Roteiro Profa. Hatsumi

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manual de Laboratório de Física 
Experimental II 
 
Profa. Hatsumi Mukai e Prof. Paulo R. G. Fernandes 
 
 
 
 
 
 
 
agosto/2018 
 
 
 
 
O presente manual de Física Experimental II é uma continuação do Manual de 
Laboratório de Física Experimental I. Os Capítulos de 09 a 17 são conteúdos referentes 
às ementas das componentes curriculares de Física Experimental II e Laboratório de 
Física Experimental II, ofertadas pelo DFI. Nesse semestre, os pré-requisitos são: o 
conhecimento de confecção de relatório (Capítulo I); medidas e erros (Capítulo 2); 
confecção, linearização e interpretação de gráficos (Capítulos 3 e 4). Os conteúdos que 
serão tratados nesse manual são referentes a Oscilações, Ondas, e Termodinâmica. 
Inicia-se com os experimentos de Pêndulo Simples e de Pêndulo Físico, abordando o 
Movimento Harmônico Simples e o Movimento Harmônico Amortecido. Posteriormente, é 
abordada uma forma experimental de se obter o valor numérico da constante elástica de 
molas (caso estático - sem oscilação) e a equação da constante elástica para o caso 
dinâmico (com oscilação) em um sistema massa-mola. A partir daí, passa-se ao 
experimento de cordas vibrantes (adaptação do experimento de Melde), onde se estuda 
o princípio de superposição de uma onda mecânica transversal. Em seguida, é 
apresentado como determinar a velocidade do som no ar utilizando um tubo de Kundt. 
Terminando este conteúdo, iniciam-se os experimentos referentes à Termodinâmica. A 
lei zero da termodinâmica é explorada, juntamente com a abordagem dos conceitos de 
temperatura e de equilíbrio térmico no experimento realizado com um termômetro a gás a 
volume constante, para obter o zero absoluto pelo processo de extrapolação e a 
constante dos gases ideais. Aborda-se, posteriormente, o fenômeno da dilatação linear 
para obter experimentalmente, o coeficiente de dilatação linear de diferentes materiais. 
Neste experimento também é apresentado o uso de novos equipamentos, como o de um 
manômetro de pressão e um sensor de temperatura, o PT100. A determinação 
experimental do Número de Avogadro é o assunto do próximo capítulo. Sendo esta, uma 
grandeza importante dentro da teoria cinética dos gases. Este é obtido utilizando o 
método de Langmuir para o ácido oléico. A partir daí, apresenta-se o experimento de 
calorimetria, explorando os conceitos da Lei de conservação de energia, e o efeito Joule 
para obter a capacidade térmica de um calorímetro e o calor específico de um óleo 
vegetal. E, por fim, mas não menos importante, apresenta-se um experimento abordando 
máquinas térmicas para obter o rendimento real, o de Carnot, explorando a primeira e a 
segunda leis da termodinâmica. Os créditos aos proponentes de cada experimento estão 
no próprio capítulo. 
Os autores 
Manual de Laboratório – Física Experimental II - Hatsumi Mukai e Paulo Ricardo 
Garcia Fernandes - 2018 
 89 89
Movimento Periódico e Oscilação 
 
 
O estudo, de movimentos periódicos e oscilatórios, nos conduziu a uma evolução 
científica e tecnológica como a invenção dos relógios mecânicos, determinação com 
precisão da primeira medição da aceleração gravitacional, comprovação científica 
da rotação da Terra, relógio biológico (ritmo circadiano1), entre outros. O movimento 
periódico é caracterizado por uma grandeza denominada período. Sendo o período 
o tempo gasto para completar um ciclo completo quando sua posição se repete em 
intervalos de tempos iguais. Enquanto que, o movimento oscilatório como o próprio 
nome diz, é caracterizado por um corpo que oscila e, tal movimento deve ser em 
torno de um ponto de equilíbrio. Quando se une os dois conceitos, temos o que é 
denominado de movimento harmônico. Este na sua forma mais simples, é 
representada pela equação: )cos()( φωθ += tAt , onde A é a amplitude máxima, ω a 
frequência angular e fase inicial, grandezas. Quando estas se mantêm constante 
durante o movimento oscilatório, este é denominado Movimento Harmônico Simples 
(MHS). No caso em que no tempo total de oscilação, a amplitude vai diminuindo até 
cessar, temos o Movimento Harmônico Amortecido (MHA). E a equação do 
deslocamento é dada por: )cos()( 2 φωθ += − tAet tm
b
. Nesta equação, b é a constante 
relacionada à intensidade da força resistiva ( vbF −= ) e é válida quando mkb 4< 
(a força de resistência é pequena quando comparada a força restauradora) e a 
constante k está relacionada à força restauradora. Temos ainda, que a força 
resistiva depende da velocidade ( v ) no meio. 
Apresentamos a seguir alguns experimentos abrangendo movimentos com 
oscilação e periodicidade. Estes são: Pêndulo Simples e Pêndulo Físico, neste 
capítulo, e Sistema massa-mola, no próximo capítulo (Capítulo 10). Além desses 
experimentos, podemos incluir o MCU estudado no Capítulo 6, embora lá não se 
tenha explorado estes conceitos no experimento. Nos experimentos dos Pêndulos, 
veremos que para pequenas amplitudes ( )15o≤θ , em relação ao comprimento do 
fio L, vale relação θθ ≅sen , onde θ é a posição angular inicial de liberação da 
 
1
 Ritmo circadiano ou ciclo circadiano (do latim circa cerca de + diem dia) designa o período de aproximadamente 
24 horas baseado no ciclo biológico de quase todos os seres vivos. É influenciado principalmente pela variação de luz, 
temperatura, marés e ventos entre o dia e a noite. O ritmo circadiano regula todos os ritmos materiais bem como 
muitos dos ritmos psicológicos do corpo humano, com influência sobre, por exemplo, a digestão ou o estado de vigília e 
sono, a renovação das células e o controle da temperatura do organismo. Site: 
[http://pt.wikipedia.org/wiki/Ritmo_circadiano]. 
 
Capítulo 
9 
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 90 90
massa pendular, e a equação de movimento é dada em termos da posição angular 
como )cos()( φωθ += tAt ou )()( φωθ += tAsent . Iremos explorar, no caso do pêndulo 
simples, ambas as situações: MHS e MHA. 
 
PARTE 1: PÊNDULO SIMPLES 
 
Um pêndulo simples se define como uma massa suspensa (m) por um fio 
inextensível, de comprimento L e massa desprezível em relação ao valor de m. 
Quando a massa é deslocada para uma posição θ (ângulo que o fio faz com a 
vertical) e liberada (velocidade inicial zero), o pêndulo começa a oscilar. O caminho 
percorrido pela massa suspensa é chamado de arco. O período de oscilação que 
vamos chamar de T é o tempo necessário para a massa passar duas vezes 
consecutivas pelo mesmo ponto, movendo-se na mesma direção, isto é, o tempo 
que a massa leva para sair de um ponto e voltar ao mesmo ponto percorrendo o 
mesmo arco. O pêndulo descreve uma trajetória circular; um arco de circunferência 
de raio L. 
Estudaremos o movimento do pêndulo segundo a direção radial e a tangencial ao 
arco da curva. Na ausência de forças dissipativas (ou quando estas são 
desprezíveis), as forças que agem sobre o corpo de massa m são apenas duas: a 
força peso, de módulo mg , vertical para baixo e a ação da tração no fio, de módulo 
T, direção radial e apontado para o centro do arco de circunferência de raio L - 
indicados na Figura 9.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE 1A: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
yP
r
 
Figura 9.1 – Representação esquemática de um pêndulo simples. No 
diagrama as grandezasT
r
, P
r
 são tração e força peso, L o comprimento até o 
centro de massa do corpo, θ a amplitude inicial; Figura feita pela autora. 
L 
θ
P
r
 
T
r
xP
r
 
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 91 91
 
O movimento oscilatório ocorre na direção tangencial ao arco da curva, que 
denominamos de x. A segunda lei de Newton2 permite escrever: 
xx maF = , (9.2) 
nesta direção, temos somente a componente x da força peso (no caso, esta é 
uma força restauradora, em relação a posição de equilíbrio, surgindo assim um 
sinal negativo). Portanto, a equação (9.2) fica escrita como: 
xx maP =− . (9.3) 
Na ilustração (Fig. 9.1), as componentes da força peso segundo as direções 
radial e tangencial são dadas por: 
 
Direção radial : cosyP mg θ= , (9.4a) 
Direção tangencial : xP mg senθ= . (9.4b) 
 
Substituindo a Equação (9.4b) na Equação (9.3), ficamos com: xmamgsen =− θ . 
A aceleração pode ser escrita em termos da velocidade da seguinte forma: 
dt
d
aa tx
|v| r
== . Sendo, R v ω= , onde nesse caso R = L (comprimento do fio), 
obtemos: 2
2
dt
dL
dt
dRaa tx
θω
=== e ficamos com a seguinte equação: 
θθ mgsen
dt
d
mL −=2
2
, ou: 
 
0sen2
2
=+ θθ
L
g
dt
d
 . (9.5) 
 
Oscilações de pequena amplitude 
 
Desenvolvendo o θsen da Eq. (9.5) em série de Taylor temos: 
........
!7!5!3
sen
753
+−+−=
θθθθθ
 (ângulo em radianos). Quando o ângulo de 
oscilação (amplitude) do pêndulo é pequeno ( 015 ≤θ ), temos que θθ ≅sen , 
pois os outros termos serão menores ainda e podemos desprezá-los. Dessa 
forma, o pêndulo descreverá oscilações harmônicas descritas pela equação 
diferencial (Eq. 9.6): 
 
