06 Matematica 1000 Exercicios resolvidos

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REMEMBER II
01. M é percentualmente maior que N, em:
a) 100(M – N) b) 100(M – N) c) M – N
 M N N
d) M - N e) 100(M + N)
 M N
02. Um campo retangular tem comprimento o dobro 
da largura e é cercado por uma cerca de x metros. A 
área desse campo é:
a) x² / 2 b) 2x² c) 2x² / 9 d) x² / 18 e) x² / 72.
03. Se o comprimento da diagonal de um quadrado é 
a + b, então a área do quadrado é:
a) (a + b)² b) ½ (a + b)² c) a² + b² d)1/2 (a²+b²)
e) n.r.a.
04. Um depósito possui um telhado plano e formato 
retangular, medindo 10m de largura, 13m de 
comprimento e 5m de altura. Este deverá ser pintado 
por dentro, por fora e no forro, mas não no chão nem 
no telhado. A área total (em m²) a ser pintada é:
a) 360 b) 460 c) 490 d) 590 e) 720.
05. A possui uma casa no valor de R$ 10.000,00. Ele 
a vendeu para B com 10% de lucro. Mais tarde, B 
vendeu novamente a casa para A com 10% de 
prejuízo.
a) A não ganhou nem perdeu dinheiro
b) A fez R$ 1.100,00 de lucro no negócio
c) A fez R$ 1.000,00 de lucro no negócio
d) A perdeu R$ 900,00 no negócio
e) A perdeu R$ 1.000,00 no negocio.
06. As áreas da parte frontal, lateral, e inferior de uma 
caixa retangular são conhecidas. O produto dessas 
áreas é igual:
a) ao volume da caixa b) à raiz quadrada do volume
c) ao dobro do volume d) ao quadrado do volume
e) ao cubo do volume.
07. Uma medida de um comprimento de 10 cm foi 
feita com 0,02 cm de erro, enquanto que uma medida 
de um comprimento de 100 cm foi feita com 0,2 cm 
de erro. O erro relativo a 2ª medida comparado ao da 
1ª medida é:
a) maior em 0,18cm b) igual c) menor d) 10 
vezes maior e) descrito corretamente em a) e d).
08. O preço de um dado artigo é diminuído em 10%. 
Para retornar ao valor antigo, o novo preço deve ser 
aumentado em:
a) 10% b) 9% c) 11 1/9% d) 11% e) n.r.a.
09. Desenha-se um triângulo eqüilátero de lado a. 
Forma-se um novo triângulo eqüilátero unindo-se os 
pontos médios dos lados do 1º triângulo. Depois 
forma-se um 3ºtriângulo eqüilátero unindo-se os 
pontos médios dos lados do 2ºtriângulo, e assim por 
diante. O limite da soma dos perímetros de todos os 
triângulos assim desenhados vale:
a) infinito b) 5 ¼ a c) 2 a d) 6 a e) 4 ½ a.
10. Das afirmações abaixo, assinale a incorreta:
a) dobrando-se a base de um ∆, dobra-se a área.
b) dobrando-se a altura de um ∆, dobra-se a área.
c) dobrando-se o raio de um círculo, dobra-se a área.
d) dobrando-se o denominador de uma fração e 
dividindo-se o numerador por 2 altera-se o quociente.
e) dobrando-se certa quantia pode-se torná-la menor 
do que ela era originalmente.
11. O limite da soma de um número infinito de 
termos de uma P.G. é a / (1 – q) onde a é o primeiro 
termo e - 1 < q < 1 denota a razão. O limite da soma 
dos quadrados desses termos é:
a) a² b) a² c) a² d) 4 a² d) n.r.a.
 (1 – q)² 1 + q² 1 – q² 1 + q²
12. Às 02h15min, os ponteiros de um relógio formam 
um ângulo de:
a) 30° b) 5° c) 22 ½° d) 7 ½° e) 28°
13. A pode fazer uma peça em 9 dias de trabalho. B é 
50% mais eficiente que A. O número de dias que B 
deverá demorar a fazer a mesma peça é:
a) 13 ½ b) 4 ½ c) 6 d) 3 e) n.r.a.
