1− r =
5
1− (−23)
= 3.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 15
Mostre que a série ∑∞n=1
1
n(n+1) é convergente e calcule sua soma.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 15
Mostre que a série ∑∞n=1
1
n(n+1) é convergente e calcule sua soma.
Solução
Note que
an =
1
n(n+1)
=
1
n
− 1
n+1
.
Identificando bn = 1n e bn+1 =
1
n+1 , com
b= limn→∞ bn = limn→∞ 1n = 0. Vemos que a série é telescópica, logo
convergente. Sua soma é
S= lim
n→∞sn = limn→∞(b1−bn) = 1.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 16 (Série harmônica)
Mostre que a série 1+ 12 +
1
3 +
1
4 + · · ·+ 1n + · · · , é divergente.
Leonardo Mafra
Séries
Exemplo 16 (Série harmônica)
Mostre que a série 1+ 12 +
1
3 +
1
4 + · · ·+ 1n + · · · , é divergente.
Solução
Seja sn a n-ésima soma parcial. Como ex > 1+ x para x> 0, temos:
esn = exp
(
1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · ·+ 1
n
)
= e1 · e1/2 · e1/3 · e1/4 · · · · e1/n
> (1+1) ·
(
1+
1
2
)
·
(
1+
1
3
)
·
(
1+
1
4
)
· · ·
(
1+
1
n
)
> 2 ·
(
3
2
)
·
(
4
3
)
·
(
5
4
)
· · ·
(
n+1
n
)
= n+1
Logo sn > lnn+1 =⇒ limn→∞ sn =+∞, a série diverge.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Teorema 6
Se a série ∑∞n=1 an for convergente, então limn→∞ an = 0.
Note que a recíproca do teorema acima não é verdadeira. Como
exemplo tome a série harmônica, onde limn→∞ an = limn→∞ 1/n= 0,
e mesmo assim a série diverge. Apesar de não podermos utilizar a
recíproca do teorema acima para mostrar a convergência de uma
série, podemos utilizar sua negativa para mostrar a divergência de
uma série.
Teste para divergência
Seja a série ∑∞n=1 an. Se limn→∞ an não existir ou limn→∞ an 6= 0,
então a série ∑∞n=1 an será divergente.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 17
Mostre que a série
∞
∑
n=1
n2
5n2+4
é divergente.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 17
Mostre que a série
∞
∑
n=1
n2
5n2+4
é divergente.
Solução
Note que
lim
n→∞an = limn→∞
n2
5n2+4
=
1
5
6= 0.
Logo pelo teste da divergência a série diverge.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Propriedades das Séries convergentes
Se ∑an e ∑bn forem séries convergentes, então também serão
convergentes ∑∞n=1 can (onde c é uma constante) e ∑
∞
n=1(an±bn), e
(i) ∑∞n=1 can = c∑
∞
n=1 an,
(ii) ∑∞n=1(an±bn) = ∑∞n=1 an±∑∞n=1 bn.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 18
Calcule a soma da série
∞
∑
n=1
(
3
n(n+1)
+
1
2n
)
.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 18
Calcule a soma da série
∞
∑
n=1
(
3
n(n+1)
+
1
2n
)
.
Solução
Note que a série acima é obtida somando-se
3
∞
∑
n=1
1
n(n+1)
e
∞
∑
n=1
1
2n
.
A primeira soma é telescópicacom soma 3, enquanto que a segunda
é geométrica com soma 1. Assim a soma da série é
∑∞n=1
(
3
n(n+1) +
1
2n
)
= 4.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Quando nos deparamos com uma série cujos termos são
decrescentes e positivos podemos utilizar o seguinte teste para
verificar sua convergência.
O teste da integral
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em
[p,∞) e seja an = f (n) para n≥ p. Então
(i) Se limb→∞
∫ b
p f (x)dx for convergente, então ∑
∞
n=1 an é
convergente.
(ii) Se limb→∞
∫ b
p f (x)dx for divergente, então ∑
∞
n=1 an é divergente.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 19
Teste a série
∞
∑
n=1
1
n2+1
quanto à convergência ou divergência.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 19
Teste a série ∞
∑
n=1
1
n2+1
quanto à convergência ou divergência.
