exerc_6_3

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PROJETOS DE SISTEMAS DE CONTROLE 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
Professor: José Felipe Haffner 1 
 
 
Projeto de compensadores de avanço-atraso de fase 
 
Exercício resolvido 
 
 
 
Exercício (pagina 20 apostila Aula6.pdf) 
 
 Considere o sistema de controle com realimentação unitária e negativa 
apresentado do diagrama de blocos da Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1: Sistema de controle a ser compensado. 
Projetar um compensador do tipo avanço e atraso de fase, tal que a variável de saída do 
sistema, y(t), apresente um sobrepasso máximo – Mp(%) - de 10 %, um tempo de pico – 
tp - de 2,5 segundos e erro máximo em regime permanente quando considerado um sinal 
de entrada do tipo rampa igual a 0.0833 (Kv=12). 
 
Projeto de compensadores de avanço-atraso de fase 
 
I. Dados retirados do diagrama de Bode do processo 
 
O exercício será resolvido exclusivamente com os dados da resposta em freqüência 
do processo, considerando que não se conhece sua função de transferência. Portanto os 
dados utilizados dependem da precisão dos diagrama de bode utilizados para o 
desenvolvimento do projeto. Os dados iniciais mostrados na Tabela 1 são extraídos do 
diagrama de Bode do processo apresentado na Figura 2. Na figura 3 são apresentadas as 
respostas temporais em malha fechada utilizando como sinais de entrada: o degrau e a 
rampa. 
( )( )4s1ss
K
++
 
R(s) + 
 
 _ 
Y(s) 
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Fig. 2: Dados do processo. 
 
 
Dados Calculado Retirados do Gráfico 
Margem de ganho 26,02 dB 25 dB 
Margem de fase 72,98º 75º 
Freqüência 0 dB 0,2425 rad/s 0.25 rad/s 
Freqüência 180º 2,00 rad/s 2,00 rad/s 
Kp ∞ ∞ 
Kv 0,25 0,25 
Ka 0 0 
 
Tabela 1: Dados retirados do diagrama de Bode do processo. 
 
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Resposta temporal em malha fechada a um sinal de entrada tipo degrau 
unitário 
Resposta temporal em malha fechada a um sinal de entrada tipo rampa 
unitária 
 
Fig. 3: Respostas temporais em malha fechada do sistema de controle mostrado na Fig. 1. 
 
II. Analise das especificações 
 
6.060%10 0 =→=Φ→= ξMmp : dados aproximados obtidos com o emprego do 
gráfico da figura 4. 
 
Figura 4: : Gráfico que relaciona ξ com MΦ e ξ com Mp de um sistema de segunda 
ordem . 
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Para calcular a freqüência de 0 dB necessária para obter uma resposta temporal em malha fechada com 
tempo de pico menor ou igual a 2,5 seg, tem-se: 
 
srad
t
n
p
n /5708,1
6.015,21 22
=
−
=→
−
=
pi
ωξ
pi
ω 
 
sradsradndB /4,1/4414,116.046.025708.1142 42420 →=+⋅+⋅−=++−= ξξωω
 
 
III. Introdução do ganho proporcional 
 
Olhando para a curva de magnitude do gráfico mostrado na figura 5, verifica-se que 
deve-se introduzir um ganho proporcional de 10 para que a freqüência de 0 db seja 
localizada em 1,4 rad/s. 
 
 
Fig. 5: Introdução do ganho proporcional para ajustar a w0dB. 
 
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Fig. 6: Sistema de controle com ganho proporcional.. 
 
Na figura 7 são apresentadas as respostas temporais em malha fechada do sistema de 
controle com ganho proporcional mostrado na figura 6, utilizando como sinais de entrada: 
o degrau e a rampa. 
 
 
 
Resposta temporal em malha fechada a um sinal de entrada tipo degrau 
unitário 
Resposta temporal em malha fechada a um sinal de entrada tipo rampa 
unitária 
 
Fig. 7: Respostas temporais em malha fechada do sistema de controle mostrado na Fig. 6. 
 