14. Tendo em mente a noção de prova (ou 
demonstração) em geometria, indique qual das 
afirmações abaixo é incorreta:
a) algumas afirmações são aceitas sem prova 
(demonstração)
b) em algumas situações existe mais de uma maneira 
de se provar um certo resultado
c) cada termo usado em uma prova deve ter sido 
definido previamente
d) não é possível chegar através de um raciocínio 
correto a uma conclusão verdadeira se, entre os 
dados, existir uma afirmação falsa.
e) a prova indireta pode ser usada sempre que houver 
duas ou mais proposições contrárias.
15. O maior número pelo qual a expressão n³ - n é 
divisível, tornando-se n no conjunto dos números 
inteiros, é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
16. Se ao resolvermos a equação quadrática 
f(x) = ax² + bx +c = 0, resultar que c = b² / 4.a, então 
o gráfico de y = f(x), certamente:
a) terá um máximo b) terá um mínimo
c) tangenciará o eixo dos x 
d)tangenciará o eixo dos y e) ficará restrito a um 
único quadrante.
17. Indique em qual das equações abaixo y não é nem 
diretamente nem inversamente proporcional a x:
a) x + y = 0 b) 3xy = 10 c) x = 5y d) 3x + y = 10
e) x / y = √ 3.
18. A expressão 21 x² + ax + 2 deve ser fatorada em 
dois fatores binomiais primos e lineares com 
coeficientes inteiros. Isto pode ser feito se a for:
a) qualquer número ímpar b) algum número ímpar
c) qualquer número par d) algum número par
e) zero.
1
19.Qualquer número de seis dígitos e formado com 
repetição de um número de três algarismos; por 
exemplo: 256.256 ou 678.678, etc. é sempre divisível 
por:
a) 7 somente b) 11 somente c) 13 somente
d) 101 e) 1.001.
20. A expressão (x + y)-1 (x-1 + y-1), depois de 
simplificada e expressa com expoentes negativos, fica 
assim:
a) x-2 + 2x-1 y-1 + y-2 b) x-2 + 2-1 x-1 y-1 + y-2
c) x-1 y-1 d) x-2 + y-2 e) 1 / x-1 y-1.
21. Dados x > 0, y > 0, x > y e z 0, a desigualdade 
que não é sempre correta é:
a) x + z > y + z b) x - z > y – z c) xz > yz
d) x / z² > y / z² e) x z² > y z² 
22. Os valores de a que satisfazem a equação
log10 (a² - 15 a) = 2 , são:
a){ 15 ± √ 233 } b){20;-5} c){15 ± √ 305}d){± 20}
 2 2
e) n.r.a. 
23.O raio de uma caixa cilíndrica mede 8cm e sua 
altura 3cm. O comprimento que deve ser 
acrescentado ao raio ou a altura para resultar no 
mesmo aumento não nulo em volume é:
a) 1 b) 5 1/3 c) qualquer número 
 d)não existente e)n.r.a.
24. A expressão 2 n+4 – 2(2n) , quando simplificada, é:
 2. ( 2 n + 3) 
a) 2 n+1 – 1/8 b) – 2 n+1 c) 1 – 2n d) 7/8
e) 7/4.
25. O apótema de um quadrado cuja área é 
numericamente igual ao perímetro é comparado com 
o apótema de um triângulo eqüilátero cuja área é 
igual ao perímetro. O primeiro apótema será: 
a) igual ao segundo b) 4/3 do segundo
c) 2/√ 3 do segundo d) √ 2/√ 3 do 
segundo
e) não relacionável ao segundo
26. Na equação x( x – 1 ) – ( m + 1 ) = x as raízes
 ( x – 1 )( m – 1 ) m
são iguais quando:
a) m = 1 b) m = ½ c) m = 0 d) m = -1 e) m = -1/2
27. Por um ponto interior a um triângulo, são traçados 
3 segmentos ligando os vértices aos lados opostos, 
formando assim seis seções triangulares. Nestas 
condições:
a) pares opostos formam triângulos semelhantes
b) pares opostos formam triângulos congruentes
c) pares opostos formam triângulos iguais em área
d) são formados 3 quadriláteros semelhantes
e) n.r.a
 
28. A pressão (P) do vento sobre um barco à vela 
cresce com a área A da vela e com o quadrado da 
velocidade (V) do vento. A pressão sobre 1m² é 1 kgf 
quando a velocidade é 16 km/h. A velocidade do 
vento quando a pressão sobre 1m² for 36 kgf, deverá 
ser em km/h:
a) 10 2/3 b) 96 c) 32 d) 1 2/3 e)16
29. O único dos conjuntos de dados abaixo que não 
que não determina o formato de um triângulo é:
a) a proporção entre 2 lados e o ângulo entre eles
b) as razões entre as três alturas
c) as razões entre as três medianas
d) a razão entre a altura e a base correspondente
e) dois ângulos.30. Se duas estacas de 20 cm e 80 cm de altura estão 
a 100 cm de distância, então a altura da interseção das 
retas que ligam o topo de cada estaca com a base da 
outra, em cm, é:
a) 50 b) 40 c) 16 d) 60 e) n.r.a.