2
 Lembrando sempre que as leis de Newton são aplicáveis em referenciais 
inerciais. 
 
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 92 92
02
2
=+ θθ
L
g
dt
d
, (9.6) 
cuja solução pode ser: ) ( cos)( max φωθθ += tt . Substituindo esta solução, e a 
sua derivada segunda na equação diferencial, temos que esta solução somente 
é válida quando: 
L
g
 
2
=ω . Uma vez que a frequência angular é dada por 
T
pi
ω
2
= , temos que o período de oscilação do pêndulo será, portanto: 
g
LT pi2=
 . (9.7) 
 
Uma forma alternativa de obter a Equação (9.7) é por meio dos conceitos de 
torque e momento de inércia. O torque é definido como: r Fτ = ×
rr r
, seu módulo 
é dado por: 
rFsenτ θ= , (9.8) 
em que: r=L, e F=-P (força restauradora), e θ o ângulo entre L e P. Lembrando 
ainda, que a segunda lei de Newton para movimento em rotação é dada por: 
Iτ α= . Substituindo todas essas informações na Equação (9.8) ficamos com: 
I Lmgsenα θ= − . 
Como: 
2
2
d
dt
θ
α = e senθ θ≅ para ângulos pequenos, então: 
2
2
dI Lmg
dt
θ θ= − ⇒ 
2
2 0
d Lmg
dt I
θ θ+ = , (9.9) 
que possui como solução: ) ( cos)( max φωθθ += tt . Substituindo )(tθ e sua 
derivada segunda ( ) ( cos2max2
2
φωωθθ +−= t
dt
d ) na equação diferencial 
(Equação 9.9), obtém-se que: 
I
Lmg
 
2
=ω . Como T
pi
ω
2
= , o período de 
oscilação do pêndulo será,
 
Lmg
IT pi2= . Como o momento de Inércia de um 
pêndulo simples é dado por 2I mL= . Recaímos na Equação (9.7): 
 
.2
g
LT pi= 
 
 
 
 
 
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Glossário 
L
x
rad =⇒= )( 
Raio
ArcoÂngulo θ (para ângulos pequenos) 
=θ ângulo de oscilação, sendo também a amplitude. 
T
pi
ω
2
= = velocidade angular ou frequência angular 
T = período de oscilação = tempo necessário para uma oscilação completa 
T
1
=ν = frequência (expressa em Hz quando T é expresso em segundos) 
 
 
EXPERIMENTO 9.1: PÊNDULO SIMPLES - MHS 
 
OBJETIVOS: 
 
- Verificar a dependência da massa e do ângulo de liberação da massa no 
período. 
- Obter experimentalmente a equação geral para o período de oscilação de 
um pêndulo simples para pequenas amplitudes; 
- Determinar a aceleração da gravidade local; 
 
MATERIAIS UTILIZADOS: 
 
• Massa pendular; 
• Fio de suspensão; 
• Cronômetro; 
• Trena; 
• Fita adesiva; 
• Transferidor meia lua; 
• Balança; 
• Suporte na parede. 
 
MONTAGEM EXPERIMENTAL 
Adote um comprimento de fio em torno de 3 m. Amarre uma das extremidades 
do fio na massa pendular (m – Figura 9.2 (3)), a outra extremidade passe pelo 
orifício do suporte (Figura 9.2 item (2)) que se encontra na parede (Fig. 9.2 (1)). 
Use o sistema de deslizamento do fio (Fig. 9.2 (5)) no orifício do suporte para 
controlar o comprimento do fio. Fixe o comprimento do fio (L) a partir do 
suporte até a posição do centro de massa do corpo pendular, e fixe a 
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 94 94
extremidade livre do fio com fita adesiva na parede, tal que o fio não deslize no 
seu suporte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.2 – Figura esquemática (visão lateral) da montagem experimental de um 
pêndulo simples na posição de equilíbrio e L o raio da trajetória. Tem-se ainda que: (1) 
a parede, (2) suporte pendular; (3) fio; (4) massa pendular e (5) extensão do fio para o 
sistema de deslizamento para controle do comprimento do fio. Figura elaborada pela 
autora. 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: 
 
1. Para verificar a dependência do ângulo de liberação e da massa no período de 
oscilação, divida a turma em 4 equipes ou mais, dependendendo do número de 
alunos e suportes disponíveis, cada equipe escolhe um ângulo θ e uma massa 
pendular de valor diferente, bem como somente um valor de comprimento (L) igual 
a todas as equipes (100,00 cm), as demais medidas de comprimentos devem 
diferir entre as equipes; 
2. Anotem esses valores pré-determinados no quadro, e sigam o seguinte 
procedimento: 
a. Ajuste o comprimento do fio do pêndulo de modo que tenha a medida 
pré-determinada da ponta do fio ao centro de massa da massa 
pendular (L indicado na Figura 9.2); 
b. Marque com uma fita adesiva o ângulo (θ), aferida com um 
transferidor, obedecendo à relação de que este ângulo não deve ser 
maior do que 15,0 º a partir da posição de equilíbrio; 
5 
3 
2 
1 
L 
4 
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 95 95
c. Para a realização do experimento, desloca-se a massa pendular da 
posição de equilíbrio (mantenha o fio paralelo a parede), até o ângulo 
θ
 e libera-se a massa (v0 = 0,00 cm/s, sem impulso) e meça o tempo 
de 10 períodos, repetindo esta operação 3 vezes para cada 
comprimento L do fio; Utilize 5 diferentes comprimentos para L, sendo 
um dos comprimentos igual a de todas as equipes; 
d. Anotem os resultados nas Tabelas 9.1. 
 
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE: 
 
Neste item são apresentados os dados experimentais aferidos por cada equipe. 
A sugestão é que cada equipe transcreva no quadro os dados experimentais 
da sua tabela, dando acesso para todos os demais colegas. Estes resultados 
devem ser apresentados nas Tabelas 9.1 (a) a 9.1 (d). 
 
 
Tabela 9.1 (a): Dados Obtidos Experimentalmente dos tempos (ti) em segundos, para 
cada comprimento (L) em cm, ângulo de liberação (θ) em graus e massa pendular (m) 
em g – Equipe 1. 
L(cm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) 
 
 
 
 
 
=θ
 
m = 
 
 
 
Tabela 9.1 (b): Dados Obtidos Experimentalmentedos tempos (ti) em segundos, para 
cada comprimento (L) em cm, ângulo de liberação (θ) em graus e massa pendular (m) 
em g – Equipe 2 
L(cm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) 
 
 
 
 
 
=θ
 
m = 
 
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Tabela 9.1 (c): Dados Obtidos Experimentalmente dos tempos (ti) em segundos, para 
cada comprimento (L) em cm, ângulo de liberação (θ) em graus e massa pendular (m) 
em g – Equipe 3 
L(cm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) 
 
 
 
 
 
=θ
 
m = 
 
Tabela 9.1 (d): Dados Obtidos Experimentalmente dos tempos (ti) em segundos, para 
cada comprimento (L) em cm, ângulo de liberação (θ) em graus e massa pendular (m) 
em g – Equipe 4 
L(cm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) 
 
 
 
 
 
=θ
 
m = 
 
 
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS: 
 
a) Calculem o tempo médio e o tempo de uma oscilação completa (1 
período) e coloquem os resultados nas Tabelas 9.2 com seus 
respectivos desvios; 
 
Tabela 9.2 (a): Dados do Tempo médio e período médio, para =θ 
e m= 
L(cm) tm (s) Tm (s) 
 
 
 
 
 
 
Tabela 9.2 (b): Dados do Tempo médio e período médio, para =θ 
e m= 
L(cm) tm (s) Tm (s) 
 
 
 
 
 
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Tabela 9.2 (c): Dados do Tempo médio e período médio, para =θ 
 e m= 
L(cm) tm (s) Tm (s) 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 9.2 (d): Dados do Tempo médio e período médio, para =θ 
 e m= 
L(cm) tm (s) Tm (s) 
 
 
 
 
 
 
b) Observando os dados do período para o comprimento de 100,00 cm, entre 
as Tabelas 9.2, o que vocês concluem em relação à dependência da massa e 
do ângulo de liberação da massa no período de oscilação? Justifique sua 
resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Escreva os dados do comprimento e do período, em ordem crescente do 
comprimento do fio, com seus respectivos desvios na Tabela 9.3. Para o 
comprimento de 100,00 cm faça a média do período entre as Tabelas 9.2. 
Lembrem-se de que são resultados de medidas experimentais, portanto devem 
ser representadas com seus respectivos desvios. 
 
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Tabela 9.3 – Dados do comprimento do fio (L) em cm com seus respectivos períodos 
(T) em s. 
L(cm) T(s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) A partir da Tabela 9.3, confeccione em papel milimetrado o gráfico T x L; 
e) Escreva uma relação entre o eixo das ordenadas, período (T), e o eixo 
das abcissas, o comprimento (L), o que é necessário se obter? 
f) Linearize se necessário, o gráfico T x L, determine os “termos” 
identificados no item (e) e escreva a equação do período com os valores 
encontrados; 
g) Obtenha a expressão geral do período para o pêndulo simples (válida 
para qualquer pêndulo simples); 
h) Considerando a equação geral do período obtida no item (g) e a 
equação final obtida no item (f), obtenha o valor da aceleração 
gravitacional, e compare com o valor existente na literatura científica em 
nível do mar à latitude de 45°, dada por: g = 980,6 65 cm/s² e determine 
o desvio percentual; 
i) Calcule quanto deveria ser a aceleração gravitacional em Maringá, por 
meio da expressão matemática apresentada pela National Physical 
Laboratory [9]: 
HBsenAseng 622 10086,3)21(7803184,9 −−−+= ϕϕ , onde: A e B são 
constantes adimensionais obtidos experimentalmente (A=0,0053024 e 
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 99 99
B=0,0000059), φ o valor da Latitude e H a altitude local acima do nível 
do mar em metros. Compare o resultado aqui obtido com ambos os 
resultados: a obtida experimentalmente bem como com a padrão 
utilizada na literatura científica citada no item (h). 
j) Confira o resultado do item (i) com o obtido no site3: 
http://www.ptb.de/cartoweb3/SISproject.php . 
 
