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Universidade Federal de Alfenas Lucas Oliveira Quintino Se´ries de Fourier e Aplicac¸o˜es em Equac¸o˜es Diferenciais Parciais Alfenas/MG 2013 Lucas Oliveira Quintino Se´ries de Fourier e Aplicac¸o˜es em Equac¸o˜es Diferenciais Parciais Trabalho de Conclusa˜o de Curso apresentado como parte dos requisitos para obtenc¸a˜o do T´ıtulo de Licenciado em F´ısica pela Universidade Federal de Alfenas. A´rea de concentrac¸a˜o: F´ısica- Matema´tica. Orientador: Prof. Dr. Evandro Monteiro. Alfenas/MG 2013 Resumo O objetivo deste trabalho e´ a resoluc¸a˜o de algumas equac¸o˜es diferenciais que aparecem em problemas da F´ısica-Matema´tica, com o me´todo de Fourier, dando eˆnfase a aspectos matema´ticos da F´ısica Teo´rica, visando enriqueceˆ-la com maior rigor matema´tico. Para isso, e´ necessa´ria a utilizac¸a˜o de cer- tos me´todos, iniciando pelo Me´todo de Fourier, cuja base e´ essencialmente as Se´ries de Fourier. As equac¸o˜es diferenciais modelam diversos problemas f´ısicos como: a equac¸a˜o da onda, que descreve pequenas vibrac¸o˜es trans- versais de uma corda flex´ıvel; a equac¸a˜o do calor, empregada no estudo da conduc¸a˜o de calor em uma barra; e a equac¸a˜o de Laplace, que deve ser satis- feita no estudo do equil´ıbrio de uma membrana sob a ac¸a˜o de certas forc¸as. Situac¸o˜es assim levam a um problema em que o valor da soluc¸a˜o em uma varia´vel espacial ou de suas derivadas e´ especificado na fronteira do conjunto. Para a obtenc¸a˜o de soluc¸o˜es desses problemas de valores iniciais ou de fron- teira, sera´ utilizado o me´todo de resoluc¸a˜o de Fourier. Palavras-chave: Equac¸a˜o das Ondas, Equac¸a˜o do Calor, Equac¸a˜o Dife- rencial Parcial, Problema de Dirichlet, Se´ries de Fourier. Abstract The aim of this work is to solve, using the Fourier method, some differen- tial equations that appear in Mathematical Physics, emphasizing mathema- tical aspects of theoretical physics. For this, it is necessary the application of certain methods, beginning with the Fourier Method, whose base is essen- tially the Fourier series. The differential equations model several problems in physics such as: the wave equation, which describes small transversal vi- brations in a flexible string; the heat equation, used to study the conduction of heat in a bar; and the Laplace’s equation, which must be satisfied in the study of equilibrium of a membrane under the action of certain forces. Si- tuations like these lead to a problem in which the value of a spatial variable or of its derivative is specified by boundary conditions. In order to find the solutions of these boundary value problems, we will use the Fourier’s method. Keywords: Dirichlet Problem, Fourier Series, Heat Equation, Partial Dif- ferential Equation, Wave Equation. Suma´rio 1 Introduc¸a˜o 6 2 Conceitos Ba´sicos 9 2.1 Produto escalar de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Func¸o˜es ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Conjunto Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Definic¸a˜o da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6 Definic¸a˜o da se´rie de Fourier trigonome´trica . . . . . . . . . . 12 2.7 Convergeˆncia pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.8 Convergeˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Equac¸a˜o das Ondas 21 3.1 Resoluc¸a˜o por se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Energia da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Vibrac¸o˜es forc¸adas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Harmoˆnicos, frequeˆncia, amplitude . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Equac¸a˜o do Calor 34 4.1 Conduc¸a˜o do calor numa barra . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Barra com extremidades mantidas a 0o C . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Barra sujeita a outras condic¸o˜es laterais . . . . . . . . . . . . 40 4.3.1 Barra isolada termicamente tambe´m nas extremidades 40 4.3.2 Barra com uma extremidade isolada termicamente e a outra mantida a 0oC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3.3 Barra com uma extremidade mantida a 0oC e a outra livre para fluxo de calor com o ambiente . . . . . . . . 43 5 Equac¸a˜o de Laplace 45 5.1 Problema de Dirichlet para a equac¸a˜o de Laplace . . . . . . . 46 5.2 Problema do Dirichlet no retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . 47 4 5.3 Problema de Dirichlet no disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6 Conclusa˜o 56 Refereˆncias Bibliogra´ficas 57 A Lema de Riemann-Lebesgue 58 B Lema de Dirichlet 63 C Desigualdade de Bessel 65 D Desigualdade de Cauchy-Schwarz 67 Cap´ıtulo 1 Introduc¸a˜o O principal objetivo deste trabalho e´ a resoluc¸a˜o de algumas equac¸o˜es di- ferenciais parciais, que aparecem em problemas da F´ısica-Matema´tica, com seu respectivo significado e interpretac¸a˜o f´ısica. O desenvolvimento das equac¸o˜es diferenciais esta´ intimamente relacionado com o desenvolvimento da matema´tica. As equac¸o˜es diferenciais comec¸aram com o estudo do Ca´lculo por Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz no se´culo XVII.[1] Apesar da pouca contribuic¸a˜o de Newton na a´rea das equac¸o˜es diferenciais, seu desenvolvi- mento do ca´lculo e seu trabalho nos princ´ıpios ba´sicos da mecaˆnica fornece- ram a base para a aplicac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais no se´culo XVII, espe- cialmente por Euler. Ale´m de ampliar o campo de aplicac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais, muito sobre o desenvolvimento de me´todos para a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais e´ atribu´ıdo aos irma˜os Jakob e Johann Bernoulli. Em seus estudos, Taylor, introduziu o uso de se´ries na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais. Este me´todo de resoluc¸a˜o foi usado em outros problemas por alguns matema´ticos. No inicio do se´culo XVIII, Taylor, dentre outros matema´ticos, acumula- ram grandes conhecimentos a cerca de equac¸o˜es diferenciais, pore´m, ainda na˜o era o bastante, uma vez que na˜o eram conhecidas as propriedades de certas equac¸o˜es e muitas delas na˜o possu´ıam soluc¸a˜o. Ainda na˜o havia uma teoria geral, eram muitas descobertas em casos particulares e foi nesse con- texto que Leonard Euler, contribui para um grande avanc¸o nesse estudo. Euler identificou a condic¸a˜o para que as equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem sejam exatas, desenvolveu a teoria de fatores integrantes no mesmo artigo e encontrou a soluc¸a˜o geral para equac¸o˜es lineares homogeˆneas com coeficientes constantes, estendendo-se tambe´m o resultado para equac¸o˜es na˜o homogeˆneas. Utilizou tambe´m, em meados de 1750, com certa frequeˆncia, se´ries de potencias para resolver equac¸o˜es diferenciais. Propoˆs tambe´m, um procedimento nume´rico, fez contribuic¸o˜es importantes em equac¸o˜es diferen- 6 ciais parciais e deu o primeiro tratamento sistema´tico do ca´lculo de variac¸o˜es. Tornando coeso o conhecimento acumulado ate´ enta˜o. Dentro da histo´ria da evoluc¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais Lagrange deu sua contribuic¸a˜o desenvolvendo completamente o me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros e estendeu alguns resultados em mecaˆnica, mais especificamente, em equac¸o˜es do movimento e energia potencial. No se´culo XIX, a preo- cupac¸a˜o em relac¸a˜o a` equac¸o˜es diferenciais ja´ na˜o e´ a procura por me´todos de resoluc¸a˜o, uma vez que muitos destes ja´ tinham sido descobertos. A atenc¸a˜o se voltou para questo˜es mais teo´ricas como existeˆncia e unicidade, assim como o desenvolvimento de me´todos menos elementares residentes no plano complexo. A aplicac¸a˜o das Se´ries de Fourier para a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferen- ciais na˜o surgiu de imediato. Jean Baptiste Fourier (1768-1830) fez grandes contribuic¸o˜es ao estudo e ca´lculo da difusa˜o de calor e a` soluc¸a˜o de equac¸o˜esdiferenciais[2]. The´orie analytique de la chaleur (A Teoria Anal´ıtica do Calor, 1822)[3] conte´m uso extenso de se´ries consistindo de func¸o˜es trigonome´tricas que hoje chamamos de se´ries de Fourier. Seu nome foi imortalizado pelas se´ries trigonome´tricas que introduziu em 1807 e ate´ hoje causam deslumbra- mentos em matema´ticos, f´ısicos, estat´ısticos e engenheiros. Essas se´ries sa˜o uma da´diva para quem necessita descrever determinada func¸a˜o mais compli- cada em uma forma simples de visualizar e manipular.[2] A histo´ria das se´ries de Fourier mostra como a soluc¸a˜o de um problema f´ısico acaba gerando novas fronteiras na matema´tica. Fourier desenvolveu suas se´ries ao estudar a propagac¸a˜o de calor em corpos so´lidos e para tal, a forma mais simples de uma onda e´ uma func¸a˜o senoidal, Fourier mostrou que qualquer func¸a˜o, por mais complicada que fosse, poderia ser decomposta como uma soma de senos e cossenos.