31. Um total de 28 apertos de mão foi dado ao final 
de uma festa. Assumindo que cada participante foi 
igualmente polido com relação aos demais, o número 
de pessoas na festa era:
a) 14 b) 28 c) 56 d) 8 e) 7
32. Se o ∆ ABC está inscrito no semicírculo cujo 
diâmetro é AB, então AC + BC deve ser: 
a) igual a AB b) igual a AB √ 2 c) ≥ AB √ 2
d) ≤ AB √ 2 e) (AB)².
33. As raízes da equação x² - 2x = 0 pode ser obtida 
graficamente encontrando-se os pontos de interseção 
de cada um dos pares de equação, exceto o par:
a) y = x² e y = 2x b) y = x² - 2x e y = 0 
 c) y = x e y = x – 2 d) y = x² - 2x + 1 e y = 1 
 e) y = x² - 1 e y = 2x – 1.
34. O valor de 10 log10 7 é: 
a) 7 b) 1 c) 10 d) log10 7 e) log7 10.
35. Se a x = c q = b e c y = a z = d, então: 
a) x y = q z b) x / y = q / z c) x + y = q + z
d) x – y = q – z e) x y = q z 
36. Qual dos seguintes métodos não serve para provar 
que uma figura geométrica é um certo lugar 
geométrico (L.G)?
a) cada ponto do L.G. satisfaz as condições e cada 
ponto fora do L.G. não satisfaz as condições;
b) cada ponto não satisfazendo as condições não está 
no L.G. e cada ponto no LG satisfaz as condições;
c) cada ponto que satisfaz as condições está no LG e 
cada ponto no LG satisfaz as soluções;
d) cada ponto não pertencente ao LG não satisfaz as 
condições e cada ponto não satisfazendo as condições 
não está no LG;
e) cada ponto satisfazendo as condições está no LG e 
cada ponto não satisfazendo as condições não está no 
LG.
37. Um número que ,quando dividido por 10 deixa 
resto 9, quando dividido por 9 deixa resto 8, quando 
dividido por 8 deixa resto 7, etc., até que, quando 
dividido por 2 deixa resto 1, é:
a) 59 b) 419 c) 1259 d) 2519 e) n.r.a.
38. É preciso uma elevação de 600m para que uma 
linha ferroviária cruze uma montanha. A inclinação 
do leito da estrada pode ser mantida pequena 
alongando-se a estrada e fazendo-a circular pelo pico 
da montanha. Para se reduzir a inclinação da estrada 
de 3% para 2% deve-se alongar a estrada, em metros;
a) 10.000 b) 20.000 c) 30.000 d) 12.000 e) n.r.a.
39. Uma pedra é deixada cair dentro de um poço. O 
barulho da pedra atingindo a água é ouvido 7,7 
segundos após. Suponha que a pedra cai 5t² metros 
em t segundos e a velocidade do som é 350 metros 
por segundo. A profundidade do poço é em metros:
a) 245 b) 24,5 c) 29,6 d)296,45 e) n.r.a.