 
 
ANÁLISE DOS RESULTADOS: 
 
CONCLUSÃO (ÕES): 
 
• PARTE 1B: MOVIMENTO HARMÔNICO 
AMORTECIDO (MHA) 
 
No caso do MHA, a atuação da força de atrito (força resistiva) da massa 
pendular com o meio por um tempo mais longo, faz com que a amplitude de 
oscilação do pêndulo simples diminua com o tempo. E, a sua amplitude 
obedeça uma função que diminui com o tempo (Figura 9.3): 
 
 
 
 
3
 A. Lindau, Gravity Information System of PIB, Physikalisch-Technische 
Bundesanstalt, Braunscheweig, Germany, 2007. 
 
 
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 100 10
 
 
Figura 9.3: Esboço de um gráfico da Amplitude (θ) versus tempo (t) para a função 
exponencial (em verde), senoidal (em azul) e movimento amortecido (em vermelho), 
Figura adaptada da referência http://ctborracha.com/?page_id=1189 
 
 
Na Figura 9.3, pode se observar que quando o movimento é harmônico 
simples, a oscilação se apresenta de forma repetitiva com mesma amplitude, e 
quando esta oscilação é afetada pela função exponencial, a amplitude vai 
diminuindo, indicando o movimento harmônico amortecido. 
 
Obtenção da equação da amplitude em função do tempo: 
 
A força de atrito do corpo oscilante com o meio é diretamente proporcional a 
velocidade com que o corpo se move neste meio: vbFA −= , sendo b a 
constante de amortecimento (ou coeficiente de resistividade do meio) que 
depende das características do sistema. Como: 
 
 
dt
dL
dt
Ld θθ
===
)(
dt
dS
v , 
então: 
dt
dbLFA
θ
−= . Vimos que a componente tangencial da força no pêndulo 
simples é dada por θmgFt −= para ângulos pequenos. Substituindo FA e Ft na 
segunda lei de Newton: 2
2
dt
d
mLmaFF tA
θ
==+ , ficando com: 
2
2
dt
d
mLmg
dt
dbL θθθ =−− ; Reescrevendo esta equação da seguinte forma: 
)10.9(,02
2
=++ θθθ
L
g
dt
d
m
b
dt
d
 
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 101 10
definindo 
m
b
=γ e 
L
g
=ω , temos a seguinte equação diferencial: 
022
2
=++ θωθγθ
dt
d
dt
d
. 
A solução para esta equação envolve uma função exponencial (indicada na 
Figura 9.3): 
)cos()( 2max φωθθ
γ
+=
−
tet
t
. 
Desta equação temos que a amplitude é dada por 
)11.9()( 2max
t
etA
γ
θ
−
= 
Caso o atrito fosse nulo, então 0=γ , e recairíamos na equação diferencial do 
MHS. 
 
Aplicando logaritmo neperiano na Equação (9.11), ficamos com: 
tA
2
lnln max
γθ −= . Portanto a inclinação da reta em papel monolog4 de ln A x t, 
nos fornece o valor de 2/γ− . E, obtendo o valor de γ
, 
podemos obter o valor 
da resistividade do meio (b). 
 
EXPERIMENTO 9.2 – PÊNDULO SIMPLES - MHA 
 
OBJETIVOS: 
 
- Obter o coeficiente de resistividade (b) entre a massa pendular e o meio 
(ar); 
- Aprender a confeccionar e interpretar um gráfico na escala monolog; 
 
MATERIAIS UTILIZADOS: 
 
• Massa pendular; 
• Fio de suspensão; 
• Cronômetro; 
• Trena; 
• Fita adesiva; 
• Transferidor; 
• Balança; 
• Suporte na parede. 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: 
 
4
 Se utilizar o papel monolog da sala de aula, lembre-se que este é na base 10 e não na base e, deve se 
realizara conversão no resultado obtido. 
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 102 10
 
1. Com o auxílio do transferidor e lápis ou caneta de quadro branco (para 
paredes com azulejos) ou fita adesiva (para paredes comuns), marque na 
parede ângulos de 5 em 5 graus até 20o, a partir do centro do suporte 
(posição de equilíbrio da massa pendular), devidamente alinhado; 
2. Adote um fio de comprimento de aproximadamente 3,0 m, e amarre uma de 
suas extremidades na massa pendular; 
3. Passe a outra extremidade do fio no furo do suporte, regule o comprimento 
em torno de 2,5 m e fixe esta extremidade do fio em algum objeto da parede, 
ou com uma fita adesiva (Figura 9.2); 
4. Pegue o pincel de quadro branco e pinte parte do fio, perto da massa 
pendular, para dar um contraste em relação a parede que é branca; 
5. Desloque a massa pendular até o ângulo de 20o marcado na parede; 
6. Ao liberar a massa (sem impulso, e paralelo a parede) acione o cronômetro 
(t0 =0,00 s); 
7. Quando a amplitude diminuir para 15o, anote o primeiro tempo. (Não trave o 
cronômetro no botão da direita, use a função em que trava para fazer a 
leitura, mas este deve continuar marcando o tempo, que é o botão a 
esquerda. Aperte uma vez ele trava para ler, e depois aperte outra vez para 
liberar); 
8. Repita o procedimento do item 7, para as amplitudes de 10 e 5 graus. Afira o 
valor da massa pendular e anote o comprimento do fio L, do suporte até o 
seu centro de massa. 
9. Anotem os dados na Tabela 9.4; 
 
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE: 
 
Os dados da amplitude em graus variando de 20,0 a 5,0 graus de cinco em 
cinco graus, e os respectivos tempos de oscilação. Bem como os respectivos 
desvios, estão apresentados na Tabela 9.4. 
 
Tabela 9.4: Dados da Amplitude em graus e do tempo para cada amplitude; 
A (graus) = θ(o) t (min e segundos) 
 
 
 
 
 
Anote o valor da massa m (Kg) e do comprimento do fio (L) em metros, com os 
respectivos desvios: 
 
m = 
 
L = 
 
 
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS: 
 
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 103 10
Transforme o tempo da Tabela 9.4 em segundos e anote na Tabela 9.5: 
 
 
 
Tabela 9.5: Dados da Amplitude em graus e do tempo para cada amplitude. 
A (graus) = θ(o) t (s) 
 
 
 
 
 
 
a. Confeccione o gráfico da Amplitude (A) versus tempo t(s); 
b. Que tipo de comportamento forneceu o gráfico? 
c. Confeccione o gráfico em papel monolog de ln A x t; 
d. Obtenha a inclinação da reta, e obtenha o coeficiente de resistividade (b). 
 
ANÁLISE DOS RESULTADOS: 
 
CONCLUSÃO (ÕES): 
 
PARTE 2: PÊNDULO FÍSICO 
 
O Pêndulo Físico é um equipamento por um corpo que oscila em relação a um 
ponto de equilíbrio. No nosso caso adotaremos uma barra homogênea que 
oscila em torno de um ponto centrado em uma de suas extremidades (Figura 
9.4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.4: Desenho esquemático de um pêndulo físico em formato de uma 
barra. Figura elaborada pela autora. 
Momento de Inércia de uma barra homogênea cujo eixo de rotação 
encontra-se centralizado em uma das extremidades: 
θ
 
P
r
 
x 
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 104 10
Considerando a densidade linear, ao longo do eixo x: 
L
M
=λ ; Então em 
∫= dmrI
2
, temos que dxdm λ= , tal que: ∫=
L
dxxI
0
2λ , portanto: 
33
23 MLL
L
MI teórico == [Kg m2] ou [g cm2]. (9.12) 
Para o experimento: 
Utilizando a definição de torque: Fr
rrr
×=τ , onde 
2
|| Lr =r a distância do eixo 
de rotação até onde atua a força que realiza o torque. Neste caso PF
rr
= . 
Sendo θ o ângulo entre rr e P
r
, obtém-se: θτ sen
2
PL−= ( o sinal negativo é 
devido estarmos trabalhando com uma força restauradora); Como ατ I= , 
onde 2
2
dt
d θ
α = , ficamos com: 
θθ sen
22
2
mgL
dt
dI −= . 
Para ângulos pequenos θθθ ≈<<⇒sen , e utilizando a seguinte notação: 
θθ &&=2
2
dt
d
, ficamos com a seguinte equação diferencial: 
0
2
=+ θθ
I
mgL&&
. 
Cuja solução é: )cos()( ϕωθ += tAt , derivando esta relação com relação ao 
tempo 2 vezes teremos (θ&& ). Assim, substituindo θ e θ&& na equação 
diferencial, ficamos com: 
I
mgL
2
2
=ω . Como 
T
pi
ω
2
= , sendo T o período de 
oscilação, obtemos que: 
2
2
.exp 8pi
mgLTI = [kg m2], ou [g cm2]. (9.13) 
Substituindo o momento de Inércia da barra (Equação 9.12) na Equação 
(9.13): 2
22
83 pi
mgLTmL
= , tal que: 
2
2
3
8
T
Lg pi= . (9. 14) 
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 105 10
 
EXPERIMENTO 9.3 - PÊNDULO FÍSICO 
 
OBJETIVO: 
 
• Determinação da aceleração gravitacional via um Pêndulo 
Físico. 
 
