Séries de Fourier - UNIFAL

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Alfenas
Lucas Oliveira Quintino
Se´ries de Fourier e Aplicac¸o˜es em
Equac¸o˜es Diferenciais Parciais
Alfenas/MG
2013
Lucas Oliveira Quintino
Se´ries de Fourier e Aplicac¸o˜es em
Equac¸o˜es Diferenciais Parciais
Trabalho de Conclusa˜o de Curso
apresentado como parte dos requisitos
para obtenc¸a˜o do T´ıtulo de Licenciado
em F´ısica pela Universidade Federal
de Alfenas.
A´rea de concentrac¸a˜o: F´ısica-
Matema´tica.
Orientador: Prof. Dr. Evandro
Monteiro.
Alfenas/MG
2013
Resumo
O objetivo deste trabalho e´ a resoluc¸a˜o de algumas equac¸o˜es diferenciais
que aparecem em problemas da F´ısica-Matema´tica, com o me´todo de Fourier,
dando eˆnfase a aspectos matema´ticos da F´ısica Teo´rica, visando enriqueceˆ-la
com maior rigor matema´tico. Para isso, e´ necessa´ria a utilizac¸a˜o de cer-
tos me´todos, iniciando pelo Me´todo de Fourier, cuja base e´ essencialmente
as Se´ries de Fourier. As equac¸o˜es diferenciais modelam diversos problemas
f´ısicos como: a equac¸a˜o da onda, que descreve pequenas vibrac¸o˜es trans-
versais de uma corda flex´ıvel; a equac¸a˜o do calor, empregada no estudo da
conduc¸a˜o de calor em uma barra; e a equac¸a˜o de Laplace, que deve ser satis-
feita no estudo do equil´ıbrio de uma membrana sob a ac¸a˜o de certas forc¸as.
Situac¸o˜es assim levam a um problema em que o valor da soluc¸a˜o em uma
varia´vel espacial ou de suas derivadas e´ especificado na fronteira do conjunto.
Para a obtenc¸a˜o de soluc¸o˜es desses problemas de valores iniciais ou de fron-
teira, sera´ utilizado o me´todo de resoluc¸a˜o de Fourier.
Palavras-chave: Equac¸a˜o das Ondas, Equac¸a˜o do Calor, Equac¸a˜o Dife-
rencial Parcial, Problema de Dirichlet, Se´ries de Fourier.
Abstract
The aim of this work is to solve, using the Fourier method, some differen-
tial equations that appear in Mathematical Physics, emphasizing mathema-
tical aspects of theoretical physics. For this, it is necessary the application
of certain methods, beginning with the Fourier Method, whose base is essen-
tially the Fourier series. The differential equations model several problems
in physics such as: the wave equation, which describes small transversal vi-
brations in a flexible string; the heat equation, used to study the conduction
of heat in a bar; and the Laplace’s equation, which must be satisfied in the
study of equilibrium of a membrane under the action of certain forces. Si-
tuations like these lead to a problem in which the value of a spatial variable
or of its derivative is specified by boundary conditions. In order to find the
solutions of these boundary value problems, we will use the Fourier’s method.
Keywords: Dirichlet Problem, Fourier Series, Heat Equation, Partial Dif-
ferential Equation, Wave Equation.
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 6
2 Conceitos Ba´sicos 9
2.1 Produto escalar de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Func¸o˜es ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Conjunto Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Definic¸a˜o da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Definic¸a˜o da se´rie de Fourier trigonome´trica . . . . . . . . . . 12
2.7 Convergeˆncia pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Convergeˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Equac¸a˜o das Ondas 21
3.1 Resoluc¸a˜o por se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Energia da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Vibrac¸o˜es forc¸adas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Harmoˆnicos, frequeˆncia, amplitude . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Equac¸a˜o do Calor 34
4.1 Conduc¸a˜o do calor numa barra . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Barra com extremidades mantidas a 0o C . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Barra sujeita a outras condic¸o˜es laterais . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Barra isolada termicamente tambe´m nas extremidades 40
4.3.2 Barra com uma extremidade isolada termicamente e a
outra mantida a 0oC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.3 Barra com uma extremidade mantida a 0oC e a outra
livre para fluxo de calor com o ambiente . . . . . . . . 43
5 Equac¸a˜o de Laplace 45
5.1 Problema de Dirichlet para a equac¸a˜o de Laplace . . . . . . . 46
5.2 Problema do Dirichlet no retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . 47
4
5.3 Problema de Dirichlet no disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Conclusa˜o 56
Refereˆncias Bibliogra´ficas 57
A Lema de Riemann-Lebesgue 58
B Lema de Dirichlet 63
C Desigualdade de Bessel 65
D Desigualdade de Cauchy-Schwarz 67
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
O principal objetivo deste trabalho e´ a resoluc¸a˜o de algumas equac¸o˜es di-
ferenciais parciais, que aparecem em problemas da F´ısica-Matema´tica, com
seu respectivo significado e interpretac¸a˜o f´ısica. O desenvolvimento das
equac¸o˜es diferenciais esta´ intimamente relacionado com o desenvolvimento da
matema´tica. As equac¸o˜es diferenciais comec¸aram com o estudo do Ca´lculo
por Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz no se´culo XVII.[1] Apesar da pouca
contribuic¸a˜o de Newton na a´rea das equac¸o˜es diferenciais, seu desenvolvi-
mento do ca´lculo e seu trabalho nos princ´ıpios ba´sicos da mecaˆnica fornece-
ram a base para a aplicac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais no se´culo XVII, espe-
cialmente por Euler. Ale´m de ampliar o campo de aplicac¸a˜o das equac¸o˜es
diferenciais, muito sobre o desenvolvimento de me´todos para a resoluc¸a˜o de
equac¸o˜es diferenciais e´ atribu´ıdo aos irma˜os Jakob e Johann Bernoulli. Em
seus estudos, Taylor, introduziu o uso de se´ries na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es
diferenciais. Este me´todo de resoluc¸a˜o foi usado em outros problemas por
alguns matema´ticos.
No inicio do se´culo XVIII, Taylor, dentre outros matema´ticos, acumula-
ram grandes conhecimentos a cerca de equac¸o˜es diferenciais, pore´m, ainda
na˜o era o bastante, uma vez que na˜o eram conhecidas as propriedades de
certas equac¸o˜es e muitas delas na˜o possu´ıam soluc¸a˜o. Ainda na˜o havia uma
teoria geral, eram muitas descobertas em casos particulares e foi nesse con-
texto que Leonard Euler, contribui para um grande avanc¸o nesse estudo.
Euler identificou a condic¸a˜o para que as equac¸o˜es diferenciais de primeira
ordem sejam exatas, desenvolveu a teoria de fatores integrantes no mesmo
artigo e encontrou a soluc¸a˜o geral para equac¸o˜es lineares homogeˆneas com
coeficientes constantes, estendendo-se tambe´m o resultado para equac¸o˜es na˜o
homogeˆneas. Utilizou tambe´m, em meados de 1750, com certa frequeˆncia,
se´ries de potencias para resolver equac¸o˜es diferenciais. Propoˆs tambe´m, um
procedimento nume´rico, fez contribuic¸o˜es importantes em equac¸o˜es diferen-
6
ciais parciais e deu o primeiro tratamento sistema´tico do ca´lculo de variac¸o˜es.
Tornando coeso o conhecimento acumulado ate´ enta˜o.
Dentro da histo´ria da evoluc¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais Lagrange deu
sua contribuic¸a˜o desenvolvendo completamente o me´todo de variac¸a˜o dos
paraˆmetros e estendeu alguns resultados em mecaˆnica, mais especificamente,
em equac¸o˜es do movimento e energia potencial. No se´culo XIX, a preo-
cupac¸a˜o em relac¸a˜o a` equac¸o˜es diferenciais ja´ na˜o e´ a procura por me´todos
de resoluc¸a˜o, uma vez que muitos destes ja´ tinham sido descobertos. A
atenc¸a˜o se voltou para questo˜es mais teo´ricas como existeˆncia e unicidade,
assim como o desenvolvimento de me´todos menos elementares residentes no
plano complexo.
A aplicac¸a˜o das Se´ries de Fourier para a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferen-
ciais na˜o surgiu de imediato. Jean Baptiste Fourier (1768-1830) fez grandes
contribuic¸o˜es ao estudo e ca´lculo da difusa˜o de calor e a` soluc¸a˜o de equac¸o˜esdiferenciais[2]. The´orie analytique de la chaleur (A Teoria Anal´ıtica do Calor,
1822)[3] conte´m uso extenso de se´ries consistindo de func¸o˜es trigonome´tricas
que hoje chamamos de se´ries de Fourier. Seu nome foi imortalizado pelas
se´ries trigonome´tricas que introduziu em 1807 e ate´ hoje causam deslumbra-
mentos em matema´ticos, f´ısicos, estat´ısticos e engenheiros. Essas se´ries sa˜o
uma da´diva para quem necessita descrever determinada func¸a˜o mais compli-
cada em uma forma simples de visualizar e manipular.[2]
A histo´ria das se´ries de Fourier mostra como a soluc¸a˜o de um problema
f´ısico acaba gerando novas fronteiras na matema´tica. Fourier desenvolveu
suas se´ries ao estudar a propagac¸a˜o de calor em corpos so´lidos e para tal,
a forma mais simples de uma onda e´ uma func¸a˜o senoidal, Fourier mostrou
que qualquer func¸a˜o, por mais complicada que fosse, poderia ser decomposta
como uma soma de senos e cossenos.[2]
A utilizac¸a˜o das Se´ries de Fourier em equac¸o˜es diferenciais se deu por
meio do estudo da propagac¸a˜o do calor. Por volta de 1756, surgiu a primeira
descric¸a˜o do calor, por Joseph Black, como fluido, o calo´rico, capaz de escoar
atrave´s da mate´ria, produzindo um aumento da temperatura. Sai Carnot, em
1824, estudou hidrodinaˆmica do calo´rico que foi usado por William Thom-
som, em 1848, para poder associar calor a uma energia mecaˆnica, o que levou
a` primeira lei da Termodinaˆmica. A formulac¸a˜o matema´tica utilizada ate´ nos
dias de hoje, incluindo um me´todo para a soluc¸a˜o das equac¸o˜es, foi apresen-
tada por Joseph Fourier[4] em 1822, em sua publicac¸a˜o: Teoria anal´ıtica
do calor[3], marcando tambe´m o in´ıcio do desenvolvimento dos me´todos da
f´ısica-matema´tica.
As equac¸o˜es diferenciais mais comuns que aparecem no estudo em questa˜o
do presente texto, sa˜o as equac¸o˜es das ondas e a equac¸a˜o do calor. Entretanto
a matema´tica que aprendemos nos cursos de Ca´lculo Diferencial e Integral
7
e de Equac¸o˜es Diferenciais e´ insuficiente para responder a alguns problemas
aqui tratados. Para obter tais soluc¸o˜es e´ necessa´rio um algo a mais, e neste
trabalho sera´ desenvolvido ferramentas matema´ticas para tal.
O instrumental matema´tico foi desenvolvido a` proporc¸a˜o em que se fa-
zia necessa´rio. No cap´ıtulo 2 iniciamos com alguns conceitos ba´sicos que
podem ser considerados como pre´-requisitos para o completo entendimento
do texto. A seguir, o problema das equac¸o˜es das ondas e o problema da
conduc¸a˜o de calor tratados nos cap´ıtulos 3 e 4, respectivamente, sa˜o estu-
dados primeiramente como uma motivac¸a˜o f´ısica e posteriormente com uma
ana´lise mais cautelosa do problema, com eˆnfase em aspectos matema´ticos
da f´ısica teo´rica, visando enriqueceˆ-la com maior rigor matema´tico, clareza
de racioc´ınio e limpeza de argumentos e premissas. Para a obtenc¸a˜o de
soluc¸o˜es desses problemas de valores iniciais ou de fronteira, sera´ utilizado
o me´todo de resoluc¸a˜o de Fourier, o qual consiste em duas etapas. Na pri-
meira utiliza-se a separac¸a˜o de varia´veis para que com isso possamos obter
problemas de autovalor para equac¸o˜es diferencias ordina´rias que esta˜o estrei-
tamente relacionadas com as equac¸o˜es diferenciais parciais em estudo. Nessa
etapa, obte´m-se uma gama de soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial parcial que
satisfazem parte das condic¸o˜es de fronteira. A segunda etapa, chamada de
Ana´lise de Fourier, tem como ideia principal utilizar a soluc¸a˜o do problema
como uma se´rie cujos termos sa˜o produtos dessas soluc¸o˜es por coeficientes
adequadamente escolhidos. No pro´ximo e u´ltimo cap´ıtulo sera´ estudado o
problema de Dirichlet para a equac¸a˜o de Laplace em certas regio˜es especiais
do plano, para isso utilizaremos dos me´todos da se´rie de Fourier. O objetivo
neste cap´ıtulo na˜o e´ discutir sobre a solubilidade do problema de Dirichlet,
pois requer a teoria de Sturm-Liouville, a qual esta´ fora dos propo´sitos deste
trabalho.