Solução
A função f (x) = 1x2+1 é contínua, positiva e decrescente em [1,∞).
Assim:∫ ∞
1
1
x2+1
dx= lim
b→∞
∫ b
1
1
x2+1
dx
= lim
b→∞
[tan−1(b)− tan−1(1)] = pi
2
− pi
4
=
pi
4
.
Como a integral converge, a série ∑∞n=1
1
n2+1 converge.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 20 (P-Série ou série harmônica de ordem p)
Para que valores de p a série
∞
∑
n=1
1
np
é convergente?
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 20 (P-Série ou série harmônica de ordem p)
Para que valores de p a série
∞
∑
n=1
1
np
é convergente?
Solução
Note que se p< 0, então limn→∞ 1np = ∞, e se p= 0,
limn→∞ 1np = 1 6= 0. Em qualquer caso a série diverge. Se p≥ 1 a
função f (x) = 1xp é contínua, positiva e decrescente em [1,∞).∫ ∞
1
1
xp
dx= lim
b→∞
[
x1−p
1−p
]b
1
= lim
b→∞
1
p−1
[
1− 1
bp−1
]
=
1
p−1 se p> 1.
Pelo teste da integral a série acima converge se p> 1 e diverge se
p≤ 1.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 21
Determine se a série
∞
∑
n=1
ln(n)
n
converge ou diverge.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 21
Determine se a série
∞
∑
n=1
ln(n)
n
converge ou diverge.
Solução
Note que f (x) = ln(x)x será decrescente se f
′(x) = 1−ln(x)x2 < 0, ou seja,
se x> e. Assim∫ ∞
3
ln(x)
x
dx= lim
b→∞
[
ln2(x)
2
]b
3
=
1
2
lim
b→∞
[ln2(b)− ln2(3)] = ∞.
Logo pelo teste da integral a série ∑∞n=1
ln(n)
n diverge.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Agora que já conhecemos a convergência de algumas séries
(geométrica, telescópica, harmônica, p-série, etc), podemos utilizar
estas séries para inferir a convergência ou divergência de uma dada
série.
O teste da comparação
Suponha que ∑an e ∑bn sejam séries com termos positivos.
(i) Se ∑bn for convergente e an ≤ bn para todo n, então ∑an
também será convergente.
(ii) Se ∑bn for divergente e an ≥ bn para todo n, então ∑an também
será divergente.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 22
Determine se a série
∞
∑
n=1
5
2n2+4n+3
converge ou diverge.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 22
Determine se a série
∞
∑
n=1
5
2n2+4n+3
converge ou diverge.
Solução
Para n grande, o termo geral da série acima se comporta como 52n2 . A
série ∑ 52n2 é convergente, p-série com p= 2. Note ainda que
5
2n2+4n+3
<
5
2n2
,
logo a série ∑∞n=1
5
2n2+4n+3 é convergente.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 23
Teste a série
∞
∑
n=1
ln(n)
n
quanto a convergência ou divergência pelo teste da comparação.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 23
Teste a série
∞
∑
n=1
ln(n)
n
quanto a convergência ou divergência pelo teste da comparação.
Solução
Note que
ln(n)
n
>
1
n
para n≥ 3.
Como a série ∑∞n=1
1
n é divergente, então pelo teste da comparação
também é divergente a série ∑∞n=1
ln(n)
n .
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Outra versão do teste da comparação é a seguinte.
Teste da comparação no limite
Suponha que ∑an e ∑bn sejam séries com termos positivos. Se
lim
n→∞
an
bn
= c,
onde c é um número finito e c> 0, então ambas as séries convergem
ou divergem.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 24
Teste a série
∞
∑
n=1
1
2n−1
quanto a convergência ou divergência pelo teste da comparação.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 24
Teste a série
∞
∑
n=1
1
2n−1
quanto a convergência ou divergência pelo teste da comparação.