[2] A utilizac¸a˜o das Se´ries de Fourier em equac¸o˜es diferenciais se deu por meio do estudo da propagac¸a˜o do calor. Por volta de 1756, surgiu a primeira descric¸a˜o do calor, por Joseph Black, como fluido, o calo´rico, capaz de escoar atrave´s da mate´ria, produzindo um aumento da temperatura. Sai Carnot, em 1824, estudou hidrodinaˆmica do calo´rico que foi usado por William Thom- som, em 1848, para poder associar calor a uma energia mecaˆnica, o que levou a` primeira lei da Termodinaˆmica. A formulac¸a˜o matema´tica utilizada ate´ nos dias de hoje, incluindo um me´todo para a soluc¸a˜o das equac¸o˜es, foi apresen- tada por Joseph Fourier[4] em 1822, em sua publicac¸a˜o: Teoria anal´ıtica do calor[3], marcando tambe´m o in´ıcio do desenvolvimento dos me´todos da f´ısica-matema´tica. As equac¸o˜es diferenciais mais comuns que aparecem no estudo em questa˜o do presente texto, sa˜o as equac¸o˜es das ondas e a equac¸a˜o do calor. Entretanto a matema´tica que aprendemos nos cursos de Ca´lculo Diferencial e Integral 7 e de Equac¸o˜es Diferenciais e´ insuficiente para responder a alguns problemas aqui tratados. Para obter tais soluc¸o˜es e´ necessa´rio um algo a mais, e neste trabalho sera´ desenvolvido ferramentas matema´ticas para tal. O instrumental matema´tico foi desenvolvido a` proporc¸a˜o em que se fa- zia necessa´rio. No cap´ıtulo 2 iniciamos com alguns conceitos ba´sicos que podem ser considerados como pre´-requisitos para o completo entendimento do texto. A seguir, o problema das equac¸o˜es das ondas e o problema da conduc¸a˜o de calor tratados nos cap´ıtulos 3 e 4, respectivamente, sa˜o estu- dados primeiramente como uma motivac¸a˜o f´ısica e posteriormente com uma ana´lise mais cautelosa do problema, com eˆnfase em aspectos matema´ticos da f´ısica teo´rica, visando enriqueceˆ-la com maior rigor matema´tico, clareza de racioc´ınio e limpeza de argumentos e premissas. Para a obtenc¸a˜o de soluc¸o˜es desses problemas de valores iniciais ou de fronteira, sera´ utilizado o me´todo de resoluc¸a˜o de Fourier, o qual consiste em duas etapas. Na pri- meira utiliza-se a separac¸a˜o de varia´veis para que com isso possamos obter problemas de autovalor para equac¸o˜es diferencias ordina´rias que esta˜o estrei- tamente relacionadas com as equac¸o˜es diferenciais parciais em estudo. Nessa etapa, obte´m-se uma gama de soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial parcial que satisfazem parte das condic¸o˜es de fronteira. A segunda etapa, chamada de Ana´lise de Fourier, tem como ideia principal utilizar a soluc¸a˜o do problema como uma se´rie cujos termos sa˜o produtos dessas soluc¸o˜es por coeficientes adequadamente escolhidos. No pro´ximo e u´ltimo cap´ıtulo sera´ estudado o problema de Dirichlet para a equac¸a˜o de Laplace em certas regio˜es especiais do plano, para isso utilizaremos dos me´todos da se´rie de Fourier. O objetivo neste cap´ıtulo na˜o e´ discutir sobre a solubilidade do problema de Dirichlet, pois requer a teoria de Sturm-Liouville, a qual esta´ fora dos propo´sitos deste trabalho. A F´ısica-Matema´tica esta´ presente em praticamente todas as a´reas da F´ısica, onde o objetivo principal e´ a melhor compreensa˜o dos modelos e te- orias da F´ısica. A histo´ria das se´ries de Fourier mostra como a soluc¸a˜o de um problema f´ısico acaba gerando novas fronteiras na matema´tica. Atual- mente, o me´todo de Fourier constitui um procedimento para a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais parciais lineares homogeˆneas, do qual veio diretamente de alguns problemas de propagac¸a˜o de calor a partir de superposic¸o˜es de soluc¸o˜es particulares, levando a`s se´ries de Fourier. [5] 8 Cap´ıtulo 2 Conceitos Ba´sicos Esse cap´ıtulo e´ dedicado a definir o espac¸o de func¸o˜es e as se´ries de Fou- rier, nos quais utilizaremos no decorrer do trabalho, para isso necessitamos do seguinte conceito: O salto de uma func¸a˜o f no ponto x0 e´ definido por sal(f)(x) = f(x+0 )− f(x−0 ), onde f(x+0 ) = lim x→x+0 f(x) e f(x−0 ) = lim x→x−0 f(x). Logo, se f e´ cont´ınua em x0, sal(f)(x0) = 0. Figura 2.1: Salto de uma func¸a˜o Podemos estender a noc¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua para func¸a˜o cont´ınua por partes. Dizemos que f e´ cont´ınua por partes se f tem um nu´mero finito de descontinuidade em qualquer intervalo limitado e sal(f)(x) e´ finito para todo x ∈ R. No caso em que no ponto onde a func¸a˜o e´ cont´ınua, os limites laterais coincidem com o valor da func¸a˜o no ponto. Denotaremos o espac¸o de func¸o˜es cont´ınuas por partes por Cp(a, b). 9 Iremos considerar as func¸o˜es cont´ınuas por partes em um intervalo (a, b), admitindo, caso houver, um nu´mero finito de saltos finitos. Em particular, no espac¸o de func¸o˜es cont´ınuas por partes, podemos defi- nir: 2.1 Produto escalar de func¸o˜es Definic¸a˜o: Seja V um R-espac¸o vetorial. Um produto interno sobre V e´ uma func¸a˜o que a cada par de vetores v1 e v2 associa-se um nu´mero < v1, v2 >, satisfazendo: < v1, v1 >≥ 0, para todo v1 ∈ V e < v1, v1 >= 0, se, e somente se v1 = 0; < αv1, v2 >= α < v1, v2 >, ∀α ∈ R; < v1 + v2, v3 >=< v1, v3 > + < v2, v3 >; < v1, v2 >=< v2, v1 >. Se f, g ∈ Cp(a, b), o produto escalar de func¸o˜es e´ definido por < f, g >ρ = ∫ b a ρ(x)f(x)g(x)dx, (2.1) em que ρ(x) e´ uma func¸a˜o positiva em (a, b), denominada peso do produto escalar. Tomando g = f , obtemos a norma desta func¸a˜o, ‖f‖2 = < f, f >ρ = ∫ b a ρ(x)f(x)2dx. Sendo ρ(x) > 0, enta˜o < f, f >ρ ≥ 0, podendo ser zero caso f = 0. Logo, a expressa˜o (2.1) define o produto escalar em Cp(a, b), que e´ dependente da escolha da func¸a˜o ρ(x). Observac¸a˜o: No decorrer deste trabalho iremos considerar ρ(x) sempre igual a 1. Podemos relacionar as func¸o˜es de Cp(a, b), com esse produto escalar, com algumas propriedades ana´logas a`s dos de R3: A ”distaˆncia”entre duas func¸o˜es f e g e´ dada pela norma da diferenc¸a f − g ‖f − g‖ = √ < f − g, f − g > (2.2) O aˆngulo θ entre duas func¸o˜es e´ cos(θ) = < f, g > ‖f‖‖g‖ (2.3) 10 As func¸o˜es f e g sera˜o ortogonais em (a, b) caso < f, g >= ∫ b a f(x)g(x)dx = 0 (2.4) 2.2 Func¸o˜es ortonormais Um conjunto de func¸o˜es {en(x)} em Cp(a.b), diz-se ortonormal com relac¸a˜o ao produto interno (2.1) no intervalo (a, b) se elas possuem norma 1 e sa˜o ortogonais entre si. Isso ocorre, quando < em, en >= ∫ b a em(x)en(x)dx = δmn = { 0, se m 6= n 1, se m = n (2.5) No espac¸o vetorial com um produto escalar, a ortonormalidade do conjunto de vetores tem como caracter´ıstica a independeˆncia linear. Isso se aplica, particularmente, a`s func¸o˜es trigonome´tricas. 2.3 Conjunto Completo Dado um conjunto de func¸o˜es {en}, esse conjunto sera´ completo se na˜o existir no mesmo conjunto uma func¸a˜o que seja ortogonal a todas en. < f, en >= ∫ b a f(x)en(x)dx = 0. ∀ en Neste trabalho, iremos supor o caso mais geral de uma grande infinidade de func¸o˜es ortogonaisque ocorrem comumente nos problemas de contorno. 2.4 Se´ries de Fourier Dado um conjunto completo de func¸o˜es ortogonais {en} em Cp(a, b) e uma se´rie convergente para uma func¸a˜o f(x) f(x) = ∞∑ n=0 cnen(x), (2.6) se esta se´rie e´ integra´vel, pode-se determinar os coeficientes cn com um pro- cedimento ana´logo ao do ca´lculo vetorial em R3 : cn =< f, en >= ∫ b a f(x)en(x)dx (2.7) 11 A se´rie acima deve ser convergente, diferenciando assim com o caso do R3, que e´ composta por infinitos vetores como base do espac¸o. Com isso, segue a definic¸a˜o. 2.5 Definic¸a˜o da se´rie de Fourier Dada uma func¸a˜o f(x) e um conjunto {en} de func¸o˜es ortonormais em Cp(a, b), a se´rie de Fourier de f referente a en e´ ∞∑ n=0 cnen, (2.8) onde cn ≡< f, en >= ∫ b a ρ(x)f(x)en(x)dx (2.9) Esta definic¸a˜o na˜o exige que a se´rie seja convergente. Se a se´rie for in- tegra´vel e houver convergeˆncia, enta˜o a expressa˜o de cn e´ a mesma que (2.7). Sa˜o chamados de coeficientes de Fourier de f os coeficientes cn. 2.6 Definic¸a˜o da se´rie de Fourier trigonome´trica Dadas as func¸o˜es ortonormais {ψm} = sen(npix/c)√ c/2 , n = 1, 2, 3... (2.10) e {φn} = cos(npix/c)√ c/2 , n = 1, 2, 3... (2.11) analisaremos o comportamento para um intervalo sime´trico (−c, c). Como os produtos ψnψm e φnφm sa˜o func¸o˜es pares, temos que∫ c −c ψn(x)ψm(x)dx = 2 ∫ c 0 ψn(x)ψm(x)dx = 0 e ∫ c −c φn(x)φm(x)dx = 2 ∫ c 0 φn(x)φm(x)dx = 0 Deve-se atentar que nesse intervalo, estas func¸o˜es na˜o possuem norma 1. Assumindo m = n, resulta 12 ∫ c −c ψn(x)ψn(x)dx = 2 ∫ c 0 ψn(x)ψn(x)dx = 2 e ∫ c −c φn(x)φn(x)dx = 2 ∫ c 0 φn(x)φn(x)dx = 2 A` vista disso, dividindo estas func¸o˜es por √ 2, obtemos dois conjuntos de func¸o˜es ortonormais em (−c.c):{ cos(npix c )√ c } , { sen(npix c )√ c } n = 0, 1, 2... (2.12) E´ fa´cil verificar que os conjuntos na˜o sa˜o completos. Basta que cada func¸a˜o de um destes conjuntos seja ortogonal a todas as func¸o˜es do outro, ou seja∫ c −c sen(npix c )√ c cos(npix c )√ c dx = 0, ∀m,n Ale´m disso, tambe´m existe uma func¸a˜o constante K que e´ tambe´m ortogonal a todas estas func¸o˜es, como decorre∫ c −c K cos(npix c )√ c dx = K√ c c npi sen npix c |c−c = 0 e ∫ c −c K sen(mpix c )√ c dx = −K√ c c npi cos npix c |c−c = 0 O mo´dulo de uma func¸a˜o constante K em (−c, c) referente ao nosso pro- duto escalar e´ ||K||2 = ∫ c −c K2dx = 2K2c Enta˜o, tomando K = 1√ 2c , obtemos ||K||2 = 1 e conclu´ımos que o conjunto de func¸o˜es ortonormais {en} = { 1√ 2c , cosnpix c√ c , sennpix c√ c } (2.13) e´ ”mais completo”do que os conjuntos de func¸o˜es em (2.12), no intervalo (−c, c). Escreveremos a se´rie de Fourier, pela definic¸a˜o (2.8), de uma func¸a˜o f com relac¸a˜o ao conjunto ortonormal (2.13) usando a notac¸a˜o {en} = {e′0, e′n, e′′n}, sendo 13 e′0 = 1√ 2c , e′n = cosnpix c√ c , e′′n = sennpix c√ c , n = 1, 2, 3... Temos ∞∑ n=0 cnen = a ′ 0e ′ 0+ ∞∑ n=1 a′ne ′ n+ ∞∑ n=1 b′ne ′′ n = a′0√ 2c + ∞∑ n=1 a′n√ c cos npix c + ∞∑ n=1 b′n√ c sen npix c , (2.14) os coeficientes de Fourier sa˜o calculados por a′0 =< f, e ′ 0 >= 1√ 2c ∫ c −c f(x)dx a′n =< f, e ′ n >= 1√ c ∫ c −c f(x)cos npix c dx (2.15) b′n =< f, e ′′ n >= 1√ c ∫ c −c f(x)sen npix c dx Podemos definir novos coeficientes que sa˜o equivalentes a0 = 2√ 2c a′0 = 1 c ∫ c −c f(x)dx a′n = 1 c ∫ c −c f(x)cos npix c dx (2.16) b′n = 1√ c b′n = 1 c ∫ c −c f(x)sen npix c dx e substituindo em (2.14), obtemos a expressa˜o mais familiar para a se´rie de Fourier de uma func¸a˜o f de per´ıodo 2c referente ao conjunto (2.13) no intervalo (−c, c) ∞∑ n=0 cnen = 1 2 a0 + ∞∑ n=1 ancos npix c + ∞∑ n=1 bnsen npix c Por motivos histo´ricos, a se´rie de Fourier Trigonome´trica e´ denominada simplesmente por se´rie de Fourier. Usaremos essa mesma designac¸a˜o sempre que na˜o houver confusa˜o com o conceito mais geral de se´rie de Fourier da definic¸a˜o (2.8). 