MATERIAIS UTILIZADOS: 
 
• Barra de metal com suporte (Pêndulo Físico) 
• Cronômetro 
• Trena 
• Balança 
 
 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: 
 
 - Retire a barra do suporte; 
 - Afira o comprimento da barra a partir de seu eixo de rotação; 
- Afira o valor da massa da barra; 
- Recoloque a barra no suporte; 
- Desloque a barra em um ângulo menor ou igual a 15o ; 
- Anote na Tabela 9.6, o tempo de 10 períodos; 
 
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE: 
 
Apresenta se na Tabela 9.6 os resultados dos tempos para 10 oscilações 
completas, da massa da barra (m) em Kilograma, do comprimento da barra (L) 
em metros e o ângulo de liberação da barra (θ) em relação a sua posição de 
equilíbrio em graus. 
 
Tabela 9.6 : Tabela dos dados experimentais para o pêndulo físico. 
t1 (s) t2 (s) t3 (s) 
 
m= L= θ= 
 
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS: 
 
- Determine o período médio T e seu desvio, usando os dados da Tabela 9.6. 
Represente seu resultado como uma medida experimental; 
- Determine a aceleração gravitacional e seu desvio, represente como uma 
medida experimental; 
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 106 10
- Obtenha o desvio percentual; 
 
ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
CONCLUSÃO (ÕES) 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker – Fundamentos de Física – Vol.1, 3ª 
Edição LTC Editora - (1998); 
[2] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker – Fundamentos de Física – Vol.2, LTC 
Editora, 6a Edição, capítulo 16, página 79 (2002). 
[3] H. M. Nussenzveig – Curso de Física Básica – 1 – Mecânica – 3a Edição – 
Edgard Blücher Ltda – (1996); 
[4] H. Mukai e P. R. G. Fernandes, Manual de Laboratório de Física I e II/ DFI-UEM 
(2008 e 2013 a 2017). 
[5] H. Mukai, A. A. Savi e S. M. S. Stivari, Textos de aula de laboratório 
DFI/UEM 2009 a 2012. 
[6] P.Tipler – Física para Cientistas e Engenheiros – Vol 2 – Terceira Edição – LTC 
– Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., página 86 (1995) e P. Tipler – 4a 
Edição – Vol 1- página 242 (1995). 
[7] D. Halliday, R. Resnick – Física = Vol.2 – 4a Edição – Editora LTC, cap. 15 –
página 16 (1996). 
[8] A.; D. Priore Filho, J. B. G. Canalle, J. R. Marinho, M. R. do Valle Filho, Física 
Básica Experimental, 2aEdição, 1990. 
[9] L. G. Mezzalira, G. Moscati, J. M. E. Saffar,”Determinação alternativa da 
aceleração da gravidade” ENQUALAB-2006- Congresso e Feira da Qualidade em 
Metrologia Rede Metrológica do Estado de São Paulo – REMESP, SP, 2006; 
 
 
 
Manual de Laboratório – Física Experimental II- HatsumiMukai e Paulo Ricardo Garcia 
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 10710
 
OSCILAÇÕES MECÂNICAS: CONSTANTE ELÁSTICA1 
 
 
 Nos experimentos de Pêndulo Simples e Físico (Experimentos 9.1 a 9.3) 
exploramos entre outros, os conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) 
(desprezando o atrito com o ar) e Movimento Harmônico Amortecido (MHA) 
(considerando o atrito com o ar). Entre as condições iniciais adotadas 
consideramos: velocidade inicial nula e o ângulo de deslocamento em relação a 
posição de equilíbrio pequeno ( o15≤θ ). Vimos que ambos os pêndulos possuem 
movimento periódico, e a força restauradora é devido à atuação da força da 
gravidade que faz com que a massa sempre retorne à sua posição de equilíbrio. 
Em um sistema massa-mola, este também realiza um MHS, não mais de forma 
angular, mas linear, )cos()( ϕω += tAtx , e que com o decorrer do tempo a 
amplitude do movimento diminui, sendo um MHA para o tempo total de movimento 
( )cos()cos()()( 2 ϕωϕω +=+= − texttAtx tm
b
M ). Neste caso 
m
K
=ω , e mKb 4< , a 
força restauradora é dada pela lei de Hooke ( KxF −= ). 
 No experimento de oscilações mecânicas o foco será o estudo das 
distensões lineares de molas helicoidais (movimento unidimensional) quando 
submetida a uma determinada força externa, EXTERNAF . As distensões, x∆ , dos 
materiais elásticos (e as molas se inserem nesse contexto) possuem em geral, 
uma relação não linear com a força externa aplicada. No entanto, a linearidade é 
obedecida até um determinado valor da EXTERNAF . Sendo assim, dentro do limite da 
 
1
 A proposta do experimento foi feita no DFI pelo Prof. Me. Arlindo Antonio Savi. E, depois adaptada pelos 
autores do presente texto. 
Capítulo 
10 
Manual de Laboratório – Física Experimental II- Hatsumi Mukai e Paulo Ricardo Garcia 
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 10810
linearidade, a relação entre a força, EXTERNAF , aplicada numa dada direção x de um 
material elástico, e a respectiva distensão (elongação) produzida nessa direção é 
do tipo xK ∆ , onde K é a constante de proporcionalidade entre a força aplicada e a 
distensão, e está relacionada à constante da mola. Analisando um material 
elástico na condição de equilíbrio, ou seja, a força de natureza elástica que atua 
no material terá a mesma intensidade e a mesma direção da força aplicada 
externamente, porém com o sentido oposto. Assim, a força elástica é expressa 
como: 
 xKFELÁSTICA ∆−= , (10.1) 
onde o sinal negativo indica que a força elástica é uma força restauradora, pois 
ELÁSTICAF possui o sentido contrário ao da distensão x∆ . A equação (10.1) expressa 
uma lei dos materiais elásticos conhecida como Lei de Hooke na qual K é 
denominada de constante elástica do material. 
Considerando uma mola em espiral, feita de um material homogêneo e 
isotrópico, a Lei de Hooke (Eq. 10.1) expressará a relação entre a força elástica da 
mola e sua elongação (esticada ou comprimida). A constante elástica da mola, K, 
está relacionada com o módulo de rigidez e com a geometria da mola por 
intermédio da expressão2 (Vide dedução da equação no livro José Goldemberg- Física 
Geral e Experimental – Volume 1 – EDUSP – Página 494): 
 
3
4
8 Mola
fio
N
G
K
Φ
Φ
= , (10.2) 
onde: 
fioΦ o diâmetro do fio que constitui a mola; 
MolaΦ o diâmetro interno da espira; 
N é o número de espiras e G é o módulo de rigidez do fio. 
 
 
 
 
 
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 10910
Equações das Constantes Elásticas – Caso estático e dinâmico: 
 
Teoricamente aplicando a segunda lei de Newton, para o sistema apresentado 
esquematicamente na Figura 10.1, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.1 – Esquema do arranjo experimental utilizado para o estudo de constante 
elástica; F
r
elástica = força elástica; T
r
 = força tensora; P
r
= força peso. Figura elaborada 
pela autora. 
 
As equações para a constante elástica para cada caso (estático e dinâmico) ficam 
na forma (obtenham essas equações – (10.3) e (10.4)): 
 
Caso estático (a=0): 
x
mgkestático ∆
= (10.3) 
Caso dinâmico (a≠ 0) : 
 
2
24
T
mkdinâmico
pi
= (10.4) 
 
Sendo, m a massa suspensa que provocará a distensão ( x∆ ) após ser submetida 
a força peso, e na Eq. (10.4) T é o período de oscilação provocada por uma 
pequena força externa. 
 
2
 Para maiores detalhes, veja o livro: Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Addison-Wesley Publishing 
Company – 3rd edition-1995. pág. 27 – Gaço= 80 x 109 N/m2. 
P
r
 
F
r
elástica T
r
 
x 
T
r
x0 
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 11011
PARTE EXPERIMENTAL 
Experimento 10 – CONSTANTE ELÁSTICA 
OBJETIVO GERAL: Explorar conceitos de Oscilações Mecânicas no sistema 
massa-mola experimentalmente, reforçando os conceitos de movimento 
harmônico simples e amortecido. 
 
MONTAGEM EXPERIMENTAL: 
 
O sistema é constituído de uma mola helicoidal, fixa em um suporte lateral 
(1) no trilho da Pasco e na outra extremidade possui um fio inextensível que passa 
por uma roldana (2) e suspende diferentes massas com valores controlados 
(Figura 10.2), e em (3) o parafuso para nivelar o trilho em relação à bancada. No 
caso estático a massa suspensa é a massa base (m0) somente para manter o fio 
esticado e paralelo ao trilho, equivalente a posição inicial (x0). No caso dinâmico 
toda a massa suspensa faz parte do sistema, e irá oscilar em torno do ponto de 
equilíbrio (x0). 
 
(1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.2 – Foto do trilho da Pasco e seus componentes (1) suporte lateral, (2) roldana, 
(3) base para nivelar o trilho, e esquema do arranjo experimental utilizado para o estudo 
de constante elástica: (4) mola, (5) fio e (6) massa suspensa; 
 
(6) 
(4) (5) 
1 
(1) (2) 
(3) 
 
 
 
 
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 11111
PARTE I – PARTE ESTÁTICA 
 
PARTE I A: DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DAS MOLAS 
 
 
OBJETIVO ESPECÍFICO: Obter experimentalmente o valor da constante elástica 
de molas de diferentes comprimentos. 
 
MATERIAIS UTILIZADOS: 
 
- 3 molas helicoidais de mesmo diâmetro e comprimentos diferentes; 
- 1 paquímetro; 
- 1 régua; 
- massas de diferentes valores; 
- 1 clips para ser usado como porta massas; 
- 1 trilho da Pasco com suporte lateral e roldana ou 1 trilho da Azeheb com suporte 
lateral, roldana, e compressor de ar; 
- Fio inextensível; 
- Balança. 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: 
 
1) Meça o comprimento das molas com o paquímetro (considere somente a 
parte em espiral), anote na Tabela 10.1 em ordem crescente; 
2) Enumere as massas a serem suspensas, afira seus valores e anote as na 
Tabela 10.1; 
3) Faça a montagem experimental representada na Figura 10.1, para mola 1; 
4) Coloque uma pequena massa suspensa por um “clips”, tal que a mola fique 
em estado de equilíbrio (o mais reto possível, sem saliência para baixo)e 
anote a posição x0; 
5) Adicione a primeira massa que provocará o deslocamento a partir do x0; 
6) Meça x∆ =x-x0 e anote na Tabela 10.1; 
7) Repita o processo para mais 3 massas suspensas de forma acumulativa, 
utilizando à mesma mola; 
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 11211
8) Repita os ítens 2 a 5 para as demais molas. 
 
