Magnetismo e Magnetostática

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8- O Magnetismo e a Magnetostática. 
1- Magnetismo e Campo Magnético 
Referimo-nos ao magnetismo como sendo a ciência que estuda os fenômenos associados à geração de 
campos magnéticos, bem como sua utilização para efeitos práticos. É uma área do conhecimento bastante 
ativa ainda hoje. A área de grande interesse tecnológico é aquela que estuda, e desenvolve, materiais 
magnéticos. Uma das aplicações desses materiais é o armazenamento de informações. 
Campos magnéticos têm o caráter vetorial dos campos elétricos, mas, em alguns aspectos são radicalmente 
diferentes do campo elétrico. Esse é o caso dos campos magnéticos gerados pelos imãs os quais têm uma 
origem distinta dos campos elétricos. No entanto, noutras duas formas de gerar campos magnéticos fica 
bastante evidente uma inter-relação entre os dois campos: o elétrico e o magnético. 
Campos magnéticos podem ser percebidos por meio das forças, ditas magnéticas, que eles acarretam. No 
entanto, esse não é o único efeito do campo magnético. Por exemplo, a mera presença de um campo 
elétrico numa determinada região do espaço leva à existência de uma energia magnética naquela região. 
Os materiais exibem o fenômeno do magnetismo. Ele se manifesta na medida em que certos materiais são 
capazes de produzir, gerar, campos magnéticos. Estes campos, por outro lado, geram forças capazes de 
atrair pequenos pedaços de ferro, forças entre fios e, mais importante, forças que colocam elétrons em 
movimento gerando uma corrente elétrica. São muitas as forças de origem magnética. 
Na pesquisa científica o magnetismo ocupa um papel essencial no confinamento de um plasma. Essa nova 
fase da matéria é uma promessa para geração de energia a partir da fusão controlada. 
 
Figura 1. Campos magnéticos não uniformes são utilizados para confinar um plasma. 
2- A DESCOBERTA DO MAGNETISMO 
Interessante notar que praticamente ao mesmo tempo em que se descobriu o fenômeno da eletricidade, 
numa região da cidade grega de nome Magnésia alguns habitantes descobriram um fenômeno de certa 
forma, parecido com o da eletricidade. No entanto, nesse caso, o fenômeno consistia de que alguns 
materiais, que hoje denominamos materiais ferroelétricos ( na verdade se tratava de um mineral dotado de 
tal propriedade), exibiam uma propriedade análoga ao âmbar só que não havia necessidade de atritá-lo. 
Estes minerais exibiam a propriedade de atrair pequenos pedaços de ferro. 
A descoberta do magnetismo é muito antiga. Ocorreu na região da Magnésia (daí o nome), quando se 
verificou que a magnetita (um mineral) exibia a capacidade de atrair pequenos pedaços de ferro. 
A magnetita é um material ferroelétrico semelhante aos imãs. Dizemos que esses materiais geram campos 
magnéticos. Os objetos atraídos por eles (como pregos) também são ferro elétricos. Esses materiais são 
influenciados pelo campo magnético produzido por ímãs. Trata-se da interação entre dois materiais 
bastante semelhantes em relação a suas propriedades magnéticas. 
 