2
40. ( x + 1 ) ² ( x² - x + 1)² ² . (x – 1)² (x² + x + 1)² ²
 ( x³ + 1)² ( x³ - 1)²
a) ( x + 1 )4 b) ( x³ + 1 )4 c) 1
d)[( x³ + 1)( x³ - 1)] ² e) [( x³ - 1)²]² 
41. A fórmula que expressa a relação entre x e y na 
tabela abaixo é:
x 2 3 4 5 6
y 0 2 6 1
2
20
a) y = 2x – 4 b) y = x² - 3x + 2 c) y = x³ - 3x² + 2x 
d) y = x² - 4x e) y = x² - 4.
42. Se x = √ 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . , então: 
a) x = 1 b) 0 < x < 1 c) 1 < x < 2
d) x é infinito e) x > 2, porém infinito.
43. Das afirmações abaixo, a única incorreta é:
a)Uma igualdade permanece verdadeira se somarmos, 
subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos (por nº.
0) pela mesma quantidade positiva.
b) a média aritmética de duas quantidades positivas 
distintas é maior que a média geométrica dessas 
mesmas quantidades.
c) dada à soma de duas quantidades positivas, o 
produto das mesmas é máximo quando as mesmas 
são iguais.
d) se a e b são positivos e distintos, então ½ (a² + b²) 
é maior que [1/2 (a + b)]².
e) se o produto de duas quantidades é dado, sua soma 
é máxima quando essas quantidades são iguais.
44. Se xy = a , xz = b e yz = c, onde a, b e c 
 x + y x + z y + z
são não nulos, então x é igual a:
a) abc b) 2abc c) 2abc____ 
 ab + ac + bc ab + ac + bc ab + ac - bc
d) 2 abc e) 2abc___
 ab + bc – ac ac + bc – ab
45.Dado que log 8 = 0,9031 e log 9 = 0,9542 então o 
único logaritmo que não pode ser achado sem uso de 
tabelas é:
a) log 17 b) log (5/4) c) log 15 d) log 600
e) log 0,4.
46. AB é o diâmetro de um círculo cujo centro é 0. A 
partir de um ponto qualquer C qualquer no círculo, é 
traçada uma corda CD perpendicular a AB. Então, à 
medida que C descreve um semicírculo, o ângulo 
bissetor OCD corta o círculo em um ponto que 
sempre:
a) bisseta o arco AB b) trisseta o arco AB
c) varia d) dista tanto de AB quanto de D
e) é eqüidistante de B e C.
47. Se r e s são raízes da equação ax² + bx + c = 0, o 
valor de 1 / r² + 1 / s² é:
a) b² - 4ac b) (b² - 4ac) / 2.a c) (b² - 4ac) / c²
d) (b² - 2ac) / c² e) n.r.a.
48. A área de um quadrado inscrito num semicírculo 
está para a área do quadrado inscrito no círculo todo, 
assim como:
a) 1 : 2 B0 2 : 3 c) 2 : 5 d) 3: 4 e) 3 : 5.
49. As medianas de um triângulo retângulo traçadas 
dos vértices com ângulos agudos medem 5 e √ 40. O 
valor da hipotenusa é:
a) 10 b) 2 √ 40 c) √ 13 d 2 √ 13 e) n.r.a.
50. José, Pedro e Paulo deram início a uma corrida de 
100 km. José e Paulo foram de automóvel, a 25 km/h; 
Pedro andando a 5 km/h. Depois de certa distância, 
Paulo desceu do carro e caminhou a 5 km/h enquanto 
José voltou em direção a Pedro e, colocando-o no 
carro, foi com ele até o destino chegando a ele 
juntamente com Paulo. O número de horas 
necessárias para essa corrida foi:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) impossível calcular
 GABARITO
SOLUÇÕES 
O1(B) A importância pedagógica deste problema 
extremamente simples pode ser aumentada com uma 
discussão sobre as restrições que se deve impor sobre 
M e N, a possibilidade de que M e N sejam negativos 
e assim por diante.
02(D) Sejam L e 2L a largura e o comprimento do 
campo. Então 6L = x ∴ L = x /6 → 2L = x / 3.
Logo a área = x/6. x/3 = x²/18.
03(B) Aq = L² = (d / √ 2 )² = ½ (a + b)². 