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE: 
 
Apresenta-se na Tabela 10.1 os dados obtidos experimentalmente variando a 
massa suspensa para cada comprimento de mola. 
 
Tabela 10.1 – Dados experimentais para um comprimento de mola ( l ) e massas suspensas 
variáveis. ms massa suspensa, x∆ variação do deslocamento, com seus respectivos desvios; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS: 
 
A partir da Tabela 10.1, obtenha os valores com os seus desvios da força peso e 
transcreva as demais grandezas. 
 
Tabela 10.2 – Valores dos comprimentos das molas, da força peso, variação do 
deslocamento com seus respectivos desvios. 
 =l =l =l 
P ( ) ∆x ( ) ∆x ( ) ∆x ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 g=980,665cm/s2 
 
I.1 - Confeccione em uma única figura (Figura 10.3) o gráfico de P versus x∆ 
para os respectivos comprimentos (teremos 3 gráficos com inclinações 
diferentes), faça os devidos ajustes das retas. Para quem for utilizar o módulo 
de escala no eixo das abcissas, adote o maior valor entre as três colunas do 
deslocamento (∆x) para dividir o intervalo disponível no papel milimetrado 
(Equação 3.1). 
 
I.2 - Qual é a dimensão da constante de proporcionalidade, o que representa 
fisicamente no nosso sistema? 
 
I.3 - Determine os valores das constantes de proporcionalidade, compare seus 
resultados com os obtidos via Equação 10.3. 
 
 =l =l =l 
m (g) ∆x(cm) ∆x(cm) ∆x(cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 11311
 I.4 - Qual a relação matemática de proporção existente entre as 3 constantes 
elásticas? 
 
 I.5 - Qual a relação entre o comprimento da mola e as constantes elásticas? 
Justifique. 
 
PARTE I B: DETERMINAÇÃO DO MODO DE RIGIDEZ DA MOLA 
 
OBJETIVO ESPECÍFICO: Obter o módulo de rigidez de uma mola a partir do 
valor de sua constante elástica, dos diâmetros do fio e da espira, e do número de 
espiras; 
 
MATERIAIS UTILIZADOS: 
 
- Paquímetro; 
- mola; 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: 
 
1. Selecione uma mola e conte o número de espiras, anote na Tabela 3. 
2. Utilizando um paquímetro meça o diâmetro do fio, e o diâmetro interno da 
espira. Anote os dados na Tabela 3; 
 
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE: 
 
Na Tabela 10.3 apresenta-se os dados aferidos do número de espiras, diâmetro 
do fio, e diâmetro interno da espira. 
 
Tabela 10.3: Dados do número de espiras (N), diâmetro do fio ( fioΦ ) e diâmetro interno da espira ( molaΦ ). 
N= 
=Φ fio 
=Φ mola 
 
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS: 
 
Utilizando a Equação (10.2) e o resultado da constante elástica da mola 
selecionada obtida na parte Ia, obtenha o valor do módulo de rigidez desta mola, e 
compare seu valor com o da literatura e identifique o material da mola; 
 
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 11411
ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
CONCLUSÃO 
 
PARTE II: CONSTANTE ELÁSTICA DA MOLA – CASO DINÂMICO 
 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 
 
- Obter experimentalmente a equação da constante elástica de uma mola em 
oscilação. 
 
MATERIAIS UTILIZADOS: 
 
- 3 molas helicoidais de mesmo diâmetro e comprimentos diferentes; 
- 1 régua; 
- massas de diferentes valores; 
- 1 cllips para ser usado como porta massas; 
- 1 trilho da Pasco com suporte lateral e roldana ou 1 trilho da Azeheb com suporte 
lateral, roldana,e compressor de ar; 
- Fio inextensível; 
- Balança 
- Cronômetro 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: 
 
PARTE II - A : COMPRIMENTO DA MOLA (l ) FIXO E MASSAS SUSPENSAS (M) VARIÁVEIS 
 
1) Escolha uma mola, uma massa m, e monte o sistema da Figura 10.2; 
 
OBS: Lembre-se de anotar os valores das massas a serem suspensas (m). 
 
2) Desloque o sistema da condição de equilíbrio (pequena força externa, faça 
uns testes antes, para que a mola não solte do suporte, e anote qual foi 
esse deslocamento para liberar da mesma posição nas repetições) e 
coloque-o para oscilar; 
3) Com o auxílio de um cronômetro meça o tempo total para realizar 3 
oscilações completas (1 período – processo de ida e volta); Repita o 
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 11511
procedimento mais 2 vezes. Anote os resultados na Tabela 10.4 
4) Varie a massa m e repita o processo. Faça isso para 4 massas diferentes 
(cuidado para não deformar a mola por excesso de massa (m), não coloque 
mais do que 150 g no suporte); 
 
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE: 
 
Na Tabela 10.4 apresenta-se os resultados obtidos experimentalmente dos 
tempos de 3 oscilações completas para cada massa suspensa (colocadas 
acumulativamente), considerando uma única mola (comprimento fixo). 
 
Tabela 10.4 – Dados experimentais: m massa do sistema em g, l o comprimento da mola 
e ti os tempos de 3 períodos. 
 
 
 
 
 
 
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS: 
 
Com os dados da Tabela 10.4 obtenha os respectivos valores dos tempos e 
períodos médios com os desvios. Anote os resultados na Tabela 10.5. 
 
Tabela 10.5 – Dados Experimentais. m massa do sistema, tm tempo médio de 3 períodos 
e Tm período médio. 
 
 
 
 
II.a1 – Por meio dos dados da Tabela 10.5, confeccione no papel di-log o 
gráfico m x Tm ( Figura 10.4). 
 
II.a2 - Utilizando o gráfico da Figura 10.4, escreva a relação entre m e Tm ? 
 
PARTE II - B – COMPRIMENTO DA MOLA (l ) VARIÁVEL E MASSA SUSPENSA (M) 
 =l 
m
 
(g) t1 (s) t2(s) t3(s) 
 
 
 
 
m
 
(g) tm(s) Tm (s) 
 
 
 
 
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 11611
FIXA 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: 
 
Utilizando as mesmas molas da parte I (cujas constantes já conhecemos da 
parte estática) e uma massa fixa (a escolha fica a critério do grupo) repita o 
procedimento descrito nos itens 1) a 5) na parte II-a; Coloque os dados na 
Tabela 10.6; 
 
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE: 
 
Na Tabela 10.6, apresenta os dados dos tempos de 3 oscilações completas 
obtidos experimentalmente, para cada mola, considerando a massa suspensa 
fixa. 
 
Tabela 10.6 – Dados Experimentais, valor fixo da massa suspensa (m), comprimento 
da molal variável;e ti o tempo de 3 períodos. 
 
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS: 
Complete a Tabela 10.7 com os dados do comprimento da mola, os valores da 
constante elástica de cada mola obtida na parte estática e o tempo e o período 
médio de oscilação, os resultados devem ser expressos com seus respectivos 
desvios. 
Tabela 10.7 – Dados Experimentais. l comprimento da mola; K constante elástica 
obtidas na parte I (estática); tm e Tm é o tempo e o período médio respectivamente. 
 
m= 
l ( ) K( ) tm (s) Tm (s) 
 
 
 
 
II. b1 - Confeccione o gráfico K x Tm (Figura 10.5) no papel di-log. 
II. b2 - A partir do gráfico da Figura 10.5, obtenha a relação entre essa duas 
m= 
l (cm) t1 (s) t2(s) t3(s) 
 
 
 
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 11711
grandezas; 
Parte III - União da Parte II-a e II-b: 
 
Interpretação dos Resultados 
 
III.1 -Das relações obtidas entre m e Tm como também entre K e Tm obtenha 
uma única relação envolvendo o período, a massa e a constante elástica; 
III.2 - Obtenha a constante de proporcionalidade do item III.1) (da união IIa e 
IIb) Por meio de um gráfico (Figura 10.5). Ajuste a reta utilizando o método dos 
mínimos quadrados. 
III.3 - Auxilie-se na análise dimensional e escreva a equação final da 
constante elástica para o caso dinâmico. 
III.4 - Compare o resultado final experimental com o resultado teórico (obtido 
via Eq. 10.4). Calcule o desvio percentual entre os resultados da constante 
elástica para cada mola. 
 
ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
CONCLUSÃO (ÕES) 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] H. Mukai e P. R. G. Fernandes, Manual de Laboratório de Física I e II – 
Capítulo 10 e apêndice E, (2008 a 2017); 
[2] J. H. Vuolo – Fundamentos da Teoria de Erros – 2ª Edição – Edgard 
Blücher Ltda – (1996); 
[3] J. Goldemberg – Física Geral e Experimental - 1o Volume - Companhia 
Editora Nacional - EDUSP – página 494 (1970); 
 
Manual de Laboratório – Física Experimental II- Hatsumi Mukai e Paulo Ricardo Garcia 
Fernandes - 2018 
 
 11811
CORDA VIBRANTE1 
 
Em Física, ao estudarmos ondas, que são perturbações periódicas no tempo que 
se propagam oscilantes no espaço, consideramos as mecânicas e as 
eletromagnéticas. As ondas mecânicas necessitam de um meio para se propagar, 
já as eletromagnéticas não, estas se propagam no vácuo. Neste capítulo, 
realizaremos um experimento de ondas mecânicas em que iremos gerar uma 
onda transversal estacionária em uma corda (fio de cordonê). 
 Ressonância – ondas estacionárias: 
Consideremos um fio fixo nas suas extremidades e sujeita a uma tração 
(Figura 11.1). Se excitarmos um ponto deste fio por meio de um alto-falante, toda a 
extensão do fio entrará em vibração. São as chamadas Oscilações Forçadas. 
Quando a frequência de vibração emitida pelo alto-falante. for igual a uma das 
frequências próprias do fio, dizemos que a vibração e o fio estão em ressonância. 
Neste caso, a amplitude de vibração do fio é máxima e formam-se ondas 
estacionárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.1: Figura esquemática de um fio (cordonê) fixo a um suporte que está acoplado 
a um alto-falante, sujeito a uma tração causada por uma massa suspensa que passa por 
um suporte em forma de um L invertido. Figura laborada pela autora. 
 