 
Figura 2. A magnetita, um mineral ferromagnético. Como os imãs. 
Assim, o início do interesse pelo magnetismo tem lugar com a descoberta das forças magnéticas geradas 
por certos materiais. 
É curioso constatar que, na realidade, nesse início, os gregos estavam descobrindo um fenômeno 
inteiramente associado ao que nós hoje chamamos de propriedades, ou atributos, dos constituintes da 
matéria. E esse reconhecimento só ocorreu cerca de 2500 anos depois da descoberta desses materiais. 
Sabemos hoje que o ferromagnetismo, em suas múltiplas formas, ocorre por conta do spin do spin dos 
constituintes. 
Tendo em vista o atributo spin, se pode pensar no elétron e no próton em sendo pequenos imãs. O nêutron 
também. No entanto, por não possuir carga elétrica o efeito do spin é bem menos acentuado. 
O fato é que a ciência do eletromagnetismo se iniciou quando tomamos conhecimento de dois atributos 
dos constituintes da matéria aos quais hoje denominamos carga elétrica e spin. 
3- O Magnetismo terrestre 
A segunda descoberta importante, relativa ao magnetismo, é que a Terra gera um campo magnético. E este 
exerce influência, por meio de forças, sobre materiais ferroelétricos localizados sobre todos os pontos na 
superfície terrestre (e pontos acima dela). Não existe uma boa teoria para explicar o magnetismo terrestre. 
Sabemos, no entanto, como inferira William Gilbert em 1600, que o campo magnético tem linhas de força 
semelhantes àquelas produzidas por um imã. Este campo magnético tem a capacidade de influenciar 
agulhas imantadas. E essa é a base para a primeira utilização do campo magnético terrestre: a construção 
de bússolas. E essa iniciativa data de aproximadamente 1100 anos depois de Cristo. 
É possível nos orientarmos utilizando uma bússola que aponta para o polo norte ou para o polo sul. Daí a 
ideia de polos de um imã. Um polo norte do imã-Terra, que a rigor se encontra no Sul geográfico e um polo 
Sul no outro extremo (vide figura) 
O fato é que relativamente cedo se encontrou uma utilidade para o magnetismo. O mesmo não 
acontecendo com a eletricidade. Sua utilidade só se revelou em sua inteireza, quando foi descoberta a 
pilha, por Alessandro Volta. O que aconteceu depois de 600 anos depois da descoberta da bússola. 
 
Figura 3. O campo magnético da Terra e a bússula. 
4- Forças Magnéticas 
Os efeitos mais perceptíveis da geração de campos magnéticos são as forças a eles associadas. É a maneira 
mais simples de determinarmos a existência de um campo magnético numa determinada região do espaço. 
Para tal, basta utilizarmos magnéticos (como imãs e bússolas), os quais se deixam influenciar pelos campos 
magnéticos. Existem, essencialmente, dois tipos de forças magnéticas. 
1-Forças resultantes da interação entre momentos de dipolo magnéticos (por exemplo, forças exercidas 
pelos imãs) 
2-Forças de Lorentz 
A interação entre dipolos magnéticos geram forças as quais em geral, são difíceis de serem calculadas. 
Num dipolo podemos identificar duas regiões as quais denominamos polos. Polos de mesmo nome se 
repelem enquanto que polos de nomes opostos se atraem. 
Por conta do mecanismo de formação dos imãs, quando eles são divididos cada pedaço se constitui num 
novo imã. 
 
Figura 4. Ilustração das forças entre os polos. 
Quando cortamos um imã, encontraremos dois imãs em seu lugar. Este é um resultado assaz curioso. 
Quando um imã se encontra sob o efeito de um campo magnético ele se orienta de acordo com a figura 5, 
abaixo. 
 
Figura 5. Quando sujeito a um campo externo o polo norte procura se movimentar no sentido do campo 
magnético externo. O polo sul se orienta de forma oposta. 
As forças de Lorentz foram estudadas no capítulo anterior. 
5- Não existem dipolos magnéticos 
A diferença mais relevante do magnetismo com respeito à eletricidade, é que os constituintes da matéria 
não têm um atributo mediante o qual eles possam exercer forças magnéticas. 
 