A F´ısica-Matema´tica esta´ presente em praticamente todas as a´reas da
F´ısica, onde o objetivo principal e´ a melhor compreensa˜o dos modelos e te-
orias da F´ısica. A histo´ria das se´ries de Fourier mostra como a soluc¸a˜o de
um problema f´ısico acaba gerando novas fronteiras na matema´tica. Atual-
mente, o me´todo de Fourier constitui um procedimento para a resoluc¸a˜o de
equac¸o˜es diferenciais parciais lineares homogeˆneas, do qual veio diretamente
de alguns problemas de propagac¸a˜o de calor a partir de superposic¸o˜es de
soluc¸o˜es particulares, levando a`s se´ries de Fourier. [5]
8
Cap´ıtulo 2
Conceitos Ba´sicos
Esse cap´ıtulo e´ dedicado a definir o espac¸o de func¸o˜es e as se´ries de Fou-
rier, nos quais utilizaremos no decorrer do trabalho, para isso necessitamos
do seguinte conceito:
O salto de uma func¸a˜o f no ponto x0 e´ definido por
sal(f)(x) = f(x+0 )− f(x−0 ),
onde f(x+0 ) = lim
x→x+0
f(x) e f(x−0 ) = lim
x→x−0
f(x). Logo, se f e´ cont´ınua em x0,
sal(f)(x0) = 0.
Figura 2.1: Salto de uma func¸a˜o
Podemos estender a noc¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua para func¸a˜o cont´ınua por
partes. Dizemos que f e´ cont´ınua por partes se f tem um nu´mero finito de
descontinuidade em qualquer intervalo limitado e sal(f)(x) e´ finito para todo
x ∈ R.
No caso em que no ponto onde a func¸a˜o e´ cont´ınua, os limites laterais
coincidem com o valor da func¸a˜o no ponto. Denotaremos o espac¸o de func¸o˜es
cont´ınuas por partes por Cp(a, b).
9
Iremos considerar as func¸o˜es cont´ınuas por partes em um intervalo (a, b),
admitindo, caso houver, um nu´mero finito de saltos finitos.
Em particular, no espac¸o de func¸o˜es cont´ınuas por partes, podemos defi-
nir:
2.1 Produto escalar de func¸o˜es
Definic¸a˜o: Seja V um R-espac¸o vetorial. Um produto interno sobre V
e´ uma func¸a˜o que a cada par de vetores v1 e v2 associa-se um nu´mero
< v1, v2 >, satisfazendo:
< v1, v1 >≥ 0, para todo v1 ∈ V e < v1, v1 >= 0, se, e somente se v1 = 0;
< αv1, v2 >= α < v1, v2 >, ∀α ∈ R;
< v1 + v2, v3 >=< v1, v3 > + < v2, v3 >;
< v1, v2 >=< v2, v1 >.
Se f, g ∈ Cp(a, b), o produto escalar de func¸o˜es e´ definido por
< f, g >ρ =
∫ b
a
ρ(x)f(x)g(x)dx, (2.1)
em que ρ(x) e´ uma func¸a˜o positiva em (a, b), denominada peso do produto
escalar.
Tomando g = f , obtemos a norma desta func¸a˜o,
‖f‖2 = < f, f >ρ =
∫ b
a
ρ(x)f(x)2dx.
Sendo ρ(x) > 0, enta˜o < f, f >ρ ≥ 0, podendo ser zero caso f = 0. Logo,
a expressa˜o (2.1) define o produto escalar em Cp(a, b), que e´ dependente da
escolha da func¸a˜o ρ(x).
Observac¸a˜o: No decorrer deste trabalho iremos considerar ρ(x) sempre
igual a 1.
Podemos relacionar as func¸o˜es de Cp(a, b), com esse produto escalar, com
algumas propriedades ana´logas a`s dos de R3:
A ”distaˆncia”entre duas func¸o˜es f e g e´ dada pela norma da diferenc¸a
f − g
‖f − g‖ =
√
< f − g, f − g > (2.2)
O aˆngulo θ entre duas func¸o˜es e´
cos(θ) =
< f, g >
‖f‖‖g‖ (2.3)
10
As func¸o˜es f e g sera˜o ortogonais em (a, b) caso
< f, g >=
∫ b
a
f(x)g(x)dx = 0 (2.4)
2.2 Func¸o˜es ortonormais
Um conjunto de func¸o˜es {en(x)} em Cp(a.b), diz-se ortonormal com relac¸a˜o
ao produto interno (2.1) no intervalo (a, b) se elas possuem norma 1 e sa˜o
ortogonais entre si. Isso ocorre, quando
< em, en >=
∫ b
a
em(x)en(x)dx = δmn =
{
0, se m 6= n
1, se m = n
(2.5)
No espac¸o vetorial com um produto escalar, a ortonormalidade do conjunto
de vetores tem como caracter´ıstica a independeˆncia linear. Isso se aplica,
particularmente, a`s func¸o˜es trigonome´tricas.
2.3 Conjunto Completo
Dado um conjunto de func¸o˜es {en}, esse conjunto sera´ completo se na˜o
existir no mesmo conjunto uma func¸a˜o que seja ortogonal a todas en.
< f, en >=
∫ b
a
f(x)en(x)dx = 0. ∀ en
Neste trabalho, iremos supor o caso mais geral de uma grande infinidade
de func¸o˜es ortogonaisque ocorrem comumente nos problemas de contorno.
2.4 Se´ries de Fourier
Dado um conjunto completo de func¸o˜es ortogonais {en} em Cp(a, b) e
uma se´rie convergente para uma func¸a˜o f(x)
f(x) =
∞∑
n=0
cnen(x), (2.6)
se esta se´rie e´ integra´vel, pode-se determinar os coeficientes cn com um pro-
cedimento ana´logo ao do ca´lculo vetorial em R3 :
cn =< f, en >=
∫ b
a
f(x)en(x)dx (2.7)
11
A se´rie acima deve ser convergente, diferenciando assim com o caso do
R3, que e´ composta por infinitos vetores como base do espac¸o. Com isso,
segue a definic¸a˜o.
2.5 Definic¸a˜o da se´rie de Fourier
Dada uma func¸a˜o f(x) e um conjunto {en} de func¸o˜es ortonormais em
Cp(a, b), a se´rie de Fourier de f referente a en e´
∞∑
n=0
cnen, (2.8)
onde
cn ≡< f, en >=
∫ b
a
ρ(x)f(x)en(x)dx (2.9)
Esta definic¸a˜o na˜o exige que a se´rie seja convergente. Se a se´rie for in-
tegra´vel e houver convergeˆncia, enta˜o a expressa˜o de cn e´ a mesma que (2.7).
Sa˜o chamados de coeficientes de Fourier de f os coeficientes cn.
2.6 Definic¸a˜o da se´rie de Fourier trigonome´trica
Dadas as func¸o˜es ortonormais
{ψm} = sen(npix/c)√
c/2
, n = 1, 2, 3... (2.10)
e
{φn} = cos(npix/c)√
c/2
, n = 1, 2, 3... (2.11)
analisaremos o comportamento para um intervalo sime´trico (−c, c). Como
os produtos ψnψm e φnφm sa˜o func¸o˜es pares, temos que∫ c
−c
ψn(x)ψm(x)dx = 2
∫ c
0
ψn(x)ψm(x)dx = 0
e ∫ c
−c
φn(x)φm(x)dx = 2
∫ c
0
φn(x)φm(x)dx = 0
Deve-se atentar que nesse intervalo, estas func¸o˜es na˜o possuem norma 1.
Assumindo m = n, resulta
12
∫ c
−c
ψn(x)ψn(x)dx = 2
∫ c
0
ψn(x)ψn(x)dx = 2
e ∫ c
−c
φn(x)φn(x)dx = 2
∫ c
0
φn(x)φn(x)dx = 2
A` vista disso, dividindo estas func¸o˜es por
√
2, obtemos dois conjuntos de
func¸o˜es ortonormais em (−c.c):{
cos(npix
c
)√
c
}
,
{
sen(npix
c
)√
c
}
n = 0, 1, 2... (2.12)
E´ fa´cil verificar que os conjuntos na˜o sa˜o completos. Basta que cada func¸a˜o
de um destes conjuntos seja ortogonal a todas as func¸o˜es do outro, ou seja∫ c
−c
sen(npix
c
)√
c
cos(npix
c
)√
c
dx = 0, ∀m,n
Ale´m disso, tambe´m existe uma func¸a˜o constante K que e´ tambe´m ortogonal
a todas estas func¸o˜es, como decorre∫ c
−c
K
cos(npix
c
)√
c
dx =
K√
c
c
npi
sen
npix
c
|c−c = 0
e ∫ c
−c
K
sen(mpix
c
)√
c
dx =
−K√
c
c
npi
cos
npix
c
|c−c = 0
O mo´dulo de uma func¸a˜o constante K em (−c, c) referente ao nosso pro-
duto escalar e´
||K||2 =
∫ c
−c
K2dx = 2K2c
Enta˜o, tomando K = 1√
2c
, obtemos ||K||2 = 1 e conclu´ımos que o conjunto
de func¸o˜es ortonormais
{en} =
{
1√
2c
,
cosnpix
c√
c
,
sennpix
c√
c
}
(2.13)
e´ ”mais completo”do que os conjuntos de func¸o˜es em (2.12), no intervalo
(−c, c).
Escreveremos a se´rie de Fourier, pela definic¸a˜o (2.8), de uma func¸a˜o f com
relac¸a˜o ao conjunto ortonormal (2.13) usando a notac¸a˜o {en} = {e′0, e′n, e′′n},
sendo
13
e′0 =
1√
2c
, e′n =
cosnpix
c√
c
, e′′n =
sennpix
c√
c
, n = 1, 2, 3...
Temos
∞∑
n=0
cnen = a
′
0e
′
0+
∞∑
n=1
a′ne
′
n+
∞∑
n=1
b′ne
′′
n =
a′0√
2c
+
∞∑
n=1
a′n√
c
cos
npix
c
+
∞∑
n=1
b′n√
c
sen
npix
c
,
(2.14)
os coeficientes de Fourier sa˜o calculados por
a′0 =< f, e
′
0 >=
1√
2c
∫ c
−c
f(x)dx
a′n =< f, e
′
n >=
1√
c
∫ c
−c
f(x)cos
npix
c
dx (2.15)
b′n =< f, e
′′
n >=
1√
c
∫ c
−c
f(x)sen
npix
c
dx
Podemos definir novos coeficientes que sa˜o equivalentes
a0 =
2√
2c
a′0 =
1
c
∫ c
−c
f(x)dx
a′n =
1
c
∫ c
−c
f(x)cos
npix
c
dx (2.16)
b′n =
1√
c
b′n =
1
c
∫ c
−c
f(x)sen
npix
c
dx
e substituindo em (2.14), obtemos a expressa˜o mais familiar para a se´rie
de Fourier de uma func¸a˜o f de per´ıodo 2c referente ao conjunto (2.13) no
intervalo (−c, c)
∞∑
n=0
cnen =
1
2
a0 +
∞∑
n=1
ancos
npix
c
+
∞∑
n=1
bnsen
npix
c
Por motivos histo´ricos, a se´rie de Fourier Trigonome´trica e´ denominada
simplesmente por se´rie de Fourier. Usaremos essa mesma designac¸a˜o sempre
que na˜o houver confusa˜o com o conceito mais geral de se´rie de Fourier da
definic¸a˜o (2.8).
14
2.7 Convergeˆncia pontual
Uma se´rie de func¸o˜es definidas em um subconjunto I de R do tipo
∞∑
n=1
un(x),
onde un : I → R, convergira´ pontualmente se, para cada x0 ∈ I fixado, a
se´rie nume´rica
∞∑
n=1
un(x) convergir. Ou seja, dados � > 0 e x0 ∈ I, existe
N ∈ Z que e´ dependente de � e de x0 de tal forma que∣∣∣∣∣
m∑
j=n
uj(x0)
∣∣∣∣∣ < � ∀n < m,
tais que n ≥ N .