 
1
 Os créditos da montagem experimental e proposta de implementação do DFI são dos Professores: W. R. 
Weinand, E. A. Mateus e I. Hibler. Bem como ao texto original – Referência [1], cedido pelo Prof. Irineu 
Hibler. 
Capítulo 
11 
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 11911
Para que se possa colocar a frequência em relação ao número de ventres, 
necessitamos saber como é a equação de uma onda progressiva. Esta equação 
(considerando-se a propagação na direção de +x ), em termos da amplitude ( my ), 
número de onda ( λ
pi2
=k , onde λ é o comprimento de onda), frequência angular 
(ω ) e tempo (t), é dada pela equação (11.1): 
)( tkxsenyy m ω−= . (11.1) 
 
Uma onda estacionária se forma pela superposição de duas ondas que tenham a 
mesma freqüência, velocidade e amplitude e que se propaguem em sentidos 
opostos. Assim, a equação final de duas ondas superpostas ( )(1 tkxsenyy m ω−= e 
)(2 tkxsenyy m ω+= ), levando em conta o princípio de superposição de uma onda, 
21 yyy += , temos que2: 
)cos()(2 tkxsenyy m ω= . (11.2) 
Na onda estacionária, cada ponto (cada valor de x), tem sua amplitude dada 
por: 
' 2 ( )
m m
y y sen kx= . (11.3) 
 
Na equação (11.3) temos que a amplitude será máxima, e igual a 2 my , para: 
3 5
; ; ;..., ou
2 2 2
3 5
x= ; ; ;... .
4 4 4
kx pi pi pi
λ λ λ
=
 
 
Esses pontos são denominados de antinodos ou ventres, estando distanciados 
entre si de meio comprimento de onda ( / 2λ ), Fig. (11.2). 
 
2
 Onde foi utilizada a seguinte propriedade matemática: 
( ) asenbbsenabasen coscos ±=± . 
 
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 12012
 
 
 
 
 
 
Também pela equação (11.3), temos que a amplitude será mínima, e igual à zero, 
quando: 
, 2 , 3 , ...,ou
3
x= ; ; ; ... .
2 2
kx pi pi pi
λ λλ
=
 
 
Tais pontos denominam-se nodos, e também estão distanciados entre si de meio 
comprimento de onda (Fig. 11.2). 
Em nosso experimento, usaremos um fio de comprimento ( L ), fixo em ambas as 
extremidades. Uma das extremidades é presa a um alto-falante que vibra com 
frequência ( f ) e amplitude pequena e a outra extremidade ligada a uma massa, 
após passar por uma roldana (Fig. 11.3). Este experimento é uma adaptação do 
experimento de Melde[6], onde no lugar do autofalante utilizava-se um diapasão. 
 
 
 
 
Figura 11.2 - Figura esquemática de uma onda Estacionária, onde L é o comprimento 
do fio, λ o comprimento de onda. (Figura confeccionada e cedida pelo Prof. Irineu 
Hibler). 
Figura 11.3 - Figura esquemática da montagem experimental. Sendo m a massa 
suspensa, vr a velocidade com que a onda se propaga, e L o comprimento do 
fio. (Figura confeccionada e cedida pelo Prof. Irineu Hibler). 
v
r
 
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 12112
 As ondas provocadas pelo alto-falante percorrem o fio, são invertidas pela 
reflexão fixa, no suporte em L invertido, e retornam à extremidade inicial com uma 
variação de fase de 180o. Como a amplitude do alto-falante é pequena, ele reflete 
a onda como se fosse um suporte fixo, e a onda é novamente invertida voltando a 
percorrer o fio no sentido inicial. 
 Como as ondas incidentes e refletidas possuem a mesma frequência e se 
propagam em sentidos opostos, sob condições apropriadas, elas podem 
combinar-se produzindo ondas estacionárias. Nesse momento, o fio e o alto-
falante estão em ressonância, sendo o comprimento ( L ) do fio um múltiplo inteiro 
de meios comprimentos de onda, Fig. (11.2). Portanto, na ressonância 
2
L n λ =  
 
 (11.4) 
 
onde 1, 2, 3,...n = representa o número de ventres. Isto quer dizer que, para 
valores diferentes de ( n ), teremos vários modos de vibração (ou ressonância) do 
fio. 
A velocidade com a qual a onda percorre um meio é determinada pelas 
propriedades deste. Para o caso de um fio longo e flexível, é dada por: 
ρ
F
=v , (11.5) 
em que, F é a tensão aplicada no fio, e ρ a massa por unidade de comprimento 
m
L
ρ = 
 
. 
O comprimento de onda ( λ ) de uma onda progressiva é dado pela distância 
entre dois máximos sucessivos, isto é, a distância em que a forma da onda se 
repete, num intervalo de tempo igual ao período (T ). Dessa forma, a relação entre 
a frequência f , o comprimento de onda λ , e a velocidade v, de uma onda 
harmônica é dada pela equação: 
 f
v
=λ . (11.6) 
 Combinando as equações (11.4), (11.5) e (11.6) temos que a expressão 
geral para as frequências de vibração (ou ressonância) do fio, também chamados 
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 12212
de harmônicos é:ρ
F
L
nf n 2= (11.7) 
 
A equação 11.7 é conhecida como fórmula de Lagrange. Para 1n = , tem-se o 
1o harmônico ou frequência fundamental. As outras frequências chamadas de 2o 
harmônico, 3o harmônico, etc..., (Figura 11.4) são múltiplos da freqüência 
fundamental, ou seja, 
1 1
1
com 
2n
Ff nf f
L ρ
= = . (11.8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.4: Figura esquemática das ondas para as frequências de ressonância, número 
de ventres (n) e os harmônicos. 
 
PARTE EXPERIMENTAL 
Experimento 11: Corda Vibrante 
 
OBJETIVOS: 
 
Objetivo Geral: Gerar ondas estacionárias em uma corda (fio cordonê3); 
 
Objetivos específicos: Analisar a dependência da frequência de vibração do 
fio, com o número de ventres, com o comprimento do fio, e com a tensão aplicada. 
E, obter a velocidade de propagação de uma onda em estado estacionário; 
 
 
3
 CORDONÊ - Linha Extra Forte de Algodão, Nº 0. 
 
n=1, 1o harmônico – 
frequência fundamental. 
 n=2, 2o harmônico 
n=3, 3o harmônico 
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 12312
MATERIAIS UTILIZADOS 
- Fio tipo cordonê; 
- 5 massas de valores diferentes; 
- Suporte lateral; 
- Trena; 
- Balança; 
 - Auto-falante; 
- Gerador de funções; 
- Amplificador; 
- Leitor da frequência (caso não tenha no gerador de funções); 
- Papel de fundo escuro para contraste; 
 
MONTAGEM EXPERIMENTAL 
 
A montagem do sistema experimental está apresentada na foto da Figura 11.5. 
Esta é constituída por: uma massa suspensa por um fio (1), suporte em L (2), 
demais massas a serem utilizadas (3) e, na outra extremidade da mesa, e na foto 
em destaque, o alto falante, gerador de funções com leitor de frequência, e sobre 
ele o amplificador (4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
 
 
Figura 11.5 – (a) Foto da montagem experimental. (1) Massa suspensa por um fio, (2) 
suporte em L invertido e a ranhura em destaque onde apoiar o fio, (3) demais massas a 
serem utilizadas e (4) na outra extremidade da mesa e em destaque o alto falante, gerador 
de funções e sobre ele o amplificador. 
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 12412
 
 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
01- Afira os valores das massas em ordem crescente de tamanho e anote os 
seus valores na Tabela (11.1); 
02 - Monte o sistema, como especificado na Fig. (11.3 e 11.5), utilizando a 
menor massa e adequando as escalas dos instrumentos; 
03 – Alinhe o sistema tal que o fio fique paralelo à mesa, e alinhado com 
relação a ranhura do suporte em L invertido; 
04- Selecione a escala de 50 Hz no gerador, mantenha o amplificador na 
metade da escala, e a partir do zero, aumente lentamente a frequência do 
gerador até o fio entrar em ressonância, no modo de vibração fundamental 
( 1n = ) – Figura 11.4. Anote o valor desta frequência na Tabela (11.1). Caso o 
botão do gerador já esteja no limite, aumente a escala para 500 Hz, ao ocorrer 
à vibração o mesmo deve ser silencioso, caso fique realizando zunidos, 
diminua a escala do amplificador, ou gerador; Estas escalas são para os 
geradores mostrados na Figura 11.5. Há outros geradores em que se deve 
iniciar na escala de 10 Hz e depois mudar para 100 Hz. 
 
Obs. 1: Antes de aumentar de escala no gerador de ondas, sempre 
diminua ou zere a amplificação e zere o botão seletor da frequência. 
 
05- Obtenha agora as frequências de ressonância para os harmônicos 
2, 3, 4 e 5n = e anote os valores na Tabela (11.1). 
 