Não existindo tal atributo, a carga magnética, cabe a pergunta: 
Como são gerados os campos magnéticos? 
Sabemos hoje que os campos magnéticos podem ser gerados de três formas distintas: 
1- Quando os spins do elétron se alinham. 
Esta é a origem do magnetismo dos imãs. É um fenômeno bastante surpreendente, e dificílimo de ser 
explicado. Só a teoria quântica pode prevê-lo desde que determinadas circunstâncias possam ocorrer 
2- Um campo magnético pode resultar, de forma preponderante, do movimento de cargas elétricas. 
Portanto, a ação da força magnética sobre um determinado corpo só acontece se este for dotado de carga 
e estiver numa região em que as cargas estejam em movimento. Nessas circunstâncias, um corpo 
carregado experimentará a ação de duas forças: a força elétrica e a força magnética.3- Campos elétricos variando com o tempo, geram campos magnéticos. 
Essa foi uma descoberta feita por Maxwell, em 1863. 
O magnetismo dos materiais, por outro lado, está associado, como regra geral, a dois efeitos: o primeiro diz 
respeito a um tipo particular de movimento: o movimento dos elétrons em torno dos átomos. Esse 
Não existem atributos denominados cargas magnéticas, isto é, não existem monopolos 
magnéticos. No entanto, para gerar campos magnéticos, é essencial que os constituintes da 
matéria, como os elétrons, prótons e nêutrons exibam momentos de dipolo magnético. Quanto 
ao átomo ou à molécula como um todo, a questão é mais complexa, pois envolve um somatório 
de momentos de dipolo. 
dede todos eles. 
movimento leva-nos a caracterizar um elétron, para efeito do magnetismo exibido por ele, como um ente 
físico que definimos como dipolo magnético. 
O outro efeito mencionado, tem a ver com o spin do elétron. A essa grandeza física também associamos 
um momento de dipolo elétrico. Assim, mesmo que um elétron não esteja em movimento, ele se comporta 
como um diminuto ímã. Como veremos em seguida, alguns tipos de magnetismo dos materiais resultam de 
um somatório de dipolos magnéticos numa escala macroscópica. Não por acaso, dizemos que o material 
está magnetizado. 
O magnetismo da matéria resulta de uma distribuição de momentos de dipolos magnéticos, sendo que 
cada átomo exibe um momento de dipolo magnético que lhe é próprio. Os momentos de dipolo tanto 
podem ser permanentes quanto induzidos. 
Campos eletromagnéticos, por outro lado, podem existir mesmo onde não exista matéria (no vácuo). 
6- MAGNETIZAÇÃO E OS IMÃS 
O conceito central do magnetismo da matéria é o conceito de momento de dipolo magnético. Este 
conceito, no caso do movimento de cargas elétricas será apresentado ao final deste capítulo. No momento, 
queremos lembrar que um elétron, um próton, ou uma partícula dotada de massa m e carga q, tem um 
momento de dipolo magnético dado por: 
qS
m
 
 8.1 
Onde 
S
 é o spin da partícula. Assim, essa grandeza física está relacionada ao spin e à carga elétrica. Dois 
atributos dos constituintes da matéria. 
 
Figura 6. Por conta do seu spin, um elétron também é um pequeno imã. 
 Magnetização é um fenômeno que ocorre quando o material adquire uma distribuição de dipolos 
magnéticos. Os imãs são materiais que exibem a magnetização em caráter permanente. Assim, definimos o 
vetor magnetização 
M
 como sendo o momento de dipolo por unidade de volume. Ou seja; 
d
M
dV


 8.2 
Os materiais ferromagnéticos exibem uma magnetização por conta da orientação dos spins, ou seja, por 
conta da orientação dos pequenos imãs aos quais damos o nome, hoje, de elétrons. 
 
Figura 7. Em alguns materiais pode-se ter a orientação de spins na mesma direção. Ou seja, os pequenos 
imãs se orientam gerando um campo magnético que a soma dos campos magnéticos gerados por cada um 
dos pequenos imãs, associado aos elétrons. 
 