14 2.7 Convergeˆncia pontual Uma se´rie de func¸o˜es definidas em um subconjunto I de R do tipo ∞∑ n=1 un(x), onde un : I → R, convergira´ pontualmente se, para cada x0 ∈ I fixado, a se´rie nume´rica ∞∑ n=1 un(x) convergir. Ou seja, dados � > 0 e x0 ∈ I, existe N ∈ Z que e´ dependente de � e de x0 de tal forma que∣∣∣∣∣ m∑ j=n uj(x0) ∣∣∣∣∣ < � ∀n < m, tais que n ≥ N . Teorema 2.7.1. Seja u : R→ R, perio´dica com per´ıodo 2pi e u ∈ C℘, onde C℘ designa o espac¸o vetorial dos polinoˆmios com coeficientes reais. Enta˜o em todo ponto x onde existem e sa˜o finitos os limites lim h→o+ u(x+ h)− u(x+) h e lim h→o− u(x+ h)− u(x−) h a se´rie de Fourier da u converge para 1 2 { u(x+) + u(x−) } Demonstrac¸a˜o. Seja x ∈ R tal que as derivadas laterais existam, ou seja, supondo que u ′ +(x) = lim h→0+ u(x+ h)− u(x+) h < +∞ e u ′ −(x) = lim h→0− u(x+ h)− u(x−) h < +∞ Consideremos a sequeˆncia das somas parciais da se´rie de Fourier da u a0 2 + n∑ κ=1 [aκcos(κx) + bκsen(κx)] sendo aκ e bκ os coeficientes de Fourier dados como em (2.16).De acordo com a observac¸a˜o apo´s o Lema de Dirichlet, vide apeˆndice B, a soma dos n primeiros termos da se´rie, a sequeˆncia das reduzidas e´ dada por Sn(x) = 1 pi ∫ pi −pi u(t)Dn(t− x)dt 15 Consideremos enta˜o, a mudanc¸a de varia´veis, a saber s = t− x→ t = s+ x Logo, para t = −pi enta˜o s = −pi − x pata t = pi enta˜o s = pi − x Enta˜o Sn(x) = 1 pi ∫ pi −pi u(s+ x)Dn(s)ds Sendo u perio´dica, podemos ainda escrever que Sn(x) = 1 pi ∫ pi −pi vu(x+ s)Dn(s)ds ou ainda, Sn(x) = 1 pi {∫ 0 −pi u(x+ s)Dn(s)ds+ ∫ pi 0 u(x+ s)Dn(s)ds } Resulta da´ı, que para provarmos o Teorema em questa˜o, e´ suficiente pro- varmos que quando n → +∞ a primeira parcela de Sn(x) converge para u(x−)/2 e a segunda parcel converge para u(x+)/2. Contudo, antes de pro- varmos isto, observemos que pelo fato de 1 2 + n∑ κ=1 cos(κs) = Dn(s) segue-se que Dn e´ uma func¸a˜o par e ale´m disso∫ pi −pi ( 1 2 + n∑ κ=1 ) ds = ∫ pi −pi Dn(s)ds e 1 2 [pi − (−pi)] + n∑ κ=1 ∫ pi −pi cos(κs) = ∫ pi −pi Dn(s)ds donde, ∫ pi −pi Dn(s)ds = pi. (2.17) Contudo, face a paridade de Dn, segue-se de (2.17) que∫ pi 0 Dn(s)ds = pi 2 e ∫ 0 −pi Dn(s)dx = pi 2 (2.18) 16 Retornando-se enta˜o, a` convergeˆncia anterior, segue-se de (2.18) que 1 pi ∫ pi 0 u(x+ s)Dn(s)ds− 1 2 u(x+) = 1 pi ∫ pi 0 u(x+ s)Dn(s)ds− 1 pi ∫ pi 0 u(x+)Dn(s)ds = 1 pi ∫ pi 0 [u(x+ s)− u(x+)]Dn(s)ds (2.19) = 1 pi ∫ pi 0 [u(x+ s)− u(x+)]sen [ (n+ 1 2 )s ] 2sen s 2 ds = 1 pi ∫ pi 0 [u(x+ s)− u(x+)] 2sen s 2 .sen[(n+ 1 2 )s]ds Aplicando agora o Lema de Riemann-Lebesgue, vide apeˆndice A, podemos concluir que a integral em (2.19) converge para zero. Para isso, e´ necessa´rio provarmos que a func¸a˜o v :]0, pi]→ R s 7→ v(s) = u(x+ s)− u(x +) 2sen ( s 2 ) e´ cont´ınua por partes em ]0, pi] . Embora v na˜o esteja definida no zero, devemos provar que lim s→0+ v(s) < +∞. De fato, lim s→0+ u(x+ s)− u(x+) 2sen s 2 = lim s→0+ ( u(x+ s)− u(x+) s 2 )( s/2 2sen s 2 ) = lim s→0+ ( u(x+ s)− u(x+) s 2 )( s/2 sen s 2 ) Por hipo´tese, o lim s→0+ ( u(x+ s)− u(x+) s ) < +∞ e como lim s→ sen(s/2 s/2 = 1, segue-se que lim s→0v(s) < +∞ Analogamente, prova-se que ∫ 0 −pi u(x+s)Dn(s)ds = u(x −) conforme quer´ıamos demonstrar. Corola´rio 2.7.2. Em particular, se f e´ deriva´vel enta˜o a sua se´rie de Fourier convergente pontualmente para f(x) em todo ponto. Teorema 2.7.3. O desenvolvimento em se´rie de Fourier de uma func¸a˜o continuamente diferencia´vel por partes f em C℘([−pi, pi]) converge pontual- mente na reta inteira. Ale´m disso, se F designa a extensa˜o perio´dica f , 17 enta˜o o valor da se´rie e´ F (x0) quando x0 e´ um ponto de continuidade de F e F (x+0 )− F (x−0 ) 2 quando x0 e´ um ponto de descontinuidade de F . 2.8 Convergeˆncia uniforme Se para uma se´rie de func¸o˜es ∞∑ n=1 un(x), dado � > 0, existir um nu´mero inteiro N , que dependa unicamente de �, tal que∣∣∣∣∣ m∑ j=n uj(x0) ∣∣∣∣∣ < � ∀ m > n, n ≥ N. dizemos que esta convergira´ uniformemente. Teorema 2.8.1. Seja u : R → R uma func¸a˜o cont´ınua, perio´dica com per´ıodo 2pi, com derivada cont´ınua por partes. Enta˜o a se´rie de Fourier da u converge para u uniforme e absolutamente em [−pi, pi]. Demonstrac¸a˜o. De acordo com a convergeˆncia pontual, podemos escrever ∀x ∈ R u(x) = a0 2 + +∞∑ κ=1 [aκcos(κx) + bκsen(κx)] sendo aκ e bκ coeficientes de Fourier da u. Assim, a se´rie de Fourier da u, converge pontualmente para u. Mostraremos que, na verdade, tal se´rie converge uniformemente lanc¸ando ma˜o do ”crite´rio de Weiestrass”ficando provado o teorema. Suponhamos fκ(x) = aκcos(κx) + bκsen(κx) Provaremos que ∀x ∈ [−pi, pi]e ∀κ ∈ N, ∃Mκ ≥ 0 tal que |fκ(x)| ≤ Mκ e +∞∑ κ=1 Mκ < +∞. De fato, seja a se´rie de Fourier de u′. Logo ακ = 1 pi ∫ pi −pi u′(x)cosκxdx e βκ = 1 pi ∫ pi −pi u′(x)senκxdx (2.20) 18 Integrando-se a primeira integral por partes, obtemos ακ = 1 pi { u(x)cos(κx)|pi−pi + ∫ pi −pi u(x)κsen(κx)dx } (2.21) = 1 pi { [u(pi)cos(κpi)− u(−pi)cos(−κpi)] + κ ∫ pi −pi u(x)sen(κx)dx } = 1 pi { [u(pi)− u(−pi)]cos(κpi) + κ ∫ pi −pi u(x)sen(κx)dx } Pela periodicidade de u, isto e´, como u(x) = u(x+ 2pi) ∀x ∈ R, temos em particular que u(−pi) = u(pi). Logo, de (2.21) obtemos ακ = βκ (2.22) Analogamente, de (2.20) integrando-se por partes a segunda integral prova-se que βκ = −κaκ (2.23) Agora, tomemos x ∈ [−pi, pi] e κ ∈ N, gene´ricos. Enta˜o, por Cauchy-Schwarz, vide apeˆndice D, |fκ(x)| = |aκcos(κx) + bκsen(κx)| ≤ ≤ (a2κ + b2κ) 1 2 [cos2(κx) + sen2(κx)] 1 2 = (a2κ + b 2 κ) 1 2 Resta-nos provar que +∞∑ κ=1 (a2κ + b 2 κ) 1 2 < +∞ Com efeito de (2.22) e (2.23), temos (a2κ + b 2 κ) 1 2 = ( β2κ κ2 + α2κ κ2 ) 1 2 = 1 κ (α2κ + β 2 κ) 1 2 Assim, por Cauchy-Schwarz n∑ κ=1 (a2κ + b 2 κ) 1 2 = n∑ κ=1 (α2κ + β 2 κ) 1 2 ≤ ≤ ( n∑ κ=1 1 κ2 ) 1 2 ( n∑ κ=1 (α2κ + β 2 κ) ) 1 2 ≤ ( +∞∑ κ=1 1 κ2 ) 1 2 ( +∞∑ κ=1 (α2κ + β 2 κ) ) 1 2 19 De acordo com a Desigualdade de Bessel, vide apeˆndice C, temos( +∞∑ κ=1 (α2κ + β 2 κ) ) 1 2 < +∞, e tambe´m ( +∞∑ κ=1 1 κ2 ) 1 2 < +∞ posto que esta e´ uma se´rie geome´trica. Concluindo, temos que Sn = n∑ κ=1 (α2κ + β 2 κ) 1/2 e´ uma sequeˆncia crescente e limitada superiormente, portanto convergente. Consequentemente a se´rie +∞∑ κ=1 (a2κ+b 2 κ) < +∞, o que encerra a demonstrac¸a˜o da convergeˆncia uniforme. 20 Cap´ıtulo 3 Equac¸a˜o das Ondas Considere uma corda ela´stica com dimenso˜es pequenas em relac¸a˜o ao seu comprimento e presa em suas extremidades. Para o instante t = 0 a corda esta´ completamente em repouso, estendida entre dois ponto fixos 0 e c. A partir desse instante, por algum est´ımulo externo, a corda passa a oscilar. Para simplificar, iremos supor que a corda permanec¸a sempre no plano xy. Devido ao seu movimento, a corda fica sujeita a uma tensa˜o de restaurac¸a˜o ~ϑ. Essa tensa˜o aparece como uma forc¸a tangente a` corda, possuindo uma componente horizontal ~h e uma vertical ~v, tal que: ~ϑ = ~v+~h. Em um dado instante t e em um ponto x, a amplitude da oscilac¸a˜o da corda e´ dada por y(x, t) e o aˆngulo alfa entre a tangente e a horizontal e´ tanα = |~v|/|~h| = v(x, t)/h(x, t) = ∂y/∂x. Denotaremos a derivada parcial de y em relac¸a˜o x por yx, logo podemos escrever v(x, t) = hyx. Considere um elemento infinitesimal da corda de comprimento ∆c. Su- pondo que os deslocamentos infinitesimais sa˜o muito menores que a extensa˜o da corda, y(x, t) � c, uma variac¸a˜o no comprimento da corda sera´ propor- cional a uma variac¸a˜o no eixo x. Sendo ρ a densidade linear da corda, enta˜o a massa do elemento sera´ ρ∆c ≈ ρ∆x. Aplicando a segunda lei de Newton, obtemos: ρ∆x~γ = ~F (x, t) = ~ϑ(x+ ∆x, t)− ~ϑ(x, t), (3.1) sendo desprezada qualquer forc¸a externa. ~F (x, t) representa a forc¸a resul- tante das tenso˜es no elemento e ~γ o vetor acelerac¸a˜o que possui a mesma direc¸a˜o e sentido que ~F (x, t). Da hipo´tese que ~h da tensa˜o e´ constante, o movimento de oscilac¸a˜o da corda ocorre somente na direc¸a˜o vertical. Isso significa que ~γ tera´ direc¸a˜o vertical e sera´ igual a ∂2y/∂x2. Comparando as componentes verticais, temos 21 ρ∆xytt = v(x+ ∆x, at)− v(x, t) = hyx(x+ ∆x, t)− hyx(x, t). (3.2) Ou seja, ytt = h ρ ( yx(x+ ∆x, t)− yx(x, t) ∆x ) Tomando o limite para quando ∆x→ 0, pela definic¸a˜o de derivada, obtemos ytt(x, t) = a 2yxx(x, t) (3.3) sendo h/ρ = a2 > 0. Esta equac¸a˜o e´ uma equac¸a˜o diferencial linear, de segunda ordem, com derivadas parciais e descreve as oscilac¸o˜es da corda ela´stica para as condic¸o˜es adotadas. Como por hipo´tese, quando em posic¸a˜o de repouso, a corda esta´ com as extremidades fixas, temos duas condic¸o˜es ba´sicas y(0, t) = 0, y(c, t) = 