P1 Gabarito

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Departamento de Física – ICEx - UFMG
Fundamentos de Eletromagnetismo
Primeira Prova 14/09/2013
 GABARITO
QUESTÃO 1
Na figura, vemos uma caixa cúbica de aresta a com apenas 
duas cargas. Uma carga q1 está na origem, e uma carga 
q2 está no vértice imediatamante acima da origem. As 
cargas valem, em Coulomb, q1=3√3 e q2=2√2 . 
I- (2 pontos) Qual é o vetor posição do ponto P, marcado na 
figura, que é o vértice diametralmente oposto à origem? (Os 
vetores unitários nas direções x,y,z são i⃗ , j⃗ , k⃗ .)
- r⃗P=a( i⃗+ j⃗+ k⃗)
II-(2 pontos) Qual o módulo do campo elétrico no ponto P?
EP=
3
4 πϵ0a²
III-(2 pontos) Qual o módulo da força elétrica no ponto P ?
 FP=0
QUESTÃO 2 (11 x 0,5 =5,5 pontos)
Considere uma carga total ( Qtot ) distribuída no espaço 
tridimensional, de acordo com a densidade volumétrica de 
carga ρ(x , y , z ) . Considere uma superfície Gaussiana 
( S ) de modo que toda a carga esteja em seu interior. 
Com relação a Lei de Gauss e a distribuição de carga, 
podemos afirmar (marque Verdadeiro (V) ou Falso (F)):
I- ( V ) O valor da integral ∮ E⃗ . d A⃗ depende 
somente da quantidade de carga no interior da superfície 
S .
II- ( F ) O valor da integral ∮ E⃗ . d A⃗ depende da 
forma da superfície S .
III- ( V ) A superfície S não é um objeto físico.
IV- ( F ) A superfície Gaussiana é formada por material 
isolante.
V- ( F ) Se as cargas estiverem distribuídas uniformemente 
na forma de uma bola compacta de raio R, então um grande 
círculo de raio r, concêntrico com a bola, seria uma boa 
superfície Gaussiana para calcular o campo elétrico a uma 
distância r do centro.
VI- ( V ) A função ρ(x , y , z )=Constante , se 
x²+ y²+z²≤R² , e ρ(x , y , z )=0 , se 
x²+ y²+z²>R2 , define uma distribuição uniforme de 
carga em forma de esfera de raio R.
VII- ( F ) Em condições eletrostáticas, uma esfera metálica 
sólida de raio R, com carga total Q, pode ter uma distribuição 
de carga descrita pela função do item VI acima.
VIII- ( F ) Se temos um objeto com a distribuição de carga 
do item VI, podemos afirmar que o potencial elétrico no 
interior do objeto (ponto cujas coordenadas satisfazem
x²+ y²+z²≤R2 ) é igual ao potencial elétrico na 
superfície (ponto cujas coordenadas satisfazem
x²+ y²+z²=R2 ).
IX- ( V ) Se tomarmos qualquer objeto metálico 
tridimensional completamente isolado, cujo interior tanto 
pode ser oco quanto sólido, e o carregarmos com uma carga 
total Q, depois de um certo tempo o campo elétrico em seu 
interior será nulo.
X- ( V ) O potencial elétrico no interior de um metal 
carregado, em condições eletrostáticas, é constante e igual ao 
valor do potencial na superfície do metal.
XI- ( V ) Considere um objeto isolante, que possui uma 
distribuição de carga idêntica a de um outro objeto metálico 
carregado. Podemos afirmar que os dois objetos possuem os 
mesmos campos e potenciais elétricos em todos os pontos do 
espaço.
QUESTÃO 3 
Uma esfera isolante de raio b, com a parte central oca de raio 
a, tem uma carga q uniformemente distribuída. Determine o 
módulo do campo elétrico na parte oca r≤a , na parte 
carregada a≤r≤b , e fora da esfera r> b.
1-(2 pontos) Campo na parte oca r≤a :
 ZERO 
2-(2 pontos) Campo na parte carregada a≤r≤b :
 E= q
4πϵor
2
(r 3−a3)
(b3−a3)
 
3-(2 pontos) Campo fora da esfera r> b :
 E=
q
4πϵor
2 
QUESTÃO 4 (6 pontos)
Considere dois cilindros metálicos muito compridos e 
concêntricos, um de raio menor a e outro de raio maior 
b , formando um capacitor. Este capacitor cilíndrico é 
preenchido com dois dielétricos de constantes k1 (para 
a≤r≤R ) e k2 (para R< r≤b ), conforme 
mostra a figura da seção tansversal( r é o raio medido a 
partir do centro comum dos cilindros). Calcule a 
capacitância por unidade de comprimento
 
k 1k 22πϵ0
k2 ln(R/a)+ k1 ln(b /R)
QUESTÃO 5 (6 pontos)
Duas esferas metálicas isoladas de raios R1 e R2, 
sendo R1 > R2, estão ambas carregadas 
positivamente. As esferas são então ligadas por um fio 
condutor e atingem o equilíbrio eletrostático. Após ser 
atingido o equilíbrio eletrostático, designemos por Q1 e 
Q2 as cargas em cada esfera, e por V1 e V2 seus 
potenciais elétricos. Podemos afirmar que:
 V1 = V2 e Q1 > Q2
QUESTÃO 6
Considere uma esfera isolante de raio R, com carga total 
positiva Q uniformemente distribuída em seu volume. 
1-(3 pontos) Qual o potencial elétrico no interior da esfera, 
em r<R, se o potencial é definido como zero na posição 
r=∞ , V (r=∞)=0 ?
Q
8 πϵ0R
[3− r
2
R2
]
2-(3 pontos) Considere agora o zero do potencial no centro 
da esfera, isto é, V (r=0)=0 , qual o potencial elétrico 
no interior da esfera, em r<R?
−Q
8 πϵ0R
3 r
2