A primeira forma de magnetismo a ser descoberta é aquelas exibida pelos materiais ferroelétricos. Os imãs, 
bem como os materiais ferromagnéticos de forma geral, resultam de um fenômeno de alinhamento, muito 
raro, dos pequenos imãs associados aos elétrons. Assim, imãs são materiais ferroelétricos que possuem 
uma magnetização em caráter permanente. Entender como são formados os imãs é uma tarefa muito 
difícil, pois requer conhecimento da mecânica quântica. Sabe-se, no entanto, que os materiais 
ferromagnéticos são formados por conta de forças fitas de Exchange as quais promovem um alimento dos 
pequenos imãs associados aos elétrons. Cada imã tem dois polos, denominados norte e sul, refletindo as 
propriedades de momentos de dipolo. 
 
Figura 8. Imãs exibem propriedades distintas nas suas extremidades. Por razões históricas, essas 
extremidades são denominados polos norte e sul. 
7- Linhas de Campos Magnéticos 
Uma linha de campo magnético é uma curva orientada no espaço. A partir delas podemos inferir a direção 
e o sentido do campo magnético. A direção é aquela de uma reta tangente às linhas de campo. Seu sentido 
é indicado pela orientação da curva que passa por esse ponto. 
As linhas de campo, quando desenhadas, não têm a pretensão de que se possa determinar a partir delas a 
intensidade ( o módulo do campo magnético) em cada ponto do espaço. No entanto, quanto maior o 
adensamento das linhas de campo, maior a intensidade do mesmo. Por exemplo, o campo magnético é 
mais intenso nos polos do que no equador. E isso pode ser entendido a partir da figura 9. 
 
 
Figura 9: As figuras ilustram “as linhas de força do campo magnético” ou, simplesmente, linhas do campo 
magnético da Terra e de um ímã sob a forma de uma barra. 
8- AS LEIS DA MAGNETOSTÁTICA 
Neste tópico apresentaremos duas leis do eletromagnetismo. São as leis da magnetostática. 
O fato é que, alem do magnetismo dois imãs, dois fenômenos distintos dão origem a campos magnéticos: 
cargas em movimento (fenômeno já discutido no tópico anterior) e campos elétricos variando com o 
tempo. Temos assim, duas formas de gerar campos magnéticos. Nenhuma delas faz referência ao conceito 
de monopolos magnéticos. 
A magnetostática é regida por duas leis. Ambas se referem a taxas de variação do campo magnético com 
respeito às coordenadas do espaço. Note-se que o tempo não é levado em conta, daí o nome. 
Na magnetostática, escrevemos: 
( , ) 0
( , )
B r t
t
J r t
t





 8.3 
A primeira lei da magnetostática estabelece que os campos magnéticos não resultam da existência de 
cargas magnéticas (que seriam, se existissem, um atributo análogo à carga elétrica). Ela expressa o fato de 
que as partículas que constituem a matéria não são dotadas do atributo carga magnética. Não existem, 
portanto, monopolos magnéticos. Assim essa lei se escreve assim: 
( ) 0B r 
 8.4 
Seu significado será discutido a seguir. Essa lei, no entanto, é bastante geral. Isto é, ela vale mesmo no caso 
em que o campo magnético varia com o tempo. 
( , ) 0B r t 
 8.5 
A segunda lei procura estabelecer uma relação entre taxas de variação do campo magnético e a densidade 
de corrente. A essa lei damos o nome de Lei de Ampère. Ou seja, ela estabelece que cargas em movimento 
geram um campo magnético cujas taxas de variação se relacionam de uma forma simples (linear) com a 
densidade de corrente. Inicialmente, procuraremos apresentar uma formulação mais geral da lei de Biot-
Savart para estabelecer uma relação entre as causas (cargas em movimento) e os efeitos (geração do 
campo magnético). A segunda estabelece que 
0( ) ( )B r J r 
 8.6 
Essa lei é denominada Lei de Ampére. Ela especifica que cargas elétricas em movimento geram campos 
magnéticos. 
8.1- Não existem monopolos magnéticos 
Lembramos, primeiramente, que de acordo com a lei de Gauss, uma carga elétrica dá origem a um campo 
elétrico. A carga elétrica é um atributo que gera um campo elétrico no espaço. Esse campo, por outro lado, 
é tal que a soma das taxas de variação pontual do mesmo se relacionam com a distribuição de cargas de tal 
forma que: 
0
yx z E
EE E
E
x y z
  