 
 
 
 
 
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IV. Introdução do compensador de atraso de fase 
 
Inicialmente deve-se verificar se a constate de erro Kv foi atendida: 
 
1
11
1
12)(
5,225,010)(*10)(
25,0)(
−
−−
−
=
=⋅==
=
sdoespecificaK
ssoriginalKatualK
soriginalK
v
vv
v
 
 
Se a constante de erro não foi atendida, deve-se introduzir com compensador de atraso de fase 
um ganho em baixa freqüência de valor calculado abaixo para ajustar o Kv 
 
 
 8,4
5,2
12
)(
)(
2 ===
atualK
doespecificaKk
v
v
 
 
 
 No projeto do compensador de atraso deve-se colocar o zero do compensador há uma 
ou meia década abaixo de w0dB e o pólo do compensador a uma distancia suficiente do 
zero para que o ganho DC do compensador seja o valor definido acima. 
 
 
1
0
1 10
dBz
ω
= (1 década) ou 5.0
0
1 10
dBz
ω
= (0.5 década) 
 
14,0
10
4,1
11 ==z 
 
0292.0
8,4
14.0
2
1
1 === k
z
p 
 
 
Fig. 8: Sistema de controle com ganho proporcional e com compensador de atraso de fase.. 
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Fig. 9: Diagrama de Bode de malha aberta do sistema de controle mostrado na Fig. 8. 
(Com ganho proporcional e compensador de atraso de fase). 
 
 
 
Resposta temporal em malha fechada a um sinal de entrada tipo degrau 
unitário 
Resposta temporal em malha fechada a um sinal de entrada tipo rampa 
unitária 
Fig. 10: Respostas temporais em malha fechada do sistema de controle mostrado na Fig. 8 
(Com ganho proporcional e compensador de atraso de fase). 
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V. Introdução do compensador de avanço de fase 
 
Em primeiro lugar define-se a freqüência de 0db desejada, que no caso é mantida em 1,4 
rad/s, conforme foi anteriormente calculado. 
 
Logo após, Observa-se o diagrama de Bode do sistema operando com o compensador de 
atraso (ver figura 9) para avaliar a fase necessária para atender a margem de fase 
especificada, isto é: 
 
ajustefasealporporcionganhocomdaespecifica MM _)__()(max +Φ−Φ=ρ 
 
A margem de fase especificada é de 60º, a margem de fase com ganho proporcional de 10 
é de 15º conforme informação retirada do gráfico da figura 5. A fase de ajuste é definida 
em função do projeto do compensador de atraso: zero uma década abaixo da w0dB, seu 
valor vale 5º e se o zero for definido meia década abaixo da w0dB, seu valor vale 10º. 
 
ooo 5051560 0max =+−=ρ 
 
1325,0)º50(1
)º50(1
)(1
)(1
max
max
=
+
−
=
+
−
=
sen
sen
sen
sen
ρ
ρβ 
 
Verifica-se que se desejamos manter a freqüência de 0dB na mesma posição deve-se introduzir 
um ganho proporcional para compensar a introdução de magnitude do compensador de avanço de 
fase, que de outra forma alteraria a freqüência de 0 dB. 
 
dBk 8,83648,03 −⇒== β 
 
Depois de definido o ganho, pode-se terminar o projeto definindo o parâmetro T: 
 
9625,1
1325,04,1
11
0
=== βω dB
T 
 
Considerando que o compensador de avanço é dado por: 
 
)(
)(
1
1
1
a
aa ps
zsk
T
s
T
s
+
+
=






+






+
β
β logo: 
8465,3
9625,11325,0
11
5096,0
9625,1
11
5486,7
1325,0
11
=
⋅
==
===
===
T
p
T
z
k
a
a
a
β
β
 
 
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Na figura 12 é mostrado o diagrama de blocos do sistema de controle empregando 
compensador de avanço-atraso de fase. Na figura 12 são mostrados os efeitos da 
introdução do compensador de avanço, que no caso do projeto executado resulta numa 
diminuição das magnitudes em baixas freqüências. 
 