Solução
Note que para n grande a série acima se comporta como ∑ 12n , que é
uma série geométrica convergente, r < 1. Assim
lim
n→∞
1
2n−1
1
2n
= lim
n→∞
2n
2n−1 = limn→∞
1
1−1/2n = 1> 0.
Logo pelo teste da comparação no limite a série ∑∞n=1
1
2n−1 converge.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 25
Determine se a série
∞
∑
n=1
2n2+3n√
5+n5
converge ou diverge.
Leonardo Mafra
Testes de convergência
Exemplo 25
Determine se a série
∞
∑
n=1
2n2+3n√
5+n5
converge ou diverge.
Solução
O termo geral da série acima se comporta como 2n1/2 . Já sabemos
que a série ∑ 2n1/2 é divergente, p-série com p=
1
2 < 1. Assim:
lim
n→∞
2n2+3n√
5+n5
2
n1/2
= lim
n→∞
2n5/2+3n3/2
2
√
5+n5
=
1
2
lim
n→∞
2+3/n√
5/n5+1
= 1> 0,
logo pelo teste da comparação no limite, a série ∑∞n=1
2n2+3n√
5+n5
diverge.
Leonardo Mafra
Séries alternadas
Definição
Uma série é chamada alternada se for dada por
∞
∑
n=1
(−1)nan,
onde an > 0 para todo natural n. As séries abaixo são exemplos de
séries alternadas.
a) ∑∞n=1(−1)n−1 1n = 1− 12 + 13 − 14 + · · · .
b) ∑∞k=0(−1)k 1(2k+1) != 1− 13! + 15! − 17! + · · · .
c) ∑∞n=1(−1)n−1n= 1−2+3−4+ · · · .
Leonardo Mafra
Séries alternadas
O teste da série alternada
Se a série alternada
∞
∑
n=1
(−1)n−1an = a1−a2+a3−a4+a5+ · · ·
satisfizer
(i) an+1 ≤ an, para todo n,
(ii) lim
n→∞an = 0.
Então a série é convergente.
Leonardo Mafra
Séries alternadas
Exemplo 26
Determine se a série
∞
∑
n=1
(−1)n−1
n
converge ou diverge.
Leonardo Mafra
Séries alternadas
Exemplo 26
Determine se a série
∞
∑
n=1
(−1)n−1
n
converge ou diverge.
Solução
Note que a série é alternada, com an = 1n . Como limn→∞
1
n = 0, e
como
an+1 =
1
n+1
< an =
1
n
,
então pelo teste da série alternada a série converge. A série
∑∞n=1
(−1)n−1
n é chamada de série harmônica alternada.
Leonardo Mafra
Séries alternadas
Exemplo 27
Determine se a série
∞
∑
n=1
(−1)n3n
4n−1
converge ou diverge.
Leonardo Mafra
Séries alternadas
Exemplo 27
Determine se a série
∞
∑
n=1
(−1)n3n
4n−1
converge ou diverge.
Solução
Note que limn→∞ 3n4n−1 =
3
4 , logo não podemos concluir nada do teste
da série alternada. Porém note que
lim
n→∞a2n = limn→∞
6n
8n−1 =
3
4
6= lim
n→∞a2n+1 = limn→∞−
6n+3
8n+3
=−3
4
.
Assim como limn→∞ an não existe, a série diverge pelo teste da
divergência.
Leonardo Mafra
Séries alternadas
Exemplo 28
Determine se a série
∞
∑
n=1
(−1)n+1n2
n3+1
converge ou diverge.
Leonardo Mafra
Séries alternadas
Exemplo 28
Determine se a série
∞
∑
n=1
(−1)n+1n2
n3+1
converge ou diverge.
Solução
Note que limn→∞ n
2
n3+1 = 0. Note ainda que f (x) =
x2
x3+1 será
decrescente se f ′(x) = x(2−x
3)
(x3+1)2 < 0. Como só nos interessa x positivo,
então f (x) será decrescente se x> 3
√
2, e assim an+1 < an. Logo pelo
teste da série alternada, a série converge.