   
   
 8.7 
onde 
E
 é a densidade de cargas elétricas. 
 Sempre nos perguntamos se as partículas elementares não teriam outro atributo ao qual denominamos de 
carga magnéticas. Ou seja, se as partículas se comportam como monopolos magnéticos. Se tal ocorresse, 
escreveríamos: 
0
yx z M
BB B
B
x y z
  
   
   
 8.8 
Onde agora, em analogia com 2.1, 
M
 representaria a densidade de monopolos magnéticos (ou cargas 
magnéticas). Ocorre que até hoje não observamos a existência desseatributo em qualquer um dos objetos 
analisados. Portanto, a conclusão é que: 
Não existem cargas magnéticas 
Fato esse que podemos expressar como: 
0B 
 8.9 
Essa é uma das quatro leis fundamentais do eletromagnetismo. Ela expressa o fato que o atributo carga 
magnética não existe. Como resultado da lei resumida em 2.3, as linhas de força do campo magnético são 
sempre fechadas (veja Figuras 9 e 10). 
 
Figura 10. As linhas de campo magnético se iniciava no polo norte e se dirigem ao polo sul. Suas linhas de 
campo são sempre fechadas 
9- O POTENCIAL VETOR 
Alem dos campos elétricos e magnéticos, fazemos uso no eletromagnetismo de dois outros campos: o 
potencial eletrostático (que de agora em diante nos referimos a ele como o potencial eletromagnético) e o 
potencial vetor. 
A existência do potencial vetor é uma consequência do fato de que monopolos magnéticos não existem. O 
potencial vetor, como o nome bem indica, é um campo vetorial. Esse campo está relacionado ao campo 
magnético. 
O uso do potencial vetor introduz uma nova metodologia para a solução de problemas no 
eletromagnetismo. Alem disso, ele faz com a solução desses problemas tenha certa semelhança com a 
solução de problemas na eletrostática. 
Tendo em vista o fato de que monopolos magnéticos não existem, e que esse fato pode ser traduzido, em 
termos de propriedades do campo, como a propriedade do campo magnético de ter um divergente nulo: 
 , 0B r t 
 8.10 
Então, segue dessa propriedade que o campo magnético pode ser expresso como o rotacional de um 
campo vetorial. Esse campo vetorial é conhecido como o potencial vetor (e representado por
 ,A r t
). 
Escrevemos: 
   , ,B r t A r t
 8.11 
É importante frisar que o potencial vetor não é univocamente determinado. Ou seja, dados dois potenciais 
vetores 
 ,A r t
 e 
 ,A r t
 que difiram pelo gradiente de um campo escalar, isto é: 
     , , ,A r t A r t r t  
 8.12 
Onde 