Teorema 2.7.1. Seja u : R→ R, perio´dica com per´ıodo 2pi e u ∈ C℘, onde
C℘ designa o espac¸o vetorial dos polinoˆmios com coeficientes reais. Enta˜o
em todo ponto x onde existem e sa˜o finitos os limites
lim
h→o+
u(x+ h)− u(x+)
h
e lim
h→o−
u(x+ h)− u(x−)
h
a se´rie de Fourier da u converge para
1
2
{
u(x+) + u(x−)
}
Demonstrac¸a˜o. Seja x ∈ R tal que as derivadas laterais existam, ou seja,
supondo que
u
′
+(x) = lim
h→0+
u(x+ h)− u(x+)
h
< +∞
e
u
′
−(x) = lim
h→0−
u(x+ h)− u(x−)
h
< +∞
Consideremos a sequeˆncia das somas parciais da se´rie de Fourier da u
a0
2
+
n∑
κ=1
[aκcos(κx) + bκsen(κx)]
sendo aκ e bκ os coeficientes de Fourier dados como em (2.16).De acordo
com a observac¸a˜o apo´s o Lema de Dirichlet, vide apeˆndice B, a soma dos n
primeiros termos da se´rie, a sequeˆncia das reduzidas e´ dada por
Sn(x) =
1
pi
∫ pi
−pi
u(t)Dn(t− x)dt
15
Consideremos enta˜o, a mudanc¸a de varia´veis, a saber
s = t− x→ t = s+ x
Logo,
para t = −pi enta˜o s = −pi − x
pata t = pi enta˜o s = pi − x
Enta˜o
Sn(x) =
1
pi
∫ pi
−pi
u(s+ x)Dn(s)ds
Sendo u perio´dica, podemos ainda escrever que
Sn(x) =
1
pi
∫ pi
−pi
vu(x+ s)Dn(s)ds
ou ainda,
Sn(x) =
1
pi
{∫ 0
−pi
u(x+ s)Dn(s)ds+
∫ pi
0
u(x+ s)Dn(s)ds
}
Resulta da´ı, que para provarmos o Teorema em questa˜o, e´ suficiente pro-
varmos que quando n → +∞ a primeira parcela de Sn(x) converge para
u(x−)/2 e a segunda parcel converge para u(x+)/2. Contudo, antes de pro-
varmos isto, observemos que pelo fato de
1
2
+
n∑
κ=1
cos(κs) = Dn(s)
segue-se que Dn e´ uma func¸a˜o par e ale´m disso∫ pi
−pi
(
1
2
+
n∑
κ=1
)
ds =
∫ pi
−pi
Dn(s)ds
e
1
2
[pi − (−pi)] +
n∑
κ=1
∫ pi
−pi
cos(κs) =
∫ pi
−pi
Dn(s)ds
donde, ∫ pi
−pi
Dn(s)ds = pi. (2.17)
Contudo, face a paridade de Dn, segue-se de (2.17) que∫ pi
0
Dn(s)ds =
pi
2
e
∫ 0
−pi
Dn(s)dx =
pi
2
(2.18)
16
Retornando-se enta˜o, a` convergeˆncia anterior, segue-se de (2.18) que
1
pi
∫ pi
0
u(x+ s)Dn(s)ds− 1
2
u(x+) =
1
pi
∫ pi
0
u(x+ s)Dn(s)ds− 1
pi
∫ pi
0
u(x+)Dn(s)ds
=
1
pi
∫ pi
0
[u(x+ s)− u(x+)]Dn(s)ds (2.19)
=
1
pi
∫ pi
0
[u(x+ s)− u(x+)]sen
[
(n+ 1
2
)s
]
2sen s
2
ds
=
1
pi
∫ pi
0
[u(x+ s)− u(x+)]
2sen s
2
.sen[(n+
1
2
)s]ds
Aplicando agora o Lema de Riemann-Lebesgue, vide apeˆndice A, podemos
concluir que a integral em (2.19) converge para zero.
Para isso, e´ necessa´rio provarmos que a func¸a˜o
v :]0, pi]→ R
s 7→ v(s) = u(x+ s)− u(x
+)
2sen
(
s
2
)
e´ cont´ınua por partes em ]0, pi] . Embora v na˜o esteja definida no zero,
devemos provar que lim
s→0+
v(s) < +∞. De fato,
lim
s→0+
u(x+ s)− u(x+)
2sen s
2
= lim
s→0+
(
u(x+ s)− u(x+)
s
2
)(
s/2
2sen s
2
)
= lim
s→0+
(
u(x+ s)− u(x+)
s
2
)(
s/2
sen s
2
)
Por hipo´tese, o lim
s→0+
(
u(x+ s)− u(x+)
s
)
< +∞ e como lim
s→
sen(s/2
s/2
= 1,
segue-se que
lim
s→0v(s) < +∞
Analogamente, prova-se que
∫ 0
−pi
u(x+s)Dn(s)ds = u(x
−) conforme quer´ıamos
demonstrar.
Corola´rio 2.7.2. Em particular, se f e´ deriva´vel enta˜o a sua se´rie de Fourier
convergente pontualmente para f(x) em todo ponto.
Teorema 2.7.3. O desenvolvimento em se´rie de Fourier de uma func¸a˜o
continuamente diferencia´vel por partes f em C℘([−pi, pi]) converge pontual-
mente na reta inteira. Ale´m disso, se F designa a extensa˜o perio´dica f ,
17
enta˜o o valor da se´rie e´ F (x0) quando x0 e´ um ponto de continuidade de F
e
F (x+0 )− F (x−0 )
2
quando x0 e´ um ponto de descontinuidade de F .
2.8 Convergeˆncia uniforme
Se para uma se´rie de func¸o˜es
∞∑
n=1
un(x), dado � > 0, existir um nu´mero
inteiro N , que dependa unicamente de �, tal que∣∣∣∣∣
m∑
j=n
uj(x0)
∣∣∣∣∣ < � ∀ m > n, n ≥ N.
dizemos que esta convergira´ uniformemente.
Teorema 2.8.1. Seja u : R → R uma func¸a˜o cont´ınua, perio´dica com
per´ıodo 2pi, com derivada cont´ınua por partes. Enta˜o a se´rie de Fourier
da u converge para u uniforme e absolutamente em [−pi, pi].
Demonstrac¸a˜o. De acordo com a convergeˆncia pontual, podemos escrever
∀x ∈ R
u(x) =
a0
2
+
+∞∑
κ=1
[aκcos(κx) + bκsen(κx)]
sendo aκ e bκ coeficientes de Fourier da u. Assim, a se´rie de Fourier da
u, converge pontualmente para u. Mostraremos que, na verdade, tal se´rie
converge uniformemente lanc¸ando ma˜o do ”crite´rio de Weiestrass”ficando
provado o teorema. Suponhamos
fκ(x) = aκcos(κx) + bκsen(κx)
Provaremos que ∀x ∈ [−pi, pi]e ∀κ ∈ N, ∃Mκ ≥ 0 tal que |fκ(x)| ≤ Mκ e
+∞∑
κ=1
Mκ < +∞. De fato, seja a se´rie de Fourier de u′. Logo
ακ =
1
pi
∫ pi
−pi
u′(x)cosκxdx e βκ =
1
pi
∫ pi
−pi
u′(x)senκxdx (2.20)
18
Integrando-se a primeira integral por partes, obtemos
ακ =
1
pi
{
u(x)cos(κx)|pi−pi +
∫ pi
−pi
u(x)κsen(κx)dx
}
(2.21)
=
1
pi
{
[u(pi)cos(κpi)− u(−pi)cos(−κpi)] + κ
∫ pi
−pi
u(x)sen(κx)dx
}
=
1
pi
{
[u(pi)− u(−pi)]cos(κpi) + κ
∫ pi
−pi
u(x)sen(κx)dx
}
Pela periodicidade de u, isto e´, como u(x) = u(x+ 2pi) ∀x ∈ R, temos em
particular que u(−pi) = u(pi). Logo, de (2.21) obtemos
ακ = βκ (2.22)
Analogamente, de (2.20) integrando-se por partes a segunda integral
prova-se que
βκ = −κaκ (2.23)
Agora, tomemos x ∈ [−pi, pi] e κ ∈ N, gene´ricos. Enta˜o, por Cauchy-Schwarz,
vide apeˆndice D,
|fκ(x)| = |aκcos(κx) + bκsen(κx)| ≤
≤ (a2κ + b2κ)
1
2 [cos2(κx) + sen2(κx)]
1
2
= (a2κ + b
2
κ)
1
2
Resta-nos provar que
+∞∑
κ=1
(a2κ + b
2
κ)
1
2 < +∞
Com efeito de (2.22) e (2.23), temos
(a2κ + b
2
κ)
1
2 =
(
β2κ
κ2
+
α2κ
κ2
) 1
2
=
1
κ
(α2κ + β
2
κ)
1
2
Assim, por Cauchy-Schwarz
n∑
κ=1
(a2κ + b
2
κ)
1
2 =
n∑
κ=1
(α2κ + β
2
κ)
1
2 ≤
≤
(
n∑
κ=1
1
κ2
) 1
2
(
n∑
κ=1
(α2κ + β
2
κ)
) 1
2
≤
(
+∞∑
κ=1
1
κ2
) 1
2
(
+∞∑
κ=1
(α2κ + β
2
κ)
) 1
2
19
De acordo com a Desigualdade de Bessel, vide apeˆndice C, temos(
+∞∑
κ=1
(α2κ + β
2
κ)
) 1
2
< +∞,
e tambe´m (
+∞∑
κ=1
1
κ2
) 1
2
< +∞
posto que esta e´ uma se´rie geome´trica.
Concluindo, temos que Sn =
n∑
κ=1
(α2κ + β
2
κ)
1/2 e´ uma sequeˆncia crescente
e limitada superiormente, portanto convergente. Consequentemente a se´rie
+∞∑
κ=1
(a2κ+b
2
κ) < +∞, o que encerra a demonstrac¸a˜o da convergeˆncia uniforme.
20
Cap´ıtulo 3
Equac¸a˜o das Ondas
Considere uma corda ela´stica com dimenso˜es pequenas em relac¸a˜o ao
seu comprimento e presa em suas extremidades. Para o instante t = 0 a
corda esta´ completamente em repouso, estendida entre dois ponto fixos 0
e c. A partir desse instante, por algum est´ımulo externo, a corda passa a
oscilar. Para simplificar, iremos supor que a corda permanec¸a sempre no
plano xy. Devido ao seu movimento, a corda fica sujeita a uma tensa˜o
de restaurac¸a˜o ~ϑ. Essa tensa˜o aparece como uma forc¸a tangente a` corda,
possuindo uma componente horizontal ~h e uma vertical ~v, tal que: ~ϑ = ~v+~h.
Em um dado instante t e em um ponto x, a amplitude da oscilac¸a˜o da
corda e´ dada por y(x, t) e o aˆngulo alfa entre a tangente e a horizontal e´
tanα = |~v|/|~h| = v(x, t)/h(x, t) = ∂y/∂x. Denotaremos a derivada parcial
de y em relac¸a˜o x por yx, logo podemos escrever v(x, t) = hyx.
Considere um elemento infinitesimal da corda de comprimento ∆c. Su-
pondo que os deslocamentos infinitesimais sa˜o muito menores que a extensa˜o
da corda, y(x, t) � c, uma variac¸a˜o no comprimento da corda sera´ propor-
cional a uma variac¸a˜o no eixo x. Sendo ρ a densidade linear da corda, enta˜o
a massa do elemento sera´ ρ∆c ≈ ρ∆x. Aplicando a segunda lei de Newton,
obtemos:
ρ∆x~γ = ~F (x, t) = ~ϑ(x+ ∆x, t)− ~ϑ(x, t), (3.1)
sendo desprezada qualquer forc¸a externa. ~F (x, t) representa a forc¸a resul-
tante das tenso˜es no elemento e ~γ o vetor acelerac¸a˜o que possui a mesma
direc¸a˜o e sentido que ~F (x, t). Da hipo´tese que ~h da tensa˜o e´ constante, o
movimento de oscilac¸a˜o da corda ocorre somente na direc¸a˜o vertical. Isso
significa que ~γ tera´ direc¸a˜o vertical e sera´ igual a ∂2y/∂x2. Comparando as
componentes verticais, temos
21
ρ∆xytt = v(x+ ∆x, at)− v(x, t) = hyx(x+ ∆x, t)− hyx(x, t). (3.2)
Ou seja,
ytt =
h
ρ
(
yx(x+ ∆x, t)− yx(x, t)
∆x
)
Tomando o limite para quando ∆x→ 0, pela definic¸a˜o de derivada, obtemos
ytt(x, t) = a
2yxx(x, t) (3.3)
sendo h/ρ = a2 > 0. Esta equac¸a˜o e´ uma equac¸a˜o diferencial linear, de
segunda ordem, com derivadas parciais e descreve as oscilac¸o˜es da corda
ela´stica para as condic¸o˜es adotadas. Como por hipo´tese, quando em posic¸a˜o
de repouso, a corda esta´ com as extremidades fixas, temos duas condic¸o˜es
ba´sicas
y(0, t) = 0, y(c, t) = 0
Adicionaremos tambe´m uma velocidade inicial, obtendo o problema de con-
torno 
ytt = a
2yxx
y(0, t) = 0
y(c, t) = 0
yt(x, 0) = g(x)
(3.4)
onde g(x) e´ uma func¸a˜o dada.
3.1 Resoluc¸a˜o por se´ries de Fourier
O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis e a teoria das se´ries de Fourier sa˜o
utilizados para resolver o problema de contorno da corda vibrante com ex-
tremidades fixas:
ytt = a
2yxx, em R,
y(0, t) = y(c, t) = 0, para t ≥ 0,
y(x, 0) = f(x), yt(x, 0) = g(x), para 0 ≤ x ≤ c.