Leonardo Mafra
Convergência absoluta
Definição
Uma série ∑∞n=1 an é dita absolutamente convergentese a série dos
valores absolutos ∑∞n=1 |an| for convergente.
Como exemplo note que
∞
∑
n=1
∣∣∣∣(−1)n−1n2
∣∣∣∣= ∞∑
n=1
1
n2
,
é convergente, p-série com p= 2. Enquanto que
∞
∑
n=1
∣∣∣∣(−1)n−1n
∣∣∣∣= ∞∑
n=1
1
n
,
é divergente, série harmônica. Assim ∑∞n=1
(−1)n−1
n2 é absolutamente
convergente, enquanto que ∑∞n=1
(−1)n−1
n não.
Leonardo Mafra
Convergência absoluta
Definição
Uma série ∑∞n=1 an é chamada condicionalmente convergente se ela
for convergente, mas não for absolutamente convergente.
Assim no exemplo anterior, a série harmônica alternada converge
condicionalmente. O teorema a seguir nos fornece outra maneira de
testar a convergência de uma série.
Teorema 7
Se ∑∞n=1 |an| for convergente, então ∑∞n=1 an será convergente.
Note que até agora, os testes de convergência apresentados se
aplicam apenas para séries com termos positivos. O teorema acima
se aplica para séries de termos quaisquer.
Leonardo Mafra
Convergência absoluta
Exemplo 29
Determine se a série
∞
∑
n=1
cos(n)
n2
converge ou diverge.
Leonardo Mafra
Convergência absoluta
Exemplo 29
Note que a série tem termos positivos e negativos, porém não é
alternada. Vejamos se ela converger absolutamente. Repare que
∞
∑
n=1
∣∣∣∣cos(n)n2
∣∣∣∣= ∞∑
n=1
|cos(n)|
n2
.
Solução
Como |cos(n)| ≤ 1 para todo n, então
|cos(n)|
n2
≤ 1
n2
.
Como ∑ 1n2 converge, então ∑
|cos(n)|
n2 converge absolutamente. Logo a
série é convergente.
Leonardo Mafra
Os Testes da razão e da raiz
O teste a seguir é útil para determinar se uma série converge
absolutamente, e assim se ela é convergente.
Teste da razão
(i) Se limn→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣= L< 1, então a série é absolutamente
convergente, e portanto convergente.
(ii) Se limn→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣= L> 1, então a série é divergente.
(iii) Se limn→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣= 1, o Teste da razão é inconclusivo.
Leonardo Mafra
Os Testes da razão e da raiz
Exemplo 30
Determine se as séries
(a) ∑∞n=1
(−1)nn3
3n ,
(b) ∑∞n=1
nn
n! ,
convergem ou divergem.
Leonardo Mafra
Convergência absoluta e os testes da razão e da raiz
Exemplo 30
a) Solução
Note que
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣= limn→∞
∣∣∣∣ (−1)
n+1(n+1)3
3n+1
(−1)nn3
3n
∣∣∣∣= limn→∞ (n+1)33n+1 3nn3 = 13 < 1.
Logo pelo teste da razão a série converge.
b) Solução
Repare ainda que
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣= limn→∞
∣∣∣∣ (n+1)
(n+1)
(n+1)!
nn
n!
∣∣∣∣= limn→∞
(
n+1
n
)n
= lim
n→∞
(
1+
1
n
)n
= e.
Logo pelo teste da razão a série diverge.
Leonardo Mafra
Os Testes da razão e da raiz
O teste a seguir é conveniente para ser aplicado quando na série
ocorrerem potências de n.
Teste da raiz
(i) Se limn→∞ n
√|an|= L< 1, então a série é absolutamente
convergente, e portanto convergente.
(ii) Se limn→∞ n
√|an|= L> 1, então a série é divergente.
(iii) Se limn→∞ n
√|an|= 1, o Teste da razão é inconclusivo.
Leonardo Mafra
Os Testes da razão e da raiz
Exemplo 31
Determine se a série ∞
∑
n=1
(
2n+3
3n+2
)n
converge ou diverge.