0 Adicionaremos tambe´m uma velocidade inicial, obtendo o problema de con- torno ytt = a 2yxx y(0, t) = 0 y(c, t) = 0 yt(x, 0) = g(x) (3.4) onde g(x) e´ uma func¸a˜o dada. 3.1 Resoluc¸a˜o por se´ries de Fourier O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis e a teoria das se´ries de Fourier sa˜o utilizados para resolver o problema de contorno da corda vibrante com ex- tremidades fixas: ytt = a 2yxx, em R, y(0, t) = y(c, t) = 0, para t ≥ 0, y(x, 0) = f(x), yt(x, 0) = g(x), para 0 ≤ x ≤ c. (3.5) Inicialmente, iremos usar a separac¸a˜o das varia´veis para determinar as func¸o˜es y(x, t) = F (x)G(t) que satisfac¸am a` equac¸a˜o das ondas e a`s condic¸o˜es de fronteira, e usar essas func¸o˜es para compor uma func¸a˜o que satisfac¸a tambe´m a`s condic¸o˜es iniciais. Substituindo na equac¸a˜o das ondas temos F ′′ F = G′′ a2G . (3.6) 22 Podemos observar em (3.6) que o lado esquerdo depende somente de x, e o lado direito somente de t. Implicando em um paraˆmetro σ ( independente de x e de t), o qual e´ determinado de modo que satisfac¸a as condic¸o˜es de fronteira por y(x, t) = F (x)G(t). Logo, de (3.6), temos: F ′′ − σF = 0, (3.7) G′′ = σa2G. (3.8) As condic¸o˜es de fronteira implicam F (0) = F (c) = 0, pois de outro modo, G(t) = 0, ∀ t. Para essas condic¸o˜es, acarretaria y(x, t) = 0, para todo x e t, o que na˜o interessa. Dessa forma, chegamos ao seguinte problema de autovalores: determinar os valores σ, para os quais o problema{ F ′′ − σF = 0, 0 < x < c, F (0) = F (c) = 0, (3.9) tenha soluc¸o˜es F (x) 6= 0 Antes de seguirmos em frente, agora procedemos no sentido de analisar quais os valores de σ que conduzem a soluc¸o˜es F (x) do problema dado em (3.9). Na˜o estamos interessados em obter y ≡ 0, portanto queremos apenas soluc¸o˜es F na˜o identicamente nula. Ha´ treˆs possibilidades para σ, conforme segue. i) Para σ > 0,a soluc¸a˜o geral de (3.9) e´ F (x) = k1e √ σx + k2e −√σx. Portanto, o par (k1, k2) de constantes devera´ser soluc¸a˜o do sistema{ k1 + k2 = 0 k1e √ σc + k2e −√σc = 0. A u´nica soluc¸a˜o desse sistema e´ k1 = k2 = 0. Implicando F ≡ 0, o que na˜o interessa. ii) Se σ = 0, a soluc¸a˜o de (3.9) e´ da forma F (x) = k1x+ k2, e, para satisfazer a`s condic¸o˜es, devemos ter k2 = 0 e k1c+ k2 = 0, implicando k1 = k2 = 0 e, portanto, F ≡ 0. 23 iii) Se σ < 0, fazemos σ = −λ2, e a soluc¸a˜o geral de (3.9) sera´ da forma F (x) = k1 cos(λx) + k2sen(λx). Tal que, devemos ter k1 = 0 e k2sen(λc) = 0. Na˜o queremos k2 = 0, portanto sin(λc) = 0, o que implica λc = npi, onde n e´ um inteiro na˜o-nulo (n = ±1,±2, ...). Os valores de −σ = λ2: λ2n = n2pi2 c2 (3.10) sa˜o denominados os valores pro´prios ou autovalores do problema dado em (3.9), e as func¸o˜es Fn(x) = sen (npix c ) (3.11) sa˜o chamadas as func¸o˜es pro´prias ou autofunc¸o˜es do problema dado em (3.9). Na˜o e´ necessa´rio considerar os valores negativos de λn, pois assim conduziria apenas a uma autofunc¸a˜o diferindo apenas no sinal de outra obtida para um λn positivo. Temos que, para cada σn, a soluc¸a˜o geral de (3.8) e´ Gn(t) = ancos npiat c + bnsen npiat c , onde an e bn sa˜o constantes arbitra´rias. Portanto, as func¸o˜es yn(x, t) = ansen npix c cos npiat c + bnsen npix c sen npiat c (3.12) satisfazem a`s condic¸o˜es de fronteira e sa˜o soluc¸o˜es para a equac¸a˜o da onda. Prosseguindo com o me´todo de Fourier, o pro´ximo passo e´ a determinac¸a˜o das constantes an e bn, de forma que a soluc¸a˜o y(x, t) do problema de valor inicial e de fronteira (3.5) seja y(x, t) = ∞∑ n=1 ( ansen npix c cos npiat c + bnsen npix c sen npiat c ) (3.13) Implicando, primeiramente, que f(x) = ∞∑ n=1 ansen npix c (3.14) 24 e, para que isso ocorra, e´ necessa´rio que an = 2 c ∫ c 0 f(x)sen npix c dx (3.15) Derivando a se´rie (3.13) termo a termo, podemos determinar os bn de modo formal. Utilizando-se enta˜o, da segunda condicional inicial g(x) = ∞∑ n=1 npia c bnsen npix c (3.16) Logo, npia c bn = 2 c ∫ c 0 g(x)sen npix c dx de onde obtemos bn = 2 npia ∫ c 0 g(x)sen npix c dx (3.17) E´ importante salientar que nenhuma hipo´tese fora feita sobre f e g. O me´todo utilizado foi elegante, pore´m incauto em relac¸a˜o ao rigor. Prossegui- remos nesta sec¸a˜o colocando e demonstrando as seguintes questo˜es: i) a se´rie (3.13) converge?; ii) (3.13) e´ definida como uma func¸a˜o cont´ınua em R?; iii) define ela uma func¸a˜o de classe C2 em R, que seja soluc¸a˜o do problema de valor inicial e de fronteira?; iv) quais as condic¸o˜es sobre f para ocorrer (3.14)? v) quais as condic¸o˜es sobre g para que (3.16) ocorra? Teorema 3.1.1. Supondo f e g func¸o˜es dadas em [0, c] tais que f , f ′, f ′′, g, g′, sejam cont´ınuas e f ′′′ e g′′ sa˜o seccionalmente cont´ınuas. Iremos supor tambe´m que f(0) = f(c) = f ′′(0) = f ′′(c) = g(0) = g(c) = 0. A` vista disso: i) an e bn esta˜o bem definidas por (3.15) e (3.17), respectivamente; ii) as igualdades (3.14) e (3.16) ocorrem; iii) (3.13) define uma func¸a˜o cont´ınua e de classe C2 em R, satisfazendo a` equac¸a˜o das ondas. Demonstrac¸a˜o. i) e´ consequeˆncia direta do fato de f e g serem cont´ınuas em [0, c], implicando que as integrais em (3.15) e (3.17) existem. A parte ii) deriva das hipo´teses de f e g serem de classe C1 em [0, c] e de que f(0) = f(c) = g(0) = g(c) = 0. Assim, f e g podem ser estendidas continuamente a toda a reta de modo a serem ı´mpares e perio´dicas de per´ıodo 2c. Antes de seguirmos em frente com as demonstrac¸o˜es, introduziremos o Teorema de Fourier. 25 Teorema 3.1.2. TEOREMA DE FOURIER. Seja f : R → R uma func¸a˜o seccionalmente diferencia´vel e de per´ıodo 2c. Enta˜o a se´rie de Fourier da func¸a˜o f dada, converge em cada ponto x para 1 2 [f(x+ 0) + f(x− 0)] = 1 2 a0 + ∞∑ n=1 ( ancos npix c + bnsen npix c ) Demonstrac¸a˜o. Para provar que (3.13) define uma func¸a˜o cont´ınua em R, basta mostrar que a se´rie ∞∑ n=1 (|an|+ |bn|) converge, pois esta´ e´ uma majorante da se´rie (3.13). Sendo assim, a integrac¸a˜o por partes, treˆs vezes, e as hipo´teses f(0) = f(c) = f ′′(0) = f ′′(c) = 0 nos da˜o an = − 2c 2 n3pi3 ∫ c 0 f ′′′(x)cos npix c dx. (3.18) Analogamente, npia c bn = − 2c n2pi2 ∫ c 0 g′′(x)sen npix c dx (3.19) De (3.18) e (3.19) segue |an| ≤ k n3 e |bn| ≤ k ′ n3 onde k e k′ sa˜o constantes. Dessa forma, as se´ries ∑ (|an|+|bn|) e ∑ (n|an|+ n|bn|) convergem, mostrando que y e´ cont´ınua em R e de classe C1 em R Foi mostrado, tambe´m, que as derivadas primeiras de y podem ser obtidas derivando-se (3.13) termo a termo: ∂y ∂x = ∞∑ n=1 ( an npi c cos npix c cos npiat c + bn npi c cos npix c sen npiat c ) , (3.20) ∂y ∂t = ∞∑ n=1 ( −annpia c sen npix c sen npiat c + bn npia c sen npix c cos npiat c ) (3.21) De (3.18) e (3.19), obtemos |an| ≤ k ′′ n3 |cn|, |bn| ≤ k ′′′ n3 |dn|, (3.22) 26 sendo cn e dn denominados coeficientes de Fourier de f ′′′ e g′′, respectiva- mente. Logo, utilizando a desigualdade ab ≤ 1 2 (a2 + b2) em (3.22), tem-se n2|an| ≤ k ′′ 2 ( 1 n2 + |cn|2 ) , n2|bn| ≤ k ′′′ 2 ( 1 n2 + |dn|2 ) e ∞∑ n=1 (n2|an|+ n2|bn|) ≤ k ′′ + k′′′ 2 ( ∞∑ n=1 1 n2 + ∞∑ n=1 |cn|2 + ∞∑ n=1 |dn|2 ) (3.23) Em virtude da Desigualdade Bessel, vide apeˆndice C, as duas u´ltimas se´ries em (3.23) convergem. Logo, a convergeˆncia do primeiro membro de (3.23), implica que y seja de classe C2 em R e as derivadas segundas de y podem ser obtidas derivando (3.20) e (3.21), termo a termo. A` vista disso, verificar-se-a´, que y satisfaz a` equac¸a˜o da onda. 3.2 Energia da corda vibrante Seja y(x, t) uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o ρ(x)ytt = τytt + h1(x, t, y) (3.24) onde fora designado por h1(x, t, y) a densidade linear de forc¸as externas ao longo da corda. Adicionaremos a hipo´tese de que τ(t) = t seja independente do tempo. Fazendo a suposic¸a˜o de que y satisfac¸a a` equac¸a˜o da onda em R, e seja uma func¸a˜o de classe C1 em R e de classe C2 em R. Multiplicando (3.24) por yt e integrando com relac¸a˜o a x entre 0 e c, temos∫ c 0 ρ(x)yttytdx = ∫ c 0 τyttytdx+ ∫ c 0 h1(x, t, y)dx. (3.25) Atentando-se ao fato de que yttyt = 1 2 (y2t )t e realizando integrac¸a˜o por partes na segunda integral de (3.25), tem-se 1 2 d dt ∫ c 0 ρ(x)y2t dx = τyxyt|c0 − ∫ c 0 τyxytxdx+ ∫ c o h1(x, t, y)ytdx que pode ser reescrito da seguinte forma d dt [ 1 2 ∫ c 0 ρ(x)y2t dx+ 1 2 ∫ c 0 τy2xdx ] = τyxyt|c0 + ∫ h1(x, t, y)ytdx. (3.26) 27 A expressa˜o dada pela equac¸a˜o (3.26) e´ chamada equac¸a˜o da energia. A relac¸a˜o abaixo K(t) = 1 2 ∫ c 0 ρ(x)y2t dx (3.27) e´ a energia cine´tica da corda e V (t) = 1 2 ∫ c 0 τy2xdx (3.28) representa a energia potencial da corda e E(t) = K(t) + V (t) e´ a energia total da corda. Supondo que y seja soluc¸a˜o de (3.5); nesse caso, h1 = 0 e yt(0, t) = yt(c, t) = 0. Desse modo, (3.26) reduz-se a ∂ ∂t [ 1 2 ∫ c 0 ρ(x)y2t dx+ 1 2 ∫ c 0 τy2xdx ] , (3.29) implicando que a energia E(t) seja constante no tempo. Portanto, sem a ac¸a˜o de forc¸as externas, tem-se o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia para o fenoˆmeno de vibrac¸a˜o da corda com extremidades fixas. Quando isso ocorre, diz-se que o sistema e´ conservativo. Para o caso de vibrac¸a˜o da corda, sem ac¸a˜o de forc¸as externas, com condic¸o˜es de fronteira semelhante, pode-se tirar igual conclusa˜o. A energiainicial de corda vibrante e´ E(0) = 1 2 ∫ c 0 ρ(x)g(x)2dx+ 1 2 ∫ c 0 τf ′(x)2dx, (3.30) e o princ´ıpio de conservac¸a˜o de energia nas condic¸o˜es dadas em (3.5) diz que essa energia e´ mantida. Teorema 3.2.1. TEOREMA DE UNICIDADE. A soluc¸a˜o do problema de valor inicial e de fronteira, caso exista, e´ u´nica ρ(x)ytt = τyxx + k1(t, x), em R y(0, t) = h1(t), y(c, t) = h2(t), t > 0 y(x, 0) = f(x), yt(x, 0) = g(x), 0 < x < c. (3.31) Demonstrac¸a˜o. Suponha que (3.31) tenha duas soluc¸o˜es y1 e y2, de classe C 2 em R e cont´ınua em R. A` vista disso, as seguintes relac¸o˜es de compatibilidade entre os dados iniciais e os de fronteira sera˜o: h1(0) = f(0), h2(0) = g(c). A func¸a˜o y = y1− y2 e´ de classe C2 em R, cont´ınua em R e satisfaz ao seguinte problema de valor incial e de fronteira: 28 ρ(x)ytt = τyxx, y(0, t) = y(c, t) = 0, y(x, 0) = yt(x, 0) = 0 (3.32) A energia incial E(0) e´ 0. Enta˜o, de (3.29), conclu´ı-se 1 2 ∫ c 0 ρ(x)y2t dx+ 1 2 ∫ c 0 τy2xdx = 0, implicando yt(x, t) = yx(x, t) = 0, constante, para (x, t) em R. Utilizando-se da continuidade de y em R, e as condic¸o˜es iniciais, podemos concluir que y = 0 em R, ou seja, y1 = y2. Tem-se assim, a unicidade de soluc¸a˜o para (3.31). 