 é uma função escalar qualquer, e lembrando que: 
  , 0r t  
 8.13 
Propriedade essa válida para qualquer função escalar, então se conclui que os dois potenciais vetores 
levam á mesma expressão para o campo magnético: 
     , , ,B r t A r t A r t  
 8.14 
Assim, dois potenciais distintos (diferindo pelo gradiente de uma função escalar) são equivalentes e, 
portanto, o campo vetorial não é univocamente determinado. Como se requer que grandezas físicas sejam 
univocamente determinadas, a conclusão é que o potencial vetor é uma grandeza física não observável. 
Á transformação da forma: 
   , ,A r t A r t
 8.15 
Com 
 ,A r t
 dado pela expressão (8.12), damos o nome de Transformação de Gauge. 
À invariância do campo magnético por uma transformação de Gauge, damos o nome de invariância de 
Gauge. 
10- EQUAÇÕES PARA O POTENCIAL VETOR 
O uso do potencial vetor faz com que as equações fundamentais da magnetostática fiquem muito 
semelhantes ás equações da eletrostática. Para entendermos isso, vamos escrever as equações da 
magnetostática para o vácuo. Essas equações são as duas equações de Maxwell: 
 , 0B r t 
 8.16 
   0, ,B r t J r t 
 8.17 
A substituição de (000) em (000), nos leva á equação: 
    0, ,A r t J r t  
 8.18 
Lembrando a identidade entre operadores de campo: 
        2, , ,A r t A r t A r t    
 8.19 
Chegamos á seguinte equação para o potencial vetor: 
       2 0, , ,A r t A r t J r t   
 8.20 
Lembrando no entanto a enorme liberdade que temos para escolher os campos vetoriais, fazemos uso 
desse liberdade para escolher o potencial vetor de tal maneira a satisfazer a condição: 
 , 0A r t 
 8.21 
A condição acima tem o nome de condição da transversalidade. O por que do nome só ficará mais claro 
depois quando estudarmos as ondas eletromagnéticas. 
Dentre todos as infinitas possibilidades de escolha do potencial, agora ficamos com apenas um. Ou seja, um 
potencial vetor que leve á mesma expressão para o campo magnético e que ao mesmo tempo satisfaça á 
condição da transversalidade é único. 
De fato, dois potenciais vetores que satisfaçam a condição da transversalidade: 
 
 
, 0
, 0
A r t
A r t
  
 
 8.22 
Podem agora diferir entre si apenas por uma função escalar tal que 
    2, , 0r t r t    
 8.23 
Uma tal função escalar, que satisfaça a equação acima e a condição de ser nula no infinito, tem que ser 
necessariamente nula, isto é: 
 , 0r t 
 8.24 
E, portanto, com a condição da transversalidade, o potencial fica inteiramente determinado. 
Adotando-se a condição da transversalidade as equações básicas da magnetostática se reduzem á equação: 
   2 0, ,A r t J r t  
 8.25 
Onde, na equação acima 
2 
 8.26 
Assim, as duas leis da magnetostática levam a uma única equação, sendo esta no entanto envolvendo 
derivadas parciais. 
2 2 2
2
02 2 2
( , ) ( , ) ( , )A r t A r t J r t
x x x
   
      
   
 8.27 
Assim, do ponto de vista puramente matemático o que conseguimos foi transformar um conjunto de duas 
equações de primeira ordem em uma equação de segunda ordem nas derivadas com respeito ás 
coordenadas do espaço. 
11- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DA MAGNETOSTÁTICA 
A equação acima é, na realidade, um conjunto de três equações já que o campo é um campo vetorial e, 
portanto, temos uma equação para cada uma das componentes: 
   
   
   
2
0
2
0
2
0
, ,
, ,
, , , 
x x
y y
z z
A r t J r t
A r t J r t
A r t J r t



  
  
  
 8.28 
Cada uma dessas equações é uma equação de Poissom, cuja solução, que se aplica para qualquer uma das 
componentes tem a mesma forma. Para a coordenada x, por exemplo, a solução é: 
 
  3
0
x
x
J r
A r d r
r r




 8.29 
A solução para o potencial vetor pode então ser escrita, sob a forma: 
 
  3
0
J r
A r d r
r r




 8.30 
Lembrando que na eletrostática a solução para o potencial eletrostático, dada a densidade de carga 

, é 
da forma: 
 
  3
0
1 r
V r d r
r r


 
 8.31 
Pode-se agora notar um paralelismo entre os problemas da eletrostática e aqueles da magnetostática. 
Em alguns casos, basta a simples substituição da solução de um problema da eletrostática fazendo agora a 
substituição: 
0
0
J