(3.5)
Inicialmente, iremos usar a separac¸a˜o das varia´veis para determinar as
func¸o˜es y(x, t) = F (x)G(t) que satisfac¸am a` equac¸a˜o das ondas e a`s condic¸o˜es
de fronteira, e usar essas func¸o˜es para compor uma func¸a˜o que satisfac¸a
tambe´m a`s condic¸o˜es iniciais. Substituindo na equac¸a˜o das ondas temos
F ′′
F
=
G′′
a2G
. (3.6)
22
Podemos observar em (3.6) que o lado esquerdo depende somente de x, e o
lado direito somente de t. Implicando em um paraˆmetro σ ( independente
de x e de t), o qual e´ determinado de modo que satisfac¸a as condic¸o˜es de
fronteira por y(x, t) = F (x)G(t). Logo, de (3.6), temos:
F ′′ − σF = 0, (3.7)
G′′ = σa2G. (3.8)
As condic¸o˜es de fronteira implicam F (0) = F (c) = 0, pois de outro modo,
G(t) = 0, ∀ t. Para essas condic¸o˜es, acarretaria y(x, t) = 0, para todo x
e t, o que na˜o interessa. Dessa forma, chegamos ao seguinte problema de
autovalores: determinar os valores σ, para os quais o problema{
F ′′ − σF = 0, 0 < x < c,
F (0) = F (c) = 0,
(3.9)
tenha soluc¸o˜es F (x) 6= 0
Antes de seguirmos em frente, agora procedemos no sentido de analisar
quais os valores de σ que conduzem a soluc¸o˜es F (x) do problema dado em
(3.9). Na˜o estamos interessados em obter y ≡ 0, portanto queremos apenas
soluc¸o˜es F na˜o identicamente nula. Ha´ treˆs possibilidades para σ, conforme
segue.
i) Para σ > 0,a soluc¸a˜o geral de (3.9) e´
F (x) = k1e
√
σx + k2e
−√σx.
Portanto, o par (k1, k2) de constantes devera´ser soluc¸a˜o do sistema{
k1 + k2 = 0
k1e
√
σc + k2e
−√σc = 0.
A u´nica soluc¸a˜o desse sistema e´ k1 = k2 = 0. Implicando F ≡ 0, o que na˜o
interessa.
ii) Se σ = 0, a soluc¸a˜o de (3.9) e´ da forma
F (x) = k1x+ k2,
e, para satisfazer a`s condic¸o˜es, devemos ter
k2 = 0 e k1c+ k2 = 0,
implicando k1 = k2 = 0 e, portanto, F ≡ 0.
23
iii) Se σ < 0, fazemos σ = −λ2, e a soluc¸a˜o geral de (3.9) sera´ da forma
F (x) = k1 cos(λx) + k2sen(λx).
Tal que, devemos ter
k1 = 0 e k2sen(λc) = 0.
Na˜o queremos k2 = 0, portanto sin(λc) = 0, o que implica λc = npi, onde n
e´ um inteiro na˜o-nulo (n = ±1,±2, ...). Os valores de −σ = λ2:
λ2n =
n2pi2
c2
(3.10)
sa˜o denominados os valores pro´prios ou autovalores do problema dado em
(3.9), e as func¸o˜es
Fn(x) = sen
(npix
c
)
(3.11)
sa˜o chamadas as func¸o˜es pro´prias ou autofunc¸o˜es do problema dado em (3.9).
Na˜o e´ necessa´rio considerar os valores negativos de λn, pois assim conduziria
apenas a uma autofunc¸a˜o diferindo apenas no sinal de outra obtida para um
λn positivo.
Temos que, para cada σn, a soluc¸a˜o geral de (3.8) e´
Gn(t) = ancos
npiat
c
+ bnsen
npiat
c
,
onde an e bn sa˜o constantes arbitra´rias. Portanto, as func¸o˜es
yn(x, t) = ansen
npix
c
cos
npiat
c
+ bnsen
npix
c
sen
npiat
c
(3.12)
satisfazem a`s condic¸o˜es de fronteira e sa˜o soluc¸o˜es para a equac¸a˜o da onda.
Prosseguindo com o me´todo de Fourier, o pro´ximo passo e´ a determinac¸a˜o
das constantes an e bn, de forma que a soluc¸a˜o y(x, t) do problema de valor
inicial e de fronteira (3.5) seja
y(x, t) =
∞∑
n=1
(
ansen
npix
c
cos
npiat
c
+ bnsen
npix
c
sen
npiat
c
)
(3.13)
Implicando, primeiramente, que
f(x) =
∞∑
n=1
ansen
npix
c
(3.14)
24
e, para que isso ocorra, e´ necessa´rio que
an =
2
c
∫ c
0
f(x)sen
npix
c
dx (3.15)
Derivando a se´rie (3.13) termo a termo, podemos determinar os bn de modo
formal. Utilizando-se enta˜o, da segunda condicional inicial
g(x) =
∞∑
n=1
npia
c
bnsen
npix
c
(3.16)
Logo,
npia
c
bn =
2
c
∫ c
0
g(x)sen
npix
c
dx
de onde obtemos
bn =
2
npia
∫ c
0
g(x)sen
npix
c
dx (3.17)
E´ importante salientar que nenhuma hipo´tese fora feita sobre f e g. O
me´todo utilizado foi elegante, pore´m incauto em relac¸a˜o ao rigor. Prossegui-
remos nesta sec¸a˜o colocando e demonstrando as seguintes questo˜es:
i) a se´rie (3.13) converge?;
ii) (3.13) e´ definida como uma func¸a˜o cont´ınua em R?;
iii) define ela uma func¸a˜o de classe C2 em R, que seja soluc¸a˜o do problema
de valor inicial e de fronteira?;
iv) quais as condic¸o˜es sobre f para ocorrer (3.14)?
v) quais as condic¸o˜es sobre g para que (3.16) ocorra?
Teorema 3.1.1. Supondo f e g func¸o˜es dadas em [0, c] tais que f , f ′, f ′′,
g, g′, sejam cont´ınuas e f ′′′ e g′′ sa˜o seccionalmente cont´ınuas. Iremos supor
tambe´m que f(0) = f(c) = f ′′(0) = f ′′(c) = g(0) = g(c) = 0. A` vista disso:
i) an e bn esta˜o bem definidas por (3.15) e (3.17), respectivamente;
ii) as igualdades (3.14) e (3.16) ocorrem;
iii) (3.13) define uma func¸a˜o cont´ınua e de classe C2 em R, satisfazendo a`
equac¸a˜o das ondas.
Demonstrac¸a˜o. i) e´ consequeˆncia direta do fato de f e g serem cont´ınuas em
[0, c], implicando que as integrais em (3.15) e (3.17) existem. A parte ii)
deriva das hipo´teses de f e g serem de classe C1 em [0, c] e de que f(0) =
f(c) = g(0) = g(c) = 0. Assim, f e g podem ser estendidas continuamente
a toda a reta de modo a serem ı´mpares e perio´dicas de per´ıodo 2c. Antes
de seguirmos em frente com as demonstrac¸o˜es, introduziremos o Teorema de
Fourier.
25
Teorema 3.1.2. TEOREMA DE FOURIER. Seja f : R → R uma func¸a˜o
seccionalmente diferencia´vel e de per´ıodo 2c. Enta˜o a se´rie de Fourier da
func¸a˜o f dada, converge em cada ponto x para
1
2
[f(x+ 0) + f(x− 0)] = 1
2
a0 +
∞∑
n=1
(
ancos
npix
c
+ bnsen
npix
c
)
Demonstrac¸a˜o. Para provar que (3.13) define uma func¸a˜o cont´ınua em R,
basta mostrar que a se´rie
∞∑
n=1
(|an|+ |bn|) converge, pois esta´ e´ uma majorante
da se´rie (3.13). Sendo assim, a integrac¸a˜o por partes, treˆs vezes, e as hipo´teses
f(0) = f(c) = f ′′(0) = f ′′(c) = 0 nos da˜o
an = − 2c
2
n3pi3
∫ c
0
f ′′′(x)cos
npix
c
dx. (3.18)
Analogamente,
npia
c
bn = − 2c
n2pi2
∫ c
0
g′′(x)sen
npix
c
dx (3.19)
De (3.18) e (3.19) segue
|an| ≤ k
n3
e |bn| ≤ k
′
n3
onde k e k′ sa˜o constantes. Dessa forma, as se´ries
∑
(|an|+|bn|) e
∑
(n|an|+
n|bn|) convergem, mostrando que y e´ cont´ınua em R e de classe C1 em R
Foi mostrado, tambe´m, que as derivadas primeiras de y podem ser obtidas
derivando-se (3.13) termo a termo:
∂y
∂x
=
∞∑
n=1
(
an
npi
c
cos
npix
c
cos
npiat
c
+ bn
npi
c
cos
npix
c
sen
npiat
c
)
, (3.20)
∂y
∂t
=
∞∑
n=1
(
−annpia
c
sen
npix
c
sen
npiat
c
+ bn
npia
c
sen
npix
c
cos
npiat
c
)
(3.21)
De (3.18) e (3.19), obtemos
|an| ≤ k
′′
n3
|cn|, |bn| ≤ k
′′′
n3
|dn|, (3.22)
26
sendo cn e dn denominados coeficientes de Fourier de f
′′′ e g′′, respectiva-
mente. Logo, utilizando a desigualdade ab ≤ 1
2
(a2 + b2) em (3.22), tem-se
n2|an| ≤ k
′′
2
(
1
n2
+ |cn|2
)
, n2|bn| ≤ k
′′′
2
(
1
n2
+ |dn|2
)
e
∞∑
n=1
(n2|an|+ n2|bn|) ≤ k
′′ + k′′′
2
( ∞∑
n=1
1
n2
+
∞∑
n=1
|cn|2 +
∞∑
n=1
|dn|2
)
(3.23)
Em virtude da Desigualdade Bessel, vide apeˆndice C, as duas u´ltimas se´ries
em (3.23) convergem. Logo, a convergeˆncia do primeiro membro de (3.23),
implica que y seja de classe C2 em R e as derivadas segundas de y podem ser
obtidas derivando (3.20) e (3.21), termo a termo. A` vista disso, verificar-se-a´,
que y satisfaz a` equac¸a˜o da onda.
3.2 Energia da corda vibrante
Seja y(x, t) uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o
ρ(x)ytt = τytt + h1(x, t, y) (3.24)
onde fora designado por h1(x, t, y) a densidade linear de forc¸as externas ao
longo da corda. Adicionaremos a hipo´tese de que τ(t) = t seja independente
do tempo. Fazendo a suposic¸a˜o de que y satisfac¸a a` equac¸a˜o da onda em R,
e seja uma func¸a˜o de classe C1 em R e de classe C2 em R. Multiplicando
(3.24) por yt e integrando com relac¸a˜o a x entre 0 e c, temos∫ c
0
ρ(x)yttytdx =
∫ c
0
τyttytdx+
∫ c
0
h1(x, t, y)dx. (3.25)
Atentando-se ao fato de que yttyt =
1
2
(y2t )t e realizando integrac¸a˜o por partes
na segunda integral de (3.25), tem-se
1
2
d
dt
∫ c
0
ρ(x)y2t dx = τyxyt|c0 −
∫ c
0
τyxytxdx+
∫ c
o
h1(x, t, y)ytdx
que pode ser reescrito da seguinte forma
d
dt
[
1
2
∫ c
0
ρ(x)y2t dx+
1
2
∫ c
0
τy2xdx
]
= τyxyt|c0 +
∫
h1(x, t, y)ytdx. (3.26)
27
A expressa˜o dada pela equac¸a˜o (3.26) e´ chamada equac¸a˜o da energia. A
relac¸a˜o abaixo
K(t) =
1
2
∫ c
0
ρ(x)y2t dx (3.27)
e´ a energia cine´tica da corda e
V (t) =
1
2
∫ c
0
τy2xdx (3.28)
representa a energia potencial da corda e E(t) = K(t) + V (t) e´ a energia
total da corda. Supondo que y seja soluc¸a˜o de (3.5); nesse caso, h1 = 0 e
yt(0, t) = yt(c, t) = 0. Desse modo, (3.26) reduz-se a
∂
∂t
[
1
2
∫ c
0
ρ(x)y2t dx+
1
2
∫ c
0
τy2xdx
]
, (3.29)
implicando que a energia E(t) seja constante no tempo. Portanto, sem a
ac¸a˜o de forc¸as externas, tem-se o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia para o
fenoˆmeno de vibrac¸a˜o da corda com extremidades fixas. Quando isso ocorre,
diz-se que o sistema e´ conservativo. Para o caso de vibrac¸a˜o da corda, sem
ac¸a˜o de forc¸as externas, com condic¸o˜es de fronteira semelhante, pode-se tirar
igual conclusa˜o. A energiainicial de corda vibrante e´
E(0) =
1
2
∫ c
0
ρ(x)g(x)2dx+
1
2
∫ c
0
τf ′(x)2dx, (3.30)
e o princ´ıpio de conservac¸a˜o de energia nas condic¸o˜es dadas em (3.5) diz que
essa energia e´ mantida.
Teorema 3.2.1. TEOREMA DE UNICIDADE. A soluc¸a˜o do problema de
valor inicial e de fronteira, caso exista, e´ u´nica
ρ(x)ytt = τyxx + k1(t, x), em R
y(0, t) = h1(t), y(c, t) = h2(t), t > 0
y(x, 0) = f(x), yt(x, 0) = g(x), 0 < x < c.
