FUNCAO EXPONENCIAL

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FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável 
aparecendo em expoente. 
 A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é chamada função 
exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o 
contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero). 
 
 
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Temos 2 casos a considerar: 
  quando a > 1; (função crescente) 
  quando 0 < a < 1. (função decrescente) 
 
 Acompanhe os exemplos seguintes: 
 
1) y = 2x (nesse caso, a = 2, logo a > 1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos 
a tabela e o gráfico abaixo: 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 1/4 1/2 1 2 4 
 
 
2) y = (1/2)x (nesse caso, a = 1/2, logo 0 < a < 1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos 
a tabela e o gráfico abaixo: 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 4 2 1 1/2 1/4 
 
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Nos dois exemplos, podemos observar que: 
a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; 
b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); 
c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), 
portanto o conjunto imagem é Im=IR+. 
 
Além disso, podemos estabelecer o seguinte: 
 
a>1 0<a<1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é crescente e Im=IR+ 
 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm 
mesmo sentido) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é decrescente e Im=IR+ 
 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm 
sentidos diferentes) 
 
3) f(x) = 𝑒𝑥 
A função , cuja base é a constante de Euler e ( ), desempenha um papel 
muito importante nas aplicações e será referida como a função exponencial. 
Quem é “e” ? 
 
 
 
 
n
n n
e 







1
1lim
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Propriedades da Potência 
 
 
 
 
 
 
 
 am * an = am + n 
Multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. 
 
am : an = am – n 
Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. 
 
 (am)n = am * n 
Potência de potência, multiplicar os expoentes. 
 
 
Potência com expoente racional: o expoente do radicando se transforma no 
numerador do expoente da base fora da raiz, e o índice da raiz passa a ser o 
denominador. 
 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
 Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece 
em expoente. 
 
Exemplos de equações exponenciais: 
 
1) 3x = 81 (a solução é x=4) 
 
2) 2x-5 = 16 (a solução é x=9) 
 
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 
 
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 
 
2º) aplicação da propriedade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
)0 e 1(  aanmaa nm
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) 3x = 81 
Resolução: Como 81 = 34, podemos escrever 3x = 34 
 
E daí, x = 4. 
 
2) 9x = 1 
Resolução: 9x = 1  9x = 90 ; logo x = 0. 
 
3) 23x-1 = 322x 
Resolução: 23x-1 = 322x  23x-1 = (25)2x  23x-1 = 210x ; 
 
daí 3x - 1 = 10x, de onde x = -1/7. 
 
4) Resolva a equação 32x – 6.3x – 27 = 0. 
 
Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação: 
32x – 6.3x – 27 =0  (3x)2 - 6.3x – 27 = 0 
 
Fazendo 3x=y, obtemos: 
y2 - 6y – 27 = 0 ; aplicando Bháskara encontramos  y’ = -3 e y’’ = 9 
 
Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x = y: 
 
y’ = -3  3x’ = -3  não existe x’, pois potência de base positiva é positiva 
y’’= 9  3x’’ = 9  3x’’ = 32  x’’=2 
 
Portanto a solução é x=2 
Aplicações: 
1. A população de certa comunidade cresce segundo a função 
tetP 4,0.20000)( 
. A 
população desta comunidade no instante t = 5 anos é igual a: 
 
5.4,0.20000)5( eP 
 P(5) = 147.780 habitantes 
4
3
 logo ; 33 33 273 :Resolução
273 )4
.4 então ; 
4
3
4
3
 
4
3
4
3
 
256
81
4
3
 :Resolução
256
81
4
3
 )3
4
3
4 34
4
4
4
4
































x
x
xxx
x
xxx
x
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2. Considere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. 
Suponha que colhendo amostras da população em certos intervalos de tempo fique 
determinado que a população dobra a cada uma hora. Se o número de bactérias 
no instante t for p(t), onde t é medido em horas, e a população inicial for de 
p(0) = 1000 bactérias, então: 
 Portanto, a função exponencial para este caso é definida por: 
 p(t) = 2t.1000 
 Assim, se quisermos saber de quanto será a população de bactérias após 
10 horas, basta substituir 10 na equação: 
 p(10) = 210.1000 = 1024.1000 = 1.024.000 bactérias. 
 Por outro lado, se a pergunta for: quanto tempo levará para a população de 
bactérias chegar 128.000? Basta substituir p(t) por 128.000 e encontrar o 
valor de t. 
 128.000 = 2t.1000  128.000/1000 = 2t  27 = 2t, 
portanto, t = 7 horas. 
Exercícios 
 
1. O valor de um carro é de R$ 15.000,00 e sabe-se que ele desvaloriza 10% ao ano. 
Então temos: 
 
 tfV 9,015000 
. Nessa expressão, Vf é o valor do carro após um período t 
em anos. a) qual é o valor do carro para t = 2 anos? 
 b) qual é o valor do carro para t = 4 anos? 
 
2. Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que seu valor daqui a t 
anos será: 
 
tV )8.0.(6560
 . 
a) qual seu valor hoje? 
b) qual seu valor daqui 3 anos? 
c) daqui a quantos anos seu valor será 156? 
3. Daqui a t anos o valor de uma máquina será: 
 V t 50 0 8. ,
. 
a) Qual seu valor hoje? 
b) Daqui a quantos anos seu valor se reduzirá à metade? 
c) Faça o gráfico de V em função de t. 
 
 
 
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4. Admitindo que o crescimento da população brasileira é da ordem de 2,5% ao ano, e 
sabendo que o recenseamento de 1.980 acusou 120 milhões de brasileiros, 
podemos escrever da seguinte forma a expressão que fornece o crescimento da 
população: 
tpP )025,1.(0
 
a) qual será aproximadamente a população em 2.001? 
b) E em 2.004? 
 
5. Chama-se montante ( M ) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um 
capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode 
ser calculado pela fórmula 
 
Supondo que o capital aplicado é de R$ 200.000,00 a uma taxa de 12 % ao ano 
durante 3 anos, qual o montante no final da aplicação? 
 
6. Um biólogo estudou o crescimento de um animal nos primeiros meses de vida e 
observou um aumento de peso de 10% ao mês. Supondo que o peso no início da 
observação era p e após n meses chegue a Pn, pergunta-se: 
a) Qual é o pesoPn, quando n = 2 meses e p = 12 kg ? 
b) Se p = 10 kg e Pn = 13 kg, quanto tempo o animal levou para atingir o peso Pn, 
desde o início da observação? 
c) qual é o peso Pn, se p = 11 kg e n = 5 meses ? 
 
7. O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de um certo 
experimento, é dado pela expressão . Nessas condições, quanto 
tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias? 
 
8. A área de uma represa é de 1.500.000 m². Uma parte dela correspondente a 10.000 
m², está infestada por uma vegetação que aumenta 50% ao ano. 
a) Depois de 3,5 anos qual é a área coberta pela vegetação? 
b) Depois de aproximadamente quanto tempo a represa estará totalmente coberta 
pela vegetação? 
 
9. Apesar de o avanço da tecnologia resultar na produção de calculadoras cada vez 
mais potentes e compactas, atualmente, o preço das mesmas baixou. Imagine que, 
daqui a x meses, o preço de um certo modelo será de 
P x
x
reais( ) . 

40
30
1
 
a) Qual será o preço daqui a 5 meses? 
b) De quanto será a queda no preço durante o 5º mês? 
c) Quando o preço será de R$ 43,00? 
d) O que você observa em relação ao preço, à medida que o tempo passa? 
 
 
tiCM )1( 
ttN 4.02.1200)( 