1.B 11.C 2
1.C
3
1.D
41.B
2.D 1
2.C
22.B 3
2.D
42.C
3.B 1
3.C
23.B 3
3.C
43.E
4.D 1
4.C
2
4.D
3
4.A
44.E
5.B 15.E 2
5.A
3
5.A
45.A
6.D 1
6.C
26.E 36.B 46.A
7.B 1
7.D
27.E 3
7.D
47.D
8.C 1
8.D
2
8.C
3
8.A
48.C
9.D 19.E 2
9.D
3
9.A
49.D
1
0.C
2
0.C
3
0.C
4
0.C
50.D 
3
04(D) Área á ser pintada = 1xforro + 2x(2xFr + 
2xLat.) = 1x(13x10) + 2x[ 2x(10x5) + 2x(13x5)]=590
05(B) V1 = 10.000 + 1.000 = 11.000(Preço de venda)
 V2 = 11.000 – 1.100 = 9.900 (Pr. de compra)
 V1 – V2 = 1.100 ∴ (B) é a resposta correta.
06(D) Sejam: C= comprimento, L= largura e A= 
altura de uma caixa retangular. O produto dessas 
áreas = CL x LA x AC = C².L².A² = (C.L.A)² = 
quadrado do volume da caixa.
07(B) Sabendo-se que: Erro relativo = erro / medida, 
temos; Erro rel. da 1ª medida = 0,02 / 10 = 0,002.
 Erro rel. da 2ª medida = 0,2 / 100 = 0,002.
 ∴ são iguais.
08( C) Seja M o preço marcado no artigo.
Novo preço (com abatimento) = M – 10%M= 
M – 0,1M = 0,9 M.
Para que o preço volte a ser M → devemos somar 
0,9M + 0,1M = M. Deve-se observar que: 0,1 M = 
1/9 (0,9M) ,ou seja: 100/9 % = 11 1 /9%.
Nota: Podemoscalcular a taxa do aumento por:
 0,9 M → 100% ∴ x = 100% . 0,1M ∴
 0,1 M → x 0,9 M
 x = 11 1/9%.
09(D) Seja Pk o perímetro do k-ésimo triângulo. Pela 
figura abaixo se pode usar que: P k+1 = ½ . P k 
Os perímetros dos ∆ formam uma PG infinita de 
razão ½, 1ºtermo = P1 = 3 a e cuja soma S é:
 S = P1 + P2 + P3 + . . . = 3a+ ½.3a+ ½. ½.3a+ . . .=
 = 3 a (1 + ½ + ¼ +. . .) = 3 a . 1 = 6 a.
 1 – ½
 
 a a
 a/2
 60° 60° 
 a/2
10(C) Sabendo-se que a área do círculo de raio R é:
 A = piR², temos que, se um outro círculo de 
raio dobrado R1 = 2R, sua área A1 = pi(2R)² = pi.4R² = 
4.A. Portanto a área inicial é quadruplicada e (C ) é a 
alternativa incorreta.
11(C) A nova série é: a² + a²q² + a²q4 + ...; que é uma 
PG infinita e sua soma é: S = a² / (1 – q²).
12(C) Em 15 minutos, o ponteiro das horas se desloca 
¼ de 30° = 7 ½ °. (Verifique que em 1 hora o ponteiro 
das horas se desloca 30° e o dos minutos 360°= uma 
volta). Portanto, o ângulo formado pelos ponteiros 
nesta hora é: 30° - 7 ½° = 22 ½°.
13(C) Em um dia, A faz 1 / 9 do trabalho. Como B é 
50% mais eficiente, B fará 3/2. 1/9 = 1/6 do trabalho 
em um dia. Logo, B necessita de 6 dias para 
completar o trabalho.
14(C) é incorreta uma vez que alguns termos (os 
primitivos) devem permanecer indefinidos.
15(E) Vamos fatorar a expressão dada:
n³ - n = n(n² - 1) = (n – 1) . n . (n + 1) . Para valores 
inteiros de n, representam o produto de 3 inteiros 
consecutivos. Como em um par de números inteiros 
consecutivos, existe sempre um divisível por 2, então 
em um terno, existirá um divisível por 3. Logo, n³ - n 
é divisível por 2, por 3 e, portanto é também por 6.