Fig. 11: Sistema de controle completo com ganho proporcional, com compensador de atraso e 
de avanço de fase. 
 
Fig. 12: Diagrama de Bode de malha aberta do sistema de controle mostrado na Fig. 11. 
(Com compensador de atraso de fase e com compensador de avanço-atraso de fase). 
 
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Nas Figuras 13 e 14 são mostrados os gráficos relativos ao emprego: do ganho proporcional, do compensador de atraso de fase e do 
compensador de atraso-avanço de fase. 
 
Fig. 13: Diagrama de Bode de malha aberta do sistema de controle mostrado na Fig. 11. 
 
 
 
Resposta temporal em malha fechada a um sinal de entrada tipo degrau 
unitário 
Resposta temporal em malha fechada a um sinal de entrada tipo rampa 
unitária 
Fig. 14: Respostas temporais em malha fechada do sistema de controle mostrado na Fig. 11. 
. 
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VI. Reajuste do compensador de atraso de fase 
 
Observando o diagrama de Bode da Figura 12, verifica-se que a magnitude em baixa 
freqüência diminuiu com a introdução do compensador de avanço, pois no projeto deste 
compensador manteve-se a freqüência de 0 dB no mesmo lugar. Com o compensador de 
avanço, a constante de erro foi diminuída na mesma proporção do ganho proporcional 
introduzido, β , ou seja: 
 
β*)___()tan( AtrasodecompcomKteresulK vv = 
 
13676,41325.0*12)tan( −== steresulK v 
l 
Portanto: Kv = 4,36 s-1 em vez de Kv = 12 s-1 ajustado pelo compensador de atraso 
 
Para compensar o efeito da diminuição do Kv, deve-se reajustar o posicionamento do 
pólo do compensador de atraso, de forma, a manter a constante de erro especificada 
inicialmente. 
 
0106,01325,00292,0*)( 11 === βpajustadop 
 
O compensador de atraso é reajustado de forma a manter a constante de erro conforme 
inicialmente projetado para atender a especificação, ou seja: 
 
)0106,0(
)14,0(
)0292,0(
)14,0(
+
+
⇒
+
+
s
s
s
s
 
 
Para obter o ganho completo do compensador de avanço-atraso de fase, deve-se 
multiplicar todos os ganhos inseridos durante o projeto, i.e.: 
 
4721,27
1325,0
11325,0101_ 1 =⋅⋅=⋅⋅= ββktotalGanho 
 
O compensador de avanço-atraso de fase pode ser representado por uma única 
função de transferência dada por: 
 
8465,3(
)5096,0(
)0106,0(
)14,0(4721,27)(_
+
+
⋅
+
+
⋅=
s
s
s
s
scompletoComp 
 
 
 
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Fig. 15: Sistema de controle completo. 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Bode sem o reajuste do pólo do compensador de atraso Diagrama de Bode com o reajuste do pólo do compensador de atraso 
de 0,0292 para 0,0106. 
 
Fig. 16: Modificação do pólo do compensador de atraso para ajustar o Kv.. 
 
 
 
 
 
 
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VII. Resultados finais 
Nas Figuras 17 e 18 são mostrados os gráficos relativos ao sistema de controle original (figura 1) e o sistema de controle com o 
compensador de avaço-atraso de fase (Figura 15). 
 
Fig. 17: Diagrama de Bode de malha aberta do sistema de controle mostrado na Fig. 15. 
 
 
 
Resposta temporal em malha fechada a um sinal de entrada tipo degrau 
unitário 
Resposta temporal em malha fechada a um sinal de entrada tipo rampa 
unitária 
Fig. 18: Respostas temporais em malha fechada do sistema de controle mostrado na Fig. 15.