Obs. : Procurar a máxima amplitude, em cada caso. 
 
06 - Meça o comprimento ( L ) do fio entre o alto-falante e o suporte em L 
invertido, a medida deve ser tomada do primeiro nodo ao último nodo, e anote 
na Tabela (11.1); 
07- Repita a experiência para outros 4 valores da massa ( m ) na ordem 
crescente. Registre os resultados obtidos, na Tabela (11.1); 
08- Zere a fonte e o amplificador e desligue o sistema; 
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 12512
09 – Meça o comprimento ( fiol ) e a massa ( fiom ) de um fio de mesmo material 
que o utilizado no experimento (adote um comprimento maior que 2 metros, 
devido a precisão da balança). Anote os dados na Tabela 11.1. 
 
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE 
 
Na Tabela 11.1 apresenta-se os obtidos experimentamente das 
frequências de ressonância para os números de ventres variando de 1 a 5 
formadas para cada massa suspensa. 
 
Tabela 11.1 – Medidas das freqüências (f) em função do número de ventres (n) e 
da tração aplicada ao fio de comprimento L sob a atuação de uma força peso de 
massa m. 
 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 
m x 10-3 (Kg) f(Hz) f(Hz) f(Hz) f(Hz) f(Hz) 
 
 
 
 
 
 
Lexperimento = m 
Para o cálculo da densidade 
fiom = Kg 
fiol = m 
 
 
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS 
 
 
- Determine a densidade linear do fio 








=
fio
fiom
l
ρ : 
 
 
11.1 - Dependência da frequência de ressonância com o número de ventres 
(modo de vibração) [1-4]. 
 
 
a) Para verificar a dependência da frequência de ressonância com o número de 
ventres (modo de vibração), utilize os dados da Tabela (11.1) e confeccione o 
gráfico ( f n× ) no papel milimetrado. 
b) Interprete o seu gráfico, obtendo a relação entre as variáveis envolvidas. 
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 12612
 
c) Qual o significado físico da constante de proporcionalidade? (Compare o valor 
dos coeficientes angulares com os dados da Tabela 11.1). 
 
11.2 – Dependência da frequência de ressonância com o comprimento do fio: 
 
Utilizando os dados da Tabela (11.1), obtenha a dependência da frequência com o 
comprimento do fio, para isso considere como fio, a parte da mesma 
compreendida entre dois nós consecutivos. O novo comprimento ( )nL será então 
n
LL
n
= . 
 
a) Com base nesta mesma linha de raciocínio, utilizando os dados da Tabela 
11.1, complete a Tabela (11.2): 
 
Tabela 11.2 - Dados obtidos via dados experimentais da Tabela 11.1 - Frequência em 
função do comprimento. 
L= m 
N 1( )f s− ( )n LL m
n
= 
11 ( )
n
m
L
−
 
1 
2 
3 
4 
5 
 
b) Confeccione o gráfico 1
n
f
L
× , no papel milimetrado; Ajuste a reta. Qual 
equação você obteve e o que significa fisicamente o coeficiente linear e 
angular desta equação? 
 
c) Escreva a relação matemática entre as variáveis envolvidas; 
d) Qual o significado físico da constante de proporcionalidade? Reescreva sua 
relação considerando essa grandeza física; 
e) Obtenha a equação de Lagrange com o auxílio da equação (11.4). 
 
11.3 – Dependência da frequência de ressonância com a força tensora: 
 
 
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 12712
a) Por fim, obtenha ainda com os dados da Tabela 11.1, a dependência da 
frequência de ressonância com a força tensora (F=T = P= ms g), para isso 
escolha um modo de vibração 9ª que apresentou melhor resultado no item 
11.1) e complete a Tabela 11.3. Considere 29,80665 /g m s= . 
 
Tabela 11.3 – Frequência em função da força tensora.n= 
1( )f s− 2 2( )f s− ( )F N 
 
 
 
 
 
 
b) Confeccione o gráfico 2f F× , Ajuste a reta, e escreva a equação da reta 
ajustada. O que significa fisicamente o coeficiente linear e angular desta 
equação? (Estão relacionadas com quais grandezas físicas?) 
c) Escreva a relação matemática entre os parâmetros envolvidos. 
d) Faça a análise dimensional e obtenha a equação de Lagrange. 
 
Questões: 
 
a) Utilizando a equação (11.8) obtenha as frequências dos harmônicos (fi , i = 1 - 
5) e compare com os resultados experimentais (Tabela(11.1)), obtendo o desvio 
percentual. Coloque seus resultados em uma tabela (fT, fExp., D%). 
 
b) Desconsiderando os erros experimentais, você acha que a equação de 
Lagrange prevê as conclusões tiradas da experiência? 
 
c) Usando a equação de Lagrange e os valores das constantes de 
proporcionalidades ( 1 2 3, eK K K ) obtidas nos itens: 11.1, 11.2. e 11.3 obtenham os 
valores para a densidade linear ( ρ ) do fio utilizado. Ache o desvio percentual e 
justifique qual o melhor resultado, em relação ao valor calculado anteriormente 
(antes do item 11.1) com os valores medidos diretamente de m e L. 
 
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 12812
d) Utilizando a Eq. (11.5), calcule a velocidade (v) do trem de ondas para cada 
massa suspensa. Qual fornece o melhor resultado? Justifique sua resposta. 
 
e) Teste o resultado obtido no item anterior (d), por meio da Eq. (11.6). 
 
 
ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
CONCLUSÃO (ÕES) 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] W. R. Weinand, E. A. Mateus e I. Hibler, Óticas e Ondas, UEM, DFI, pág. 3 
a 9 (2006); 
 
[2] D. Halliday.; R. Resnick, Gravitação, Ondas eTermodinâmica. 3a ed. Rio de 
Janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, Vol. 2, Cap. 17. (1991); 
 
[3] J. Goldemberg, Física Geral e Experimental. São Paulo - SP, Companhia 
Editora Nacional USP, Vol. 1, (1968); 
 
[4] H. Mukai e P. R. G. Fernandes, Manual de Laboratório de Física I e II, 
DFI/UEM (2008 a 2017). 
 
[5] P. Tipler, Gravitação, Ondas e Termodinâmica, 3a ed. Rio de Janeiro, 
Editora Guanabara Koogan S.A., Vol. 2, (1991); 
 
[6] M. W. White e K. Manning, Experimental College Physics – Third Edition, 
McGraw=Hill Book Company, Inc., pág. 147 (1954); 
 
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 12912
VELOCIDADE DO SOM1 
 
As ondas sonoras são ondas longitudinais, que podem se propagar em sólidos, 
líquidos e gases. 
 As partículas do meio oscilam paralelamente à direção de propagação da 
onda, de modo que, quando a onda sonora se propaga em um meio material, 
como o ar, ou um gás qualquer, produzem neste, zonas de compressão e 
rarefação[2], enquanto a onda passa. 
As ondas sonoras se propagam em todas as direções a partir da fonte, no 
entanto, é mais fácil tratar da propagação em uma dimensão. 
 A velocidade com a qual uma onda sonora percorre um meio, quando a variação 
da pressão não é muito grande, é dada por: 
v
β
ρ
= (12.1) 
onde, ρ é a densidade e β , o módulo volumétrico de elasticidade do meio, que 
se define como a razão entre a variação de pressão (p) e a variação relativa de 
volume (V), ou seja: 
p
V
V
β ∆= − ∆ . (12.2) 
 A Eq. (12.1) é válida para qualquer meio, seja ele um gás, um líquido ou um 
sólido, entretanto, para sua dedução, é assumido que o meio esteja confinado em 
um tubo, de modo que a onda se mova em uma só direção. Esta condição é 
 
1
 Os créditos da montagem experimental e proposta de implementação do DFI são dos Professores: W. R. 
Weinand, E. A. Mateus e I. Hibler. Bem como ao texto original – Referência [1], cedido pelo Prof. Irineu 
Hibler. 
 
 
Capítulo 
12 
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 13013
geralmente satisfeita para um gás ou um líquido. Para um sólido, é necessário 
substituir β por Y -- módulo longitudinal de Young. 
Podemos modificar a Eq. (12.1), apresentando-a de uma forma, que mostra 
claramente, que a velocidade da onda sonora depende da temperatura absoluta T 
(Kelvin) do meio, onde ela se propaga. Para isso, a partir da Primeira Lei da 
Termodinâmica aplicada a um gás ideal, em um estado de equilíbrio 
termodinâmico, obtenha para a velocidade da onda sonora a equação: 
 
RT
v
M
γ
=
 (12.3) 
onde: P
V
c
c
γ = é a razão entre o calor específico do gás, a pressão constante, e o 
seu calor específico, a volume constante (para o ar 1, 402γ ≈ ); M - massa 
molecular (para o ar � = 29,0 10	
 ��/���); R - constante universal do gases 
ideais ( 8,31 / )R J mol K= e T – temperatura absoluta. 
Com base na Equação (12.3) encontramos que a velocidade do som no ar, 
a 0 oC é, aproximadamente 331,5 m/s. E, esta equação nos mostra que a 
velocidade do som, em qualquer gás é diretamente proporcional à raiz quadrada 
da temperatura absoluta. Tal que, a razão entre as velocidades a temperatura T1 e 
T2 fornece a equação: 
1 1
2 2
v T
v T
=
 . (12.4) 
Neste experimento (Figura 12.1), as ondas percorrem a coluna de ar, sendo 
refletidas no nível da água (extremidade fechada do tubo), com uma defasagem 
de 180o retornando à extremidade aberta, onde são novamente refletidas, porém, 
sem inversão de fase. A interferência dessas ondas dá origem a ondas 
estacionárias, sempre que a coluna de ar, de comprimento L, satisfizer a condição 
de ressonância, isto é, vibrar com a mesma frequência do gerador. 
 