16(C) A condição de c = b² / 4 a ocorre se ∆(delta) 
= 0, o que implica raízes reais e iguais para f(x) = 0, 
com coeficientes reais, i.e., a curva toca o eixo dos x 
em um ponto apenas. Logo o gráfico (a parábola) é 
tangente ao eixo x.
17(D) As alternativas (A),(B),(C) e (E) são da forma 
y = kx (Diretamente Proporcional) ou xy = k 
(Inversamente Proporcional), mas (D) não.
18(D) Sejam Ax + B e CX + D os fatores. Então:
 (Ax + B) (Cx + D) = A.Cx²+(A.D + B.C) x + B.D =
 = 21 x² + ax + 21.
∴ A.C = 21 e B.D = 21. 
Como 21 é impar, seus dois fatores também o são, ou 
seja, os números A e C são números ímpares, bem 
como B e D. Como o produto de dois números 
ímpares é um número ímpar, temos que a soma de 
dois números ímpar , logo a = A.C + B.D é um 
número par.
19(E) Um número desse tipo tem a forma:
P. 10³ + P = P (10³ + 1) = P (1.001), onde P é o 
número com 3 algarismos que se repete. Portanto a 
alternativa (E) é a correta.
20(C) Usando-se propriedade potências a-n = 1/an, 
temos: (x + y)-1 (x-1 + y-1) = 
= 1 ( 1/x + 1/y) = 1 (x + y) = 1 / xy = x-1y-1.
 x + y x + y xy
21(C) Não é correta sempre, já que, para z < 0,
xz < yz. 
22(B) Usando a def. de logaritmos temos:
log10 (a² - 15 a) = 2 → a² - 15 a =10²= 100
 que tem como raízes da eq. do 2°grau {-5;20}e 
ambas satisfazem a condição do nº. do logaritmo.
23(B) Usando a fórmula volume do cilindro que é
V = pir²h, devemos ter que: pi( r + x)²h= pir²(h + x)
∴ x = ( r² - 2rh)/ h. Para r = 8 e h = 3,temos x = 5 
1/3.
24(D) Usando prop. multiplicação de potências de 
mesma base ( a m+n = am . a n ) , teremos que:
2 n+ 4 – 2(2 n) = 2 n. 2 4 - 2 . 2 n = 2.2 n( 2³ - 1) = 
 2( 2 n+3 ) 2 . 2 n . 2³ 2 . 2 n . 2³
= 7/8.
25(A) Sendo L1=lado do quadrado; a1=seu apótema 
tem-se que área do quadrado = seu perímetro ∴
L1² = 4L1;e como (2a1 )²=L1teremos 4 a1² = 8 a1 
∴ a1 = 2. 
Seja L2=lado ∆ eqüilátero; h=sua altura; a2= seu 
apótema; temos que h = √ 3/2 L2 e AT= seu perímetro, 
então: L2². √ ¾ = 3 L2. Como h = 3 a2 e L2=2h / √ 3 = 
6 a2 / √ 3 temos 36 a2² / 3 . √ 3 / 4 = 
3. 6. a2 / √ 3 ∴ a 2 = 2 = a 1 .
26(E) Após simplificação, temos: 
x² - x – m(m + 1) = 0. para termos raízes iguais, o 
discriminante = D = 1 + 4m(m + 1) = (2m + 1)² = 0 
∴ m = - 1 / 2.
4
27(E) Podemos eliminar (A) e (D) provando que os 
ângulos correspondentes não são iguais. Se (A) é 
falso, (B) é certamente falso. Podemos eliminar (C) 
colocando o ponto muito próximo de um dos lados do 
∆. Portanto, nenhuma das 4 afirmações é verdadeira.
28(C) Temos que: P = k.A.V².Tirando dados do 
problema: 1 = k.1 .16² ∴ k = 1 / 16².
Para cálculo da velocidade: 36 / 9 = (1/16)².1. V² ∴
V = 32 km/h.