(3.31)
Demonstrac¸a˜o. Suponha que (3.31) tenha duas soluc¸o˜es y1 e y2, de classe C
2
em R e cont´ınua em R. A` vista disso, as seguintes relac¸o˜es de compatibilidade
entre os dados iniciais e os de fronteira sera˜o: h1(0) = f(0), h2(0) = g(c). A
func¸a˜o y = y1− y2 e´ de classe C2 em R, cont´ınua em R e satisfaz ao seguinte
problema de valor incial e de fronteira:
28

ρ(x)ytt = τyxx,
y(0, t) = y(c, t) = 0,
y(x, 0) = yt(x, 0) = 0
(3.32)
A energia incial E(0) e´ 0. Enta˜o, de (3.29), conclu´ı-se
1
2
∫ c
0
ρ(x)y2t dx+
1
2
∫ c
0
τy2xdx = 0,
implicando yt(x, t) = yx(x, t) = 0, constante, para (x, t) em R. Utilizando-se
da continuidade de y em R, e as condic¸o˜es iniciais, podemos concluir que
y = 0 em R, ou seja, y1 = y2. Tem-se assim, a unicidade de soluc¸a˜o para
(3.31).
3.3 Vibrac¸o˜es forc¸adas
Estudaremos agora o problema de vibrac¸a˜o de uma corda com extremi-
dades fixas e sujeita a forc¸as externas. O deslocamento y(x, t) e´ a soluc¸a˜o
para o problema de valor inicial e de fronteira:
ytt = a
2yxx + g(x, t), em R,
y(0, t) = y(c, t) = 0, para t > 0,
y(x, 0) = fo(x), para 0 ≤ x ≤ c,
yt(x, 0) = f1(x), para 0 ≤ x ≤ c,
(3.33)
Procederemos informalmente, como feito anteriormente, para descobrir
um candidato a` soluc¸a˜o na forma
y(x, t) =
∞∑
n=1
an(t)sen
npix
c
, (3.34)
com coeficientes cn(t) a determinar. Para cada t, iremos supor que a func¸a˜o
g(x, t) possa ser escrita como uma se´rie de Fourier
g(x, t) =
∞∑
n=1
gn(t)sen
npix
c
(3.35)
Utilizando-se da derivac¸a˜o termo a termo, obtemos
∞∑
n=1
a
′′
nsen
npix
c
= −a2
∞∑
n=1
n2pi2
c2
ansen
npix
c
+
∞∑
n=1
gn(t)sen
npix
c
29
Segue-se enta˜o, que
a
′′
n +
n2pi2a2
c2
= gn(t),
ou seja,
a
′′
n + (2piωn)
2an = gn, ∀ t > 0 (3.36)
onde ωn = na/2c e´ a frequeˆncia do n-e´simo harmoˆnico da corda livre, con-
forme veremos na pro´xima secc¸a˜o. Usando as condic¸o˜es iniciais de (3.33),
pode-se concluir que
f0(x) =
∞∑
n=1
an(0)sen
npix
c
, (3.37)
f1(x) =
∞∑
n=1
a
′
n(0)sen
npix
c
, (3.38)
portanto, devemos ter
an(0) =
2
c
∫ c
0
f0sen
npix
c
dx, (3.39)
a
′
n(0) =
2
c
∫ c
0
f1sen
npix
c
dx, (3.40)
Logo, cn(t) sera´ soluc¸a˜o de um problema de valor inicial para a equac¸a˜o dada
em (3.36), (3.39) e (3.40). A soluc¸a˜o geral de (3.36) e´ da seguinte forma
an(t) = K1cos2piωnt+K2sen2piωnt+ aˆn(t)
onde aˆn(t) e´ uma soluc¸a˜o particular de (3.36) e K1 e K2 sa˜o constantes
arbitra´rias que podem ser encontradas de acordo com as condic¸o˜es iniciais,
satisfazendo (3.39) e (3.40).
Omitiremos a discussa˜o das hipo´teses sobre a diferenciabilidade de g, f0
e f1, para provar que a se´rie (3.34) converge e que define uma soluc¸a˜o (3.33),
pois ja´ fora feito argumentos semelhantes anteriormente.
3.4 Harmoˆnicos, frequeˆncia, amplitude
Na resoluc¸a˜o de (3.5) pelo me´todo de Fourier, encontramos func¸o˜es
y(x, t) = ansen
npix
c
cos
npiat
c
+ bnsen
npix
c
sen
npiat
c
que sa˜o soluc¸o˜es e satisfazem a`s condic¸o˜es de fronteira da equac¸a˜o
ytt = a
2yxx. Essas func¸o˜es representam ondas estaciona´rias, pela raza˜o de
30
que para x, tal que npix/c = kpi, isto e´, x = kc/n, k = 0, 1, 2...n, tem-se
sen(npix/c) = 0. Enta˜o esses pontos, e somente esses, permanecem para-
dos se a vibrac¸a˜o da corda dor descrita pela func¸a˜o yn, correspondendo ao
caso de vibrac¸a˜o com as extremidades da corda fixas e condic¸o˜es iniciais
y(x, 0) = ansen(npix/c) e yt(x, 0) = (npia/c)bnsen(npix/c). Esses pontos
sa˜o denominados de no´s da onda estaciona´ria. Os pontos me´dios entre os
no´s consecutivos sa˜o os ventres ou antino´s. O dobro da distaˆncia entre dois
no´s e´ o comprimento de onda, dessa forma o comprimento de onda da onda
estaciona´ria yn e´ 2c/n. A figura a seguir ilustra tais conceitos.
Figura 3.1: Onda estaciona´ria
A func¸a˜o yn e´ tambe´m chamada de o n-e´simo harmoˆnico ou a n-e´sima
toˆnica. A primeira toˆnica recebe a nomenclatura de toˆnica principal ou
harmoˆnico fundamental, e as sucessoras sa˜o as supertoˆnicas. Fazendo αn =√
a2n + b
2
n e θn = arctg(an/bn), tem-se yn da seguinte forma
yn(x, t) = αnsen
(
npiat
c
+ θn
)
sen
npix
c
(3.41)
sendo θ denominado fase. A corda possui uma configurac¸a˜o descrita por
uma seno´ide para cada t fixo. Para valores de t tais que (npiat/c) + θn = kpi,
k = 0, 1, 2..., a corda passa pela posic¸a˜o de equil´ıbrio, e nesses momentos
a velocidade e´ ma´xima. A velocidade sera´ nula para os valores de t tais
que sen[(npiat/c) + θn] = ±1, onde a corda tem seus desvios ma´ximos da
posic¸a˜o de equil´ıbrio. O movimento de cada ponto x da corda e´ regido
pela lei senoidal de amplitude αsen(npix/c), per´ıodo Tn(2c/na) e frequeˆncia
ωn = T
−
n 1 = (na/2c). A` vista disso, todos os elementos da corda oscilam
com a mesma frequeˆncia de vibrac¸a˜o e constante de fase, ou seja, tem a
mesma dependeˆncia temporal, caracterizando-se como os modos normais de
vibrac¸a˜o. Enta˜o
ωn =
na
2c
e
αnsen
npix
c
31
recebem o nome de, respectivamente, frequeˆncia ou frequeˆncia natural e am-
plitude do n-e´simo harmoˆnico. Pode-se concluir tambe´m que as frequeˆncias
das supertoˆnicas sa˜o mu´ltiplos da frequeˆncia da toˆnica.
Figura 3.2: Modos normais de vibrac¸a˜o
A energia do n-e´simo harmoˆnico. Consideremos o n-e´simo harmoˆnico yn, de
uma corda vibrante com suas extremidades fixas. Da expressa˜o (3.41), segue
∂yn
∂t
(x, t) = αn
npia
c
cos
(
npiat
c
+ θn
)
sen
npix
c
,
∂yn
∂t
(x, t) = αn
npi
c
sen
(
npiat
c
+ θn
)
cos
npix
c
.
Usaremos as expressa˜o (3.27) e (3.28) para calcularmos a energia de yn
En =
1
2
∫ c
0
ρ(x)α2n
n2pi2a2
c2
cos2βsen2
(npix
c
)
dx
+
1
2
∫ c
0
τ(x)α2n
n2pi2
c2
sen2βcos2
(npix
c
)
dx,
onde βn = npiac
−1t + θn. Fazendo a suposic¸a˜o de que ρ e τ sa˜o constantes,
temos
En =
n2pi2
4c
α2n(ρa
2cos2βn + τsen
2βn)
fazendo c2 = τρ−1, temos que
En =
n2pi2
4c
ρa2α2n = Mpi
2α2nω
2
n, (3.42)
32
onde M = cρ e´ a massa da corda, ωn e´ q frequeˆncia do n-e´simo harmoˆnico e
αn e´ a amplitude ma´xima desse harmoˆnico.
A energia da corda e´ a soma das energias dos va´rios harmoˆnicos. A energia
E da corda e´ calculada por
E =
1
2
∫ c
0
ρ[g(x)]2dx+
1
2
∫ c
0
τ [f ′(x)]2dx.
Utilizando as expresso˜es (3.14) e (3.16) juntamente com as relac¸o˜es de orto-
gonalidade, tem-se
E =
1
2
∞∑
n=1
ρ
n2pi2a2
c2
b2n
c
2
+
1
2
∞∑
n=1
τ
n2pi2
c2
a2n
c
2
,
ou seja,
E =
1
2
∞∑
n=1
n2pi2
4c
ρ2a2α2n,
mostrando que
E =
∑
En.
Enta˜o, como foi mostrado, basta calcular a energia no instante t = 0,
uma vez que a corda vibrante, com extremidades fixas, forma um sistema
conservativo.
33
Cap´ıtulo 4
Equac¸a˜o do Calor
A deduc¸a˜o sera´ apresentada de modo cla´ssico, utilizando-se de alguns
conceitos que sa˜o heranc¸as de quando se pensava no calor como fluido: ca-
pacidade e fluxo de calor.
Considere um so´lido de formato qualquer ocupando uma regia˜o do espac¸o
proximamente a uma fonte de calor. A capacidade calor´ıfica espec´ıfica, que
denominaremos por C0, do corpo e´ a quantidadede calor necessa´ria para
elevar uma unidade de volume do corpo em uma unidade de temperatura.
Supomos que C0 e´ uma constante, mas e´ trivial concluir que a capacidade
calor´ıfica espec´ıfica depende do material de que o corpo e´ feito.
Imaginando uma superf´ıcie fechada S de volume V totalmente contida no
interior do so´lido. Denotaremos a temperatura em um instante t no ponto P
de coordenada (x, y, z) pela func¸a˜o τ(x, y, z). Desta forma, a quantidade de
calor acumulado nessa superf´ıcie fechada necessa´ria para atingir uma tempe-
ratura τ em P , em um intervalo de tempo t, pode ser expressada por∫ ∫ ∫
V
C0τ(x, y, z)dv
Logo, a derivada dessa integral nos fornece a velocidade do aquecimento com
relac¸a˜o a t, que denominaremos por υ e
υ =
∫ ∫ ∫
V
C0
∂τ
∂t
dv
Pode-se expressar tambe´m esse aquecimento por meio de uma integral de
superf´ıcie. Definiremos o fluxo de calor ϕS atrave´s da superf´ıcie S, pontual-
mente, pela quantidade de calor por unidade de a´rea e por unidade de tempo,
medida na direc¸a˜o ortogonal a S. Desta forma, naquele ponto, o fluxo de
calor realiza uma variac¸a˜o de temperatura na direc¸a˜o normal a S, que deno-
taremos por ~n o vetor unita´rio ortogonal a S. A variac¸a˜o da temperatura na
34
direc¸a˜o ~n e´ proporcional ao fluxo de calor e dado por
ϕ = −κdτ
d~n
(4.1)
sendo κ a condutividade te´rmica do so´lido. A equac¸a˜o (4.1) e´ tambe´m conhe-
cida como Lei de Fourier e o sinal de (−) e´ apenas uma convenc¸a˜o, indicando
que o fluxo de calor ocorre na direc¸a˜o inversa de ~n.
A derivada direcional em (4.1) pode ser escrita como
dτ
d~n
=< ∇τ, ~n >
e a expressa˜o do fluxo
ϕS = −κdτ
d~n
= −κ < ∇τ, ~n >
onde
~grad =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
= ∇
Como ~n denota o vetor unita´rio normal a` superf´ıcie fechada e orientado
para fora, a quantidade de calor que passa pelo elemento da superf´ıcie ds
por unidade de tempo e´ ϕSds. A` vista disso, o calor acumulado na superf´ıcie
fechada e´
υA = −
∫ ∫
S
ϕSds,
Substituindo ϕS pelo valor dado em (4.1) e utilizando o Teorema da
Divergeˆncia, obtemos∫ ∫
S
< ∇τ, ~n > ds =
∫ ∫ ∫
V
∇2τdv
onde denotaremos
∇2τ = div(∇τ) = ∂
2τ
∂x2
+
∂2τ
∂y2
+
∂2τ
∂z2
.
Comparando as duas velocidades de aquecimento, obtemos para o volume da
superf´ıcie ∫ ∫ ∫
V
(
C0
∂τ
∂t
− κ∇2τ
)
dv = 0. (4.2)
Logo,
∂τ
∂t
= K∇2τ, (4.3)
35
sendo K = κ/C0. Pois, como V representa uma regia˜o fechada e arbitra´ria,
a equac¸a˜o (4.2) implica que o integrando e´ nulo, supondo que a τ e´ cont´ınua
e tem derivadas cont´ınuas.