 8.32 
Isto pode ser exemplificado por meio da solução de problemas. 
12- Dedução da Equação, ou lei, de Biot-Savart. 
A lei de Biot-Savart pode ser deduzida a partir da equação (8.14), De fato, tomando o rotacional do 
potencial vetor dado em (8.31), obtemos: 
30 ( )( , ) ( , ) ´
4 ´
J r
B r t A r t d r
r r
 
       

 8.33 
Utilizamos agora a identidade 
( )´( )´( )
´ ´ ´
1 1
( )´ ( )´
´ ´
´ ´
( )´ ( )´
´ ´
yz
x
z y
z y
J rJ rJ r
r r y r r z r r
J r J r
y r r z r r
y y z z
J r J r
r r r r
      
                     
    
             
    
           
 8.34 
Lembrando que 
2 2 2 1/2´ (( )´ ( )´ ( )´ )r r x x y y z z      
 8.35 
Obtemos para a componente 
x
, o seguinte resultado: 
3
( )´ ´
( )´
´ ´
x x
J r r r
J r
r r r r
   
            
 8.36 
Expressões análogas valem para as demais componentes. Como resultado, o campo magnético se escreve 
como uma integral sobre todo o volume do espaço no qual existemcorrentes. Ou seja, 
3
0 3
´
( , ) ( )´ ´
´
r r
B r t J r d r
r r

  


 8.37 
Que é a lei de Biot-Savart. No caso em que a corrente se reduz àquela associada a um fio, escrevemos 
formalmente: 
3 ´Jd r JSdl Idl 
 8.38 
Portanto, o potencial vetor associado a um fio percorrido por uma corrente 
I
 é dado pela integral ao longo 
de uma curva (associada ao fio) a qual é dada por: 
0 1( ) ´
4 ´
I
A r dl
r r


 
 8.39 
Enquanto que o campo magnético é obtido por meio da integral de caminho: 
0
3
´
( , ) ´
4 ´
I r r
B r t dl
r r
 
 
 

 8.40 
Onde 
´dl
é um vetor tangente à curva, tem o sentido da corrente e seu módulo é igual ao elemento de 
comprimento da curva. Isto é; 
´dl dl
 8.41 
13- Momento de dipolo Magnético 
Definiremos com melhor precisão o conceito de momento de dipolo magnético. Comecemos pelo potencial 
vetor o qual pode ser escrito da seguinte forma: 
 
 
0
1/2
2
2
2 2
4
1
V
J r
A r dV
r r r
r
r r




  
  
 

 8.42 
Para grandes distâncias da fonte, ou seja de onde estão as cargas em movimento, condição essa que 
especificaremos como: 
1
r
r

 8.43 
O Comportamento dos potenciais a grandes distâncias pode ser inferido com bastante precisão a partir da 
aproximação: 
1/2 2
2
2 2
1
1
2
1
r r
rr r r
r r

 
  
  
  8.44 
E, portanto, o potencial vetor pode ser determinado, substituindo-se (8.44) em (8.42), com bastante 
precisão. Depois de algumas manipulações matemáticas como uma soma de dois termos: 
   0 02 3
1
4 4
V
r
A r J r dV
r r
 
   
 
 8.45 
Onde o vetor 

 é denominado momento de dipolo magnético o qual é dado pela integral: 
 
1
2
V
r J r dV    
 8.46 
No caso de uma corrente circulando num fio, 
2
I
r dl

  
 8.47 
A expressão (8.45) é válida desde que estejamos considerando o potencial vetor a grandes distancias. 
O primeiro termo se anula. Assim, podemos escrever: 
  0 34
r
A r
r

 

 8.48 
Cargas elétricas que se movimentem em órbitas fechadas produzem, a grandes distâncias de onde elas se 
localizam, um campo com características especiais. Ele é definido, por conta dessas características, como o 
campo de um dipolo magnético.