29(D) Seja r a proporção entre a altura e a base. Os ∆ 
na figura satisfazem a condição (D) mas tem formas 
diferentes. Portanto (D) não determina a forma dos ∆
 rb
 rb
30(C) Veja a figura abaixo, e usando semelhança 
entre os triângulos temos: 
1°modo: 1 = 1 + 1 ∴ x = 16 cm
 x 20 80
2º modo: 20 = x ∴ y = 5x
100 y
 80 = x___ ∴ 80 = x_____ 
 100 100 – y 100 100 – 5y
 
 ∴ x = 16 cm.
 80
20 x
 100 – y y
31(D) 1ºmodo: Seja n = nº. de pessoas presentes à 
festa. Sendo P uma pessoa qualquer desse grupo, P 
deve ter apertado a mão de (n – 1) pessoas, e isso é 
verdade para cada uma das n pessoas presentes. Mas 
para não contarmos duas vezes o aperto de mão dado 
por duas pessoas quaisquer, temos que contar o nº. de 
apertos como n(n – 1) / 2 = 28, o que dá n = 8.
2º modo: Calculando na forma de combinações 
simples: C n, 2 = n ! = n (n – 1) = 28 ∴ n = 8.
 2!(n-2)! 2
32(D) O ∆ inscrito de perímetro máximo, é o ∆ 
retângulo isósceles (altura = raio), cujos lados 
(catetos) medem AB √ 2 / 2, cada um. Logo, de uma 
forma geral: AC + BC ≤ AB √ 2.
33(C) Temos ( x² - 2x= 0) (x² = 2x) (x² ±1 = 2x 
±1) ∴ a alternativa correta é a (C).
34(A) Em geral, usando uma das propriedades dos 
logaritmos, temos alogaN = N, com as devidas 
condições para N > 0 e 0 < a 1. Logo 10 log107 = 7.
35(A) Usando prop. de potência com expoente 
fracionário, temos:
c y = a z ∴ c = a z/y, logo c q = a (z/y)q = a x
∴ x = (z/y)q ou xy = zq.
36(B) Para se provar que certa figura é um lugar 
geométrico, é essencial:
1º) que ela contenha todos os pontos do lugar.
2º) que ela não contenha nenhum dos pontos que não 
seja do lugar.
Por este critério, (B) não é suficiente, já que não 
satisfaz a condição (1), ou seja, a condição (B) não 
garante que todo ponto que satisfaça às condições 
está no lugar geométrico.
37(D) Seja N o número procurado. Pelos dados do 
problema temos:
N = 10q9 + 9 = 9q8 + 8 = . . . = 2q1 + 1.
Adicionando-se 1 a cada membro da equação, temos:
N + 1 = 10q9 + 10 = 9q8 + 9 = . . . = 2q2 + 2 =
 = 10(q9 + 1) = 9(q8 + 1) = . . . = 2(q2 + 1), ou 
seja: N + 1 é divisível por 10, 9, 8, . . . , 3, 2 cujo 
mínimo múltiplo comum é : 2³.3².5.7 = 2520 ∴ 
N = 2519.
38(A) Inicialmente vamos calcular os alongamentos 
relativos a 2% e 3% de 600m.
Sendo: 2 % de a1 = 600 m ∴ a1 = 30.000 m
 3% de a2 = 600 m ∴ a2 = 20.000 m
Temos então que, com a mudança de 2% para 3% 
deve-se alongar a estrada em: a1 – a2 = 10.000 m.
39(A) A distância percorrida pela pedra ao cair 
(queda) é a mesma percorrida pelo som (subida):d = vq. tq = vs. ts. Logo, os tempos de percurso são 
inversamente proporcionais às velocidades, ou seja:
vq / vs = ts / tq (I) 
Temos que: vq = 5tq²/tq = 5tq; vs = 350 m/s; tq + ts = 
7,7s ∴ ts = 7,7 – tq: daí escrevemos em (I):
5tq / 350 = (7,7 – tq ) / tq ∴ tq= 7 seg.e ts = 0,7seg. 
Portanto, a profundidade do poço é:
 d = vs . ts = 350 . 0,7 = 245m.
40(C) Dado que: x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) e que
x³ - 1 = (x – 1)(x² + x + 1), então podemos simplificar 
a expressão a 1, feitas as devidas restrições aos 
valores de x.
41(B) Devemos verificar alternativa a alternativa e aí 
então temos a correta.