Em particular, se a temperatura na˜o depender explicitamente de t, mas
podendo ter dependeˆncia impl´ıcita das coordenadas espaciais, a equac¸a˜o (4.3)
torna-se
∇2τ = 0.
Para o caso em que exista uma fonte de calor interna ao corpo, especifi-
cada por f como a quantidade de calor por unidade de volume e por unidade
de tempo. Enta˜o, a expressa˜o da velocidade de aquecimento, passa a ser
υ =
∫ ∫ ∫
V
(
C0
∂τ
∂t
+ f
)
dv,
e repetindo os mesmo passos anteriores, obtemos a equac¸a˜o na˜o homo´gena
que descreve a evoluc¸a˜o do calor com fonte interna
∂τ
∂t
= K∇2τ − f
C0
4.1 Conduc¸a˜o do calor numa barra
Seja uma barra de comprimento L, de secc¸a˜o transversal com a´rea A e
feita de um material condutor uniforme de calor. Suponhamos a existeˆncia
de um isolamento te´rmico na superf´ıcie lateral da barra, permitindo enta˜o,
que haja transfereˆncias de calor apenas atrave´s das extremidades da barra,
conforme a figura 4.1.
Figura 4.1: Barra com isolamento te´rmico na superf´ıcie lateral.[1]
O isolamento te´rmico e a uniformidade do material que compo˜e a barra
implicam no problema de conduc¸a˜o de calor em uma u´nica dimensa˜o, pois
o fluxo ocorre somente na direc¸a˜o longitudinal. Logo, as varia´veis f´ısicas
em cada secc¸a˜o transversal sa˜o constantes, entretanto podem variar de uma
secc¸a˜o para outra.
36
A lei que utilizaremos para o estudo da conduc¸a˜o de calor em um barra
e´ a lei de resfriamento de Fourier, que prediz: considere duas placas, P1
e P2, ambas com a´reas iguais a A, estando a` temperaturas constantes T1
e T2 com T2 > T1. Havera´ enta˜o, a transfereˆncia de calor da placa com
maior temperatura para a de menor temperatura, e a variac¸a˜o temporal da
quantidade de calor que sera´ transferida, se estiverem paralelas e a uma
distaˆncia d, e´
Q =
kA(T2 − T1)
d
, (4.4)
sendo k a condutibilidade te´rmica do material entre as placas. Sua unidade
no sistema CGS tem dimenso˜es de cal/cm.s.oC.
Seja u(x, t) a representac¸a˜o da temperatura em um ponto da abcissa x
no tempo t, como representado na figura abaixo. Note a independeˆncia das
coordenadas espaciais y e z.
Figura 4.2: Sistema de coordenadas espaciais.[1]
Consideremos duas secc¸o˜es transversais da barra em x e x+ d, nas quais
aplicaremos a Lei de Fourier. A dificuldade, no entanto, esta´ no fato das
temperaturas nas secc¸o˜es na˜o serem cont´ınuas no tempo, como requer a Lei
de Fourier. Essa dificuldade e´ facilmente superada com a introduc¸a˜o da
grandeza fluxo de calor atrave´s da secc¸a˜o x no instante t, da seguinte maneira:
fixemos t em (4.4), procederemos com T2 = u(x + d, t) e T1 = u(x, t) e
passemos o limite quando d tende a zero. Tal limite sera´ kA|ux(x, t)|. Logo,
o fluxo de calor na direc¸a˜o positiva do eixo da abcissa como func¸a˜o q(x, t) e´
definido como
q(x, t) = −kAux(x, t). (4.5)
O sinal de menos em (4.5) possui a seguinte interpretac¸a˜o f´ısica: se a tempe-
ratura u crescesse com x, ux deveria ser positivo, mas, dessa forma, o calor
37
deveria fluir para a esquerda, enta˜o q deveria ser negativo. Por conseguinte,
se diminuir u implicasse na diminuic¸a˜o de x, ux seria negativo, mas, como o
calor deveria fluir para a direita, q seria positivo.
Utilizando-se do fluxo de calor q(x, t), em um elemento da barra entre x0
e x0 + δ, notamos que
q =
∫ t0+τ
t0
q(x0, t)dt−
∫ t0+τ
t0
q(x0 + δ, t)dt
ou seja,
q =
∫ t0+τ
t0
k[ux(x0 + δ, t)− ux(x0, t)]Adt. (4.6)
O calor espec´ıfico, C, de uma substaˆncia e´ a quantidade de calor ne-
cessa´ria para elevar em 1oC a temperatura de uma grama dessa determinada
substaˆncia. A` vista disso, q pode ser escrito como
q =
∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
Cut(x, t)dtρAdx, (4.7)
sendo ρ a densidade da substaˆncia a ser utilizada.
Aplicando o Teorema Fundamental do Ca´lculo em (4.6) e igualando com
o valor de q obtido em (4.7), temos∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
kuxxdxdt =
∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
Cρut(x, t)dxdt. (4.8)
A expressa˜o (4.8) e´ va´lida ∀ t0 > 0, 0 < x0 < L, todos τ > 0 e δ > 0,
com isso conclui-se que
kuxx(x, t) = Cρut(x, t),
ou seja,
ut = Kuxx (4.9)
sendo K a difusibilidade te´rmica, que possui dimensa˜o, no sistema CGS, de
cm2/s. A expressa˜o obtida em (4.9) descreve a variac¸a˜o da temperatura
u(x, t) numa barra uniforme com a superf´ıcie lateral isolada termicamente,
conforme as hipo´teses iniciais, e e´ denominada como equac¸a˜o do calor.
38
4.2 Barra com extremidades mantidas a 0o C
O problema consiste, matematicamente, em encontrar uma func¸a˜o u(x, t)
para t ≥ 0 e 0 ≤ x ≤ L, de tal forma que
ut = Kuxx, t > 0, 0 < x < L;
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0;
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L,
(4.10)
sendo dadas a constante K e a func¸a˜o f . Analogamente ao procedimento
realizado para encontrar (3.11), uma expressa˜o razoa´vel a ser candidato a`
soluc¸a˜o de (4.10) e´
∞∑
n=1
cne
−n2pi2Kt/L2sen
npix
L
, (4.11)
em que os coeficientes cn sa˜o escolhidos de forma que
f(x) =
∞∑
n=1
sen
npix
L
. (4.12)
A` vista disso, os cn devem ser os coeficientes de Fourier da func¸a˜o dada no
seu respectivo intervalo, e estendida para R de modo a ser ı´mpar e perio´dica
de per´ıodo 2L. Logo
cn =
2
L
∫L
0
f(x)sen
npix
L
dx. (4.13)
Vale salientar que que a igualdade (4.12) na˜o se verifica para uma func¸a˜o
qualquer. Pelo Teorema 3.1.2 veˆ-se que a temperatura deve satisfazer algu-
mas condic¸o˜es, para todo x em [0, L], sendo f cont´ınua, f(0) = f(L) = 0 e
f ′ seja seccionalmente cont´ınua.
Prosseguiremos agora com o intuito de demonstrar que a expressa˜o (4.11),
onde os coeficientes sa˜o dados em (4.13), seja soluc¸a˜o para o problema de
valores inicial e de fronteira (4.10). Contudo, antes de seguir com as demons-
trac¸o˜es, faz-se necessa´rio definir exatamente o que e´ uma soluc¸a˜o para (4.10).
Os valores da func¸a˜o u(x, t), na regia˜o
R = {(x.t) ∈ R : 0 < x < L, t > 0}
esta˜o, obviamente, ligados com os dados inicial e de fronteira. Assim sendo,
utilizaremos a seguinte notac¸a˜o para designar a adereˆncia de R
R = {(x.t) ∈ R : 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0}
39
4.3 Barra sujeita a outras condic¸o˜es laterais
O objetivo desta sec¸a˜o e´ o estudo de treˆs problemas de valores iniciais e
de fronteira, em que as condic¸o˜es de fronteira sa˜o diferentes das descritas no
in´ıcio deste cap´ıtulo. A te´cnica de resoluc¸a˜o, no entanto, e´ semelhante ao
caso da barra com extremidades a 0o, sendo assim o estudo sera´ realizado de
forma sucinta.
4.3.1 Barra isolada termicamente tambe´m nas extre-
midades
Matematicamente o problema consiste em encontrar uma func¸a˜o u(x, t)
em R que satisfaz a`s condic¸o˜es
ut = Kuxx,
ux(0, t) = ux(L, t), ∀ t > 0,
u(x, 0) = f(x),∀ 0 ≤ x ≤ L.
(4.14)
Atrave´s do me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, onde u(x, t) = F (x)G(t),
obteˆm-se
G′(t) = σKG(t), t ≥ 0, (4.15)
F ′′(x)− σF (x) = 0, 0 ≤ x ≤ L. (4.16)
sendo σ um paraˆmetro a determinar, de tal forma que as soluc¸o˜es de (4.16)
sejam satisfeitas na fronteira
F ′(0) = F ′(L) = 0, (4.17)
das quais sa˜o obtidas das condic¸o˜es de fronteira de (4.14). Os problemas
(4.16) e (4.17) sa˜o problema de autovalores com σn = −n2pi2/L2 com n ∈
N. Para cada valor de σn, obteˆm-se uma autofunc¸a˜o Fn(x) = cos(npix/L).
A cada σn encontramos uma soluc¸a˜o correspondente para (4.15), dada por
Gn(t) = e
−n2pi2Kt/L.
Prosseguiremos no sentido de obter os coeficientes cn tais que
f(x) =
∞∑
n=0
cncos
npix
L
, (4.18)
devem ser os coeficientes de Fourier da f , dada em [0, L] e estendida a
c0 =
1
L
∫ L
0
f(x)dx, (4.19)
40
cn =
2
L
∫ L
0
f(x)cos
npix
L
dx, n ∈ N. (4.20)
Ou seja, f sera´ estendida de modo a ser uma func¸a˜o par e perio´dica de
per´ıodo 2L. Logo, a soluc¸a˜o de (4.14) deve ser dada por
∞∑
n=0
cne
−n2pi2Kt/Lcos
npix
L
, (4.21)
note que os coeficientes cn sa˜o dados em (4.19)e (4.20). A func¸a˜o determinada
para u em (4.21) satisfaz a` equac¸a˜o do calor e a`s condic¸o˜es de fronteira. Ale´m
disso define uma func¸a˜o u infinitamente diferencia´vel em R e cont´ınua em
{(x, t) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ L, t > 0}. Exigindo continuidade e existeˆncia da
derivada f ′(x) como func¸a˜o seccionalmente cont´ınua, pode-se provar, usando
integrac¸a˜o por partes, que
cn =
−L
npidn
, n ∈ N
onde
dn =
2
L
∫ L
0
f ′(x)sennpix
L
dx
. Portanto
∞∑
n=1
|cn| ≤ L
2
2pi2
∞∑
n=1
1
n2
+
1
2
∑
d2n <∞, (4.22)
que devido a Desigualdade de Bessel, vide apeˆndice C, a u´ltima se´rie con-
verge. Logo, (4.22) implica que a func¸a˜o u em (4.21) e´ cont´ınua em R e
satisfaz tambe´m a` condic¸a˜o inicial.
Para o caso em que f na˜o e´ cont´ınua, sob a hipo´tese de f ser quadrado
integra´vel, pode-se mostrar que (4.21) satisfaz a` condic¸a˜o inicial
lim
t→0
∫ L
0
u(x, t)ϕ(x)dx =
∫ L
0
f(x)ϕ(x)dx
para toda func¸a˜o seccionalmente cont´ınua ϕ.
4.3.2 Barra com uma extremidade isolada termicamente
e a outra mantida a 0oC
O problema agora consiste em determinar uma func¸a˜o u(x, t) definida em
R tal que
41

ut = Kuxx,
u(0, t) = ux(L, t), ∀ t > 0,
u(x, 0) = f(x),∀ 0 ≤ x ≤ L.