Leonardo Mafra
Os Testes da razão e da raiz
Exemplo 31
Determine se a série ∞
∑
n=1
(
2n+3
3n+2
)n
converge ou diverge.
Solução
Note que
lim
n→∞
n
√
|an|= lim
n→∞
n
√∣∣∣∣(2n+33n+2
)n∣∣∣∣= limn→∞ 2n+33n+2 = 23 < 1.
Logo pelo teste da raíz a série converge.
Leonardo Mafra
Série de potências
Definição
Seja an uma sequência numérica dada e x0 um número real. A série
∞
∑
n=0
an(x− x0)n
é chamada de série de potências centrada em x0. Note que se x0 = 0,
temos uma série de potências centrada em 0
∞
∑
n=0
anxn.
Como exemplo temos
∞
∑
n=0
xn
2n
,
série de potências com an = 12n , centrada em 0.
Leonardo Mafra
Série de potências
O teorema a seguir destaca uma propriedade importante das séries
de potências.
Teorema 8
Se ∑∞n=0 anxn for convergente para x= x1, com x1 6= 0, então a série
convergirá absolutamente para todo x no intervalo (−|x1|, |x1|).
Exemplo 32
Em que intervalo a série abaixo converge absolutamente?
∞
∑
n=0
xn
n
.
Leonardo Mafra
Série de potências
Exemplo 32
Em que intervalo a série abaixo converge absolutamente?
∞
∑
n=0
xn
n
.
Solução
Note que a série converge para x=−1 (série harmônica alternada).
Logo converge absolutamente no intervalo (−1,1). Note que ela não
converge absolutamente para x=−1 e diverge para x= 1.
Leonardo Mafra
Série de potências: Raio de convergência
Teorema 9
Dada uma série de potências ∑∞n=0 an(x− x0)n, existem apenas três
possibilidades
a) A série converge apenas para x= x0.
b) A série converge para todo x.
c) Existe um número positivo R tal que a série converge se
|x− x0|< R e diverge se |x− x0|< R.
Dizer que |x− x0|< R é o mesmo que x ∈ I = (x0−R,x0+R). Tal
intervalo é chamado intervalo de convergência, e o número R de raio
de convergência. Em (a) dizemos que R= 0, e em (b) que R= ∞.
Note que o teorema nada afirma sobre as extremidades do intervalo,
x= x0±R, de forma que a série pode convergir em uma das
extremidades, em ambas ou em nenhuma.
Leonardo Mafra
Série de potências: Raio de convergência
Exemplo 33
Determine os raio e intervalo de convergência para
∞
∑
n=0
(−3)nxn√
n+1
.
Leonardo Mafra
Série de potências: Raio de convergência
Exemplo 33
Determine os raio e intervalo de convergência para
∞
∑
n=0
(−3)nxn√
n+1
.
Solução
Temos que an =
(−3)nxn√
n+1
e pelo teste da razão
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣= limn→∞
∣∣∣∣∣−3x
√
n+1
n+2
∣∣∣∣∣= 3|x|.
Para a série convergir devemos ter 3|x|< 1 =⇒ |x|< 13 . Assim
R= 13 e a série converge absolutamente em (−13 , 13). Devemos testar
as extremidades.
Leonardo Mafra
Série de potências: Raio de convergência
Exemplo 33
Determine os raio e intervalo de convergência para
∞
∑
n=0
(−3)nxn√
n+1
.
Solução (Continuação)
Para x=−13 temos
∞
∑
n=0
(−3)n(−13 )n√
n+1
=
∞
∑
n=0
1√
n+1
,
que é uma série divergente (p-série com p≤ 1). Para x= 13 temos
∞
∑
n=0
(−3)n(13)n√
n+1
=
∞
∑
n=0
(−1)n√
n+1
,
que converge pelo teste da série alternada. Logo o intervalo de
convergência é I = (−13 , 13 ].
Leonardo Mafra
Série de potências: Raio de convergência
Exemplo 34
Determine os raio e intervalo de convergência para
∞
∑
n=0
n!xn.
Leonardo Mafra
Série de potências: Raio de convergência
Exemplo 34
Determine os raio e intervalo de convergência para
∞
∑
n=0
n!xn.