3.3 Vibrac¸o˜es forc¸adas Estudaremos agora o problema de vibrac¸a˜o de uma corda com extremi- dades fixas e sujeita a forc¸as externas. O deslocamento y(x, t) e´ a soluc¸a˜o para o problema de valor inicial e de fronteira: ytt = a 2yxx + g(x, t), em R, y(0, t) = y(c, t) = 0, para t > 0, y(x, 0) = fo(x), para 0 ≤ x ≤ c, yt(x, 0) = f1(x), para 0 ≤ x ≤ c, (3.33) Procederemos informalmente, como feito anteriormente, para descobrir um candidato a` soluc¸a˜o na forma y(x, t) = ∞∑ n=1 an(t)sen npix c , (3.34) com coeficientes cn(t) a determinar. Para cada t, iremos supor que a func¸a˜o g(x, t) possa ser escrita como uma se´rie de Fourier g(x, t) = ∞∑ n=1 gn(t)sen npix c (3.35) Utilizando-se da derivac¸a˜o termo a termo, obtemos ∞∑ n=1 a ′′ nsen npix c = −a2 ∞∑ n=1 n2pi2 c2 ansen npix c + ∞∑ n=1 gn(t)sen npix c 29 Segue-se enta˜o, que a ′′ n + n2pi2a2 c2 = gn(t), ou seja, a ′′ n + (2piωn) 2an = gn, ∀ t > 0 (3.36) onde ωn = na/2c e´ a frequeˆncia do n-e´simo harmoˆnico da corda livre, con- forme veremos na pro´xima secc¸a˜o. Usando as condic¸o˜es iniciais de (3.33), pode-se concluir que f0(x) = ∞∑ n=1 an(0)sen npix c , (3.37) f1(x) = ∞∑ n=1 a ′ n(0)sen npix c , (3.38) portanto, devemos ter an(0) = 2 c ∫ c 0 f0sen npix c dx, (3.39) a ′ n(0) = 2 c ∫ c 0 f1sen npix c dx, (3.40) Logo, cn(t) sera´ soluc¸a˜o de um problema de valor inicial para a equac¸a˜o dada em (3.36), (3.39) e (3.40). A soluc¸a˜o geral de (3.36) e´ da seguinte forma an(t) = K1cos2piωnt+K2sen2piωnt+ aˆn(t) onde aˆn(t) e´ uma soluc¸a˜o particular de (3.36) e K1 e K2 sa˜o constantes arbitra´rias que podem ser encontradas de acordo com as condic¸o˜es iniciais, satisfazendo (3.39) e (3.40). Omitiremos a discussa˜o das hipo´teses sobre a diferenciabilidade de g, f0 e f1, para provar que a se´rie (3.34) converge e que define uma soluc¸a˜o (3.33), pois ja´ fora feito argumentos semelhantes anteriormente. 3.4 Harmoˆnicos, frequeˆncia, amplitude Na resoluc¸a˜o de (3.5) pelo me´todo de Fourier, encontramos func¸o˜es y(x, t) = ansen npix c cos npiat c + bnsen npix c sen npiat c que sa˜o soluc¸o˜es e satisfazem a`s condic¸o˜es de fronteira da equac¸a˜o ytt = a 2yxx. Essas func¸o˜es representam ondas estaciona´rias, pela raza˜o de 30 que para x, tal que npix/c = kpi, isto e´, x = kc/n, k = 0, 1, 2...n, tem-se sen(npix/c) = 0. Enta˜o esses pontos, e somente esses, permanecem para- dos se a vibrac¸a˜o da corda dor descrita pela func¸a˜o yn, correspondendo ao caso de vibrac¸a˜o com as extremidades da corda fixas e condic¸o˜es iniciais y(x, 0) = ansen(npix/c) e yt(x, 0) = (npia/c)bnsen(npix/c). Esses pontos sa˜o denominados de no´s da onda estaciona´ria. Os pontos me´dios entre os no´s consecutivos sa˜o os ventres ou antino´s. O dobro da distaˆncia entre dois no´s e´ o comprimento de onda, dessa forma o comprimento de onda da onda estaciona´ria yn e´ 2c/n. A figura a seguir ilustra tais conceitos. Figura 3.1: Onda estaciona´ria A func¸a˜o yn e´ tambe´m chamada de o n-e´simo harmoˆnico ou a n-e´sima toˆnica. A primeira toˆnica recebe a nomenclatura de toˆnica principal ou harmoˆnico fundamental, e as sucessoras sa˜o as supertoˆnicas. Fazendo αn =√ a2n + b 2 n e θn = arctg(an/bn), tem-se yn da seguinte forma yn(x, t) = αnsen ( npiat c + θn ) sen npix c (3.41) sendo θ denominado fase. A corda possui uma configurac¸a˜o descrita por uma seno´ide para cada t fixo. Para valores de t tais que (npiat/c) + θn = kpi, k = 0, 1, 2..., a corda passa pela posic¸a˜o de equil´ıbrio, e nesses momentos a velocidade e´ ma´xima. A velocidade sera´ nula para os valores de t tais que sen[(npiat/c) + θn] = ±1, onde a corda tem seus desvios ma´ximos da posic¸a˜o de equil´ıbrio. O movimento de cada ponto x da corda e´ regido pela lei senoidal de amplitude αsen(npix/c), per´ıodo Tn(2c/na) e frequeˆncia ωn = T − n 1 = (na/2c). A` vista disso, todos os elementos da corda oscilam com a mesma frequeˆncia de vibrac¸a˜o e constante de fase, ou seja, tem a mesma dependeˆncia temporal, caracterizando-se como os modos normais de vibrac¸a˜o. Enta˜o ωn = na 2c e αnsen npix c 31 recebem o nome de, respectivamente, frequeˆncia ou frequeˆncia natural e am- plitude do n-e´simo harmoˆnico. Pode-se concluir tambe´m que as frequeˆncias das supertoˆnicas sa˜o mu´ltiplos da frequeˆncia da toˆnica. Figura 3.2: Modos normais de vibrac¸a˜o A energia do n-e´simo harmoˆnico. Consideremos o n-e´simo harmoˆnico yn, de uma corda vibrante com suas extremidades fixas. Da expressa˜o (3.41), segue ∂yn ∂t (x, t) = αn npia c cos ( npiat c + θn ) sen npix c , ∂yn ∂t (x, t) = αn npi c sen ( npiat c + θn ) cos npix c . Usaremos as expressa˜o (3.27) e (3.28) para calcularmos a energia de yn En = 1 2 ∫ c 0 ρ(x)α2n n2pi2a2 c2 cos2βsen2 (npix c ) dx + 1 2 ∫ c 0 τ(x)α2n n2pi2 c2 sen2βcos2 (npix c ) dx, onde βn = npiac −1t + θn. Fazendo a suposic¸a˜o de que ρ e τ sa˜o constantes, temos En = n2pi2 4c α2n(ρa 2cos2βn + τsen 2βn) fazendo c2 = τρ−1, temos que En = n2pi2 4c ρa2α2n = Mpi 2α2nω 2 n, (3.42) 32 onde M = cρ e´ a massa da corda, ωn e´ q frequeˆncia do n-e´simo harmoˆnico e αn e´ a amplitude ma´xima desse harmoˆnico. A energia da corda e´ a soma das energias dos va´rios harmoˆnicos. A energia E da corda e´ calculada por E = 1 2 ∫ c 0 ρ[g(x)]2dx+ 1 2 ∫ c 0 τ [f ′(x)]2dx. Utilizando as expresso˜es (3.14) e (3.16) juntamente com as relac¸o˜es de orto- gonalidade, tem-se E = 1 2 ∞∑ n=1 ρ n2pi2a2 c2 b2n c 2 + 1 2 ∞∑ n=1 τ n2pi2 c2 a2n c 2 , ou seja, E = 1 2 ∞∑ n=1 n2pi2 4c ρ2a2α2n, mostrando que E = ∑ En. Enta˜o, como foi mostrado, basta calcular a energia no instante t = 0, uma vez que a corda vibrante, com extremidades fixas, forma um sistema conservativo. 33 Cap´ıtulo 4 Equac¸a˜o do Calor A deduc¸a˜o sera´ apresentada de modo cla´ssico, utilizando-se de alguns conceitos que sa˜o heranc¸as de quando se pensava no calor como fluido: ca- pacidade e fluxo de calor. Considere um so´lido de formato qualquer ocupando uma regia˜o do espac¸o proximamente a uma fonte de calor. A capacidade calor´ıfica espec´ıfica, que denominaremos por C0, do corpo e´ a quantidadede calor necessa´ria para elevar uma unidade de volume do corpo em uma unidade de temperatura. Supomos que C0 e´ uma constante, mas e´ trivial concluir que a capacidade calor´ıfica espec´ıfica depende do material de que o corpo e´ feito. Imaginando uma superf´ıcie fechada S de volume V totalmente contida no interior do so´lido. Denotaremos a temperatura em um instante t no ponto P de coordenada (x, y, z) pela func¸a˜o τ(x, y, z). Desta forma, a quantidade de calor acumulado nessa superf´ıcie fechada necessa´ria para atingir uma tempe- ratura τ em P , em um intervalo de tempo t, pode ser expressada por∫ ∫ ∫ V C0τ(x, y, z)dv Logo, a derivada dessa integral nos fornece a velocidade do aquecimento com relac¸a˜o a t, que denominaremos por υ e υ = ∫ ∫ ∫ V C0 ∂τ ∂t dv Pode-se expressar tambe´m esse aquecimento por meio de uma integral de superf´ıcie. Definiremos o fluxo de calor ϕS atrave´s da superf´ıcie S, pontual- mente, pela quantidade de calor por unidade de a´rea e por unidade de tempo, medida na direc¸a˜o ortogonal a S. Desta forma, naquele ponto, o fluxo de calor realiza uma variac¸a˜o de temperatura na direc¸a˜o normal a S, que deno- taremos por ~n o vetor unita´rio ortogonal a S. A variac¸a˜o da temperatura na 34 direc¸a˜o ~n e´ proporcional ao fluxo de calor e dado por ϕ = −κdτ d~n (4.1) sendo κ a condutividade te´rmica do so´lido. A equac¸a˜o (4.1) e´ tambe´m conhe- cida como Lei de Fourier e o sinal de (−) e´ apenas uma convenc¸a˜o, indicando que o fluxo de calor ocorre na direc¸a˜o inversa de ~n. A derivada direcional em (4.1) pode ser escrita como dτ d~n =< ∇τ, ~n > e a expressa˜o do fluxo ϕS = −κdτ d~n = −κ < ∇τ, ~n > onde ~grad = ( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z ) = ∇ Como ~n denota o vetor unita´rio normal a` superf´ıcie fechada e orientado para fora, a quantidade de calor que passa pelo elemento da superf´ıcie ds por unidade de tempo e´ ϕSds. A` vista disso, o calor acumulado na superf´ıcie fechada e´ υA = − ∫ ∫ S ϕSds, Substituindo ϕS pelo valor dado em (4.1) e utilizando o Teorema da Divergeˆncia, obtemos∫ ∫ S < ∇τ, ~n > ds = ∫ ∫ ∫ V ∇2τdv onde denotaremos ∇2τ = div(∇τ) = ∂ 2τ ∂x2 + ∂2τ ∂y2 + ∂2τ ∂z2 . Comparando as duas velocidades de aquecimento, obtemos para o volume da superf´ıcie ∫ ∫ ∫ V ( C0 ∂τ ∂t − κ∇2τ ) dv = 0. (4.2) Logo, ∂τ ∂t = K∇2τ, (4.3) 35 sendo K = κ/C0. Pois, como V representa uma regia˜o fechada e arbitra´ria, a equac¸a˜o (4.2) implica que o integrando e´ nulo, supondo que a τ e´ cont´ınua e tem derivadas cont´ınuas. Em particular, se a temperatura na˜o depender explicitamente de t, mas podendo ter dependeˆncia impl´ıcita das coordenadas espaciais, a equac¸a˜o (4.3) torna-se ∇2τ = 0. Para o caso em que exista uma fonte de calor interna ao corpo, especifi- cada por f como a quantidade de calor por unidade de volume e por unidade de tempo. Enta˜o, a expressa˜o da velocidade de aquecimento, passa a ser υ = ∫ ∫ ∫ V ( C0 ∂τ ∂t + f ) dv, e repetindo os mesmo passos anteriores, obtemos a equac¸a˜o na˜o homo´gena que descreve a evoluc¸a˜o do calor com fonte interna ∂τ ∂t = K∇2τ − f C0 4.1 Conduc¸a˜o do calor numa barra Seja uma barra de comprimento L, de secc¸a˜o transversal com a´rea A e feita de um material condutor uniforme de calor. Suponhamos a existeˆncia de um isolamento te´rmico na superf´ıcie lateral da barra, permitindo enta˜o, que haja transfereˆncias de calor apenas atrave´s das extremidades da barra, conforme a figura 4.1. Figura 4.1: Barra com isolamento te´rmico na superf´ıcie lateral.