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UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciências e Tecnologia Erros de Truncamento e Séries de Taylor ECT1303 – Computação Numérica • Manter o telefone celular sempre desligado/silencioso quando estiver em sala de aula; • Nunca atender o celular na sala de aula. Erros de Truncamento Sua calculadora ou computador usa um polinômio de Taylor com muitos termos, suficientes para a precisão desejada! Calculadoras e computadores só sabem realizar operações aritméticas básicas. Você já parou para pensar em como sua calculadora calcula e0,03 ou sin (1,23) ??? Erros de Truncamento Erros de truncamento surgem quando aproximações são usadas no lugar de um procedimento matemático exato. Todos os métodos numéricos são baseados em aproximações de funções por polinômios. Série de Taylor Para analisar os erros de truncamento, utiliza-se uma formulação matemática que é amplamente usada nos métodos numéricos para expressar uma função de forma aproximada – a Série de Taylor. Inglaterra 1685 – 1731 Série de Taylor A Série de Taylor prevê o valor da função em um ponto em termos do valor da função e suas derivadas em outro ponto. Observação: Válido para qualquer função lisa! Construindo a série de Taylor • Seja x um ponto qualquer próximo de x0 • O polinômio de grau 0 (zero) que fornece a melhor aproximação de f(x) em torno de x0 é: • Essa relação é chamada de aproximação de ordem zero. • Quais as conseqüências dessa aproximação? f (x) f (x0) primeiro termo na série Construindo a série de Taylor • Usando uma aproximação de primeira ordem (polinômio de grau 1), temos: • Aproximação por uma reta com inclinação f ’(x0). f (x) f (x0) f (x0)(x x0) segundo termo na série Construindo a série de Taylor • Um termo de segunda ordem é adicionado para capturar alguma curvatura que a função possa apresentar. f (x) f (x0) f (x0)(x x0) f (x0) 2! (x x0) 2 terceiro termo na série Construindo a série de Taylor • E assim sucessivamente até se obter a expansão completa em série de Taylor: • O resto (erro) representa todos os termos de n+1 até infinito: onde ξ é um ponto entre x0 e x. n n n Rxx n xf xx xf xx xf xxxfxfxf )( ! )( )( !3 )( )( !2 )( ))(()()( 0 0 )( 3 0 0 2 0 0 000 Rn f (n1)() (n 1)! (x x0) n1 Construindo a série de Taylor • A série de Taylor pode ser simplificada definindo um tamanho de passo h = x – x0: e n n n Rh n xf h xf h xf hxfxfxf ! )( !3 )( !2 )( )()()( 0 )( 30 20 00 Rn f (n1)() (n 1)! hn1 Exemplo Use expansões em séries de Taylor de ordem zero até ordem quatro para aproximar a função em x = 1 a partir de x0 = 0. Solução • Temos f(0) = 1,2 e queremos encontrar f(1) = 0,2. • A aproximação em série de Taylor com n = 0 é • Com erro de truncamento de -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 f (x) 1,2 Et 0,21,2 1,0 Solução • Para n = 1, a primeira derivada é calculada em x = 0: • A aproximação de primeira ordem é • Com erro de truncamento de -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 f (0) 0,4(0,0)3 0,45(0,0)2 1,0(0,0)0,25 0,25 f (x) 1,20,25h Et 0,20,950,75 Solução • Para n = 2, a segunda derivada é calculada em x = 0: • A aproximação de segunda ordem é • Com erro de truncamento -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 f (0) 1,2(0,0)2 0,9(0,0)1,0 1,0 f (x) 1,20,25h 1,0 2 h2 Et 0,20,45 0,25 Solução • A inclusão da terceira e quarta derivadas resulta exatamente na mesma equação do começo: • Onde o resto é f (x) 0,1h4 0,15h3 0,5h2 0,25h 1,2 R4 f (5)() 5! h5 0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Considerações • Em geral, a expansão em série de Taylor de ordem n será exata para um polinômio de grau n. • E para outras funções diferenciáveis como exponenciais, senóides? • Quantos termos são necessários para chegar “suficientemente próximo” do valor exato? • A equação do erro de truncamento é extremamente útil para comparar o erro de métodos numéricos baseados em expansão em séries de Taylor. Resto • A forma geral do resto segue a seguinte equação: • Essa expressão apresenta 1 problema: – ξ não é conhecido exatamente, simplesmente está em algum lugar entre xi e xi+1. • A equação do resto (ou erro de truncamento) ainda é útil para se ganhar intuição sobre o erro de truncamento, pois o termo h é controlável. 1 )1( )!1( )( n n n h n f R Resto • Pode-se expressar a equação do resto como: 𝑅𝑛 = 𝑂 ℎ 𝑛+1 onde O(hn+1) significa que o erro de truncamento é proporcional ao tamanho do passo h elevado a (n+1)-ésima potência. Neste caso, diz-se que o erro é da ordem de hn+1. Resto • Essa expressão 𝑅𝑛 = 𝑂 ℎ 𝑛+1 é extremamente útil para julgar o erro de métodos baseados em séries de Taylor. • Por exemplo. Se o erro for O(h), diminuir o tamanho do passo por dois fará com que o erro seja dividido por dois. • Se o erro for da ordem de O(h2), dividir o tamanho do passo por dois fará com que o erro seja dividido por quatro. Conclusões • Em geral, pode-se supor que o erro de truncamento diminui com a adição de termos na série de Taylor; • Em muitos casos, se h for suficientemente pequeno, o primeiro e alguns outros termos da série dão conta de uma percentagem desproporcionalmente alta dos erros; • Assim, conclui-se que apenas poucos termos são necessários para se obter uma estimativa adequada. Exemplo • Use expansões em séries de Taylor com n = 0 até 6 para: – a) aproximar f(x) = cos(x) em x = π/3 com base no valor de f(x) e suas derivadas em x0 = π/4. – b) Compare a variação que ocorre no erro de truncamento. Atividade 1) Calcule a expansão em série de Taylor em torno de 𝑥0 = 0 para as seguintes funções a) sen(x) b) cos(𝑥) c) 𝑒𝑖𝑥 2) Utilize o resultado da questão anterior para provar que 𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥), e com isto provar a famosa identidade de Euler 𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0
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