(4.23)
Atrave´s do me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, onde u(x, t) = F (x)G(t),
obteˆm-se o problema de autovalores
F ′′(x)− σF (x) = 0
F (0) = F ′(L) (4.24)
para 0 ≤ x ≤ L, com autovalores sa˜o σn = −(2n− 1)2pi2/4L2 ∀n ∈ N, cujas
autofunc¸o˜es sa˜o sen(2n− 1)pix/2L. A` vista disso, a soluc¸a˜o de (4.23) e´
u(x, t) =
∞∑
n=1
cne
−(2n−1)2pi2Kt/(4L2)sen
sen(2n− 1)pix
2L
(4.25)
sendo cn, coeficientes de Fourier, tais que
f(x) =
∞∑
n=1
cnsen
sen(2n− 1)pix
2L
(4.26)
Seguiremos com o intuito de verificar se f pode ser escrita na forma de
(4.26). Note que f deve ser escrita como uma se´ries de senos, definida assim
de modo a ser uma func¸a˜o ı´mpar. A ideia utilizada em 4.3.1 de definir f
como perio´dica de per´ıodo 2L na˜o funciona neste caso. Enta˜o, definiremos
f a ser perio´dica de per´ıodo 4L. Entretanto f na˜o esta´ definida em toda
reta, logo deve-se preceituar os valores de f no trecho [L, 2L]. Se a f na˜o
houver nenhuma imposic¸a˜o, a se´rie de f conteria todos os senos da forma
sen(jpix/2L), j = 1, 2, 3.... Como tais senos na˜o e´ do nosso interesse, basta
definir f(x) = f(2L − x),∀x ∈ [L, 2L]. Pode-se comprovar a afirmac¸a˜o
anterior, mostrando que, com tal f , tem-se∫ 2
0
Lf(x)sen
(
jpix
2L
)
dx = 0, (4.27)
para j = 2m e m ∈ N∗. Ou seja, ∀x ∈ [0, L], sendo f cont´ınua em [0, L] e f ′
seccionalmente cont´ınua, f(0) = 0 e estendida da forma como descrevemos,
os coeficientes cn sa˜o dados por
cn =
2
2L
∫ 2
0
Lf(x)sen
(
(2n− 1)pix
2L
)
dx, (4.28)
42
ou ainda como
cn =
2
L
∫ L
0
f(x)sen
(
(2n− 1)pix
2L
)
dx. (4.29)
Utilizando-se da integrac¸a˜o por partes, pode-se notar que
cn =
2L
(2n− 1)pidn, dn =
2
L
∫ L
0
f ′(x)cos
(
(2n− 1)pix
2L
)
dx
mostrando que a se´rie
∞∑
n=1
|cn| converge, utilizando ideias ana´logas aos dos
problemas anteriores. Logo, pode-se concluir que (4.25) define uma func¸a˜o
que e´ cont´ınua em R, infinitamente diferencia´vel em R e que e´ soluc¸a˜o de
(4.23). Sendo f quadrado integra´vel em [0, L], (4.25) caracteriza uma func¸a˜o
infinitamente diferencia´vel em R, cont´ınua em {(x, t) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ L, t >
0} e satisfazendo a` equac¸a˜o do calor juntamente com as condic¸o˜es laterais.
A condic¸a˜o inicial e´ satisfeita no sentido me´dio.
4.3.3 Barra com uma extremidade mantida a 0oC e a
outra livre para fluxo de calor com o ambiente
O problema consiste em verificar uma lei que estabelece que o fluxo seja
proporcional a` diferenc¸a de temperatura entre o meio e a barra, quando
esta mante´m uma extremidade fixa no 0oC. Matematicamente, temos que
determinar uma func¸a˜o u(x, t) em R tal que
ut = Kuxx,∈ R,
ux(0, t) + ku(0, t), u(L, t) = 0, ∀t > 0
u(x, 0) = f(x),∀ 0 ≤ x ≤ L.
(4.30)
Utilizando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, chegamos no seguinte pro-
blema de autovalores
F ′′(x)− σF (x) = 0
F ′′(0) + kF (0) = F (L) = 0. (4.31)
As autofunc¸o˜es em questa˜o sa˜o Fn(x) = ancos(λnx)+bnsen(λnx). As soluc¸o˜es
do sistema linear abaixo fornecem an e bn{
kan + λnbn = 0
an + (tgλnL)bn = 0.
43
Assim como foi feito nos casos anteriores, o candidato a` soluc¸a˜o do problema
de valor inicial e de fronteira e´
∞∑
n=1
cne
−λ2nKt(ancosλnx+ bnsenλnx),
sendo os cn determinados de modo que
f(x) =
∞∑
n=1
cn(ancosλnx+ bnsenλnx).
Note que esta se´rie na˜o e uma se´rie de Fourier, pois os λn na˜o sa˜o da forma
ppi/qL com p e q unicamente inteiros. A matema´tica que fora desenvolvida
ate´ aqui na˜o e´ suficiente para a resoluc¸a˜o deste problema. Para tal problema
e´ necessa´rio uma elegante teoria, denominada de Teoria de Sturm-Liouville.
Esta teoria, no entanto, na˜o esta´ nos objetivos deste trabalho.
44
Cap´ıtulo 5
Equac¸a˜o de Laplace
Seja Ω uma regia˜o do plano, os dois tipos de regia˜o considerados aqui sa˜o:
i) o disco de raio R e centrado na origemDR = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < R2};
ii) um retaˆngulo
< = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < a, 0 < y < b}
Denominaremos por Ω a adereˆncia de Ω e por ∂Ω a fronteira de Ω.
Uma func¸a˜o cont´ınua u : Ω → R sera´ harmoˆnica se esta satisfazer a`
equac¸a˜o de Laplace
div(∇u) = ∇2u ≡ ∂
2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= 0 (5.1)
O operador ∇2 e´ conhecido como Laplaciano.
Laplaciano em coordenadas polares: Utilizando-se da mudanc¸a de varia´veis
entre coordenadas cartesianas e polares, em duas dimenso˜es
x = rcosθ, y = rsenθ,
obtemos que o Laplaciano, em coordenadas polares, e´
∇2u = vrr + 1
r
vr +
1
r2
vθθ (5.2)
onde v(r, θ) = u(rcosθ, rsenθ).
45
5.1 Problema de Dirichlet para a equac¸a˜o de
Laplace
O problema de Dirichlet consiste em dada uma func¸a˜o cont´ınua f : ∂Ω→
R, determinar uma func¸a˜o u : Ω→ R satisfazendo a`s seguintes condic¸o˜es
i) u e´ cont´ınua em Ω,
ii) u e´ harmoˆnica em Ω,
iii) u = f em ∂Ω.
A resoluc¸a˜o deste problema para uma regia˜o arbitra´ria Ω na˜o e´ trivial.
Unicidade do problema do Dirichlet. Utilizaremos o princ´ıpio do ma´ximo,
para mostrar que se caso o problema de Dirichlet seja solu´vel, a soluc¸a˜o sera´
u´nica.
Teorema 5.1.1. Seja Ω uma regia˜o limitada do plano e u : Ω → R uma
func¸a˜o cont´ınua em Ω e harmoˆnica em Ω. Enta˜o o ma´ximo de u e´ atingido
na fronteira.
Demonstrac¸a˜o. Considerando Ω limitada, implica diretamente que Ω e ∂Ω
sa˜o conjuntos fechados e limitados do plano. Como toda func¸a˜o real cont´ınua
g : K → R, em um conjunto compacto K, tem um valor ma´ximo µ e existe
(x, y) ∈ K tal que f(x, y) ≤ f(x, y) = µ, para todo (x, y) em K. Sejam
M = max
Ω
u(x, y) e m = max
∂Ω
u(x, y)
e por contradic¸a˜o, suponhamos m < M , u assume seu ma´ximo em (x0, y0)
que deve estar em Ω e na˜o em Ω. Iremos definir a seguinte func¸a˜o
v(x, y) = u(x, y) +
M −m
2d2
[(x− x0)2 + (y − y0)2] (5.3)
denominando por d o diaˆmetro da regia˜o Ω e d e´ o supremo das distaˆncias
entre pares de pontos de Ω. A` vista de que
v(x0, y0) = u(x0, y0) = M
e
v(x, y) ≤ m+ M −m
2d2
d2 =
M +m
2
< M, (x, y) ∈ ∂Ω
pode-se concluir que a func¸a˜o v assume seu ma´ximo em um ponto (x1, y1) de
Ω, e na˜o de ∂Ω. Logo, neste ponto vxx(x1, y1) ≤ 0 e vyy(x1, y1) ≤ 0, o que
nos fornece
∇2v(x1, y1) ≤ 0. (5.4)
46
Por outro lado, a partir de (5.3) temos
∇2v = M −m
d2
> 0, (5.5)
para todos os pontos de Ω. Como pode-se observar, as desigualdades (5.4) e
(5.5) sa˜o contradito´rias.
Corola´rio 5.1.2. Seja u como nas hipo´teses no Teorema anterior. Enta˜o u
assume seu mı´nimo em ∂Ω. Para a demonstrac¸a˜o, basta aplicar o teorema
anterior a` func¸a˜o −u.
Teorema 5.1.3. Sejam u1 e u2 soluc¸o˜es do problema de Dirichlet para um
mesmo f . Enta˜o u1 ≡ u2.
Demonstrac¸a˜o. A func¸a˜o u = u1 − u2 e´ harmoˆnica em Ω, cont´ınua em Ω
e resulta em zero em ∂Ω. Portanto, pelo corola´rio 1, u(x, y) ≥ 0 e pelo
princ´ıpio do ma´ximo u(x, y) ≤ 0 ∀ (x, y) ∈ Ω. Da´ı, conclui-se que u ≡ 0.
Teorema 5.1.4. Sejam Ω uma regia˜o do plano, (x0, y0) um ponto de Ω e u :
Ω\ {(x0, y0)} → R uma func¸a˜o harmoˆnica, limitada em uma vizinhanc¸a ao
redor do ponto supracitado. Enta˜o, existe u0 tal que u(x, y)→ u0, e a func¸a˜o
u˜ : Ω → R e´ harmoˆnica e definida por u˜(x0, y0) = u0 e u˜(x, y) = u(x, y),
sendo (x, y) 6= (x0, y0).
A demonstrac¸a˜o para o Teorema 5.1.4 sera´ omitida, pois na˜o faz parte
dos objetivos deste trabalho.
5.2 Problema do Dirichlet no retaˆngulo
Consideremos agora o problema de encontrar a soluc¸a˜o u(x, y), com domı´nio
< = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < a, 0 < y < b} restrito em um retaˆngulo do
plano-xy, como mostra a figura 5.1
Consideremos a equac¸a˜o
uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, (5.6)
sujeita a`s condic¸o˜es de contorno
u(x, 0) = 0;u(x, b) = 0; 0 < x < a, (5.7)
e
u(0, y) = 0;u(a, y) = f(y); 0 ≤ y ≤ b (5.8)
47
Figura 5.1: Regia˜o retangular - Problema de Dirichlet
Figura 5.2: Condic¸o˜es de contorno para o problema de Dirichlet
onde f : [a, b]→ R, conforme a figura 5.2
A ideia que seguiremos para a resoluc¸a˜o do problema de Dirichlet sera´
construir um conjunto fundamental de soluc¸o˜es de (5.6) que satisfac¸a a`s
condic¸o˜es de contorno (5.7), com relac¸a˜o a varia´vel y. Logo apo´s, sera´ uti-
lizado o princ´ıpio da superposic¸a˜o de modo a satisfazer a`s demais condic¸o˜es
de contorno em x. Assim, temos
u(x, y) = X(x)Y (y) (5.9)
ou simplesmente u = XY . Logo
ux = X
′Y e uxx = X ′′Y (5.10)
e
uy = XY
′ e uyy = XY ′′ (5.11)
Substituindo (5.10) e (5.11) na equac¸a˜o de Laplace, obtemos
X ′′Y +XY ′′ = 0,
48
implicando
X ′′
X
= −Y
′′
Y
= σ (5.12)
sendo σ a constante de separac¸a˜o. Desta forma, podemos escrever
X ′′ − σX = 0, (5.13)
Y ′′ + σY = 0. (5.14)
Aplicando as condic¸o˜es de contorno (5.7) em (5.9), obtemos
u(x, 0) = X(x)Y (0) = 0 e u(x, b) = X(x)Y (b) = 0. (5.15)
Tem-se que a func¸a˜o X(x) na˜o pode ser identicamente nula, logo deve-se
escolher
Y (0) = 0 e Y (b) = 0. (5.16)
Determinaremos agora a soluc¸a˜o de (5.14) sujeita a`s condic¸o˜es de contorno
(5.16). Uma soluc¸a˜o na˜o-trivial existe se e somente se a constante de se-
parac¸a˜o de for
σ =
n2pi2
b2
(5.17)
enta˜o a soluc¸a˜o sera´
Yn(y) = Knsen
npiy
b
(5.18)
sendo Kn constantes dependentes e n.
Prosseguiremos agora com a resoluc¸a˜o de (5.13). Por (5.17) a expressa˜o
(5.13) torna-se
X ′′ − n
2pi2
b2
X = 0. (5.19)
Cuja soluc¸a˜o geral e´
Xn(x) = k
1
ne
npix
b + k2ne
−npix
b (5.20)
Da condic¸a˜o de contorno u(0, y) = 0 em (5.8)
u(0, y) = X(0)Y (y) = 0,
donde X(0) = 0. Aplicando esta u´ltima soluc¸a˜o, obtemos
k1n = −k2n
e, desta forma, (5.20) pode ser escrita como
Xn(x) = k
1
n
(
e
npix
b − e−npixb )
49
ou
Xn(x) = knsenh
(npix
b
)
. (5.21)
Por (5.9), temos que a soluc¸a˜o de (5.6) e´ encontrada pela produto de (5.18)
e (5.21). Agrupando as constantes, pode-se escrever as soluc¸o˜es fundamentais
un(x, y) = Cnsen
(npiy
b
)
senh
(npix
b
)
,
sendo Cn uma constante dependente de n. A soluc¸a˜o geral, pelo princ´ıpio da
superposic¸a˜o, de (5.6) e´
u(x, y) =
∞∑
n=1
Cnsen
(npiy
b
)
senh
(npix
b
)
, (5.22)
tal que satisfaz as duas condic¸o˜es de contorno homogeˆneas em y por (5.7) e
em x por (5.8). Para encontrar o valor das constantes Cn, a soluc¸a˜o de (5.22)
deve satisfazer a condic¸a˜o na˜o homogeˆnea em (5.8), dada por u(a, y) = f(y).