42(C) Iniciamos quadrando a equação, de onde 
temos: 
 x² = 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . ∴ x² = 1 + x ∴
 x² - x – 1 = 0.
Logo x 1,62, ou seja : 1 < x < 2.
43(E) A alternativa (E) é incorreta porque, sendo 
conhecido o produto de duas quantidades positivas, a 
soma das mesmas é mínima quando essas 
quantidades são iguais. Para provar isso, seja x uma 
dessas quantidades, e vamos escrever a 2ª quantidade 
como (x + h), com h podendo ser negativo. 
Então se x (x+h) = p ∴ x² + hx – p = 0 ∴
 x = -h + √ h² + 4p ∴ x + x + h = √ h² + 4p cujo o 
 2
valor é mínimo quando h = 0.
44(E) Calculando a inversa das expressões dadas 
temos o seguinte conjunto de equações:
(I)1/y + 1/x = 1/a; (II) 1/z + 1/x = 1/b; 
 (III)1/y + 1/z= 1/c.
Fazendo: (I)-(III) = (IV) = 1/x – 1/z = 1/a – 1/c e
 (IV)+(II) = 2/x = 1/a + 1/b – 1/c ∴
 x = 2abc____ 
 ac + bc – ab
5
 A
 AD = 5 e BE = √ 40 .
b/2
 
 E 5 c
b/2
 C a/2 D a/2 B
 C
A o B 
 D E
 P
45(A) Usando a definição e algumas propriedades de 
logaritmos temos:
i)log 8 = log 2³ = 3.log 2 ∴ log 2 = 1 / 3 . log8
ii)log 9 = log 3² = 2.log 3 ∴ log 3 = 1 / 2 . log 9
iii)log 10 = 1;
iv)log 5 = log(10/2) = log 10 – log 2 = 1 - log2. 
 Portanto, todos os logaritmos das alternativas desta 
questão, podem ser representados por um produto de 
potências 2, 3 e 5, com exceção 17, que é o único 
número da lista não representável nessa forma. 
Conclui-se portanto que a alternativa correta é (C).
46(A) Em primeiro lugar 
deve-se construir um 
círculo conforme dados 
no problema(figura 
abaixo).Vamos estender 
CO até encontrar o 
círculo no ponto E. 
Como CE é diâmetro, 
CD ⊥ DE. A bissetriz do 
ângulo OCD corta o arco DE de tal forma que o arco 
DP = arco PE. Independente da posição de C, a corda 
correspondente DE é sempre paralelo a AB e, 
portanto P sempre corta ao meio o arco AB.
 
47(D) Temos: 1 + 1 = r² + s² = (r + s)² - 2rs 
 r² s² r²s² (rs)²
e como r + s = - b/a e r.s = c/a temos que:
 1/r² + 1/s² = b² - 2ac
 c²
48(C) A área do quadrado 
menor é 4r²/5 e a área do 
quadrado maior é 2r², onde r é 
o raio do círculo. Portanto a 
proporção entre as áreas é 2: 5
49(D) Do enunciado podemos 
afirmar que, para no ∆ retângulo ABC,
(a/2)² + b² = 25; a² + (b/2)² = 40 ∴ a² = 36 e b² = 16.
 ∴ c² = a² + b² = 52 ∴ c = 2 √ 13. 
 
50(D) Sejam t1, t2 e t3 o número de horas, 
respectivamente, dos seguintes trechos da corrida;
- a corrida até que o carro pára para descida de Paulo.
- a volta até alcançar Pedro
- o resto do trajeto até o ponto final.
Podemos então escrever:
25.t1 -25t2 + 25t3 = 100 (carro)
5.t1 + 5t2 + 25.t3 = 100 (Pedro)
25.t1 + 5.t2 + 5.t3 = 100 (Paulo)
O sistema acima de equações é equivalente a:
t1 -t2 + t3 = 4
t1 + t2 – 5t3 = 20
5t1 + t2 + t3 = 20
Cuja solução é: t1 = 3, t2 = 3 e t3 = 3 e o tempo total 
do percurso é t1 + t2 + t3 = 8 horas.
ANOTAÇÕES 

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