[1] O isolamento te´rmico e a uniformidade do material que compo˜e a barra implicam no problema de conduc¸a˜o de calor em uma u´nica dimensa˜o, pois o fluxo ocorre somente na direc¸a˜o longitudinal. Logo, as varia´veis f´ısicas em cada secc¸a˜o transversal sa˜o constantes, entretanto podem variar de uma secc¸a˜o para outra. 36 A lei que utilizaremos para o estudo da conduc¸a˜o de calor em um barra e´ a lei de resfriamento de Fourier, que prediz: considere duas placas, P1 e P2, ambas com a´reas iguais a A, estando a` temperaturas constantes T1 e T2 com T2 > T1. Havera´ enta˜o, a transfereˆncia de calor da placa com maior temperatura para a de menor temperatura, e a variac¸a˜o temporal da quantidade de calor que sera´ transferida, se estiverem paralelas e a uma distaˆncia d, e´ Q = kA(T2 − T1) d , (4.4) sendo k a condutibilidade te´rmica do material entre as placas. Sua unidade no sistema CGS tem dimenso˜es de cal/cm.s.oC. Seja u(x, t) a representac¸a˜o da temperatura em um ponto da abcissa x no tempo t, como representado na figura abaixo. Note a independeˆncia das coordenadas espaciais y e z. Figura 4.2: Sistema de coordenadas espaciais.[1] Consideremos duas secc¸o˜es transversais da barra em x e x+ d, nas quais aplicaremos a Lei de Fourier. A dificuldade, no entanto, esta´ no fato das temperaturas nas secc¸o˜es na˜o serem cont´ınuas no tempo, como requer a Lei de Fourier. Essa dificuldade e´ facilmente superada com a introduc¸a˜o da grandeza fluxo de calor atrave´s da secc¸a˜o x no instante t, da seguinte maneira: fixemos t em (4.4), procederemos com T2 = u(x + d, t) e T1 = u(x, t) e passemos o limite quando d tende a zero. Tal limite sera´ kA|ux(x, t)|. Logo, o fluxo de calor na direc¸a˜o positiva do eixo da abcissa como func¸a˜o q(x, t) e´ definido como q(x, t) = −kAux(x, t). (4.5) O sinal de menos em (4.5) possui a seguinte interpretac¸a˜o f´ısica: se a tempe- ratura u crescesse com x, ux deveria ser positivo, mas, dessa forma, o calor 37 deveria fluir para a esquerda, enta˜o q deveria ser negativo. Por conseguinte, se diminuir u implicasse na diminuic¸a˜o de x, ux seria negativo, mas, como o calor deveria fluir para a direita, q seria positivo. Utilizando-se do fluxo de calor q(x, t), em um elemento da barra entre x0 e x0 + δ, notamos que q = ∫ t0+τ t0 q(x0, t)dt− ∫ t0+τ t0 q(x0 + δ, t)dt ou seja, q = ∫ t0+τ t0 k[ux(x0 + δ, t)− ux(x0, t)]Adt. (4.6) O calor espec´ıfico, C, de uma substaˆncia e´ a quantidade de calor ne- cessa´ria para elevar em 1oC a temperatura de uma grama dessa determinada substaˆncia. A` vista disso, q pode ser escrito como q = ∫ t0+τ t0 ∫ x0+δ x0 Cut(x, t)dtρAdx, (4.7) sendo ρ a densidade da substaˆncia a ser utilizada. Aplicando o Teorema Fundamental do Ca´lculo em (4.6) e igualando com o valor de q obtido em (4.7), temos∫ t0+τ t0 ∫ x0+δ x0 kuxxdxdt = ∫ t0+τ t0 ∫ x0+δ x0 Cρut(x, t)dxdt. (4.8) A expressa˜o (4.8) e´ va´lida ∀ t0 > 0, 0 < x0 < L, todos τ > 0 e δ > 0, com isso conclui-se que kuxx(x, t) = Cρut(x, t), ou seja, ut = Kuxx (4.9) sendo K a difusibilidade te´rmica, que possui dimensa˜o, no sistema CGS, de cm2/s. A expressa˜o obtida em (4.9) descreve a variac¸a˜o da temperatura u(x, t) numa barra uniforme com a superf´ıcie lateral isolada termicamente, conforme as hipo´teses iniciais, e e´ denominada como equac¸a˜o do calor. 38 4.2 Barra com extremidades mantidas a 0o C O problema consiste, matematicamente, em encontrar uma func¸a˜o u(x, t) para t ≥ 0 e 0 ≤ x ≤ L, de tal forma que ut = Kuxx, t > 0, 0 < x < L; u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0; u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L, (4.10) sendo dadas a constante K e a func¸a˜o f . Analogamente ao procedimento realizado para encontrar (3.11), uma expressa˜o razoa´vel a ser candidato a` soluc¸a˜o de (4.10) e´ ∞∑ n=1 cne −n2pi2Kt/L2sen npix L , (4.11) em que os coeficientes cn sa˜o escolhidos de forma que f(x) = ∞∑ n=1 sen npix L . (4.12) A` vista disso, os cn devem ser os coeficientes de Fourier da func¸a˜o dada no seu respectivo intervalo, e estendida para R de modo a ser ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2L. Logo cn = 2 L ∫L 0 f(x)sen npix L dx. (4.13) Vale salientar que que a igualdade (4.12) na˜o se verifica para uma func¸a˜o qualquer. Pelo Teorema 3.1.2 veˆ-se que a temperatura deve satisfazer algu- mas condic¸o˜es, para todo x em [0, L], sendo f cont´ınua, f(0) = f(L) = 0 e f ′ seja seccionalmente cont´ınua. Prosseguiremos agora com o intuito de demonstrar que a expressa˜o (4.11), onde os coeficientes sa˜o dados em (4.13), seja soluc¸a˜o para o problema de valores inicial e de fronteira (4.10). Contudo, antes de seguir com as demons- trac¸o˜es, faz-se necessa´rio definir exatamente o que e´ uma soluc¸a˜o para (4.10). Os valores da func¸a˜o u(x, t), na regia˜o R = {(x.t) ∈ R : 0 < x < L, t > 0} esta˜o, obviamente, ligados com os dados inicial e de fronteira. Assim sendo, utilizaremos a seguinte notac¸a˜o para designar a adereˆncia de R R = {(x.t) ∈ R : 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0} 39 4.3 Barra sujeita a outras condic¸o˜es laterais O objetivo desta sec¸a˜o e´ o estudo de treˆs problemas de valores iniciais e de fronteira, em que as condic¸o˜es de fronteira sa˜o diferentes das descritas no in´ıcio deste cap´ıtulo. A te´cnica de resoluc¸a˜o, no entanto, e´ semelhante ao caso da barra com extremidades a 0o, sendo assim o estudo sera´ realizado de forma sucinta. 4.3.1 Barra isolada termicamente tambe´m nas extre- midades Matematicamente o problema consiste em encontrar uma func¸a˜o u(x, t) em R que satisfaz a`s condic¸o˜es ut = Kuxx, ux(0, t) = ux(L, t), ∀ t > 0, u(x, 0) = f(x),∀ 0 ≤ x ≤ L. (4.14) Atrave´s do me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, onde u(x, t) = F (x)G(t), obteˆm-se G′(t) = σKG(t), t ≥ 0, (4.15) F ′′(x)− σF (x) = 0, 0 ≤ x ≤ L. (4.16) sendo σ um paraˆmetro a determinar, de tal forma que as soluc¸o˜es de (4.16) sejam satisfeitas na fronteira F ′(0) = F ′(L) = 0, (4.17) das quais sa˜o obtidas das condic¸o˜es de fronteira de (4.14). Os problemas (4.16) e (4.17) sa˜o problema de autovalores com σn = −n2pi2/L2 com n ∈ N. Para cada valor de σn, obteˆm-se uma autofunc¸a˜o Fn(x) = cos(npix/L). A cada σn encontramos uma soluc¸a˜o correspondente para (4.15), dada por Gn(t) = e −n2pi2Kt/L. Prosseguiremos no sentido de obter os coeficientes cn tais que f(x) = ∞∑ n=0 cncos npix L , (4.18) devem ser os coeficientes de Fourier da f , dada em [0, L] e estendida a c0 = 1 L ∫ L 0 f(x)dx, (4.19) 40 cn = 2 L ∫ L 0 f(x)cos npix L dx, n ∈ N. (4.20) Ou seja, f sera´ estendida de modo a ser uma func¸a˜o par e perio´dica de per´ıodo 2L. Logo, a soluc¸a˜o de (4.14) deve ser dada por ∞∑ n=0 cne −n2pi2Kt/Lcos npix L , (4.21) note que os coeficientes cn sa˜o dados em (4.19)e (4.20). A func¸a˜o determinada para u em (4.21) satisfaz a` equac¸a˜o do calor e a`s condic¸o˜es de fronteira. Ale´m disso define uma func¸a˜o u infinitamente diferencia´vel em R e cont´ınua em {(x, t) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ L, t > 0}. Exigindo continuidade e existeˆncia da derivada f ′(x) como func¸a˜o seccionalmente cont´ınua, pode-se provar, usando integrac¸a˜o por partes, que cn = −L npidn , n ∈ N onde dn = 2 L ∫ L 0 f ′(x)sennpix L dx . Portanto ∞∑ n=1 |cn| ≤ L 2 2pi2 ∞∑ n=1 1 n2 + 1 2 ∑ d2n <∞, (4.22) que devido a Desigualdade de Bessel, vide apeˆndice C, a u´ltima se´rie con- verge. Logo, (4.22) implica que a func¸a˜o u em (4.21) e´ cont´ınua em R e satisfaz tambe´m a` condic¸a˜o inicial. Para o caso em que f na˜o e´ cont´ınua, sob a hipo´tese de f ser quadrado integra´vel, pode-se mostrar que (4.21) satisfaz a` condic¸a˜o inicial lim t→0 ∫ L 0 u(x, t)ϕ(x)dx = ∫ L 0 f(x)ϕ(x)dx para toda func¸a˜o seccionalmente cont´ınua ϕ. 4.3.2 Barra com uma extremidade isolada termicamente e a outra mantida a 0oC O problema agora consiste em determinar uma func¸a˜o u(x, t) definida em R tal que 41 ut = Kuxx, u(0, t) = ux(L, t), ∀ t > 0, u(x, 0) = f(x),∀ 0 ≤ x ≤ L. (4.23) Atrave´s do me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, onde u(x, t) = F (x)G(t), obteˆm-se o problema de autovalores F ′′(x)− σF (x) = 0 F (0) = F ′(L) (4.24) para 0 ≤ x ≤ L, com autovalores sa˜o σn = −(2n− 1)2pi2/4L2 ∀n ∈ N, cujas autofunc¸o˜es sa˜o sen(2n− 