Manual de Laboratório – Física Experimental II
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 Ondas sonoras, constituídas de compressões e ra
 
 
 
 
 
Para um tubo com uma extremidade aberta e outra fechada, a condição é
onde 1, 2,3,....n = representa o
 A Eq. (12.5) nos mostra que só estarão presentes os harmônicos de ordem 
ímpar e a configuração da onda estacionária (de deslocamento), consiste de um 
nodo na superfície da água e de um antinodo próximo à extremidade aberta, como 
mostra a Fig. (12.2). 
 
 
 
5 
Figura 12.1 – Figura esquemática do experimento
por: 1 - alto-falante; 2 - tubo de vidro; 3 
do amplificador e gerador de função (
conexão do reservatório para o tubo de vidro
Hibler e adaptada pelos autores
Figura 12.2 - Figura esquemática, dos tubos com uma extremidade fechada 
de deslocamento. 
Física Experimental II- Hatsumi Mukai e Paulo Ricardo
13
 
Ondas sonoras, constituídas de compressões e rarefações sucessivas, são 
Para um tubo com uma extremidade aberta e outra fechada, a condição é
(2 1)
4n
L n λ= − 
representa o on de ventres. 
5) nos mostra que só estarão presentes os harmônicos de ordem 
ímpar e a configuração da onda estacionária (de deslocamento), consiste de um 
nodo na superfície da água e de um antinodo próximo à extremidade aberta, como 
 
6 
Figura esquemática do experimento tubo de Kundt
tubo de vidro; 3 - reservatório de água, 4
ificador e gerador de função (gerador de áudio) e (6) a mangueira de 
conexão do reservatório para o tubo de vidro. Figura cedida pelo Prof. Irineu 
e adaptada pelos autores. 
1 
2 
3 
4 
Figura esquemática, dos tubos com uma extremidade fechada 
e Paulo Ricardo Garcia 
131
 
refações sucessivas, são 
Para um tubo com uma extremidade aberta e outra fechada, a condição é(12.5) 
5) nos mostra que só estarão presentes os harmônicos de ordem 
ímpar e a configuração da onda estacionária (de deslocamento), consiste de um 
nodo na superfície da água e de um antinodo próximo à extremidade aberta, como 
tubo de Kundt. Constituído 
reservatório de água, 4 - suporte; (5) 
) e (6) a mangueira de 
Figura cedida pelo Prof. Irineu 
 
Figura esquemática, dos tubos com uma extremidade fechada – Ondas 
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 13213
Na prática, os antinodos de pressão (nodos de deslocamento) são percebidos pelo 
aumento da intensidade do som. Assim, se medirmos a distância entre dois 
antinodos sucessivos, que equivale a meio comprimento de onda ( / 2λ ), e 
conhecendo-se a frequência ( f ) do gerador, podemos determinar a velocidade do 
som, à temperatura ambiente, através da Eq.(12.6), a seguir: 
v fλ= . (12.6) 
 
PARTE EXPERIMENTAL 
 
EXPERIMENTO 11 – VELOCIDADE DO SOM NO AR 
 
OBJETIVOS 
 
Objetivo Geral: Determinar a velocidade do som no ar. 
 
Objetivos específicos: 
 
- Gerar ondas estacionárias no ar contido em um tubo de Kundt; 
- Determinar a velocidade do som no ar, à temperatura ambiente, a partir de 
medidas do comprimento de onda, para uma dada frequência; 
- Determinar a velocidade do som no ar a 0 oC. 
 
MATERIAIS UTILIZADOS 
 
- 1 tubo de vidro 
- 1 reservatório de água; 
- 1 mangueira de conexão entre o reservatório e o tubo de vidro; 
- 1 alto-falante; 
- fios conectores para o amplificador (parte de trás); 
- 1 gerador de funções; 
- 1 amplificador; 
- recipiente com água; 
- Giz, ou caneta de quadro branco (3 cores) 
- 1 Trena 
- 1 Termômetro 
 
 
MONTAGEM EXPERIMENTAL 
 
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 13313
A Figura (12.3) apresenta a foto da montagem experimental. Este consta de um 
tubo de vidro (3) que encerra uma coluna de ar à temperatura ambiente, limitada 
na parte inferior por uma coluna de água que se comunica com um reservatório 
de água (1). Dessa forma, o comprimento “L” da coluna de ar pode ser variado 
pelo movimento (para cima e para baixo) do reservatório, enviadas para o interior 
do tubo, através de um alto-falante acoplado a um gerador de funções, de 
frequência conhecida. Na Figura apresentamos 2 tipos de gerador de funções (7) 
e (8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
1 – Posicione o reservatório na sua posição mais baixa e coloque água no mesmo, 
observando que a água se eleva no tubo de vidro. Acrescente água até que o tubo 
de vidro esteja quase cheio; 
 
 
1 
2 
4 
3 
5 
6 
7 
Figura 12.3 – Fotos da montagem experimental. 1- reservatório de água; 2-
mangueira de conexão entre o reservatório e o tubo de vidro; 3- tubo de vidro; 4 – 
alto-falante; 5 – fios conectores para o amplificador (parte de trás); 6 – amplificador; 
7- gerador de funções (DOWER) ou 8 – gerador de funções (ICEL). 
 
8 
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2 - Ligue o gerador de funções, o amplificador e escolha uma frequência entre 700 
a 1.000 Hz. 
3 - Lentamente, vá elevando o reservatório, isso fará com que o nível da água vai 
abaixando no tubo de vidro. Conforme o nível de água vai variando, procure 
identificar os antinodos de pressão (nodos de deslocamento), por meio do 
aumento da intensidade do som nesses pontos. Com um pincel de quadro branco, 
marque a posição desses pontos, no tubo (utilize uma cor para cada frequência). 
Obs.: Procure precisar, a posição dos antinodos, elevando e abaixando o nível da 
água, várias vezes. 
3 - Com a trena meçam a distância entre cada par de antinodos consecutivos (
/ 2λ ) e anote na Tabela (12.1). Repita mais duas vezes. 
04 - Repita os procedimentos (2) e (3) para mais duas frequências e anote na 
Tabela 12.1. 
5. Anote a temperatura ambiente na Tabela 12.1. 
OBS: Como temos somente um equipamento por sala, sugerimos que dividam a 
turma em 3 grupos e cada grupo afira os dados para uma determinada faixa de 
frequência, e para preencher a Tabela 12.1, troquem as informações entre os 
grupos. 
 
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE 
 
Nas Tabelas 12.1, 12.2 e 12.3, apresenta-se os dados das medidas 
de meio comprimento de onda, λ, (distância entre dois nós consecutivos), 
repetidas três vezes para cada frequência (f). Onde T é a temperatura ambiente 
durante o processo de medida. 
Tabela 12.1 – Medidas do comprimento de onda ( ( )
2
m
λ ) , freqüência (f) e temperatura 
ambiente (T). 
 1 ( )f H z= ± 
( )
2
m
λ
 
 
 
 
 
 
T= 
 
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Tabela 12.2 – Medidas do comprimento de onda ( ( )
2
m
λ ), freqüência (f) e temperatura ambiente 
(T). 
 2 ( )f H z= ± 
( )
2
m
λ
 
 
 
 
 
 
T= 
 
Tabela 12.3 – Medidas do comprimento de onda ( ( )
2
m
λ ), freqüência (f) e temperatura ambiente 
(T). 
 3 ( )f H z= ± 
( )
2
m
λ
 
 
 
 
 
 
T= 
 
 
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS 
 
a. Complete a Tabela (12.4), calculando, em cada caso, a frequência média para 
cada caso e o valor médio do comprimento de onda (
mλ ); 
 
Tabela 12.4 - Medidas do comprimento médio de onda para diferentes frequências (média). 
 1 ( )f Hz= ± 2 ( )f Hz= ± 3 ( )f Hz= ± 
mλ (m) 
 
 
b. Usando a Eq.(12.6), encontre a velocidade ( v ) do som, à temperatura ambiente, 
para cada uma das frequências apresentadas na Tabela 12.4. Anote o seu 
resultado na Tabela 12.5. 
c. Com o auxílio da Eq.(12.4), encontre também a velocidade do som a 0 oC e 
preencha a Tabela 12.5; 
 
 
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Tabela 12.5 – Velocidade de propagação da onda à temperatura ambiente e a zero graus 
centigrados (absoluta) de onda para diferentes frequências. 
 1 ( )f Hz= ± 2 ( )f Hz= ± 3 ( )f Hz= ± 
( / )av m s 
0 ( / )v m s
 
 
 
 
d. Confeccione o gráfico de v (m/s) x T (oC) (para as 3 frequências usando os 
dados da Tabela 12.5 e suas respectivas temperaturas. Obtenha a equação 
das retas ajustadas. 
 
e. Comparando os resultados da questão (c) com o valor tabelado ( v=331,5 m/s), 
escolha a melhor determinação, para a velocidade do som à temperatura 
ambiente; 
 
f. Usando a Eq. (12.5), mostre que, a distância entre dois antinodos sucessivos, 
vale ( / 2λ ); 
 
g. Faça as figuras equivalentes às da Fig. (12.2), considerando, agora, uma onda 
de pressão. A Eq. (12.5) continua válida, neste caso? 
 
h. A partir da Eq. (12.4), e fazendo um desenvolvimento em série, mostre que a 
velocidade do som no ar, à temperatura T (oC), é dada, aproximadamente por: 
(331,5 0,61 ) /v T m s= + . Eq. (12.7) 
i. Compare com os seus resultados do item d, com a Eq. 12.7, o que você observa 
em entre elas? 
 
 
ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
CONCLUSÃO (ÕES) 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] W. R. Weinand, E. A. Mateus e I. Hibler, Óticas e Ondas, UEM, DFI, pág. 3 
- 9 (2006); 
[2] J. Goldemberg, Física Geral e Experimental. São Paulo - SP,