Solução
Pelo teste da razão
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣= limn→∞ |x(n+1)|= |x| limn→∞(n+1).
Note que o limite acima só será menor que 1 se x= 0. Assim o R= 0
e o intervalo de convergência é o conjunto {0}.
Leonardo Mafra
Funções como série de potências
Seja f (x) = 11−x . Considere ainda a seguinte série de potências
∞
∑
n=0
xn = 1+ x+ x2+ · · ·+ xn+ · · · .
A série acima é geométrica com razão r = x. Já vimos que essa série
converge se |x|< 1, logo sua soma é dada por
∞
∑
n=0
xn = 1+ x+ x2+ · · ·+ xn+ · · ·= 1
1− x = f (x).
Assim uma série de potências convergente pode, sob certas
condições, convergir para uma função.
Leonardo Mafra
Funções como série de potências
Exemplo 35
Expresse a função f (x) = 11+x2 como uma série de potências e
determine o intervalo de convergência.
Leonardo Mafra
Funções como série de potências
Exemplo 35
Expresse a função f (x) = 11+x2 como uma série de potências e
determine o intervalo de convergência.
Solução
Note que
f (x) =
1
1+ x2
=
1
1− (−x2) = 1− x
2+ x4− x6+ · · ·=
∞
∑
n=0
(−1)nx2n,
que representa uma sériegeométrica de razão r =−x2. Logo
convergirá se |− x2|< 1 =⇒ |x|< 1. Assim o intervalo de
convergência é I = (−1,1). Repare ainda que para determinar o
intervalo de convergência poderíamos ter utilizado o teste da razão.
Leonardo Mafra
Funções como série de potências
Exemplo 36
Expresse a função f (x) = x
3
2+x como uma série de potências e
determine o intervalo de convergência.
Leonardo Mafra
Funções como série de potências
Exemplo 36
Expresse a função f (x) = x
3
2+x como uma série de potências e
determine o intervalo de convergência.
Solução
Note que
f (x) =
x3
x+2
= (x3/2)
1
1− (−x/2)
=
x3
2
∞
∑
n=0
(−1)n x
n
2n
=
1
2
x3+
1
4
x4+
1
8
x5− 1
16
x6+ · · · .
Para que a série convergir devemos ter
∣∣−x
2
∣∣< 1 =⇒ |x|< 2. Assim
o intervalo de convergência é I = (−2,2).
Leonardo Mafra
Derivação e integração de séries de potências
Teorema 10
Se a série de potências ∑∞n=0 an(x− x0)n tiver um raio de
convergência R> 0, então a função f definida por
f (x)= a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+a3(x−x0)3+· · ·=
∞
∑
n=0
an(x−x0)n,
é diferenciável (logo contínua) no intervalo (x0−R,x0+R) e
a) f ′(x) =∑∞n=1 an(x−x0)n−1= a1+2a2(x−x0)+3a3(x−x0)2+ · · ·
,
b)
∫
f (x)dx= C+∑∞n=0
an(x−x0)n+1
n+1 =
C+a0(x− x0)+ a1(x−x0)
2
2 +
a2(x−x0)3
3 + · · · .
Leonardo Mafra
Derivação e integração de séries de potências
Exemplo 37
Encontre uma representação em série de potências para ln(1− x) e
seu raio de convergência. Utilize o resultado para mostrar que
ln(2) =
1
2
+
1
8
+
1
24
+
1
64
+ · · · .
Leonardo Mafra
Derivação e integração de séries de potências
Exemplo 37
Encontre uma representação em série de potências para ln(1− x) e
seu raio de convergência. Utilize o resultado para mostrar que
ln(2) =
1
2
+
1
8
+
1
24
+
1
64
+ · · · .
Solução
Note que − ln(1− x) = ∫ x0 du1−u , e repare ainda que
1
1−x = 1+ x+ x
2+ x3+ · · · desde que |x|< 1. Assim
− ln(1− x) =
∫ x
0
1
1−udu=
∫ x
0
∞
∑
n=0
undu=
∞
∑
n=0
∫ x
0
undu=
∞
∑
n=0
xn+1
n+1
.