1)pix/2L. A` vista disso, a soluc¸a˜o de (4.23) e´ u(x, t) = ∞∑ n=1 cne −(2n−1)2pi2Kt/(4L2)sen sen(2n− 1)pix 2L (4.25) sendo cn, coeficientes de Fourier, tais que f(x) = ∞∑ n=1 cnsen sen(2n− 1)pix 2L (4.26) Seguiremos com o intuito de verificar se f pode ser escrita na forma de (4.26). Note que f deve ser escrita como uma se´ries de senos, definida assim de modo a ser uma func¸a˜o ı´mpar. A ideia utilizada em 4.3.1 de definir f como perio´dica de per´ıodo 2L na˜o funciona neste caso. Enta˜o, definiremos f a ser perio´dica de per´ıodo 4L. Entretanto f na˜o esta´ definida em toda reta, logo deve-se preceituar os valores de f no trecho [L, 2L]. Se a f na˜o houver nenhuma imposic¸a˜o, a se´rie de f conteria todos os senos da forma sen(jpix/2L), j = 1, 2, 3.... Como tais senos na˜o e´ do nosso interesse, basta definir f(x) = f(2L − x),∀x ∈ [L, 2L]. Pode-se comprovar a afirmac¸a˜o anterior, mostrando que, com tal f , tem-se∫ 2 0 Lf(x)sen ( jpix 2L ) dx = 0, (4.27) para j = 2m e m ∈ N∗. Ou seja, ∀x ∈ [0, L], sendo f cont´ınua em [0, L] e f ′ seccionalmente cont´ınua, f(0) = 0 e estendida da forma como descrevemos, os coeficientes cn sa˜o dados por cn = 2 2L ∫ 2 0 Lf(x)sen ( (2n− 1)pix 2L ) dx, (4.28) 42 ou ainda como cn = 2 L ∫ L 0 f(x)sen ( (2n− 1)pix 2L ) dx. (4.29) Utilizando-se da integrac¸a˜o por partes, pode-se notar que cn = 2L (2n− 1)pidn, dn = 2 L ∫ L 0 f ′(x)cos ( (2n− 1)pix 2L ) dx mostrando que a se´rie ∞∑ n=1 |cn| converge, utilizando ideias ana´logas aos dos problemas anteriores. Logo, pode-se concluir que (4.25) define uma func¸a˜o que e´ cont´ınua em R, infinitamente diferencia´vel em R e que e´ soluc¸a˜o de (4.23). Sendo f quadrado integra´vel em [0, L], (4.25) caracteriza uma func¸a˜o infinitamente diferencia´vel em R, cont´ınua em {(x, t) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ L, t > 0} e satisfazendo a` equac¸a˜o do calor juntamente com as condic¸o˜es laterais. A condic¸a˜o inicial e´ satisfeita no sentido me´dio. 4.3.3 Barra com uma extremidade mantida a 0oC e a outra livre para fluxo de calor com o ambiente O problema consiste em verificar uma lei que estabelece que o fluxo seja proporcional a` diferenc¸a de temperatura entre o meio e a barra, quando esta mante´m uma extremidade fixa no 0oC. Matematicamente, temos que determinar uma func¸a˜o u(x, t) em R tal que ut = Kuxx,∈ R, ux(0, t) + ku(0, t), u(L, t) = 0, ∀t > 0 u(x, 0) = f(x),∀ 0 ≤ x ≤ L. (4.30) Utilizando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, chegamos no seguinte pro- blema de autovalores F ′′(x)− σF (x) = 0 F ′′(0) + kF (0) = F (L) = 0. (4.31) As autofunc¸o˜es em questa˜o sa˜o Fn(x) = ancos(λnx)+bnsen(λnx). As soluc¸o˜es do sistema linear abaixo fornecem an e bn{ kan + λnbn = 0 an + (tgλnL)bn = 0. 43 Assim como foi feito nos casos anteriores, o candidato a` soluc¸a˜o do problema de valor inicial e de fronteira e´ ∞∑ n=1 cne −λ2nKt(ancosλnx+ bnsenλnx), sendo os cn determinados de modo que f(x) = ∞∑ n=1 cn(ancosλnx+ bnsenλnx). Note que esta se´rie na˜o e uma se´rie de Fourier, pois os λn na˜o sa˜o da forma ppi/qL com p e q unicamente inteiros. A matema´tica que fora desenvolvida ate´ aqui na˜o e´ suficiente para a resoluc¸a˜o deste problema. Para tal problema e´ necessa´rio uma elegante teoria, denominada de Teoria de Sturm-Liouville. Esta teoria, no entanto, na˜o esta´ nos objetivos deste trabalho. 44 Cap´ıtulo 5 Equac¸a˜o de Laplace Seja Ω uma regia˜o do plano, os dois tipos de regia˜o considerados aqui sa˜o: i) o disco de raio R e centrado na origemDR = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < R2}; ii) um retaˆngulo < = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < a, 0 < y < b} Denominaremos por Ω a adereˆncia de Ω e por ∂Ω a fronteira de Ω. Uma func¸a˜o cont´ınua u : Ω → R sera´ harmoˆnica se esta satisfazer a` equac¸a˜o de Laplace div(∇u) = ∇2u ≡ ∂ 2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 = 0 (5.1) O operador ∇2 e´ conhecido como Laplaciano. Laplaciano em coordenadas polares: Utilizando-se da mudanc¸a de varia´veis entre coordenadas cartesianas e polares, em duas dimenso˜es x = rcosθ, y = rsenθ, obtemos que o Laplaciano, em coordenadas polares, e´ ∇2u = vrr + 1 r vr + 1 r2 vθθ (5.2) onde v(r, θ) = u(rcosθ, rsenθ). 45 5.1 Problema de Dirichlet para a equac¸a˜o de Laplace O problema de Dirichlet consiste em dada uma func¸a˜o cont´ınua f : ∂Ω→ R, determinar uma func¸a˜o u : Ω→ R satisfazendo a`s seguintes condic¸o˜es i) u e´ cont´ınua em Ω, ii) u e´ harmoˆnica em Ω, iii) u = f em ∂Ω. A resoluc¸a˜o deste problema para uma regia˜o arbitra´ria Ω na˜o e´ trivial. Unicidade do problema do Dirichlet. Utilizaremos o princ´ıpio do ma´ximo, para mostrar que se caso o problema de Dirichlet seja solu´vel, a soluc¸a˜o sera´ u´nica. Teorema 5.1.1. Seja Ω uma regia˜o limitada do plano e u : Ω → R uma func¸a˜o cont´ınua em Ω e harmoˆnica em Ω. Enta˜o o ma´ximo de u e´ atingido na fronteira. Demonstrac¸a˜o. Considerando Ω limitada, implica diretamente que Ω e ∂Ω sa˜o conjuntos fechados e limitados do plano. Como toda func¸a˜o real cont´ınua g : K → R, em um conjunto compacto K, tem um valor ma´ximo µ e existe (x, y) ∈ K tal que f(x, y) ≤ f(x, y) = µ, para todo (x, y) em K. Sejam M = max Ω u(x, y) e m = max ∂Ω u(x, y) e por contradic¸a˜o, suponhamos m < M , u assume seu ma´ximo em (x0, y0) que deve estar em Ω e na˜o em Ω. Iremos definir a seguinte func¸a˜o v(x, y) = u(x, y) + M −m 2d2 [(x− x0)2 + (y − y0)2] (5.3) denominando por d o diaˆmetro da regia˜o Ω e d e´ o supremo das distaˆncias entre pares de pontos de Ω. A` vista de que v(x0, y0) = u(x0, y0) = M e v(x, y) ≤ m+ M −m 2d2 d2 = M +m 2 < M, (x, y) ∈ ∂Ω pode-se concluir que a func¸a˜o v assume seu ma´ximo em um ponto (x1, y1) de Ω, e na˜o de ∂Ω. Logo, neste ponto vxx(x1, y1) ≤ 0 e vyy(x1, y1) ≤ 0, o que nos fornece ∇2v(x1, y1) ≤ 0. (5.4) 46 Por outro lado, a partir de (5.3) temos ∇2v = M −m d2 > 0, (5.5) para todos os pontos de Ω. Como pode-se observar, as desigualdades (5.4) e (5.5) sa˜o contradito´rias. Corola´rio 5.1.2. Seja u como nas hipo´teses no Teorema anterior. Enta˜o u assume seu mı´nimo em ∂Ω. Para a demonstrac¸a˜o, basta aplicar o teorema anterior a` func¸a˜o −u. Teorema 5.1.3. Sejam u1 e u2 soluc¸o˜es do problema de Dirichlet para um mesmo f . Enta˜o u1 ≡ u2. Demonstrac¸a˜o. A func¸a˜o u = u1 − u2 e´ harmoˆnica em Ω, cont´ınua em Ω e resulta em zero em ∂Ω. Portanto, pelo corola´rio 1, u(x, y) ≥ 0 e pelo princ´ıpio do ma´ximo u(x, y) ≤ 0 ∀ (x, y) ∈ Ω. Da´ı, conclui-se que u ≡ 0. Teorema 5.1.4. Sejam Ω uma regia˜o do plano, (x0, y0) um ponto de Ω e u : Ω\ {(x0, y0)} → R uma func¸a˜o harmoˆnica, limitada em uma vizinhanc¸a ao redor do ponto supracitado. Enta˜o, existe u0 tal que u(x, y)→ u0, e a func¸a˜o u˜ : Ω → R e´ harmoˆnica e definida por u˜(x0, y0) = u0 e u˜(x, y) = u(x, y), sendo (x, y) 6= (x0, y0). A demonstrac¸a˜o para o Teorema 5.1.4 sera´ omitida, pois na˜o faz parte dos objetivos deste trabalho. 5.2 Problema do Dirichlet no retaˆngulo Consideremos agora o problema de encontrar a soluc¸a˜o u(x, y), com domı´nio < = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < a, 0 < y < b} restrito em um retaˆngulo do plano-xy, como mostra a figura 5.1 Consideremos a equac¸a˜o uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, (5.6) sujeita a`s condic¸o˜es de contorno u(x, 0) = 0;u(x, b) = 0; 0 < x < a, (5.7) e u(0, y) = 0;u(a, y) = f(y); 0 ≤ y ≤ b (5.8) 47 Figura 5.1: Regia˜o retangular - Problema de Dirichlet Figura 5.2: Condic¸o˜es de contorno para o problema de Dirichlet onde f : [a, b]→ R, conforme a figura 5.2 A ideia que seguiremos para a resoluc¸a˜o do problema de Dirichlet sera´ construir um conjunto fundamental de soluc¸o˜es de (5.6) que satisfac¸a a`s condic¸o˜es de contorno (5.7), com relac¸a˜o a varia´vel y. Logo apo´s, sera´ uti- lizado o princ´ıpio da superposic¸a˜o de modo a satisfazer a`s demais condic¸o˜es de contorno em x. Assim, temos u(x, y) = X(x)Y (y) (5.9) ou simplesmente u = XY . Logo ux = X ′Y e uxx = X ′′Y (5.10) e uy = XY ′ e uyy = XY ′′ (5.11) Substituindo (5.10) e (5.11) na equac¸a˜o de Laplace, obtemos X ′′Y +XY ′′ = 0, 48 implicando X ′′ X = −Y ′′ Y = σ (5.12) sendo σ a constante de separac¸a˜o. Desta forma, podemos escrever X ′′ − σX = 0, (5.13) Y ′′ + σY = 0. (5.14) Aplicando as condic¸o˜es de contorno (5.7) em (5.9), obtemos u(x, 0) = X(x)Y (0) = 0 e u(x, b) = X(x)Y (b) = 0. (5.15) Tem-se que a func¸a˜o X(x) na˜o pode ser identicamente nula, logo deve-se escolher Y (0) = 0 e Y (b) = 0. (5.16) Determinaremos agora a soluc¸a˜o de (5.14) sujeita a`s condic¸o˜es de contorno (5.16). Uma soluc¸a˜o na˜o-trivial existe se e somente se a constante de se- parac¸a˜o de for σ = n2pi2 b2 (5.17) enta˜o a soluc¸a˜o sera´ Yn(y) = Knsen npiy b (5.18) sendo Kn constantes dependentes e n. Prosseguiremos agora com a resoluc¸a˜o de (5.13). Por (5.17) a expressa˜o (5.13) torna-se X ′′ − n 2pi2 b2 X = 0. (5.19) Cuja soluc¸a˜o geral e´ Xn(x) = k 1 ne npix b + k2ne −npix b (5.20) Da condic¸a˜o de contorno u(0, y) = 0 em (5.8) u(0, y) = X(0)Y (y) = 0, donde X(0) = 0. Aplicando esta u´ltima soluc¸a˜o, obtemos k1n = −k2n e, desta forma, (5.20) pode ser escrita como Xn(x) = k 1 n ( e npix b − e−npixb ) 49 ou Xn(x) = knsenh (npix b ) . (5.21) Por (5.9), temos que a soluc¸a˜o de (5.6) e´ encontrada pela produto de (5.18) e (5.21). Agrupando as constantes, pode-se escrever as soluc¸o˜es fundamentais un(x, y) = Cnsen (npiy b ) senh (npix b ) , sendo Cn uma constante dependente de n. A soluc¸a˜o geral, pelo princ´ıpio da superposic¸a˜o, de (5.6) e´ u(x, y) = ∞∑ n=1 Cnsen (npiy b ) senh (npix b ) , (5.22) tal que satisfaz as duas condic¸o˜es de contorno homogeˆneas em y por (5.7) e em x por (5.8). Para encontrar o valor das constantes Cn, a soluc¸a˜o de (5.22) deve satisfazer a condic¸a˜o na˜o homogeˆnea em (5.8), dada por u(a, y) = f(y). Dessa forma, temos u(a, y) = ∞∑ n=1 Cnsen (npiy b ) senh (npia b ) = f(y). Note que os coeficientes Cn devem ser coeficientes da se´ries de senos de Fourier, com per´ıodo T = 2b para f(y), dados por bn = Cnsenh (npia b ) = 2 b ∫ b 0 f(y)sen (npiy b ) dy, e enta˜o Cn = 1 senh ( npia b ) 2 b ∫ b 0 f(y)sen (npiy b ) dy. Substituindo Cn na soluc¸a˜o (5.22), obtemos a soluc¸a˜o de (5.7) que satisfaz todas as condic¸o˜es de contorno. 