Dessa forma, temos
u(a, y) =
∞∑
n=1
Cnsen
(npiy
b
)
senh
(npia
b
)
= f(y).
Note que os coeficientes Cn devem ser coeficientes da se´ries de senos de
Fourier, com per´ıodo T = 2b para f(y), dados por
bn = Cnsenh
(npia
b
)
=
2
b
∫ b
0
f(y)sen
(npiy
b
)
dy,
e enta˜o
Cn =
1
senh
(
npia
b
) 2
b
∫ b
0
f(y)sen
(npiy
b
)
dy.
Substituindo Cn na soluc¸a˜o (5.22), obtemos a soluc¸a˜o de (5.7) que satisfaz
todas as condic¸o˜es de contorno.
5.3 Problema de Dirichlet no disco
Dada uma func¸a˜o cont´ınua f(θ), utilizando coordenadas polares, com θ
variando entre 0 ≤ θ ≤ 2pi, e sendo f(0) = f(2pi), o problema pode ser
formulado em determinar v(r, θ) para 0 ≤ r ≤ R e 0 ≤ θ ≤ 2pi, tal que
i) v(r, 0) = v(r, 2pi) e v cont´ınua,
50
ii) v seja de classe C2 em 0 < r < R e satisfac¸a a equac¸a˜o de Laplace,
iii) v(R, θ) = f(θ).
Buscaremos soluc¸o˜es do tipo v(r, θ) = A(r)B(θ), utilizando a separac¸a˜o
de varia´veis e as se´ries de Fourier. Obte´m-se duas equac¸o˜es diferenciais or-
dina´rias substituindo em (5.2)
r2A′′ + rA′ − σA = 0 (5.23)
B′′ + σB = 0, (5.24)
sendo σ um paraˆmetro independente de R e θ. Como B e´ uma func¸a˜o
perio´dica de per´ıodo 2pi, conclui-se que σ = n2, n ≥ 0 e
Bn(θ) = ancos(nθ) + bnsen(nθ)
e´ a soluc¸a˜o geral de (5.24). A equac¸a˜o (5.23) possui um par de soluc¸o˜eslinearmente independentes, para cada n, dadas por
1 e lnr, se n = 0,
rn e r−n, se n ≥ 1.
As soluc¸o˜es lnr e r−n na˜o sa˜o interessantes, pois estas dariam um v(r, θ)
descont´ınuo na origem. Enta˜o, an(r) = r
n, ∀ n ≥ 0. Para cada n ≥ 0, a
func¸a˜o
vn(r, θ) = r
n[ancos(nθ) + bnsen(nθ)]
sendo an e bn constantes quaisquer que satisfazem a`s condic¸o˜es (i) e (ii).
Seguiremos em descobrir uma func¸a˜o v que satisfac¸a tambe´m (iii). Natural-
mente, o candidato e´
v(r, θ) =
∞∑
n=0
rn[ancos(nθ) + bnsen(nθ)] (5.25)
Escolhendo os coeficientes an e bn convenientemente, a se´rie (5.25) conver-
gira´, e definira´ uma func¸a˜o satisfazendo (i), (ii) e (iii). Como queremos
v(R, θ) = f(θ), seria conveniente que
f(θ) = a0 +
∞∑
n=1
[anR
ncos(nθ) + bnR
nsen(nθ)] (5.26)
o que exigiria
a0 =
1
2pi
∫ 2pi
0
f(θ)dθ, (5.27)
51
an =
1
piRn
∫ 2pi
0
f(θ)cos(nθ)dθ e bn =
1
piRn
∫ 2pi
0
f(θ)sen(nθ)dθ. (5.28)
Vale observar que (5.26) ocorreria se f fosse seccionalmente deriva´vel, mas,
em geral, isso no´s na˜o temos. Contudo o procedimento anterior nos leva a
crer que (5.25), com os coeficientes dados em (5.27) e (5.28), seja soluc¸a˜o
para o problema de Dirichlet. E, de fato, e´.
Teorema 5.3.1. Seja f(θ) com θ variando entre 0 e 2pi, uma func¸a˜o cont´ınua,
com f(0) = f(2pi). Enta˜o (5.25), com os coeficientes an e bn definidos em
(5.27) e (5.28), e´ uma func¸a˜o harmoˆnica no disco DR e
v(r, θ)→ f(θ0) quando (r, θ)→ (R, θ0).
A demonstrac¸a˜o deste teorema sera´ dada na forma de uma se´rie de lemas.
Lema 5.3.2. A`s condic¸o˜es do Teorema 5.3.1, a equac¸a˜o (5.25) define uma
func¸a˜o harmoˆnica em DR
Demonstrac¸a˜o. (1) A se´rie (5.25) converge para r < R. Pode-se concluir de
(5.28) que
|an| ≤ KR−n e |bn| ≤ KR−n,
sendo K uma constante independente de n, e, logo, a se´rie (5.25) e´ dominada
por
2K
∞∑
n=0
( r
R
)n
,
a qual e´ convergente se r < R.
(2) A se´rie encontrada em (5.25) define uma func¸a˜o cont´ınua no disco DR.
Logo, para tal se´rie, basta mostrar que (5.25) converge uniformemente nos
discos r ≤ r0, ∀ r0 < R. Segue-se enta˜o do teste M de Weierstrass, pois
(5.25) e´ majorada uniformemente pela se´rie convergente
2K
∞∑
n=0
(r0
R
)n
,
no disco r ≤ r0.
(3) A se´rie (5.25) e´ uma func¸a˜o de classe C2 em DR. Para tal, basta que as
se´ries resultantes de (5.25) por derivac¸a˜o termo a termo convergem unifor-
memente em discos r ≤ r0, ∀ r0 < R. As se´ries obtidas pelas derivadas sa˜o
majoradas uniformemente no disco, por se´ries nume´ricas da forma
∞∑
n=0
n
(r0
R
)n
,
∞∑
n=0
n2
(r0
R
)n
,
52
que convergem.
(4) A se´rie (5.25) define a func¸a˜o v(r, θ) como harmoˆnica, pois cada termo
da se´rie, obtidos pela derivac¸a˜o termo a termo, e´ uma func¸a˜o harmoˆnica.
Lema 5.3.3. Pode-se expressar a func¸a˜o v(r, θ), definida por (5.25), para
r < R e 0 ≤ θ ≤ 2pi, por
v(r, θ) =
1
2pi
∫ 2pi
0
R2 − r2
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α)f(α)dα (5.29)
que e´ conhecida como a Fo´rmula de Poisson.
Demonstrac¸a˜o. Utilizando-se das expresso˜es dos coeficientes, dadas em (5.27)
e (5.28), e sabendo que a se´rie converge uniformemente em α, temos
v(r, θ) =
∫ 2pi
0
[
1
2pi
+
1
pi
+
∞∑
n=1
( r
R
)n
cos(nθ − nα)
]
f(α)dα.
Para calcular tal soma da se´rie acima, observamos que
∞∑
n=1
λncos(nθ) = Re
∞∑
n=1
λneinθ
e que
∞∑
n=1
λneinθ =
λeiθ
1− λeiθ =
λeiθ − λ2
|1− λeiθ|2 , |λ| < 1.
Logo, a Fo´rmula de Poisson se segue atrave´s de alguns ca´lculos.
Lema 5.3.4. Vamos supor agora que ale´m das hipo´teses feitas no Teorema
5.3.1, f seja de classe C1. Logo, a se´rie (5.25) define uma func¸a˜o v(r, θ)
cont´ınua em DR, harmoˆnica em DR, e que v(r, θ) = f(θ).
Demonstrac¸a˜o. Para isso, basta mostrar que (5.25) converge uniformemente
em DR. Somos conduzidos, pela integrac¸a˜o por partes em (5.28), a
an = − 1
nRn
βn, bn =
1
nRn
αn,
sendo αn e βn os coeficientes de Fourier de f
′(θ). Enta˜o, a se´rie dada por
(5.25) e´ majorada pela se´rie nume´rica em DR que se segue abaixo
∞∑
n=1
1
n
(|αn|+ |βn|),
53
na qual e´ majorada por
∞∑
n=1
1
n2
+
1
2
∞∑
n=1
(|αn|+ |βn|),
que em virtude da Desigualdade de Bessel, vide apeˆndice C, tambe´m e´ uma
se´rie convergente. Portanto, o teste M de Weierstrass garante a convergeˆncia
da se´rie (5.25) em DR
Lema 5.3.5. Tem-se que
1
2pi
∫ 2pi
0
R2 − r2
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α)f(α)dα = 1 (5.30)
para r < R e 0 ≤ θ ≤ 2pi
Demonstrac¸a˜o. Considerando o problema de Dirichlet no disco com f(θ) = 1.
A u´nica para esse problema e´ v(r, θ) ≡ 1, pelo Teorema 5.1.3. Mas, v(r, θ)
tambe´m e´ dada pela se´rie (5.25), em DR, pois o lema 5.3.4 pode ser aplicado
a dados de fronteira constantes. E tambe´m, no disco DR, v(r, θ), e´ dada pela
Fo´rmula de Poisson. Segue-se enta˜o (5.30).
Lema 5.3.6. Suponha as hipo´teses feitas no Teorema 5.3.1 e seja θ0 definido
entre 0 e 2pi. Enta˜o, v(r, θ) definido em (5.29) tende a f(θ0) quando (r, θ)→
(R, θ0).
Demonstrac¸a˜o. Utilizando (5.29) e (5.30), temos
v(r, θ)− f(θ0) = 1
2pi
∫ 2pi
0
R2 − r2
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α) [f(α)− f(θ0)]dα (5.31)
Mostraremos que, dado � > 0, ∃ δ > 0, tal que, |R − r| < δ e |θ − θ0| < δ,
enta˜o |v(r, θ)−f(θ0)| < �. Para um η > 0, no qual fixaremos posteriormente,
decompomos a integral (5.31) na soma
I1 + I2 =
∫
|α−θ0|≤η
+
∫
α−θ0|>η
Pode-se majorar a primeira integral da seguinte forma
|I1| ≤ 1
2pi
∫
|α−θ0|≤η
R2 − r2
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α) [|f(α)− f(θ0)|]dα ≤ ω(η),
sendo ω(η) o mo´dulo de continuidade de f , e onde fora usado o Lema 5.3.5.
Para majorar a outra integral, tomamos δ < η/2, dai,
|θ − α| > η
2
54
se
|θ − θ0| < δ,
para os α tais que |α − θ0| > η. Definindo M como o ma´ximo de |f(θ)|,
obtemos enta˜o
|I2| ≤ 2M R
2 − r2
R2 + r2 − 2Rrcos(η/2) ≤ 2M
2R(R− r)
[R− rcos(η/2)]2
e, se r > R/2, temos
|I2| ≤ 4MR(R− r)
r2[1− cos(η/2)]2 ≤
16M
[R(1− cos(η/2)]2 (R− r).
Tomando η tal que ω(η) < �/2; a seguir, com esse η fixo, tomamos δ tal que
δ < η/2 e
16M
[R(1− cos(η/2)]2 <
�
2
.
Para essas condic¸o˜es, [I1] e [I2] sa˜o menores do que �/2.
A demonstrac¸a˜o do Teorema 5.3.1 decorre do Lema 5.3.2, do qual prova
que v(r, θ) e´ uma func¸a˜o harmoˆnica em DR e ale´m disso o Lema 5.3.6 de-
monstra que a func¸a˜o v(r, θ) converge para f(θ0) quando (r, θ) convergem
para (R, θ0).
55
Cap´ıtulo 6
Conclusa˜o
A F´ısica Matema´tica se estende a praticamente todas as a´reas da F´ısica,
se fazendo presente nas atividades cuja principal finalidade e´ a compreensa˜o
dos conteu´dos f´ısicos de modelos e teorias estudadas, gerando assim uma
aproximac¸a˜o maior da Matema´tica com a F´ısica.
As Se´ries de Fourier permitem a representac¸a˜o matema´tica de func¸o˜es
perio´dicas e e´ uma ferramenta matema´tica essencial para a resoluc¸a˜o de pro-
blemas f´ısicos. A` vista disso, se tornou uma te´cnica muito poderosa com uma
vasta aplicac¸a˜o em todos os campos da cieˆncia.
Tomando como base o Me´todo de Fourier, resolvemos com eˆxito os pro-
blemas nos quais propusemos a estudar, exibindo a utilidade das teorias
matema´ticas aplicadas em problemas f´ısicos, como e por que foram criadas.
Tal ana´lise mostrou-se de grande valia para melhor compreensa˜o do estudo
da equac¸a˜o da onda, da conduc¸a˜o de calor e do problema de Dirichlet, pois
utilizamos um certo grau de rigor matema´tico implicando diretamente na
clareza de racioc´ınio, limpeza de premissas e argumentos.
56
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] De Figueiredo, D.G. Ana´lise de Fourier e Equac¸o˜es Diferenciais Parciais.
Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1977.
[2] AS SE´RIES DE FOURIER, Dispon´ıvel em
<http://www.seara.ufc.br/tintim/matematica/fourier/fourier1.htm>.
Acesso em dezembro de 2013.