Logo ln(1− x) =−∑∞n=0 x
n+1
n+1 . Note que o raio de convergência é o
mesmo da série original, R= 1. E fazendo x= 12 temos,
ln(2) = 12 +
1
8 +
1
24 +
1
64 + · · · .
Leonardo Mafra
Derivação e integração de séries de potências
Exemplo 38
Determine a representação em série de potências para 1
(1−x)2 . Qual
seu raio de convergência?
Leonardo Mafra
Derivação e integração de séries de potências
Exemplo 38
Determine a representação em série de potências para 1
(1−x)2 . Qual
seu raio de convergência?
Solução
Note que 1
(1−x)2 =
d
dx
( 1
1−x
)
, assim
d
dx
(
1
1− x
)
=
d
dx
∞
∑
n=0
xn =
∞
∑
n=0
d
dx
xn =
∞
∑
n=1
nxn−1,
desde que |x|< 1. Logo
1
(1− x)2 =
∞
∑
n=1
nxn−1 = 1+2x+3x2+4x3+ · · · .
com raio de convergência R= 1.
Leonardo Mafra
Série de Taylor
Teorema 11
Se f (x) tiver uma representação em série de potências, isto é,
f (x) =
∞
∑
n=0
an(x− x0)n |x− x0|< R,
então seus coeficientes são dados por
an =
f (n)(x0)
n!
.
Assim a série dada por
f (x) =
∞
∑
n=0
f (n)(x0)
n!
(x− x0)n = f (x0)+ f
′(x0)(x− x0)
1!
+
+
f ′′(x0)(x− x0)2
2!
+ · · · ,
é chamada de série de Taylor centrada em x0.
Leonardo Mafra
Série de Taylor
Exemplo 39
Determine a série de Taylor centrada em x0 = 0 para a função.
a) f (x) = cos(x),
b) f (x) = sin(x).
Leonardo Mafra
Série de Taylor
Exemplo 39
Determine a série de Taylor centrada em x0 = 0 para a função.
a) f (x) = cos(x),
Solução
Note que para cos(x) tem-se que f (2n)(x) = (−1)n cos(x) e
f (2n+1)(x) = (−1)n sin(x). De forma que para x0 = 0 =⇒ a2n = (−1)
n
(2n)! .
cos(x) =
∞
∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
= 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ · · · .
Leonardo Mafra
Série de Taylor
Exemplo 39
Determine a série de Taylor centrada em x0 = 0 para a função.
b) f (x) = sin(x).
Solução (Continuação)
Para sin(x) tem-se que f (2n)(x) = (−1)n sin(x) e
f (2n+1)(x) = (−1)n cos(x). De forma que para
x0 = 0 =⇒ a2n+1 = (−1)
n
(2n+1)! .
sin(x) =
∞
∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+1)!
= x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ · · · .
Leonardo Mafra
Série de Taylor
Exemplo 40
Determine a série de Taylor para f (x) = ex. Substitua x por ix na série
para mostar que eix = cos(x)+ isin(x) (fórmula de Euler), onde
i2 =−1 é a unidade imaginária.
Leonardo Mafra
Série de Taylor
Exemplo 40
Determine a série de Taylor para f (x) = ex. Substitua x por ix na série
para mostar que eix = cos(x)+ isin(x) (fórmula de Euler), onde
i2 =−1 é a unidade imaginária.
Solução
Note que f (n)(x) = ex, logo para x0 = 0 =⇒ an = 1n! . Assim
ex =
∞
∑
n=0
xn
n!
= 1+
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ · · · .
Fazendo x→ ix vem que
eix = 1+ i
x
1!
− x
2
2!
− i x
3
3!
+
x4
4!
+ i
x5
5!
+ · · ·
=
(
1− x
2
2!
+
x4
4!
+ · · ·
)
+ i
(
x− x
3
3!
+
x5
5!
+ · · ·
)
= cos(x)+ isin(x).
Leonardo Mafra