5.3 Problema de Dirichlet no disco Dada uma func¸a˜o cont´ınua f(θ), utilizando coordenadas polares, com θ variando entre 0 ≤ θ ≤ 2pi, e sendo f(0) = f(2pi), o problema pode ser formulado em determinar v(r, θ) para 0 ≤ r ≤ R e 0 ≤ θ ≤ 2pi, tal que i) v(r, 0) = v(r, 2pi) e v cont´ınua, 50 ii) v seja de classe C2 em 0 < r < R e satisfac¸a a equac¸a˜o de Laplace, iii) v(R, θ) = f(θ). Buscaremos soluc¸o˜es do tipo v(r, θ) = A(r)B(θ), utilizando a separac¸a˜o de varia´veis e as se´ries de Fourier. Obte´m-se duas equac¸o˜es diferenciais or- dina´rias substituindo em (5.2) r2A′′ + rA′ − σA = 0 (5.23) B′′ + σB = 0, (5.24) sendo σ um paraˆmetro independente de R e θ. Como B e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi, conclui-se que σ = n2, n ≥ 0 e Bn(θ) = ancos(nθ) + bnsen(nθ) e´ a soluc¸a˜o geral de (5.24). A equac¸a˜o (5.23) possui um par de soluc¸o˜eslinearmente independentes, para cada n, dadas por 1 e lnr, se n = 0, rn e r−n, se n ≥ 1. As soluc¸o˜es lnr e r−n na˜o sa˜o interessantes, pois estas dariam um v(r, θ) descont´ınuo na origem. Enta˜o, an(r) = r n, ∀ n ≥ 0. Para cada n ≥ 0, a func¸a˜o vn(r, θ) = r n[ancos(nθ) + bnsen(nθ)] sendo an e bn constantes quaisquer que satisfazem a`s condic¸o˜es (i) e (ii). Seguiremos em descobrir uma func¸a˜o v que satisfac¸a tambe´m (iii). Natural- mente, o candidato e´ v(r, θ) = ∞∑ n=0 rn[ancos(nθ) + bnsen(nθ)] (5.25) Escolhendo os coeficientes an e bn convenientemente, a se´rie (5.25) conver- gira´, e definira´ uma func¸a˜o satisfazendo (i), (ii) e (iii). Como queremos v(R, θ) = f(θ), seria conveniente que f(θ) = a0 + ∞∑ n=1 [anR ncos(nθ) + bnR nsen(nθ)] (5.26) o que exigiria a0 = 1 2pi ∫ 2pi 0 f(θ)dθ, (5.27) 51 an = 1 piRn ∫ 2pi 0 f(θ)cos(nθ)dθ e bn = 1 piRn ∫ 2pi 0 f(θ)sen(nθ)dθ. (5.28) Vale observar que (5.26) ocorreria se f fosse seccionalmente deriva´vel, mas, em geral, isso no´s na˜o temos. Contudo o procedimento anterior nos leva a crer que (5.25), com os coeficientes dados em (5.27) e (5.28), seja soluc¸a˜o para o problema de Dirichlet. E, de fato, e´. Teorema 5.3.1. Seja f(θ) com θ variando entre 0 e 2pi, uma func¸a˜o cont´ınua, com f(0) = f(2pi). Enta˜o (5.25), com os coeficientes an e bn definidos em (5.27) e (5.28), e´ uma func¸a˜o harmoˆnica no disco DR e v(r, θ)→ f(θ0) quando (r, θ)→ (R, θ0). A demonstrac¸a˜o deste teorema sera´ dada na forma de uma se´rie de lemas. Lema 5.3.2. A`s condic¸o˜es do Teorema 5.3.1, a equac¸a˜o (5.25) define uma func¸a˜o harmoˆnica em DR Demonstrac¸a˜o. (1) A se´rie (5.25) converge para r < R. Pode-se concluir de (5.28) que |an| ≤ KR−n e |bn| ≤ KR−n, sendo K uma constante independente de n, e, logo, a se´rie (5.25) e´ dominada por 2K ∞∑ n=0 ( r R )n , a qual e´ convergente se r < R. (2) A se´rie encontrada em (5.25) define uma func¸a˜o cont´ınua no disco DR. Logo, para tal se´rie, basta mostrar que (5.25) converge uniformemente nos discos r ≤ r0, ∀ r0 < R. Segue-se enta˜o do teste M de Weierstrass, pois (5.25) e´ majorada uniformemente pela se´rie convergente 2K ∞∑ n=0 (r0 R )n , no disco r ≤ r0. (3) A se´rie (5.25) e´ uma func¸a˜o de classe C2 em DR. Para tal, basta que as se´ries resultantes de (5.25) por derivac¸a˜o termo a termo convergem unifor- memente em discos r ≤ r0, ∀ r0 < R. As se´ries obtidas pelas derivadas sa˜o majoradas uniformemente no disco, por se´ries nume´ricas da forma ∞∑ n=0 n (r0 R )n , ∞∑ n=0 n2 (r0 R )n , 52 que convergem. (4) A se´rie (5.25) define a func¸a˜o v(r, θ) como harmoˆnica, pois cada termo da se´rie, obtidos pela derivac¸a˜o termo a termo, e´ uma func¸a˜o harmoˆnica. Lema 5.3.3. Pode-se expressar a func¸a˜o v(r, θ), definida por (5.25), para r < R e 0 ≤ θ ≤ 2pi, por v(r, θ) = 1 2pi ∫ 2pi 0 R2 − r2 R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α)f(α)dα (5.29) que e´ conhecida como a Fo´rmula de Poisson. Demonstrac¸a˜o. Utilizando-se das expresso˜es dos coeficientes, dadas em (5.27) e (5.28), e sabendo que a se´rie converge uniformemente em α, temos v(r, θ) = ∫ 2pi 0 [ 1 2pi + 1 pi + ∞∑ n=1 ( r R )n cos(nθ − nα) ] f(α)dα. Para calcular tal soma da se´rie acima, observamos que ∞∑ n=1 λncos(nθ) = Re ∞∑ n=1 λneinθ e que ∞∑ n=1 λneinθ = λeiθ 1− λeiθ = λeiθ − λ2 |1− λeiθ|2 , |λ| < 1. Logo, a Fo´rmula de Poisson se segue atrave´s de alguns ca´lculos. Lema 5.3.4. Vamos supor agora que ale´m das hipo´teses feitas no Teorema 5.3.1, f seja de classe C1. Logo, a se´rie (5.25) define uma func¸a˜o v(r, θ) cont´ınua em DR, harmoˆnica em DR, e que v(r, θ) = f(θ). Demonstrac¸a˜o. Para isso, basta mostrar que (5.25) converge uniformemente em DR. Somos conduzidos, pela integrac¸a˜o por partes em (5.28), a an = − 1 nRn βn, bn = 1 nRn αn, sendo αn e βn os coeficientes de Fourier de f ′(θ). Enta˜o, a se´rie dada por (5.25) e´ majorada pela se´rie nume´rica em DR que se segue abaixo ∞∑ n=1 1 n (|αn|+ |βn|), 53 na qual e´ majorada por ∞∑ n=1 1 n2 + 1 2 ∞∑ n=1 (|αn|+ |βn|), que em virtude da Desigualdade de Bessel, vide apeˆndice C, tambe´m e´ uma se´rie convergente. Portanto, o teste M de Weierstrass garante a convergeˆncia da se´rie (5.25) em DR Lema 5.3.5. Tem-se que 1 2pi ∫ 2pi 0 R2 − r2 R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α)f(α)dα = 1 (5.30) para r < R e 0 ≤ θ ≤ 2pi Demonstrac¸a˜o. Considerando o problema de Dirichlet no disco com f(θ) = 1. A u´nica para esse problema e´ v(r, θ) ≡ 1, pelo Teorema 5.1.3. Mas, v(r, θ) tambe´m e´ dada pela se´rie (5.25), em DR, pois o lema 5.3.4 pode ser aplicado a dados de fronteira constantes. E tambe´m, no disco DR, v(r, θ), e´ dada pela Fo´rmula de Poisson. Segue-se enta˜o (5.30). Lema 5.3.6. Suponha as hipo´teses feitas no Teorema 5.3.1 e seja θ0 definido entre 0 e 2pi. Enta˜o, v(r, θ) definido em (5.29) tende a f(θ0) quando (r, θ)→ (R, θ0). Demonstrac¸a˜o. Utilizando (5.29) e (5.30), temos v(r, θ)− f(θ0) = 1 2pi ∫ 2pi 0 R2 − r2 R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α) [f(α)− f(θ0)]dα (5.31) Mostraremos que, dado � > 0, ∃ δ > 0, tal que, |R − r| < δ e |θ − θ0| < δ, enta˜o |v(r, θ)−f(θ0)| < �. Para um η > 0, no qual fixaremos posteriormente, decompomos a integral (5.31) na soma I1 + I2 = ∫ |α−θ0|≤η + ∫ α−θ0|>η Pode-se majorar a primeira integral da seguinte forma |I1| ≤ 1 2pi ∫ |α−θ0|≤η R2 − r2 R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α) [|f(α)− f(θ0)|]dα ≤ ω(η), sendo ω(η) o mo´dulo de continuidade de f , e onde fora usado o Lema 5.3.5. Para majorar a outra integral, tomamos δ < η/2, dai, |θ − α| > η 2 54 se |θ − θ0| < δ, para os α tais que |α − θ0| > η. Definindo M como o ma´ximo de |f(θ)|, obtemos enta˜o |I2| ≤ 2M R 2 − r2 R2 + r2 − 2Rrcos(η/2) ≤ 2M 2R(R− r) [R− rcos(η/2)]2 e, se r > R/2, temos |I2| ≤ 4MR(R− r) r2[1− cos(η/2)]2 ≤ 16M [R(1− cos(η/2)]2 (R− r). Tomando η tal que ω(η) < �/2; a seguir, com esse η fixo, tomamos δ tal que δ < η/2 e 16M [R(1− cos(η/2)]2 < � 2 . Para essas condic¸o˜es, [I1] e [I2] sa˜o menores do que �/2. A demonstrac¸a˜o do Teorema 5.3.1 decorre do Lema 5.3.2, do qual prova que v(r, θ) e´ uma func¸a˜o harmoˆnica em DR e ale´m disso o Lema 5.3.6 de- monstra que a func¸a˜o v(r, θ) converge para f(θ0) quando (r, θ) convergem para (R, θ0). 55 Cap´ıtulo 6 Conclusa˜o A F´ısica Matema´tica se estende a praticamente todas as a´reas da F´ısica, se fazendo presente nas atividades cuja principal finalidade e´ a compreensa˜o dos conteu´dos f´ısicos de modelos e teorias estudadas, gerando assim uma aproximac¸a˜o maior da Matema´tica com a F´ısica. As Se´ries de Fourier permitem a representac¸a˜o matema´tica de func¸o˜es perio´dicas e e´ uma ferramenta matema´tica essencial para a resoluc¸a˜o de pro- blemas f´ısicos. A` vista disso, se tornou uma te´cnica muito poderosa com uma vasta aplicac¸a˜o em todos os campos da cieˆncia. Tomando como base o Me´todo de Fourier, resolvemos com eˆxito os pro- blemas nos quais propusemos a estudar, exibindo a utilidade das teorias matema´ticas aplicadas em problemas f´ısicos, como e por que foram criadas. Tal ana´lise mostrou-se de grande valia para melhor compreensa˜o do estudo da equac¸a˜o da onda, da conduc¸a˜o de calor e do problema de Dirichlet, pois utilizamos um certo grau de rigor matema´tico implicando diretamente na clareza de racioc´ınio, limpeza de premissas e argumentos. 56 Refereˆncias Bibliogra´ficas [1] De Figueiredo, D.G. Ana´lise de Fourier e Equac¸o˜es Diferenciais Parciais. Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1977. [2] AS SE´RIES DE FOURIER, Dispon´ıvel em <http://www.seara.ufc.br/tintim/matematica/fourier/fourier1.htm>. Acesso em dezembro de 2013.
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